(滬教版2021選擇性必修一)高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題10數(shù)列的綜合應(yīng)用專練(原卷版+解析)

專題10數(shù)列的綜合應(yīng)用專練（原卷版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．某縣2019年12月末人口總數(shù)為57萬，假如從2020年元月1日起，人口總數(shù)每月按相同數(shù)目增加，則到2020年12月末為止人口總數(shù)為57.24萬，則2020年10月末的人口總數(shù)為（）A．57.1萬 B．57.2萬C．57.22萬 D．57.23萬2．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，前三個節(jié)氣日影長之和為尺，最后三個節(jié)氣日影長之和為尺，今年月日時分為春分時節(jié)，其日影長為（）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺3．十九世紀下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作：再將剩下的兩個區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作：…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若使去掉的各區(qū)間長度之和小于，則操作的次數(shù)的最大值為（）(參考數(shù)據(jù)：，，，)A．4 B．5 C．6 D．74．古希臘時期，人們把寬與長之比為（）的矩形稱為黃金矩形，把這個比值稱為黃金分割比例．下圖為希臘的一古建筑，其中圖中的矩形，，，，，均為黃金矩形，若與間的距離超過，與間的距離小于，則該古建筑中與間的距離可能是（）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）A． B． C． D．5．為了更好地解決就業(yè)問題，國家在2020年提出了“地攤經(jīng)濟”為響應(yīng)國家號召，有不少地區(qū)出臺了相關(guān)政策去鼓勵“地攤經(jīng)濟”.某攤主2020年4月初向銀行借了免息貸款8000元，用于進貨，因質(zhì)優(yōu)價廉，供不應(yīng)求，據(jù)測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費800元，余款作為資金全部用于下月再進貨，如此繼續(xù)，預(yù)計到2021年3月底該攤主的年所得收入為（）（取，）A．24000元 B．26000元 C．30000元 D．32000元6．朱世杰是元代著名數(shù)學(xué)家，他所著的《算學(xué)啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學(xué)普及著作.《算學(xué)啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.現(xiàn)有132根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應(yīng)堆放的層數(shù)可以是（）A．5 B．6 C．7 D．87．小王2021年1月初向銀行借了免息貸款10000元，用于自己開發(fā)的農(nóng)產(chǎn)品?土特產(chǎn)品加工廠的原材料進貨，因產(chǎn)品質(zhì)優(yōu)價廉，上市后供不應(yīng)求，據(jù)測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底需繳房租800元和水電費400元，余款作為資金全部用于再進貨，如此繼續(xù)，預(yù)計2021年小王的農(nóng)產(chǎn)品加工廠的年利潤為（）（取，）A．38720元 B．48720元 C．31520元 D．41520元8．2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽脫貧攻堅取得重大勝利！為進步鞏固脫貧攻堅成果，接續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金500萬元，資金年平均增長率可達到20%．每年年底扣除下一年必須的消費資金后，剩余資金全部投入再生產(chǎn)為了實現(xiàn)5年后投入再生產(chǎn)的資金達到800萬元的目標(biāo)，每年應(yīng)扣除的消費資金至多為（）（單位：萬元，結(jié)果精確到萬元）（參考數(shù)據(jù)：，）A．83 B．60 C．50 D．449．小李在2022年1月1日采用分期付款的方式貸款購買一臺價值元的家電，在購買1個月后的2月1日第一次還款，且以后每月的1日等額還款一次，一年內(nèi)還清全部貸款(2023年12月1日最后一次還款），月利率為．按復(fù)利計算，則小李每個月應(yīng)還（）A．元 B．元C．元 D．元10．在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．對于，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，經(jīng)過一個周期后這個人每人再傳染個人為第二輪傳染……）那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要的天數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A．35 B．42 C．49 D．56二、填空題11．現(xiàn)有某種細胞1000個，其中約有占總數(shù)一半的細胞每小時分裂一次，即由1個細胞分裂成2個細胞，按這種規(guī)律，1小時后，細胞總數(shù)約為；2小時后，細胞總數(shù)約為……則當(dāng)細胞總數(shù)超過個時，所需時間大約為___________小時.（參考數(shù)據(jù)：，.結(jié)果保留整數(shù)）12．2015年7月31日，國際奧委會正式確定2022年冬奧會的舉辦權(quán)為北京——張家口.小明為了去現(xiàn)場觀看2022年的冬奧會，他打算自2016年起，每年的1月1日都到某銀行存入元的一年期定期存款，若該銀行的年利率為，且年利率保持不變，并約定每年到期存款本息均自動轉(zhuǎn)為新一年的定期.那么到2022年1月1日不再存錢而是將所有的存款和利息全部取出，則小明一共約可取回___________元.（參考數(shù)據(jù)：，，）13．如圖，互不相同的點和分別在角O的兩條邊上，所有相互平行，且所有梯形的面積均相等.設(shè).若，，則數(shù)列的通項公式是________.14．今年“五一”期間，北京十家重點公園舉行免費游園活動，北海公園免費開放一天，早晨6時30分有2人進入公園，接下來的第一個30分鐘內(nèi)有4人進去1人出來，第二個30分鐘內(nèi)有8人進去2人出來，第三個30分鐘內(nèi)有16人進去3人出來，第四個30分鐘內(nèi)有32人進去4人出來…，按照這種規(guī)律進行下去，到上午11時30分公園內(nèi)的人數(shù)是____.15．1967年，法國數(shù)學(xué)家蒙德爾布羅的文章《英國的海岸線有多長？》標(biāo)志著幾何概念從整數(shù)維到分數(shù)維的飛躍.1977年他正式將具有分數(shù)維的圖形成為“分形”，并建立了以這類圖形為對象的數(shù)學(xué)分支——分形幾何．分形幾何不只是扮演著計算機藝術(shù)家的角色，事實表明它們是描述和探索自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象的工具．下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長度為1，在線段AB上取兩個點C，D，使得，以CD為一邊在線段AB的上方做一個正三角形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對圖2中的線段EC、ED作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：記第n個圖形（圖1為第一個圖形）中的所有線段長的和為，對任意的正整數(shù)n，都有，則a的最小值為__________．三、解答題16．已知正項數(shù)列滿足：，.為數(shù)列的前項和.（Ⅰ）求證：對任意正整數(shù)，有；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：對任意，總存在正整數(shù)，使得時，.17．某化工廠從今年一月起，若不改善生產(chǎn)環(huán)境，按生產(chǎn)現(xiàn)狀，每月收入為70萬元，同時將受到環(huán)保部門的處罰，第一個月罰3萬元，以后每月增加2萬元．如果從今年一月起投資500萬元添加回收凈化設(shè)備（改造設(shè)備時間不計），一方面可以改善環(huán)境，另一方面也可以大大降低原料成本．據(jù)測算，添加回收凈化設(shè)備并投產(chǎn)后的前5個月中的累計生產(chǎn)凈收入是生產(chǎn)時間個月的二次函數(shù)（是常數(shù)），且前3個月的累計生產(chǎn)凈收入可達309萬，從第6個月開始，每個月的生產(chǎn)凈收入都與第5個月相同．同時，該廠不但不受處罰，而且還將得到環(huán)保部門的一次性獎勵100萬元．（1）求前8個月的累計生產(chǎn)凈收入的值；（2）問經(jīng)過多少個月，投資開始見效，即投資改造后的純收入多于不改造時的純收入．18．已知首項為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項和為Sn（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{Tn}的最大項的值與最小項的值．19．已知無窮數(shù)列與無窮數(shù)列滿足下列條件：①；②.記數(shù)列的前項積為.（1）若，求；（2）是否存在，使得成等差數(shù)列？若存在，請寫出一組;若不存在，請說明理由；（3）若，求的最大值.20．已知數(shù)列與滿足，.（1）若，且，求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)的第項是最大項，即（），求證：數(shù)列的第項是最大項；（3）設(shè)，（），求的取值范圍，使得有最大值與最小值，且.專題10數(shù)列的綜合應(yīng)用專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．某縣2019年12月末人口總數(shù)為57萬，假如從2020年元月1日起，人口總數(shù)每月按相同數(shù)目增加，則到2020年12月末為止人口總數(shù)為57.24萬，則2020年10月末的人口總數(shù)為（）A．57.1萬 B．57.2萬C．57.22萬 D．57.23萬【標(biāo)準答案】B根據(jù)實際問題可知，每月月末的該縣的總?cè)丝跒榈炔顢?shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解詳析】根據(jù)題意，某縣2019年12月末人口總數(shù)為57萬，從2020年元月1日起人口總數(shù)每月按相同數(shù)目增加，則每月月末的該縣的總?cè)丝跒榈炔顢?shù)列，設(shè)這個數(shù)列為{an}，且a1＝57，設(shè)其公差為d(單位為萬)，又由到2020年12月末為止人口總數(shù)為57.24萬，則有a1＝57，a13＝57.24，則有d＝＝0.02，所以2020年10月末的人口總數(shù)為a11＝a1＋10d＝57.2.故選：B2．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，前三個節(jié)氣日影長之和為尺，最后三個節(jié)氣日影長之和為尺，今年月日時分為春分時節(jié)，其日影長為（）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【標(biāo)準答案】A【思路指引】由題意構(gòu)造等差數(shù)列，設(shè)公差為d，利用基本量代換求出通項公式，然后求.【詳解詳析】小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣日影長構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由題意得：，解得：所以，所以，即春分時節(jié)的日影長為4.5.故選：A【名師指路】(1)數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題是常見考查形式：求解應(yīng)用性問題時，首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理順數(shù)量關(guān)系，然后將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(2)等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換.3．十九世紀下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作：再將剩下的兩個區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作：…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若使去掉的各區(qū)間長度之和小于，則操作的次數(shù)的最大值為（）(參考數(shù)據(jù)：，，，)A．4 B．5 C．6 D．7【標(biāo)準答案】B【思路指引】記表示第次去掉的長度，然后根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式計算，最后根據(jù)，可得結(jié)果.【詳解詳析】記表示第次去掉的長度所以，第2次操作，去掉的線段長為，，第次操作，去掉的線段長度為所以，則由，，所以的最大值為5故選：B【名師指路】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于掌握第次操作，去掉的線段長度為，建立等比數(shù)列的數(shù)學(xué)模型求解.4．古希臘時期，人們把寬與長之比為（）的矩形稱為黃金矩形，把這個比值稱為黃金分割比例．下圖為希臘的一古建筑，其中圖中的矩形，，，，，均為黃金矩形，若與間的距離超過，與間的距離小于，則該古建筑中與間的距離可能是（）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）A． B． C． D．【標(biāo)準答案】C【思路指引】設(shè)，，進而根據(jù)題意得，，故，解不等式即可得答案.【詳解詳析】設(shè)，，因為矩形，，，，，均為黃金矩形，所以有，，，，，，由題設(shè)得，解得.故選:C．【名師指路】本題與數(shù)學(xué)問題相結(jié)合考查等比數(shù)列的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)建模能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于設(shè)，，進而建立邊長之間的等比數(shù)列模型，進而根據(jù)題意求解.5．為了更好地解決就業(yè)問題，國家在2020年提出了“地攤經(jīng)濟”為響應(yīng)國家號召，有不少地區(qū)出臺了相關(guān)政策去鼓勵“地攤經(jīng)濟”.某攤主2020年4月初向銀行借了免息貸款8000元，用于進貨，因質(zhì)優(yōu)價廉，供不應(yīng)求，據(jù)測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費800元，余款作為資金全部用于下月再進貨，如此繼續(xù)，預(yù)計到2021年3月底該攤主的年所得收入為（）（取，）A．24000元 B．26000元 C．30000元 D．32000元【標(biāo)準答案】D【思路指引】設(shè)，從4月份起每月底用于下月進借貨的資金依次記為，由題意得出的遞推關(guān)系，變形構(gòu)造出等比數(shù)列，由得其通項公式后可得結(jié)論．【詳解詳析】設(shè)，從4月份起每月底用于下月進借貨的資金依次記為，，、同理可得，所以，而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，所以，，總利潤為．故選：D．【名師指路】思路點睛：本題考查數(shù)列的實際應(yīng)用．解題方法是用數(shù)列表示月初進貨款，得出遞推關(guān)系，然后構(gòu)造等比數(shù)列求解．6．朱世杰是元代著名數(shù)學(xué)家，他所著的《算學(xué)啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學(xué)普及著作.《算學(xué)啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.現(xiàn)有132根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應(yīng)堆放的層數(shù)可以是（）A．5 B．6 C．7 D．8【標(biāo)準答案】D【思路指引】把各層的鉛筆數(shù)看出等差數(shù)列，利用求和公式得到，由n為264的因數(shù)，且為偶數(shù)，把四個選項一一代入驗證即可.【詳解詳析】設(shè)最上面一層放根，一共放n（n≥2）層，則最下一層放根，由等差數(shù)列前n項和公式得：，∴，∵,∴n為264的因數(shù)，且為偶數(shù)，把各個選項分別代入，驗證，可得：n=8滿足題意.故選：D【名師指路】(1)數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題是常見考查形式：求解應(yīng)用性問題時，首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理順數(shù)量關(guān)系，然后將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（2）等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換．7．小王2021年1月初向銀行借了免息貸款10000元，用于自己開發(fā)的農(nóng)產(chǎn)品?土特產(chǎn)品加工廠的原材料進貨，因產(chǎn)品質(zhì)優(yōu)價廉，上市后供不應(yīng)求，據(jù)測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底需繳房租800元和水電費400元，余款作為資金全部用于再進貨，如此繼續(xù)，預(yù)計2021年小王的農(nóng)產(chǎn)品加工廠的年利潤為（）（取，）A．38720元 B．48720元 C．31520元 D．41520元【標(biāo)準答案】C【思路指引】1月底小王手中有現(xiàn)款（元），設(shè)月底小王手中有現(xiàn)款元，月底小王手中有現(xiàn)款元，由題意可知，從而可得數(shù)列是首項為4800，公比為1.2的等比數(shù)列，從而可得答案.【詳解詳析】解：1月底小王手中有現(xiàn)款（元），設(shè)月底小王手中有現(xiàn)款元，月底小王手中有現(xiàn)款元，則，，所以數(shù)列是首項為4800，公比為1.2的等比數(shù)列，所以，即，年利潤為（元）.故選：C.8．2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽脫貧攻堅取得重大勝利！為進步鞏固脫貧攻堅成果，接續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金500萬元，資金年平均增長率可達到20%．每年年底扣除下一年必須的消費資金后，剩余資金全部投入再生產(chǎn)為了實現(xiàn)5年后投入再生產(chǎn)的資金達到800萬元的目標(biāo)，每年應(yīng)扣除的消費資金至多為（）（單位：萬元，結(jié)果精確到萬元）（參考數(shù)據(jù)：，）A．83 B．60 C．50 D．44【標(biāo)準答案】B【思路指引】由題可知5年后投入再生產(chǎn)的資金為：，即求.【詳解詳析】設(shè)每年應(yīng)扣除的消費資金為萬元，則1年后投入再生產(chǎn)的資金為：，2年后投入再生產(chǎn)的資金為：，5年后投入再生產(chǎn)的資金為：∴，∴.故選：B9．小李在2022年1月1日采用分期付款的方式貸款購買一臺價值元的家電，在購買1個月后的2月1日第一次還款，且以后每月的1日等額還款一次，一年內(nèi)還清全部貸款(2023年12月1日最后一次還款），月利率為．按復(fù)利計算，則小李每個月應(yīng)還（）A．元 B．元C．元 D．元【標(biāo)準答案】A【思路指引】小李的還款x元每月要產(chǎn)生復(fù)利，小李的貸款元每月也要產(chǎn)生復(fù)利.這是本題的關(guān)鍵所在.【詳解詳析】設(shè)每月還元，按復(fù)利計算，則有即解之得，故選：A10．在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．對于，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，經(jīng)過一個周期后這個人每人再傳染個人為第二輪傳染……）那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要的天數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A．35 B．42 C．49 D．56【標(biāo)準答案】B【思路指引】根據(jù)題意列出方程，利用等比數(shù)列的求和公式計算n輪傳染后感染的總?cè)藬?shù)，得到指數(shù)方程，求得近似解，然后可得需要的天數(shù).【詳解詳析】感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,則每輪新增感染人數(shù)為，經(jīng)過n輪傳染，總共感染人數(shù)為：，∵，∴當(dāng)感染人數(shù)增加到1000人時，，化簡得，由，故得，又∵平均感染周期為7天，所以感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要天，故選：B【名師指路】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應(yīng)該要分類討論，有時還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算過程．二、填空題11．現(xiàn)有某種細胞1000個，其中約有占總數(shù)一半的細胞每小時分裂一次，即由1個細胞分裂成2個細胞，按這種規(guī)律，1小時后，細胞總數(shù)約為；2小時后，細胞總數(shù)約為……則當(dāng)細胞總數(shù)超過個時，所需時間大約為___________小時.（參考數(shù)據(jù)：，.結(jié)果保留整數(shù)）【標(biāo)準答案】40【思路指引】根據(jù)分裂規(guī)律，可得細胞在每個小時后的個數(shù)成等比數(shù)列，由此列式計算即可．【詳解詳析】記個小時后細胞個數(shù)為，則，，則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，∴.由，得，則，∴，故當(dāng)細胞總數(shù)超過個時，所需時間大約為40小時.故答案為：4012．2015年7月31日，國際奧委會正式確定2022年冬奧會的舉辦權(quán)為北京——張家口.小明為了去現(xiàn)場觀看2022年的冬奧會，他打算自2016年起，每年的1月1日都到某銀行存入元的一年期定期存款，若該銀行的年利率為，且年利率保持不變，并約定每年到期存款本息均自動轉(zhuǎn)為新一年的定期.那么到2022年1月1日不再存錢而是將所有的存款和利息全部取出，則小明一共約可取回___________元.（參考數(shù)據(jù)：，，）【標(biāo)準答案】【思路指引】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式計算可求得答案.【詳解詳析】解：由題意可知，可取出錢的總數(shù)為：，故答案為：6560.13．如圖，互不相同的點和分別在角O的兩條邊上，所有相互平行，且所有梯形的面積均相等.設(shè).若，，則數(shù)列的通項公式是________.【標(biāo)準答案】【思路指引】根據(jù)三角形相似和所有梯形的面積均相等，找到與相關(guān)的遞推公式，再由遞推公式求得通項公式.【詳解詳析】由于所以梯形的面積為的面積減去的面積，則可得即遞推公式為故為等差數(shù)列，且公差，故，得故答案為:【名師指路】本題主要考查數(shù)列在平面幾何中的應(yīng)用，根據(jù)幾何關(guān)系尋找遞推有關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.14．今年“五一”期間，北京十家重點公園舉行免費游園活動，北海公園免費開放一天，早晨6時30分有2人進入公園，接下來的第一個30分鐘內(nèi)有4人進去1人出來，第二個30分鐘內(nèi)有8人進去2人出來，第三個30分鐘內(nèi)有16人進去3人出來，第四個30分鐘內(nèi)有32人進去4人出來…，按照這種規(guī)律進行下去，到上午11時30分公園內(nèi)的人數(shù)是____.【標(biāo)準答案】4039根據(jù)題意得，進而只需求數(shù)列的前項和為即可得答案.【詳解詳析】設(shè)每個30分鐘進去的人數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則，…，.設(shè)數(shù)列的前項和為，依題意，只需求.故答案為：.【名師指路】本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意得每個30分鐘進去的人數(shù)構(gòu)成數(shù)列，其通項公式為.15．1967年，法國數(shù)學(xué)家蒙德爾布羅的文章《英國的海岸線有多長？》標(biāo)志著幾何概念從整數(shù)維到分數(shù)維的飛躍.1977年他正式將具有分數(shù)維的圖形成為“分形”，并建立了以這類圖形為對象的數(shù)學(xué)分支——分形幾何．分形幾何不只是扮演著計算機藝術(shù)家的角色，事實表明它們是描述和探索自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象的工具．下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長度為1，在線段AB上取兩個點C，D，使得，以CD為一邊在線段AB的上方做一個正三角形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對圖2中的線段EC、ED作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：記第n個圖形（圖1為第一個圖形）中的所有線段長的和為，對任意的正整數(shù)n，都有，則a的最小值為__________．【標(biāo)準答案】2．【思路指引】根據(jù)圖形之間的關(guān)系可得的遞推關(guān)系，從而可求的通項公式，故可求a的最小值.【詳解詳析】設(shè)第個圖形中新出現(xiàn)的等邊三角形的邊長為，則當(dāng)時，，設(shè)第個圖形中新增加的等邊三角形的個數(shù)為，則當(dāng)時，，故，其中，由累加法可得，時，也符合該式，故，故對任意的恒成立，故即a的最小值為2.故答案為：2.【名師指路】方法點睛：與圖形相關(guān)的數(shù)列的計算問題，一般根據(jù)相鄰圖形的變化關(guān)系尋找目標(biāo)數(shù)列的遞推關(guān)系，再根據(jù)其形式得到通項，從而解決圖形的計算問題.三、解答題16．已知正項數(shù)列滿足：，.為數(shù)列的前項和.（Ⅰ）求證：對任意正整數(shù)，有；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：對任意，總存在正整數(shù)，使得時，.【標(biāo)準答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析.【詳解詳析】試題分析：(I)分類討論和兩種情況，結(jié)合裂項求和即可證得題中的結(jié)論；(II)結(jié)合(I)的結(jié)論的結(jié)論可知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，構(gòu)造函數(shù)，該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，然后結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論.試題解析：（Ⅰ）證法一：因為，∴時，，∴，即，當(dāng)時，，綜上，.證法二：考慮到數(shù)列的前項和為，猜想，當(dāng)時，結(jié)論顯然成立.假設(shè)時，成立，則當(dāng)時，由，得，結(jié)論成立.綜上：對任意，有，以下同解法一.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，從而，當(dāng)時，，，所以，令設(shè)為不小于的最小整數(shù)，取(即)，當(dāng)時，.17．某化工廠從今年一月起，若不改善生產(chǎn)環(huán)境，按生產(chǎn)現(xiàn)狀，每月收入為70萬元，同時將受到環(huán)保部門的處罰，第一個月罰3萬元，以后每月增加2萬元．如果從今年一月起投資500萬元添加回收凈化設(shè)備（改造設(shè)備時間不計），一方面可以改善環(huán)境，另一方面也可以大大降低原料成本．據(jù)測算，添加回收凈化設(shè)備并投產(chǎn)后的前5個月中的累計生產(chǎn)凈收入是生產(chǎn)時間個月的二次函數(shù)（是常數(shù)），且前3個月的累計生產(chǎn)凈收入可達309萬，從第6個月開始，每個月的生產(chǎn)凈收入都與第5個月相同．同時，該廠不但不受處罰，而且還將得到環(huán)保部門的一次性獎勵100萬元．（1）求前8個月的累計生產(chǎn)凈收入的值；（2）問經(jīng)過多少個月，投資開始見效，即投資改造后的純收入多于不改造時的純收入．【標(biāo)準答案】（1）；（2）經(jīng)過9個月投資開始見效．【詳解詳析】試題分析:（1）根據(jù)g（3）得到k，再計算g（5）和g（5）﹣g（4），而g（8）=g（5）+3[g（5）﹣g（4）]，從而得到結(jié)果；（2）求出投資前后前n個月的總收入，列不等式解出n的范圍即可．試題解析（1）據(jù)題意，解得，第5個月的凈收入為萬元，所以，萬元（2）即要想投資開始見效，必須且只需，即當(dāng)時，即不成立；當(dāng)時，即，驗算得，時，所以，經(jīng)過9個月投資開始見效．18．已知首項為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項和為Sn（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{Tn}的最大項的值與最小項的值．【標(biāo)準答案】（1）an=（﹣1）n﹣1?（2）數(shù)列{Tn}的最大項的值為，最小項的值為【詳解詳析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，∵S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差數(shù)列．∴S5+a5﹣（S3+a3）=S4+a4﹣（S5+a5）即4a5=a3，故