高中數(shù)學(xué)選修2-3《2.1離散型隨機(jī)變量及其分布列》測(cè)試卷

高中數(shù)學(xué)選修2-3《2.1離散型隨機(jī)變量及其分布列》測(cè)試卷

解析版

1.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X=i)=A,i=\,2,…，N,則°=()

N

A.1B.2C.3D.4

【分析】利用離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)求解.

【解答】解：?.?離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X=i)=且，i=l,2,N,

N

...膽=L解得。=].

N

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意離散型隨機(jī)變量

的分布列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

2.已知隨機(jī)變量？的分布列為：則？最可能出現(xiàn)的值是()

3-10

P0.70.2

A.0.7B.-1C.0D.1

【分析】比較S=-1、？=o、t=i的概率，即可得到S最可能出現(xiàn)的值.

【解答】解：'；p麓=-I)=0.7,P(1=0)=0.2,P鰭=1)=0.1,

最可能出現(xiàn)的值是-1.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基

礎(chǔ)題.

3.隨機(jī)變量t的概率分布規(guī)律為p(&=n)=aC1*)n("=1、2、3、4、…)，其中。是常數(shù),

則的值為()

A.2B.Ac.$D.2

9393

【分析】估計(jì)所給的隨機(jī)變量的分布列的特點(diǎn)，利用無(wú)窮等比遞縮數(shù)列的各項(xiàng)之和寫(xiě)出

所有的變量的概率之和，使它等于1,求出。的值，利用互斥事件的概率公式寫(xiě)出結(jié)果.

【解答】解：?.?隨機(jī)變量t的概率分布規(guī)律為p(g=n)=a(2)n(〃=1、?、3、4、…),

第1頁(yè)共25頁(yè)

2

3

1萬(wàn)

.,.a=A,

2

g<4）=P9=1）+p（w=2）=《x1--4-x4=-|

、22’23299

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)，是一個(gè)綜合題目，在解題時(shí)一定要

注意所有的變量的概率之和的求法，注意應(yīng)用分布列的性質(zhì).

4.若隨機(jī)變量n的分布列如表：

n-2-10123

p0.10.20.20.30.10.1

則當(dāng)P（n<x）=0.8時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）

A.xW2B.1WXW2C.1VXW2D.l<x<2

【分析】由離散型隨機(jī)變量的概率分布列，尋找使得尸（n<x）=0.8成立的X的范圍即

可.

【解答】解：由離散型隨機(jī)變量的概率分布列知：

p5=-2）=0.1,p（”0）=0.3,

P（T1<1）=0.5,P（n<2）=0.8

則當(dāng)P（n<x）=0.8時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍是l〈xW2.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列，是歷年高考的必考題型，解題時(shí)要認(rèn)真審

題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.

5.己知x分布列如圖，設(shè)y=2x+i,則y的數(shù)學(xué)期望E（y）的值是（）

X-101

P11a

26

A.-AB.2C.1D.29

6336

【分析】根據(jù)所給的分布列和分布列的性質(zhì)，寫(xiě)出關(guān)于a的等式，解出a的值，算出x

的期望，根據(jù)x與丫之間期望的關(guān)系，寫(xiě)出出要求的期望值.

第2頁(yè)共25頁(yè)

【解答】解：由已知得上4+a=i

26

.\a=—,

3

:.E(x)=-A+A=-A,

236

'：E(y)=2E(X)+1,

:.E(y)=2.

3

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分布列的性質(zhì)，考查兩個(gè)變量分布列之間的關(guān)系，是一個(gè)基礎(chǔ)題，這

種題目運(yùn)算量比較小，是一個(gè)容易得分題目.

6.設(shè)隨機(jī)變量f的分布列由p(&=k)=a/)k,k=l,2,3,則a的值為()

A.1B.且C.11D.&

131313

【分析】根據(jù)所給的隨機(jī)變量的分布列和分布列的所有概率之和等于1.列出關(guān)于〃的一

元一次方程，得到字母的值.

【解答】解：?.?隨機(jī)變量孑的分布列由p(&=k)=aC1)k,k=l,2,3,

23=

???根據(jù)分布列的性質(zhì)有aX工+a(y)+a(1)1-

3

.'.a(―=aX_l^_=1,

392727

?〃一27

13

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)和簡(jiǎn)單應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)

分布列的性質(zhì)得到關(guān)于字母系數(shù)的方程，利用方程思想來(lái)解題，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題.

7.設(shè)離散型隨機(jī)變量t的概率分布列如表，則下列各式中成立的是()

-10123

P0.10a0.100.200.40

A.P(?<1.5)=0.4B.P(^>-1)=1

C.P9<3)=1D.P鰭<0)=0

【分析】由離散型隨機(jī)變量E的概率分布列，先求出。=1-0.1-0.1-0.2-04=0.2,由

此能求出結(jié)果.

第3頁(yè)共25頁(yè)

【解答】解：由離散型隨機(jī)變量E的概率分布列知:

a=l-0.1-0.1-0.2-04=0.2,

P(陣1.5)=Pp=l)+Pp=。)+PP=-1)=0.1+0.2+0.1=04；

P(F>-1)=1-0.1=0.9；

P(4<3)=1-0.4=0.6；

P(^<0)=0.1.

故A成立，B、C、。均不成立.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是基礎(chǔ)題.

8.若離散型隨機(jī)變量X的分布列函數(shù)為P(X=k)=」」，k=l,2,3,4,則P(X>1)

10

=()

A.-LB.9C.-LD.且

10101010

【分析】利用分布列，直接求解尸(X>1)即可.

【解答】解：離散型隨機(jī)變量X的分布列函數(shù)為P(X=&)=-L,k=\,2,3,4,

10

則P(X>1)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=2+且4^￡=且.

10101010

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量X的分布列，互斥事件概率的求法，考查計(jì)算能力.

9.設(shè)離散型隨機(jī)變量E的概率分布列為

f-10123

p_L_112

10~5Io

則下列各式成立的是()

A.P8<3)=2B.P(：>1)=2

C.P(2<^<4)=2D.P(^<0.5)=0

5

【分析】利用離散型隨機(jī)變量m的概率分布列的性質(zhì)直接求解.

【解答】解：由離散型隨機(jī)變量t的概率分布列得：

P0<3)=P(?=-1)+P(S=0)+PG=l)+P8=2)故

A錯(cuò)誤;

第4頁(yè)共25頁(yè)

P(E>1)=P(2=2)+P(J=3)=工二=3,故B錯(cuò)誤;

555

P(2<S<4)=P9=3)=2,故C正確；

5

P(g<0.5)=P(g=-1)+P(《=0)=-1-4^.

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意離散型隨機(jī)變量的

分布列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

10.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為尸(X=區(qū))=ak(k=l,2,3,4,5),則P(X

5

為()

A.AB.2c.3D.A

5555

【分析】由題意根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概率分布列的性質(zhì)可得a+2a+3a+4a+5n=l,由此

解得a的值.再根據(jù)尸—3a+4a+5a,運(yùn)算求得結(jié)果.

【解答】解：由題意根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概率分布列的性質(zhì)可得a+2a+3a+4a+5a=l,

解得。=工.

15

：.P(X>1)=P(X=3)+P(X=A)+p(X=l)=3a+4a+5a=12a=名，

-55

故選：

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的概率分布列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

二.填空題(共20小題)

11.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的一等品率為80%,二等品率為20%,乙產(chǎn)品的

一等品率為90%,二等品率為10%,生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲利潤(rùn)為4萬(wàn)元，

若是二等品則虧損1萬(wàn)元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤(rùn)6萬(wàn)元，若是二等

品則虧損2萬(wàn)元，設(shè)生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨(dú)立，

①記單位：萬(wàn)元)為生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品和一件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)，求x的分布列.

②求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元的概率.

【分析】(1)根據(jù)題意做出變量的可能取值是10,5,2,-3,結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和相

互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，寫(xiě)出變量的概率和分布列.

(2)設(shè)出生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有”件，則二等品有4-〃件，根據(jù)生產(chǎn)4件甲產(chǎn)

品所獲得的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元，列出關(guān)于〃的不等式，解不等式，根據(jù)這個(gè)數(shù)字屬于整

第5頁(yè)共25頁(yè)

數(shù)，得到結(jié)果，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)寫(xiě)出概率.

【解答】解：(1)由題設(shè)知，X的可能取值為10,5,2,-3,且尸(X=10)=0.8X0.9

=0.72,

P(X=5)=0.2X0.9=0.18,P(X=2)=0.8X0.1=0.08,P(X=-3)=0.2X0.1=0.02.

X的分布列為

X1052-3

P0.720.180.080.02

(2)設(shè)生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有"件，則二等品有4-〃件.

由題設(shè)知4〃-(4-?)》10,解得〃)四.

5

又〃6N,可得"=3,或”=4,故所求概率為P=C43XO.83XO.2+O.84=O.8192.

答：生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元的概率為0.8192.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，

考查互斥事件的概率，屬于中檔題.

12.已知隨機(jī)變量n的分布列如表:

n123456

p0.2X0.350.10.150.2

則x=0；P5W3)-0,55.

【分析】由隨機(jī)變量n的分布列的性質(zhì)得0.2+x+0.35+0.1+0.15+0.2=l,由此能求出x,

從而能求出P(r]W3).

【解答】解：由隨機(jī)變量口的分布列，得：

0.2+X+0.35+0.1+0.15+0.2=1,

解得x=0,

：.P5W3)=0.2+0+0.35=0.55.

故答案為：0,0.55.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意離散型隨機(jī)變量的

性質(zhì)的合理運(yùn)用.

’0,x<10

13.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為尸(x)=110、，用y表示對(duì)X的3次獨(dú)立重

1—,x>10

X

第6頁(yè)共25頁(yè)

復(fù)觀察中事件{X>20}出現(xiàn)的次數(shù)，則P{Y>1}=_2_.

一2一

【分析】由已知得P(X>20)>1-[2=2，P{Y>\}=P(y=2)+P(y=3)由此能

202

求出結(jié)果.

0,x<10

【解答】解：：隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=4

1-^-,x>10’

X

：.P(X>20)>1-10

202

???用y表示對(duì)X的3次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件{X>20}出現(xiàn)的次數(shù),

，尸{丫>1}=尸(y=2)+p(丫=3)

=C3（f）2（f）+C3（1）3

~2'

故答案為：1.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用.

14.產(chǎn)量相同的機(jī)床I、n生產(chǎn)同一種零件，它們?cè)谝恍r(shí)內(nèi)生產(chǎn)出的次品數(shù)XI、X2的分

布列分別如下：

X10123X2012

P0.40.40.10.1P0.30.50.2

兩臺(tái)機(jī)床中，較好的是n,這臺(tái)機(jī)床較好的理由是因?yàn)镋XI=EX2,DXI>DX2.

【分析】先做出兩組數(shù)據(jù)的期望，再做出兩組數(shù)據(jù)的方差，把所求的期望和方差進(jìn)行比

較，得到兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的零件次品數(shù)的期望相等，而第一臺(tái)的方差大于第二臺(tái)的方差，

得到結(jié)論.

【解答】解：先做出兩組數(shù)據(jù)的期望，

EXi=1X0.4+2X0.1+3X0.1=0.9,

￡X2=1X0.5+2X0.2=0.9,

.??兩臺(tái)機(jī)器的生產(chǎn)次品數(shù)相等，

再求出兩組數(shù)據(jù)的方差，

DX1=0.4X0.01+0.1X10.21+0.1X4.41=1.466,

第7頁(yè)共25頁(yè)

0X2=0.5xo.o1+0.2義1.21=0.247,

第二個(gè)機(jī)器生產(chǎn)的零件質(zhì)量穩(wěn)定，

總上可知第二個(gè)機(jī)器好，

故答案為：//;EXI=EX2,0X1>0X2

【點(diǎn)評(píng)】求兩組數(shù)據(jù)的平均值和方差是研究數(shù)據(jù)常做的兩件事，平均值反映數(shù)據(jù)的平均

水平，而方差反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，從兩個(gè)方面可以準(zhǔn)確的把握數(shù)據(jù)的情況.

X01

15.若離散型隨機(jī)變量的分布列為P4a—13H+丹則。等于1

3

【分析】首先要了解到：0-1分布就是〃=1情況下的二項(xiàng)分布.即只進(jìn)行一次事件的試

驗(yàn)，該事件發(fā)生的概率為p，不發(fā)生的概率為q=l-p.這是一個(gè)最簡(jiǎn)單的分布.故根據(jù)

題意可直接得到3a2+a+4a-1=1.即得到答案.

【解答】解：分析題中的分布列可得：是0-1分布.

故有：3a2+a+4a-1=1.因?yàn)椤癢0,故化簡(jiǎn)求得“=」

3

故答案為工.

3

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查0-1分布的概念問(wèn)題，對(duì)于0-I分布是一個(gè)最簡(jiǎn)單的分布，同

學(xué)們需要知道它的分布列中的每個(gè)字母的含義，以便簡(jiǎn)單的解題.對(duì)于概念性的問(wèn)題屬

于基礎(chǔ)題目.

16.設(shè)隨機(jī)變量的分布列為P（S=k）=3，（4=1,2,3）,其中c,為常數(shù)，則&=_」4_.

2k一2一

【分析】由已知條件求出,=旦，從而得到尸9=1）=&,P聶=2）=2,P麓=3）

777

=—,由此能求出優(yōu).

7

【解答】解：；隨機(jī)變量的分布列為P=與，（k=T,2,3）,

2k

:.pq=1）=￡,p（w=2）=￡,p（s=3）=2,

248

玲=1，解得c常，

：.P9=1）=匹，P（F=2）=2,P（《=3）=工，

777

;.&=ix4+2x-1-+3x4^4r-

7777

故答案為：11.

7

第8頁(yè)共25頁(yè)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是基礎(chǔ)題.

17.已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下：

且E(X)=6,則a=0.3；b=6

【分析】由題意知:,由此能求出結(jié)果.

3X0.2+bXO.5+8a=€

【解答】解：由題意知：

[0.2+0.5+a=l,

13X0.2+bX0.5+8a=e，

解得d=0.3,h=6.

故答案為：0.3,6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查離散型概率分布列的性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審

題，是基礎(chǔ)題.

18.隨機(jī)變量X的分布列為P(X=A)?(工)”(左=1,2,3),則E(X)的值為」當(dāng).

3-13-

【分析】由已知求出“=2工，由此得P(X=l)=a，P(X=2)P(x=3)=

一L,由此能求出E(X).

13

【解答】解：?.?隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=?-(!)k(A=1,2,3),

Aa-[(y)+(y)2+(y)3]=1,

解得?=27

13

=l.=_9_

313

P(X=2)

13

P(X=3)

故答案為：IS

13

【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題,

在歷年高考中都必考題型之一.

第9頁(yè)共25頁(yè)

19.已知隨機(jī)變量T]的概率分布如下表:

n123456

p0.2X0.250.10.150.2

則尸0.1；P(n>3)=0.45；P(l<n<4)=0.45.

【分析】利用隨機(jī)變量n的概率分布列的性質(zhì)求解.

【解答】解：由隨機(jī)變量n的概率分布列，知：

x=l-0.2-0.25-0.1-0.15-0.2=0.1.

P(T])=p(r)=4)+P(r|=5)+p(q=6)

=0.1+0.15+0.2=0.45.

p(i<r]^4)=p5=2)+p(口=3)+p(n=4)

=0.1+0.25+0.1=0.45.

故答案為：0.1,0.45,0.45.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意離散型隨機(jī)變量的分布列的性

質(zhì)的靈活運(yùn)用.

20.設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列如表格所示，則E(X)=2.

X204

P0.51-3qq

【分析】利用離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)求解.

【解答】解：由已知得0.5+1-3g+g=l,解得q=0.25,；.E(X)=2X0.5+0X0.25+4X

0.25=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題.

21.設(shè)隨機(jī)變量x的分布列為P=*(k=l,2),則入=近.

~2~

【分析】由題意知入+入2=1,由此能求出結(jié)果.

【解答】解：?.?隨機(jī)變量X的分布列為P(x=k)(k=T,2),

.?.入+M=1,

解得入怎二，或入二遍-1(舍).

22

故答案為：后1.

2

第10頁(yè)共25頁(yè)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意離散型隨機(jī)變量的分布列的

性質(zhì)的合理運(yùn)用.

22.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=i)=±(/=1,2,3,4),則P(工<X<工)=___.

a225

【分析】利用概率分布列求出。，然后求解P(工<x(工)即可?

22

【解答】解：隨機(jī)變量X的分布列為P(X=i)=上(i=l,2,3,4),

a

可得：1+2+3+4解得”=10,

a

P(i<x<—)=]+2+3=3.

22105

故答案為：3.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列，概率的求法，考查計(jì)算能力.

23.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為P(X=2A)=以(。為常數(shù)，k=\,2,3,4,5),則P(X

>6)=旦.

一五一

【分析】根據(jù)公式得出P(X=2)=a,P(X=4)=2a,P(X=6)=3a,P(X=8)=

4a,P(X=1O)=5a,

求解得出運(yùn)用概率公式得出尸(X>6)=P(X=8)+P(X=1O).

15

【解答】解：：隨機(jī)變量X的概率分布為尸(X=2Z)=ak(a為常數(shù),k=l,2,3,4,

5),

?\P(X=2)=a,P(X=4)=2〃，P(X=6)=3〃，P(X=8)=4mP(X=10)=5。,

?.?〃+2。+3。+4〃+5。=1,

a=-L,

15

：.P(X>6)=P(X=8)+P(X=1O)=9a=a=2

155

故答案為：1

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律的

合理運(yùn)用.和為1的運(yùn)用.

24.隨機(jī)變量？的分布列為：

E0123

第11頁(yè)共25頁(yè)

Px0.20.30.4

隨機(jī)變量E的方差Dq)1.

【分析】由隨機(jī)變量《的分布列的性質(zhì)得求出x=0.1,從而得反=2,由此能求出。亭

【解答】解：由隨機(jī)變量孑的分布列的性質(zhì)得：

x+0.2+0.3+0.4=l,解得x=0.1,

.?倒=0X0.1+1X0.2+2X0.3+3X0.4=2,

：.D^=(0-2)2x0.1+(1-2)2x0.2+(2-2)2X0.3+(3-2)2X0.4=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查方差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意方差性質(zhì)的合理運(yùn)

用.

25.已知某一隨機(jī)變量t的概率分布如下，且E(p=6.3,則a的值為7.

4a9

P0.50.1b

【分析】利用離散型隨機(jī)變量的分布列的概率和直接求解即可.

【解答】解：E(P=4X0.5+aX05+bX9=6.3,0.5+0.l+b=l=a=7,6=0.4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查離散型概率分布列的性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審

題，是基礎(chǔ)題

26.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布表如下:

X1234

P工a3,b

7S-

若E(X)=2.5,則a-6的值為0.

【分析】由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)和數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，列出方程組求出小b,

由此能求出結(jié)果.

【解答】解：,:E(X)=2.5,

由隨機(jī)變量X的概率分布表，得：

[+a《+b=l

13'

IX-+2a+3X^~+4b=2.5

48

第12頁(yè)共25頁(yè)

：.a-b=^-----?-=0.

1616

故答案為：0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率之差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意離散型隨機(jī)變

量的分布列、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

27.離散型隨機(jī)變量$的概率分布列如圖，若&=1,則的值為0.4.

012

P0.2,，b

【分析】利用離散型分布列的性質(zhì)，先求出a,b,由此能求出。，的值.

【解答】解：；段=1,

由離散型隨機(jī)變量E的概率分布列，得［a+2b口，

10.2+a+b=l

解得4=0.6,6=0.2,

：.Dt,=(0-1)2x0.2+(1-1)2X0.6+(2-1)2x0.2=04

故答案為：0.4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查方差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意離散型分布列的性

質(zhì)的合理運(yùn)用.

28.某公司向市場(chǎng)投放三種新型產(chǎn)品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)第一種產(chǎn)品受歡迎的概率為冬，第二、第

5

三種產(chǎn)品受歡迎的概率分別為，力小且不同種產(chǎn)品是否受歡迎相互獨(dú)立.記s為公司向

市場(chǎng)投放三種新型產(chǎn)品受歡迎的數(shù)量，其分布列為

0123

p2ad8

4545

貝！Jm^n—1

【分析】設(shè)事件4?表示“該公司第，?種產(chǎn)品受歡迎"，i=l,2,3,由題意知P(4)=生

P(A2)—m,P(A3)—n,求出彳=0,3的概率，即可求,的值.

【解答】解：設(shè)事件4表示“該公司第i種產(chǎn)品受歡迎"，i=l,2,3,由題意知P(4)

一_4,

5

設(shè)尸(A2)=m,P(A3)=〃，

第13頁(yè)共25頁(yè)

由題意知P(?=0)=P(AAA)=—(1-機(jī))(1-〃)=-^->P(f=3)=P(AiA2A3)

123545

=￡=_8_

T?45f

解得〃皿=2,m+n=1.

9

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的計(jì)算，考查數(shù)學(xué)期望，解題的關(guān)鍵是確定概率，屬于中檔題.

29.隨機(jī)變量2的分布列為「9=4)=.?々=1.2.3,其中c為常數(shù)，則尸解》2)

k(l+k)

=_1

【分析】由隨機(jī)變量t的分布列的性質(zhì)求出再由PG》2)=P簿=2)+P9=

3

3)=1-P(2=1),利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出結(jié)果.

【解答】解：???隨機(jī)變量S的分布列為尸&=&)=,0無(wú)=123,其中c為常數(shù),

k(l+k)

.?____2_J—=1,

IX(1+1)H2X(1+H2)3X(1+3)

解得c=l,

3

：.P(W22)=P—=2)+P(t=3)=1-P(t=l)

當(dāng)

=1-1=1.

23

故答案為：1.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意離散型隨機(jī)變量的

分布列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

30.隨機(jī)變量X的分布列為

XX]X2X3

PpipiP3

若pi,02,P3成等差數(shù)列，則公差”的取值范圍是.

_3-3.

【分析】根據(jù)pi,P2,P3成等差數(shù)列，得到pi=5-d,根據(jù)”的范圍，從而綜合求出

d的范圍.

【解答】解：由題意，p2=pi+d,p3=pi+2d.

第14頁(yè)共25頁(yè)

則pi+p2+p3=3pi+3d=1,

***pi=——d.

3

又OWpiWl,.".O^A-

即-2w“wL

33

同理，由o〈p3Wi,得-_lwdw2,

33

-上wdwL

33

故答案為：-LwdW工

33

【點(diǎn)評(píng)】本題考察了等差數(shù)列的定義，考察了隨機(jī)變量，由pi=2-d,根據(jù)pi的范圍，

3

求出d的范圍是解答問(wèn)題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題.

三.解答題(共10小題)

31.設(shè)XI,JC2…尤”是獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，尤，?的分布函數(shù)為B(x),令：

x(1)=min(xi,短…物)

x(/?)=max(xi,X2…初)

試求隨機(jī)變量x(%)的分布函數(shù).

【分析】由獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量和分布函數(shù)，結(jié)合已知條件，利用F(x)=P(X

X(n)

(ri)Wx)和F(X)=P(X<1)Wx)=\-P(X(1)>X),能求出隨機(jī)變量X(%)的分

X(l)

布函數(shù).

【解答】解：由己知得：

F(x)=P(x(?)Wx)

X(n)

=P(XI…，Xn^x)

=P(XIWx)P(kWx)…尸(xn^x)

=Fl(x)F2(x)???Fn(x).

F(x)=P(x(i)Wx)=]_P(x(I)>x)

x(l)

=1-P(XI>X,X2>XfX3>X,…，Xn>X)

=1-P(X1>X)P(X2>X)…P(Xn>X)

=1-(1-Fl(x))(1-Fl(x))…(1-Fn(x)).

第15頁(yè)共25頁(yè)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查隨機(jī)變量X（%）的分布函數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，

注意獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量和分布函數(shù)的靈活運(yùn)用.

32.某會(huì)議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號(hào)相同.假定每盞燈能否正常照

明只與燈泡的壽命有關(guān)，該型號(hào)的燈泡壽命為1年以上的概率為“，壽命為2年以上的

概率為R.從使用之日起每滿(mǎn)1年進(jìn)行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時(shí)不

換.

（I）在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率；

（H）在第二次燈泡更換工作中，對(duì)其中的某一盞燈來(lái)說(shuō)，求該盞燈需要更換燈泡的概

率；

（III）當(dāng)pi=0.8,p2=0.3時(shí)，求在第二次燈泡更換工作，至少需要更換4只燈泡的概

率（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）.

【分析】（/）一只燈泡需要不需要換，可以看做一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)公式得到在第

一次更換燈泡工作中，不需要換燈泡的概率和需要更換2只燈泡的概率.

（//）由題意知在第二次燈泡更換工作中，對(duì)其中的某一盞燈來(lái)說(shuō)，該盞燈需要更換燈泡

是兩個(gè)獨(dú)立事件，包括兩種情況，這兩種情況是互斥的，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和互斥事件

的概率公式，得到結(jié)果.

（///）由題意知，至少需要更換4只燈泡包括需要環(huán)4只，需要換5只，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)

試驗(yàn)的概率公式寫(xiě)出結(jié)果.

【解答】解：因?yàn)樵撔吞?hào)的燈泡壽命為1年以上的概率為⑶，壽命為2年以上的概率為

P2.

所以壽命為1?2年的概率應(yīng)為p\-P2.其分布列為：

壽命0?11?22?

P1-PlPl-P2P1

（/）一只燈泡需要不需要換，可以看做一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)公式得到

在第一次更換燈泡工作中，不需要換燈泡的概率為"總需要更換2只燈泡的概率為C52Pl3

（1-pi）2;

（//）在第二次燈泡更換工作中，對(duì)其中的某一盞燈來(lái)說(shuō)，該盞燈需要更換燈泡是兩個(gè)獨(dú)

立事件的和事件：

①在第1、2次都更換了燈泡的概率為（1-pi）2；

第16頁(yè)共25頁(yè)

②在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為pi(1-/72).

故所求的概率為。=(1-pi)2+pi(1-^2).

(///)由(〃)當(dāng)pi=0.8,0=0.3時(shí)，在第二次燈泡更換工作中，對(duì)其中的某一盞燈來(lái)

說(shuō)，該盞燈需要更換燈泡的概率p=(1-pi)2+p\(pi-p2)=0.22+0.8X0.7=0.6.

在第二次燈泡更換工作，至少換4只燈泡包括換5只和換4只兩種情況：

①換5只的概率為p5=0.65；

②換4只的概率為C51P4(1-p)=5X0.64(1-0.6),

故至少換4只燈泡的概率為：/?3=0.65+5X0.64X0.4=0.34.

即滿(mǎn)兩年至少需要換4只燈泡的概率為0.34.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率，考查相互獨(dú)立

事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查互斥事件的概率，是一個(gè)綜合題，題干比較長(zhǎng)，需要認(rèn)真讀

題來(lái)理解題意.

33.學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲：甲箱子里裝有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)

白球，2個(gè)黑球，這些球除了顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2

個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng)(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱).

(1)求在1次游戲中：

①摸出3個(gè)白球的概率.

②獲獎(jiǎng)的概率.

(2)求在3次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列.(用數(shù)字作答)

【分析】(1)①求出基本事件總數(shù)，計(jì)算摸出3個(gè)白球事件數(shù)，利用古典概型公式，代

入數(shù)據(jù)得到結(jié)果；

②獲獎(jiǎng)包含摸出2個(gè)白球和摸出3個(gè)白球，且它們互斥，根據(jù)①求出摸出2個(gè)白球的概

率，再相加即可求得結(jié)果；

(2)確定在3次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)X的取值是0、1、2、3,求出相應(yīng)的概率，即可寫(xiě)出

分布列.

【解答】解：(1)①設(shè)“在1次游戲中摸到i個(gè)白球”為事件4(i=0,1,2,3),

②設(shè)“在一次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件8,貝IJ8=A2UA3,

第17頁(yè)共25頁(yè)

CoCoci-cici1

又P(A2)■產(chǎn)?一■=」，且42、A3互斥,

cl喋C：2

oJbJ

所以P(B)—P(42)+P(A3)=』+」=_L

2510

(2)由題意可知X的所有可能取值為0,1,2,3；

7)3=27

101OOO)

2=189

(1擊1000

2.(1」)=如,

101000

3=343.

10001

所以X的分布列為

X0123

P27189441343

1000100010001000

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式和離散型隨機(jī)變量的分布列的應(yīng)用問(wèn)題,

也考查了互斥事件和相互獨(dú)立事件等基礎(chǔ)知識(shí)，是基礎(chǔ)題目.

34.一個(gè)骰子的6個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6,現(xiàn)拋擲3個(gè)這樣質(zhì)地均勻的骰子.

(1)求拋擲出的這三個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)的概率？

(2)設(shè)X為3個(gè)骰子中點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

【分析】(1)求出拋擲出的這三個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)的事件的個(gè)數(shù)，求出所有

可能的結(jié)果，從而求出滿(mǎn)足條件的概率；

(2)列出X的所有的取值，分別求出尸(X=0),P(X=l),P(X=2),P(X=3)的

值，從而求出數(shù)學(xué)期望.

【解答】解：(1)拋擲出的這三個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)為事件A,

則A包括：三個(gè)點(diǎn)數(shù)中有3個(gè)數(shù)完全一致，2個(gè)數(shù)完全一致，沒(méi)有重復(fù)數(shù)字三類(lèi),

即：(6,6,6),(3,3,3),

1,3),(1,1,6),(2,2,3),(2,2,6),

(3,3,1),(3,3,2),(3,3,4),(3,3,5),

(3,3,6),(4,4,3),(4,4,6),(5,5,3),

(5,5,6),(6,6,1),(6,6,2),(6,6.3),

第18頁(yè)共25頁(yè)

(6,6,4),(6,6,5),

(3,6,x),(3,x,x),(6,x,x),

2+18C1+C^A3+2