(滬教版2021選擇性必修一)高二數(shù)學專題訓練專題01空間向量的數(shù)量積運算綜合專練(原卷版+解析)

專題01空間向量的數(shù)量積運算綜合專練（原卷版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．(2023·上海市北虹高級中學高二期末）如圖，平行六面體中，若，，，則下列向量中與相等的向量是A． B．C． D．2．(2023·上?！じ叨n時練習）已知向量，且，則一定共線的三點是（）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D3．(2023·上海市徐匯中學高二期中）如圖，已知正四面體，點，，，，，分別是所在棱中點，點滿足且，記，則當，且時，數(shù)量積的不同取值的個數(shù)是（）A．3 B．5 C．9 D．214．(2023·上海交大附中高三開學考試）對平面中的任意平行四邊形，可以用向量方法證明：，若將上述結(jié)論類比到空間的平行六面體，則得到的結(jié)論是（）A．B．C．D．5．(2023·上海市張堰中學高二月考）設是正三棱錐，是的重心，是上的一點，且，若，則為（）A． B．C． D．6．(2023·上海市七寶中學模擬預測）已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點Р在正方體表面上運動，正方體的棱長是2，則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．(2023·上海市金山中學高二期中）在正方體中，下列結(jié)論錯誤的是（）A．B．C．向量與的夾角是120°D．正方體的體積為8．(2023·上?！じ叨驴迹┤鐖D，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）．A． B．C． D．9．(2023·上?！げ軛疃懈叨驴迹┮阎橇阆蛄浚瑒t“”是“”的（）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．非必要非充分條件10．(2023·上海市大同中學高三月考）已知，，和為空間中的4個單位向量，且，則不可能等于A．3 B． C．4 D．二、填空題11．(2023·上海交大附中高二期中）平行六面體中，已知底面四邊形為正方形，且，其中，設，，體對角線，則的值是______.12．(2023·上?！偷└街懈叨谥校┮阎忮F的側(cè)棱長為2020，過其底面中心作動平面交線段于點，交的延長線于兩點，則的取值范圍為__________13．(2023·上海·高二月考）a，b為空間兩條互相垂直的直線，直角三角形的直角邊所在直線與a，b都垂直，斜邊以為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，，有下列結(jié)論：①當直線與a成60°角時，與b成30°角；②當直線與a成60°角時，與b成45°角；⑤直線與a所成角的最大值為60°；④直線與a所成角的最小值為30°；其中正確的是___________.（填寫所有正確結(jié)論的編號）14．(2023·上海市實驗學校高二期中）在三棱錐中，已知，，，則___________15．(2023·上海市實驗學校高二期末）如圖所示，在平行六面體中，，若，則___________.16．(2023·上海市奉賢區(qū)奉城高級中學高二月考）如圖，已知線段AB在平面內(nèi)，線段AC⊥，線段BD⊥AB，線段⊥，=30°，如果AB=a，AC=BD=b，則C、D間的距離為_____________；17．(2023·上海市金山中學高二期末）四棱錐中，底面是一個平行四邊形，，，，則四棱錐的體積為_______18．(2023·上海市洋涇中學高二月考）若、、是空間中的三個向量，，，，且，則的最小值為___________．19．(2023·上?！じ叨驴迹┰O向量，.其中.則與夾角的最大值為________.20．(2023·上海中學高二期中）已知是空間單位向量，，若空間向量滿足且對任意、，則______三、解答題21．(2023·上海市南洋模范中學高三期末）已知，，，定義一種運算：，已知四棱錐中，底面是一個平行四邊形，，，（1）試計算的絕對值的值，并求證面；（2）求四棱錐的體積，說明的絕對值的值與四棱錐體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運算的絕對值的幾何意義.22．(2023·上海市七寶中學高二期中）如圖所示，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，為棱的中點.（1）證明：；（2）求二面角的正弦值；（3）設點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值是，求線段的長.23．(2023·上?！ね瑵髮W第一附屬中學高二期末）在平面四邊形中，、分、所成的比為，即，則有：.（1）拓展到空間，寫出空間四邊形類似的命題，并加以證明；（2）在長方體中，，，，、分別為、的中點，利用上述（1）的結(jié)論求線段的長度；（3）在所有棱長均為平行六面體中，（為銳角定值），、分、所成的比為，求的長度.（用，，表示）24．(2023·上?！じ呷驴迹┤鐖D，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，AC=4，BD=2，且側(cè)棱AA1=3.其中O1為A1C1與B1D1的交點.（1）求點B1到平面D1AC的距離；（2）在線段BO1上，是否存在一個點P，使得直線AP與CD1垂直？若存在，求出線段BP的長；若不存在，請說明理由.25．(2023·上海交大附中高二期末）設全體空間向量組成的集合為，為中的一個單位向量，建立一個“自變量”為向量，“應變量”也是向量的“向量函數(shù)”.（1）設，，若，求向量；（2）對于中的任意兩個向量，，證明：；（3）對于中的任意單位向量，求的最大值.專題01空間向量的數(shù)量積運算綜合專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．(2023·上海市北虹高級中學高二期末）如圖，平行六面體中，若，，，則下列向量中與相等的向量是A． B．C． D．【標準答案】D【思路指引】由題意可得,化簡得到結(jié)果．【詳解詳析】由題意可得,故選D.【名師指路】本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，屬于基礎題．2．(2023·上海·高二課時練習）已知向量，且，則一定共線的三點是（）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【標準答案】A【思路指引】根據(jù)三點共線的知識確定正確選項.【詳解詳析】依題意，，所以共線，即三點共線，A正確.，則不共線、不共線，BD錯誤.，則不共線，C錯誤.故選：A3．(2023·上海市徐匯中學高二期中）如圖，已知正四面體，點，，，，，分別是所在棱中點，點滿足且，記，則當，且時，數(shù)量積的不同取值的個數(shù)是（）A．3 B．5 C．9 D．21【標準答案】B【思路指引】由條件可知點在平面上，并且由幾何意義可知平面，利用數(shù)量積的幾何意義求的不同取值的個數(shù).【詳解詳析】條件“且”，說明點在平面上，而說明為平面的中心，此時平面，由向量數(shù)量積的幾何意義，在的投影有5種情況：0、、，∴數(shù)量積的不同取值的個數(shù)是5，故選：B．【名師指路】本題考查空間向量共面定理的應用，數(shù)量積的幾何意義，重點考查轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題型.4．(2023·上海交大附中高三開學考試）對平面中的任意平行四邊形，可以用向量方法證明：，若將上述結(jié)論類比到空間的平行六面體，則得到的結(jié)論是（）A．B．C．D．【標準答案】D【思路指引】平行四邊形中是對角線的平方和等于四邊的平方和，類比平行六面體中是對角線的平方和等于所有棱的平方和，整理即為．【詳解詳析】在平行六面體中，，同理，，，所以，同理，，所以即故選：D．5．(2023·上海市張堰中學高二月考）設是正三棱錐，是的重心，是上的一點，且，若，則為（）A． B．C． D．【標準答案】A【思路指引】如圖所示,連接AG1交BC于點M，則M為BC中點,利用空間向量的運算法則求得，即得.【詳解詳析】如圖所示,連接AG1交BC于點M,則M為BC中點，)=,.因為所以=3(),∴.則，∴，，，故選：A.6．(2023·上海市七寶中學模擬預測）已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點Р在正方體表面上運動，正方體的棱長是2，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【標準答案】B【思路指引】利用向量的線性運算和數(shù)量積運算律可得，根據(jù)正方體的特點確定最大值和最小值，即可求解【詳解詳析】設正方體內(nèi)切球的球心為，則,,因為MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，所以，，所以，又點Р在正方體表面上運動，所以當為正方體頂點時，最大，且最大值為；當為內(nèi)切球與正方體的切點時，最小，且最小為；所以，所以的取值范圍為，故選：B7．(2023·上海市金山中學高二期中）在正方體中，下列結(jié)論錯誤的是（）A．B．C．向量與的夾角是120°D．正方體的體積為【標準答案】D【思路指引】根據(jù)空間向量的知識對每個選項逐一分析即可.【詳解詳析】正方體如圖所示，對于A選項，，，故A正確；對于B選項，，在平面內(nèi)的投影為，又因為，即，故B正確；對于C選項，為等邊三角形，，向量與的夾角是，故C正確；對于D選項，，，故D顯然錯誤.故選：D8．(2023·上?！じ叨驴迹┤鐖D，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）．A． B．C． D．【標準答案】A【思路指引】利用空間向量的三角形法則可得，結(jié)合平行六面體的性質(zhì)分析解答．【詳解詳析】平行六面體中，M為與的交點，，，，則有：，所以.故選：A9．(2023·上?！げ軛疃懈叨驴迹┮阎橇阆蛄浚瑒t“”是“”的（）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．非必要非充分條件【標準答案】A【思路指引】先討論充分性，令，可得出，從而確定充分性成立；再討論必要性，舉出反例當，此時滿足，但“”不成立，確定必要性不成立；從而得出結(jié)論.【詳解詳析】解：由題可知，非零向量，當“”成立，令，，則，而，，則，故充分性成立；若，此時滿足，由于分母不能為0，可知“”不成立，故必要性不成立；所以“”是“”的充分非必要條件.故選：A.10．(2023·上海市大同中學高三月考）已知，，和為空間中的4個單位向量，且，則不可能等于A．3 B． C．4 D．【標準答案】A【思路指引】根據(jù)n個向量的和的模不大于n個向量的模的和可推出結(jié)論.【詳解詳析】因為而，所以因為，，，是單位向量，且，所以不共線，所以，故選A.【名師指路】本題主要考查了向量與不等式的關(guān)系，涉及向量的共線問題，屬于難題.二、填空題11．(2023·上海交大附中高二期中）平行六面體中，已知底面四邊形為正方形，且，其中，設，，體對角線，則的值是______.【標準答案】根據(jù)，平方得到，計算得到答案.【詳解詳析】，故，解得.故答案為：.【名師指路】本題考查了平行六面體的棱長，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.12．(2023·上?！偷└街懈叨谥校┮阎忮F的側(cè)棱長為2020，過其底面中心作動平面交線段于點，交的延長線于兩點，則的取值范圍為__________【標準答案】設,則,根據(jù)空間四點共面的條件，又四點共面，則，即得出答案.【詳解詳析】設.則,,.由為底面中心,又因為四點共面,所以且.所以，即即.故答案為：.【名師指路】本題考查空間四點共面的條件的應用，屬于中檔題.13．(2023·上?！じ叨驴迹゛，b為空間兩條互相垂直的直線，直角三角形的直角邊所在直線與a，b都垂直，斜邊以為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，，有下列結(jié)論：①當直線與a成60°角時，與b成30°角；②當直線與a成60°角時，與b成45°角；⑤直線與a所成角的最大值為60°；④直線與a所成角的最小值為30°；其中正確的是___________.（填寫所有正確結(jié)論的編號）【標準答案】②④【思路指引】由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，構(gòu)建如圖所示的長方體，|AC|＝1，|AB|=2，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點保持不變，B點的運動軌跡是以C為圓心，為半徑的圓，以C坐標原點，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求出結(jié)果．【詳解詳析】由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，不妨設圖中所示的長方體高為1，底面邊長為，故|AC|＝1，|AB|=2，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點保持不變，B點的運動軌跡是以C為圓心，為半徑的圓，以C坐標原點，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標系，則D（，0，0），A（0，0，1），直線a的方向單位向量（0，1，0），||＝1，直線b的方向單位向量（1，0，0），||＝1，設B點在運動過程中的坐標中的坐標B′（cos，sin，0），其中為B′C與CD的夾角，，∴AB′在運動過程中的向量，=（cosθ，sinθ，﹣1），||=2，設與所成夾角為α∈[0，]，則|sin|∈[0，]，∴∈[，]，∴③錯誤，④正確．設與所成夾角為∈[0，]，|cos|，當與夾角為60°時，即α，|sin|，∵cos2θ+sin2θ＝1，∴cos|cosθ|，∵β∈[0，]，∴，此時與的夾角為45°，∴②正確，①錯誤．故答案為：②④．【名師指路】本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，涉及空間向量的知識點，屬于中檔題．14．(2023·上海市實驗學校高二期中）在三棱錐中，已知，，，則___________【標準答案】【思路指引】用表示，根據(jù)條件列出方程建立的關(guān)系，利用等量代換計算即得.【詳解詳析】設，顯然，則，即，而，即，于是得，，，則有，所以.故答案為：15．(2023·上海市實驗學校高二期末）如圖所示，在平行六面體中，，若，則___________.【標準答案】2【思路指引】題中幾何體為平行六面體，就要充分利用幾何體的特征進行轉(zhuǎn)化，,再將轉(zhuǎn)化為，以及將轉(zhuǎn)化為,,總之等式右邊為，，,從而得出，.【詳解詳析】解：因為，又，所以，，則.故答案為：2.【名師指路】要充分利用幾何體的幾何特征，以及將作為轉(zhuǎn)化的目標，從而得解.16．(2023·上海市奉賢區(qū)奉城高級中學高二月考）如圖，已知線段AB在平面內(nèi)，線段AC⊥，線段BD⊥AB，線段⊥，=30°，如果AB=a，AC=BD=b，則C、D間的距離為_____________；【標準答案】【思路指引】根據(jù)圖像將用表示出來，然后求模即可得到結(jié)果．【詳解詳析】解：線段在平面內(nèi)，線段，線段，線段，，如果，，由題意可知：，因為AC⊥，⊥，運算，又=30°，所以異面直線所成的角為，．所以、間的距離為：．故答案為：.17．(2023·上海市金山中學高二期末）四棱錐中，底面是一個平行四邊形，，，，則四棱錐的體積為_______【標準答案】【思路指引】計算，，得到底面，計算，，計算體積得到答案.【詳解詳析】由，，所以底面，，故，體積為.故答案為：16.18．(2023·上海市洋涇中學高二月考）若、、是空間中的三個向量，，，，且，則的最小值為___________．【標準答案】【思路指引】建立平面直角坐標系，求得點的軌跡，結(jié)合圓的知識求得的最小值.【詳解詳析】設，，，∴，求的最值，、、、在同一平面時，有最值，如圖建系，不妨設，，，中點，可知，，，，由可知，消參可得，即點軌跡為，點的軌跡是為圓心，半徑為的圓.所以，即．故答案為：19．(2023·上?！じ叨驴迹┰O向量，.其中.則與夾角的最大值為________.【標準答案】【思路指引】由兩向量中的已知坐標和未知坐標間的關(guān)系，得出兩向量的終點的軌跡，運用向量的夾角公式求解.【詳解詳析】向量的終點都在以為圓心，1為半徑的圓上；向量的終點都在以為圓心，1為半徑的圓上；且為圓與圓的距離為1，如圖所示，兩向量的夾角最大，為.【名師指路】本題考查動點的軌跡和空間直角坐標系中向量的夾角，屬于中檔題.20．(2023·上海中學高二期中）已知是空間單位向量，，若空間向量滿足且對任意、，則______【標準答案】##【思路指引】根據(jù)最值的定義，結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義和運算性質(zhì)進行求解即可.【詳解詳析】由可知：當時，有最小值1，因為是空間單位向量，,空間向量滿足,所以,顯然當時，有最小值，最小值為1，所以，解得：，即當時成立，因此，故答案為：【名師指路】關(guān)鍵點睛：根據(jù)最值的定義利用配方法是解題的關(guān)鍵.三、解答題21．(2023·上海市南洋模范中學高三期末）已知，，，定義一種運算：，已知四棱錐中，底面是一個平行四邊形，，，（1）試計算的絕對值的值，并求證面；（2）求四棱錐的體積，說明的絕對值的值與四棱錐體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運算的絕對值的幾何意義.【標準答案】（1）48，證明見解析；（2）體積為16，，的絕對值表示以為鄰邊的平行六面體的體積．【思路指引】（1）根據(jù)新定義直接計算，由向量法證明線線垂直，得線面垂直；（2）計算出棱錐體積后，根據(jù)數(shù)據(jù)確定關(guān)系．【詳解詳析】（1）由題意＝48．，，∴，即．是平面內(nèi)兩相交直線，∴平面．（2）由題意，，，，∴．∴，猜想：的絕對值表示以為鄰邊的平行六面體的體積．【名師指路】本題考查向量的新定義運算，解題時根據(jù)新定義的規(guī)則運算即可．考查學生的創(chuàng)新意識，同時考查學生的歸納推理能力．22．(2023·上海市七寶中學高二期中）如圖所示，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，為棱的中點.（1）證明：；（2）求二面角的正弦值；（3）設點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值是，求線段的長.【標準答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．（1）以為原點建立空間直角坐標系，通過可證得結(jié)論；（2）根據(jù)二面角的空間向量求法可求得結(jié)果；（3）利用共線向量和向量線性運算表示出，根據(jù)直線與平面所成角的空間向量求法可構(gòu)造方程求得，從而得到，求解的模長即為所求結(jié)果.【詳解詳析】（1）以為原點可建立如下圖所示空間直角坐標系則，，，，，，（2）由（1）知：，平面，平面又，平面，平面平面的一個法向量為設平面的法向量則，令，則，二面角的正弦值為（3）由（1）知：，設，平面，平面又，平面，平面平面的一個法向量為設為直線與平面所成角則，解得：則，即的長為【名師指路】本題考查空間向量法解決立體幾何中的垂直關(guān)系證明、二面角的求解、根據(jù)線面角求解其他量的問題；考查學生對于空間向量法的掌握情況，屬于常考題型.23．(2023·上海·同濟大學第一附屬中學高二期末）在平面四邊形中，、分、所成的比為，即，則有：.（1）拓展到空間，寫出空間四邊形類似的命題，并加以證明；（2）在長方體中，，，，、分別為、的中點，利用上述（1）的結(jié)論求線段的長度；（3）在所有棱長均為平行六面體中，（為銳角定值），、分、所成的比為，求的長度.（用，，表示）【標準答案】（1）命題同題干，證明見解析；（2）；（3）【思路指引】（1）由條件可得，利用向量的線性運算證明即可；（2）由（1）的結(jié)論可得，兩邊同時平方計算可得結(jié)果；（3）由（1）的結(jié)論可得，兩邊同時平方計算可得結(jié)果.【詳解詳析】（1）在空間四邊形中，、分、所成的比為，即，則有：.證明：；（2）由（1）的結(jié)論可得，，；（3）如圖：與所成的角為，又由（1）的結(jié)論可得，，.【名師指路】本題考查空間向量的線性運算，數(shù)量積的運算及模的運算，考查學生計算能力，是中檔題.24．(2023·上?！じ呷驴迹┤鐖D，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，AC=4，BD=2，且側(cè)棱AA1=3.其中O1為A1C1與B1D1的交點.（1）求點B1到平面D1AC的距離；（2）在線段BO1上，是否存在一個點