2024成都中考數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)之專題五 類型一 線段問題 教學(xué)課件

專題五二次函數(shù)綜合題類型一線段問題(2023.25)二階

綜合訓(xùn)練1.(2023錦江區(qū)二診節(jié)選)如圖，已知一次函數(shù)y＝－x＋3的圖象與y軸，x軸相交于點A，B，拋物線y＝－x2＋bx＋c的頂點M在直線AB上，設(shè)點M橫坐標(biāo)為m.(1)如圖①，當(dāng)m＝3時，求此時拋物線y＝－x2＋bx＋c的函數(shù)表達式；第1題圖解：(1)在y＝－x＋3中，令x＝3，得y＝0，∴M(3，0)，第1題圖∴拋物線y＝－x2＋bx＋c的頂點M的坐標(biāo)為(3，0)，∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝－(x－3)2＋0＝－x2＋6x－9；(2)如圖②，當(dāng)m＝0時，此時的拋物線y＝－x2＋bx＋c與直線y＝kx＋2相交于D，E兩點，連接AD，AE并延長，分別與x軸交于P，Q兩點．試探究OP·OQ是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．第1題圖(2)OP·OQ為定值，定值為9，理由如下：如解圖，第1題解圖由m＝0，把x＝0代入y＝－x＋3得y＝3，∴拋物線頂點M的坐標(biāo)為(0，3).∵直線y＝－x＋3與y軸交于點A，∴A(0，3)，∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝－x2＋3，聯(lián)立得－x2＋3＝kx＋2，即x2＋kx－1＝0，∴xD＋xE＝－k，xD·xE＝－1.設(shè)直線AD的表達式為y＝k1x＋3，解得

或聯(lián)立∴xD＝－k1.第1題解圖設(shè)直線AE的表達式為y＝k2x＋3，解得

或聯(lián)立∴xE＝－k2，∴k1·k2＝(－xD)·(－xE)＝xD·xE＝－1，在y＝k1x＋3中，令y＝0得x＝－

，∴P(－

，0)，第1題解圖同理可得Q(－

，0)，∴OP＝|－

|，OQ＝|－

|，∴OP·OQ＝|－

|·|－

|＝

＝

＝9.第1題解圖解：(1)∵直線y＝－2x＋8與拋物線y＝－x2＋bx＋c

交于A，B兩點，點B在x軸上，點A在y軸上，∴令x＝0，則y＝8；令y＝0，則x＝4，∴B(4，0)，A(0，8).將B(4，0)，A(0，8)兩點代入y＝－x2＋bx＋c中，2.(2023高新區(qū)二診)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝－2x＋8與拋物線y＝－x2＋bx＋c交于A，B兩點，點B在x軸上，點A在y軸上．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；第2題圖得解得∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝－x2＋2x＋8；第2題圖(2)點C是直線AB上方拋物線上一點，過點C分別作x軸，y軸的平行線，交直線AB于點D，E.①當(dāng)DE＝

AB時，求點C的坐標(biāo)；(2)①∵點C是直線AB上方拋物線上一點，且CD∥x軸，CE∥y軸，∴△CDE∽△OBA，∴

＝

.設(shè)點

C(t，－t2＋2t＋8)(0＜t＜4)，則點E(t，－2t＋8)，∴CE＝－t2＋2t＋8－(－2t＋8)＝－t2＋4t.第2題圖∵A(0，8)，∴OA＝8.∵DE＝

AB，

＝

＝

，∴

＝

，即－t2＋4t－3＝0，解得t1＝1，t2＝3，∴點C的坐標(biāo)為(1，9)或C(3，5)；第2題圖

解題關(guān)鍵點根據(jù)CD∥x軸，CE∥y軸，可得到△CDE∽△OBA，再結(jié)合給出的等量關(guān)系求解．②點M為線段DE中點，當(dāng)點C，M，O三點在同一直線上時，求

的值．第2題圖②由①知，∠DCE＝90°，如圖，點M為線段DE的中點，點C，M，O三點在同一直線上，M∴DM＝CM＝EM，∴∠MDC＝∠MCD，∠MCE＝∠MEC.∵CE∥y軸，CD∥x軸，∴∠MCE＝∠MOA，∠MEC＝∠MAO，∠MDC＝∠MBO，∠MCD＝∠MOB，∴∠MOA＝∠MAO，∠MBO＝∠MOB，∴AM＝OM，BM＝OM，∴AM＝BM，∴點M是AB的中點，∴M(2，4)，∴直線OM的函數(shù)表達式為y＝2x，整理，得x2＝8，解得x＝±2.設(shè)點C(t，－t2＋2t＋8)，則點E(t，－2t＋8)，聯(lián)立第2題圖M∵0＜t＜4，∴t＝2，∴CE＝－t2＋4t＝8－8.∵CE∥y軸，∴△CEM∽△OAM，∴

＝

＝

＝

－1.第2題圖M線段問題①3.如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于點A，C，與y軸交于點B，直線y＝－x＋3經(jīng)過點A，B，點P為拋物線上一動點．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；第3題圖解：(1)把y＝0代入y＝－x＋3中，得x＝3，∴A(3，0)，把x＝0代入y＝－x＋3，得y＝3，∴B(0，3).∵拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點A，B，∴將A(3，0)，B(0，3)代入y＝x2＋bx＋c中，得

解得

∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝x2－4x＋3；第3題圖第3題圖∵OA＝OB＝3，∴∠OAB＝∠OBA＝45°.∵對稱軸∥y軸，∴∠HGA＝∠OAB＝45°.(2)若點P在第一象限內(nèi)直線AB上方的拋物線上運動，過點P作拋物線對稱軸的垂線，垂足為點D，作PE垂直AB于點E，當(dāng)PE＝

PD時，求點P的坐標(biāo)；(2)如解圖①，設(shè)對稱軸交直線PE于點F，交直線AB于點G，交x軸于點H.第3題解圖①∵PE⊥AB，PD⊥對稱軸，∴∠HGA＝∠EGF＝∠EFG＝∠DFP＝∠DPF＝45°.∵PE＝

PD，∴點E與點G重合，PD＝DG.∵y＝x2－4x＋3＝

－1，∴拋物線的對稱軸為直線x＝2，設(shè)點P坐標(biāo)為(m，m2－4m＋3)，則點D的坐標(biāo)為(2，m2－4m＋3)，∴PD＝m－2，第3題解圖①將x＝2代入y＝－x＋3得y＝1，∴G(2，1)，∴DG＝m2－4m＋3－1＝m2－4m＋2，∴m2－4m＋2＝m－2，即m2－5m＋4＝0，解得m1＝4，m2＝1(舍去)，∴點P的坐標(biāo)為(4，3)；第3題解圖①(3)點Q在拋物線對稱軸上運動，當(dāng)點P，Q關(guān)于直線AB對稱時，求點Q的坐標(biāo)．第3題圖(3)設(shè)拋物線的對稱軸與直線AB交于點G，與x軸交于點M，連接PG，PQ.如解圖②，當(dāng)點P在直線AB的上方時，第3題解圖②∵QG∥y軸，∴∠QGA＝∠OBA＝45°，∵點P與點Q關(guān)于直線AB對稱，∴AB垂直平分PQ，∴GQ＝GP，GA⊥QP，∴∠PGA＝∠QGA＝45°，∴∠QGP＝90°，∴PG∥OA，在△GAM中，∠MGA＝∠MAG＝45°，把x＝2代入y＝－x＋3中，得y＝1，∴G(2，1)，則MG＝1，∴點P的縱坐標(biāo)為1，把y＝1代入y＝x2－4x＋3中，解得x1＝2＋

，x2＝2－

(舍去)，∴GP＝GQ＝

，∴QM＝

－1，∴點Q的坐標(biāo)為(2，1－

).第3題解圖②同理，如解圖③，當(dāng)點P在直線AB下方時，∵GM＝1，∴點P的縱坐標(biāo)為1，把y＝1代入拋物線的解析式y(tǒng)＝x2－4x＋3中，解得x1＝2＋

(舍去)，x2＝2－

，∴GP＝GQ＝

，∴QM＝

＋1，∴點Q的坐標(biāo)為(2，1＋

).綜上所述，點Q的坐標(biāo)為(2，1－

)或(2，1＋

).第3題解圖③

解題關(guān)鍵點分點P在直線AB上方和AB下方兩種情況討論．線段問題②4.(2023金牛區(qū)模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝kx＋m(k≠0)與拋物線y＝

x2相交于A，B兩點(點A在點B的左側(cè)).(1)如圖①，若A，B兩點的橫坐標(biāo)分別是－1，2，求直線l的函數(shù)表達式；第4題圖

解：(1)當(dāng)x＝－1時，y＝

x2＝

，則點A(－1，

)，同理可得，點B(2，2)，將點A，B的坐標(biāo)代入直線l的表達式中，得

解得∴直線l的表達式為y＝

x＋1；(2)如圖②，若直線l與y軸的交點C(0，－2)，且點B是線段AC中點，求k的值；第4題圖(2)設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為(s，

s2)，(t，

t2)，聯(lián)立y＝kx＋m和y＝

x2并整理，得x2－2kx－2m＝0，則s＋t＝2k，st＝－2m.∵B是線段AC中點，C(0，－2)，則由中點坐標(biāo)公式，得

由圖②可知，k<0，解得

或

(舍去)則s＋t＝(－2)＋(－

)＝2k，解得k＝－

；第4題圖(3)如圖③，若直線l運動過程中，始終有OA⊥OB，試探究直線l是否經(jīng)過某一定點．若是，請求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．第4題圖(3)存在．理由如下：如圖，分別過點A，B作AM⊥x軸于點M，BN⊥x軸于點N.∟∟MN∵OA⊥OB，則∠AOM＋∠BON＝90°，∵∠BON＋∠OBN＝90°，∴∠AOM＝∠OBN，∴tan∠AOM