2024年高中數(shù)學(xué)專題8-1重難點題型培優(yōu)精講基本立體圖形學(xué)生版新人教A版必修第二冊

專題8.1基本立體圖形1．空間幾何體的有關(guān)概念(1)空間幾何體的定義

對于空間中的物體，假如只考慮其形態(tài)和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體.

例如，一個牛奶包裝箱可以抽象出長方體.(2)定理的實質(zhì)多面體及其相關(guān)概念

①多面體：一般地，由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.

②多面體的面：圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，如圖中面BCC'B'等.

③多面體的棱：兩個面的公共邊叫做多面體的棱，如圖中棱AA'，棱BB'等.

④多面體的頂點：棱與棱的公共點叫做多面體的頂點，如圖中頂點A，B，A'等.(3)旋轉(zhuǎn)體及其相關(guān)概念

①旋轉(zhuǎn)體：一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.

圖為一個旋轉(zhuǎn)體，它可以看成由平面曲線OAA'O'繞OO'所在的直線旋轉(zhuǎn)而形成的.

②旋轉(zhuǎn)體的軸：平面曲線旋轉(zhuǎn)時所圍繞的定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.如圖中直線OO'是該旋轉(zhuǎn)體的軸.2．棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征3．圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體，棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體，棱臺與圓臺統(tǒng)稱為臺體.4．簡潔組合體的結(jié)構(gòu)特征(1)簡潔組合體的定義由柱體、錐體、臺體、球等簡潔幾何體組合而成的幾何體叫做簡潔組合體.

(2)簡潔組合體的構(gòu)成形式

①由簡潔幾何體拼接而成，如圖(1)所示.②由簡潔幾何體截去或挖去一部分而成，如圖(2)所示.

(3)常見的幾種組合體

①多面體與多面體的組合體：圖(1)中幾何體由一個四棱柱挖去一個三棱柱得到.②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體：圖(2)中幾何體由一個三棱柱挖去一個圓柱得到.

③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體：圖(3)中幾何體由一個球和一個圓柱組合而成.5．正方體的截面形態(tài)的探究通過嘗試、歸納，有如下結(jié)論.

(1)截面可以是三角形：等邊三角形、等腰三角形、銳角三角形.截面不行能是直角三角形、鈍角三角形.

(2)截面可以是四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面為四邊形時，這個四邊形中至少有一組對邊平行.

(3)截面可以是五邊形，且此時五邊形必有兩組分別平行的邊，同時有兩個角相等.截面五邊形不行能是正五邊形.

(4)截面可以是六邊形，且此時六邊形必有三組分別平行的邊.截面六邊形可以是正六邊形.

對應(yīng)截面圖形如圖中各圖形所示【題型1簡潔幾何體的識別】【方法點撥】(1)駕馭簡潔幾何體的結(jié)構(gòu)特征；(2)推斷是多面體還是旋轉(zhuǎn)體；(3)得到幾何體的名稱.【例1】（2024春·湖南株洲·高一期中）以下各幾何體中，是棱柱的是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2024春·湖南株洲·高二開學(xué)考試）下列幾何體中為臺體的是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2024秋·青海海南·高二階段練習(xí)）視察下圖中的四個幾何體，其中推斷正確的是（

）A．（1）是棱臺 B．（2）是圓臺C．（3）是棱錐 D．（4）不是棱柱【變式1-3】（2024春·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高一期末）下列幾何體中是棱錐的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【題型2棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征】【方法點撥】結(jié)合具體條件，依據(jù)棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征，進行分析求解.【例2】（2024秋·上海黃浦·高三階段練習(xí)）下列命題是真命題的是（

）A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐D．有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共項點的三角形的幾何體叫棱錐【變式2-1】（2024·吉林·高一期中）下列命題中，正確的是（

）A．底面是正方形的四棱柱是正方體B．棱錐的高線可能在幾何體之外C．有兩個面相互平行，其余各面是平行四邊形的幾何體是棱柱D．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐【變式2-2】（2024秋·陜西漢中·高一期末）下列說法正確的是（

）A．兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺B．棱柱的側(cè)面可以是三角形C．直棱柱的底面是正多邊形D．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形【變式2-3】（2024秋·湖南懷化·高二期中）以下四個命題中，真命題為（

）A．側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐B．底面是矩形的四棱柱是長方體C．正三棱錐是正四面體D．棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點【題型3旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征】【方法點撥】通過旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，進行分析，即可得解.【例3】（2024秋·安徽合肥·高二階段練習(xí)）下列說法正確的是A．通過圓臺側(cè)面上一點可以做出多數(shù)條母線B．直角三角形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐C．圓柱的上底面下底面相互平行D．五棱錐只有五條棱【變式3-1】（2024·高一課時練習(xí)）有下列命題，其中錯誤命題個數(shù)是（

）①圓柱是將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體；②過圓錐頂點的截面是等腰三角形；③以直角三角形一邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；④平行于母線的平面截圓錐，截面是等腰三角形.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式3-2】（2024秋·上海奉賢·高二期中）下列說法正確的是（

）A．圓柱上下底面各取一點，它們的連線即為圓柱的母線B．過球上隨意兩點，有且僅有一個大圓C．圓錐的軸截面是等腰三角形D．用一個平面去截球，所得的圓即為大圓【變式3-3】（2024·高一課時練習(xí)）有下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的直線距離是圓柱的母線長；②圓錐頂點與底面所圓周上隨意一點的連線是圓錐的母線長；③圓柱的隨意兩條母線所在直線是相互平行的.其中正確的命題是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【題型4簡潔組合體的結(jié)構(gòu)特征】【方法點撥】駕馭常見的幾種簡潔組合體，結(jié)合具體問題，進行求解即可.【例4】（2024·高一課時練習(xí)）如圖所示的螺母可以看成一個組合體，對其結(jié)構(gòu)特征最接近的表述是（

）A．一個六棱柱中挖去一個棱柱 B．一個六棱柱中挖去一個棱錐C．一個六棱柱中挖去一個圓柱 D．一個六棱柱中挖去一個圓臺【變式4-1】（2024秋·河北滄州·高三階段練習(xí)）太陽能發(fā)電是我國大力提倡的一種新能源發(fā)電形式.如圖所示，某型號的矩形太陽能電池板用四根垂直于地面的立柱支撐，點A1，B1，C1，D1均在同一水平面內(nèi)，且其中三根立柱AA1，BBA．100cm B．150cm C．200cm D．250cm【變式4-2】（2024春·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形態(tài)多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形態(tài)是“半正多面體”．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．如圖是一個棱數(shù)為24的半正多面體，它的全部頂點都在同一個正方體的棱上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體：①有12個頂點；②有14個面；③表面積為3；④體積為56A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【變式4-3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示是一位學(xué)生設(shè)計的獎杯模型，獎杯底托為空心的正四面體，且挖去的空心部分是恰好與四面體四個面都相切的球O1；頂部為球O2，其直徑與正四面體的棱長a相等，若這樣設(shè)計獎杯，則球O1與球O2的半徑之比A．1:6 B．1:6 C．1:3 D．【題型5幾何體的截面問題】【方法點撥】依據(jù)對幾何體的截面形態(tài)的探討，結(jié)合具體問題，進行求解即可.【例5】（2024·高一課時練習(xí)）圓柱內(nèi)有一內(nèi)接正三棱錐，過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，正確的截面圖是（

）A． B．C． D．【變式5-1】（2024·高一課時練習(xí)）圖中的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得，現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤【變式5-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，GA．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【變式5-3】（2024秋·安徽合肥·高三期末）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為AA．22 B．25 C．3【題型6平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的幾何體】【方法點撥】對于平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)問題，首先要對原平面圖形進行適當?shù)姆指?，一般分割成矩形、三角形、梯形或圓(半圓或四分之一圓周)等基本圖形，然后結(jié)合圓柱、圓錐、圓臺、球的形成過程進行分析.【例6】（2024春·廣東珠?！じ咭浑A段練習(xí)）銅錢又稱方孔錢，是古代錢幣最常見的一種．如圖所示為清朝時的一枚“嘉慶通寶”，由一個圓和一個正方形組成，若繞旋轉(zhuǎn)軸（虛線）旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是（

）A．一個球B．一個球挖去一個圓柱C．一個圓柱D．一個球挖去一個正方體【變式6-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知長方形ABCD中，AD=2，AB=4，點E為CD的中點，現(xiàn)以A．102π B．2823【變式6-2】（2024·高一課時練習(xí)）能旋