高中數(shù)學(xué)-均值不等式及其應(yīng)用教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

《均值不等式及其應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計

一、教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)生通過觀察歸納，能夠猜想得到均值不等式，體會從特殊到一

般的思維過程，并且能從代數(shù)角度給出均值不等式的證明；

2.學(xué)生通過自主探究，能夠獲得均值不等式的幾何意義，加深對均

值不等式的認(rèn)識，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想；

3.學(xué)生通過獨(dú)立完成一組判斷正誤的題目，深化理解均值不等式的

結(jié)構(gòu)，認(rèn)識到均值不等式中的。力可以是兩個正實數(shù)，也可以是兩個

滿足條件的表達(dá)式，體會整體代換的思想；

4.學(xué)生通過思考與討論，判斷利用均值不等式求最值的解題過程是否

正確，從而總結(jié)利用均值不等式求最值的條件“一正二定三相等”，

并學(xué)會解題步驟進(jìn)行規(guī)范答題；

5.學(xué)生根據(jù)具體的問題特征，能運(yùn)用均值不等式及其變形公示求最

大值或最小值，能通過數(shù)學(xué)建模將生活問題數(shù)學(xué)化，注重運(yùn)用數(shù)學(xué)解

決生活中的實際問題。

二、目標(biāo)評價

目標(biāo)1評價：通過歸納、猜想，所有學(xué)生都能夠獲得均值不等式，

每位學(xué)生都能夠獨(dú)立完成均值不等式的代數(shù)證明，并且能夠進(jìn)行清楚

的展示；

目標(biāo)2評價：經(jīng)歷自主探究均值不等式的幾何意義，所有學(xué)生都能夠

用自己的語言進(jìn)行表述；

目標(biāo)3評價：90%的學(xué)生能夠通過這3道判斷題，理解并掌握均值不

等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并且能夠知道均值不等式中的.力可以是兩個實

數(shù)，也可以是兩個表達(dá)式；

目標(biāo)4評價：90%以上的學(xué)生能通過小組討論完成判斷利用均值不等

式求最值的解題過程是否正確，并總結(jié)利用均值不等式求最值的條

件，并能學(xué)會利用均值不等式求最值的解題步驟；

目標(biāo)5評價：80%的學(xué)生能理解均值不等式的變形22夜3b>0）、

ab<^\a,b>0）,并能通過數(shù)學(xué)建模解決情境中利用均值不等式的

變形公示解決求最值的問題。

三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：均值不等式的推導(dǎo)證明及其應(yīng)用；

難點(diǎn)：均值不等式求最值受限條件的理解與應(yīng)用.

四、教學(xué)方法

本節(jié)課主要采用啟發(fā)引導(dǎo)式的教學(xué)策略.通過設(shè)計問題引入新課,

啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生解決問題、總結(jié)問題、論證問題、延拓問題等環(huán)節(jié)讓學(xué)

生領(lǐng)悟科學(xué)的探究方法，增強(qiáng)學(xué)生的探究能力.在教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生展

開聯(lián)想，大膽探索，以訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

五、教學(xué)流程設(shè)計

（一）創(chuàng)設(shè)情境引入課題

【嘗試與發(fā)現(xiàn)】

假設(shè)一個矩形的長和寬分別為。和人

（1）與這個矩形周長相等的正方形的邊長

(2)與這個矩形面積相等的正方形的邊長；

(3)比較兩個邊長的大小.

【學(xué)生活動設(shè)計】學(xué)生獨(dú)立完成。

【教師活動設(shè)計】教師提出問題：如何快速比較兩個邊長的大??？引

入新課。

【設(shè)計意圖】通過求矩形中，與矩形周長相等的正方形的邊長以及與

矩形面積相等的正方形的邊長，讓學(xué)生比較兩個邊長大小，引入課題。

(二)探究新知

1、歸納猜想

請同學(xué)們給下表中的正數(shù)"，蟲壬取4組值，然后完成表格.

a+b

ab4aba+b

22與J益的大小關(guān)系

(?>0)S>0)

a+b

【問題1】觀察亍與癡的大小關(guān)系，從中你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?

【問題2］你能給出它的證明嗎？

2、得出結(jié)論

(1)均值不等式：

(2)均值不等式的變形公式：

3、深化理解

【判斷正誤】

(1)

x+->2(x>0)

(2)X

-+->2(皿〉0)

(3)ab

【學(xué)生活動設(shè)計】通過觀察歸納獲得數(shù)學(xué)猜想，經(jīng)過獨(dú)立思考后

在教師引導(dǎo)下，獨(dú)立使用作差法進(jìn)行證明。

【教師活動設(shè)計】引導(dǎo)學(xué)生有條理的思考問題，投影講解證明,

并強(qiáng)調(diào)等號成立的條件.

【設(shè)計意圖】通過問題引導(dǎo)使學(xué)生能有條理地表達(dá)自己的思考過

程，體驗數(shù)學(xué)活動中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)及數(shù)學(xué)結(jié)論的確

4、自主探究深化認(rèn)識可

幾何意義1:

如果矩形的長和寬分別為。力，那么矩形的面積為,

尸+42

F可以看成.

均值不等式的一個幾何意義為,

(2)幾何意義2：

認(rèn)識基本不等式的幾何背景

觀察右圖，

線段AB=a+4使AC=a,CB=b.

以A3為直徑作圓。；

過。點(diǎn)作8,A3于。，交圓于點(diǎn)〃

連接A。,30,0。

【問題3](1)圖中線段。。、的長度分別是多少？

(提示：射影定理的相關(guān)結(jié)論：直角三角形ABC中，CD-LAB,IJII]

CD2=AD*BD

(2)。。和8的大小關(guān)系如何?

(3)等號何時成立？

【教師活動設(shè)計】幾何畫板動態(tài)演示說明，引導(dǎo)組織學(xué)生的回答

問題;

【學(xué)生活動設(shè)計】獨(dú)立完成問題3,小組討論交流結(jié)果；

【設(shè)計意圖】通過自主探究培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識，并使抽象

的問題更加直觀、形象，使學(xué)生進(jìn)一步加深對均值不等式的理解。由

于學(xué)生對初中所學(xué)射影定理有所遺忘，為了使學(xué)生的注意力不要過多

的放在求解CD的長度上面，所以直接提示用射影定理求出CD的長度。

由于是靜態(tài)圖形不如動態(tài)更能說明均值不等式。

5、利用均值不等式求最值

【思考與討論】

1.判斷下列解題過程是否正確，如果不正確請指出錯誤原因；

⑴求y=x+Lx<0）的最小值.點(diǎn)評：

x+->2.X--

解：X

當(dāng)且僅當(dāng)x=T時取等.

所以函數(shù)最小值是2.

y=x-\----(X〉2)

(2)求.a2的最小值.

x+---->2.

所以》-2

X~~,

當(dāng)且僅當(dāng)尤-2即x=3時取等.

所以函數(shù)最小值是6.

y=x+—(x>3)

(3)求.x的最小值.

解：因為％之3

1「1~r「

x4—22jx—=2.

所以XYX

所以函數(shù)的最小值為2.

（1）通過以上問題你能得出用均值不等式求最值需要滿足的條

件嗎？

（2）將上面的“思考與討論”的（3）改為求y=x+‘（x〉O）的最

X

小值，如何寫解題過程？

【教師活動設(shè)計】組織學(xué)生回答問題，引導(dǎo)學(xué)生利用均值不等式

求最值的條件，規(guī)范學(xué)生的解題步驟。

【學(xué)生活動設(shè)計］先獨(dú)立思考，然后小組討論，總結(jié)利用均值不

等式求最值的條件，并能完整寫出問題（2）的解題步驟；

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生知道均值不等式在最值方面的應(yīng)用，通過辨

析解題過程是否正確，總結(jié)均值不等式求最值的條件，并由此規(guī)范解

題步驟。

例（1）一個矩形的面積為100，問這個矩形的長、寬各為多

少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？

（2）已知一個矩形的周長為36,問這個矩形的長、寬各為多

少時，它的面積最大？最大面積是多少？

總結(jié)：

均值不等式可以解決兩類問題求最值的問題：

當(dāng)兩個—的積為叱它們的和有;即.

當(dāng)兩個——的和為——叱它們的積有;即.

【教師活動設(shè)計】引導(dǎo)學(xué)生使用均值不等式的變形進(jìn)行求最值。

強(qiáng)調(diào)“一正二定三相等”，同時讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)服務(wù)于生活，解決生

活中的問題。

【學(xué)生活動設(shè)計】獨(dú)立嘗試使用均值不等式完成例，通過思考題

掌握均值不等式另外一個重要的變形，并使用它解決相關(guān)問題。

【設(shè)計意圖】課本中對求最值是直接在例2中給出“積為定值,

求和的最小值”與“和為定值，求積的最大值”兩種題型，但學(xué)生們

往往貪多嚼不爛，兩種題型都沒掌握好，所以在這設(shè)計了一個一個的

來解決，問題針對性越強(qiáng)，解決問題的方向越明確。

（三）課堂小結(jié)

請用思維導(dǎo)圖總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

【教師活動設(shè)計】引導(dǎo)學(xué)生自我總結(jié)，再在黑板用思維導(dǎo)圖帶領(lǐng)

學(xué)生共同完成本節(jié)課的知識總結(jié)。

【學(xué)生活動設(shè)計】以思維導(dǎo)圖的形式完成總結(jié)；

【設(shè)計意圖】通過思維導(dǎo)圖梳理知識，使得更有條理，有利于建

立學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（四）推廣:

想一想:

所有周長相等的矩形中，正方形的面積最大。所有周長相等的三

角形，什么樣的三角形面積最大？平面上周長相等的所有封閉圖形中,

什么樣的圖形面積最大？

（五）當(dāng)堂檢測

A組（基礎(chǔ)題）

1、若％,丁>°；

（1）當(dāng)孫=16時-，貝的最____值為,此時》=；

y=.

（2）當(dāng)x+y=8時，則肛的最—值為,此時犬=；

y=.

f（x）=y/x+~y=（X>0）

2、求函數(shù)G的最小值，以及此時X的值.

B組（提升題）

Y2+4

/（x）=--------（x>0）

求函數(shù)X的最小值，以及此時X的值。

【學(xué)生活動設(shè)計】學(xué)生獨(dú)立完成后對照大屏幕訂正答案。

【教師活動設(shè)計】投影一名學(xué)生答案。

【設(shè)計意圖】既可以使學(xué)生了解自己通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)所存在的

不足，也可以讓教師了解學(xué)生的掌握情況，以便為下節(jié)課做出更合理

的安排。

（六）課后作業(yè)

課本第76頁練習(xí)A1、3,練習(xí)B2、4

【設(shè)計意圖】作業(yè)包含了基礎(chǔ)題目（課本練習(xí)）、提升題目（思

考題）和探究題三部分，基礎(chǔ)題目可以使學(xué)生對本節(jié)課的學(xué)習(xí)進(jìn)行鞏

固，提升題目又可提升一部分優(yōu)等生的能力，探究題目可以開闊學(xué)生

研究數(shù)學(xué)的視野，不要局限于課堂，而且方程（xr）（x-b）=°也沒有超

出學(xué)生的理解范圍。

六、板書設(shè)計

均值不等式

一、均值不等式三、應(yīng)用

Va,0>0,利用均值不等式求最值

絲，?

2條件：“一正二定三相等”

算數(shù)平均值幾何平均值四、總結(jié)

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成（思維導(dǎo)圖）

立。

變形：

（1）a+b>2-Jab（a,b>0）

（2）ab<（^^）2（七?！?）

2

學(xué)情分析

基于課程標(biāo)準(zhǔn)、教材，對學(xué)生學(xué)情分析如下：

1.從學(xué)生知識層面看：學(xué)生對不等式的概念和性質(zhì)有了感性的認(rèn)識，

在探究學(xué)習(xí)和應(yīng)用實習(xí)的過程中，會解決最簡單的關(guān)于不等式的問題,

會用作差法證明不等式.

2.從學(xué)生素質(zhì)層面看：學(xué)生的運(yùn)算能力有待提高，不過學(xué)生邏輯思維

能力較好，他們希望能夠自己探索、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題，增強(qiáng)數(shù)學(xué)

應(yīng)用意識，提高分析問題、解決問題的能力.他們更需要充滿活力與

創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)的課堂.

效果分析

1.注重知識的形成過程

本節(jié)課由矩形問題導(dǎo)入新課，先讓學(xué)生表示與矩形周長相等的正方形

的邊長以及與矩形面積相等得正方形的邊長，然后通過比較兩個邊長

的大小關(guān)系。學(xué)生通過代入數(shù)值猜想結(jié)論，然后利用作差法證明，最

后推出均值不等式。用符號語言和文字語言分別表述了均值不等式，

又利用數(shù)學(xué)軟件探究了均值不等式的幾何意義，從數(shù)和形兩個方面研

究了均值不等式。通過一系列活動，讓學(xué)生能深刻理解并掌握均值不

等式，很好地完成課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。

2.注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透、核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

學(xué)生通過代入數(shù)值猜想結(jié)論，然后利用作差法證明，最后推出均值不

等式，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。整節(jié)課以數(shù)和形為主線,

引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)和幾何兩個方面認(rèn)識均值不等式，體現(xiàn)了體現(xiàn)了數(shù)形

結(jié)合的思想方法。在最后的應(yīng)用題中，均值不等式在幾何中的應(yīng)用，

首要問題是將相關(guān)陳述用數(shù)學(xué)符號表示出來，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建

模素養(yǎng)。

3.目標(biāo)達(dá)成度較高

本節(jié)課所授內(nèi)容基本與預(yù)設(shè)效果一致，重點(diǎn)突出，難點(diǎn)突破。在問題

的引入、講解以及應(yīng)用的處理方法、時間安排都把握的比較好。從學(xué)

生課堂表現(xiàn)，學(xué)生總體效果較好,課堂氛圍活躍，學(xué)習(xí)積極性非常高。

從課后評測練習(xí)的結(jié)果可以看出，本節(jié)課很好地完成教學(xué)目標(biāo)。

《均值不等式及其應(yīng)用》教材分析

本節(jié)課《均值不等式及其應(yīng)用》是人教B版第一冊第二章第二單

元第四節(jié)的內(nèi)容，是在學(xué)習(xí)了“等式”、“不等式及其性質(zhì)”、“不等式

的解集”以及“一元二次不等式的解法”的基礎(chǔ)上對不等式的進(jìn)一步

研究，有利于學(xué)生對后面不等式的證明及前面函數(shù)的一些最值、值域

進(jìn)一步拓展與研究，起到承前啟后的作用.本節(jié)的主要內(nèi)容是在給出

算數(shù)平均值和幾何平均值的概念之后，探索并證明了均值不等式，給

出了均值不等式的幾何意義，在此基礎(chǔ)上，通過例題引導(dǎo)學(xué)生理解均

值不等式在求最值和證明不等式中的作用。

教材中的例1與例2均包含了整體代入的思想，在授課時我沒有

當(dāng)做例題進(jìn)行詳細(xì)講解，而是將它們作為判斷正誤，讓學(xué)生自己辨析

是否為均值不等式的結(jié)構(gòu)，體會整體代換的思想。本節(jié)課重點(diǎn)講解了

均值不等式在具體情境中求最值的應(yīng)用。首先通過三道判斷解題過程

是否正確，學(xué)生通過辨析，總結(jié)利用均值不等式最值的三個條件，同

時規(guī)范學(xué)生的解題步驟。

《均值不等式及其應(yīng)用》課后評測練習(xí)

一、單選題

1.不等式TQ+（x-2）26（其中x>2）中等號成立的條件是（）

X—Z

A.x=5B.x=-3

C.x=3D.x=-5

2.3x>0,使得Lx-aWO,則實數(shù)a的取值范圍是（）

X

A.a>2B.a>2C.a<2D.a<2

3.給出下列條件：①a/?>。；②HvO；③a>0,b>0；④a<0,b<0.

其中能使2+成立的條件個數(shù)為（）.

ab

A.1B.2C.3D.4

4.下列各式中，對任何實數(shù)x都成立的一個式子是（）.

2

A.x+y>2\[xB.x+l>2xC.21,<?D.x+—>2

X+1X

5.不等式（x-2y）+；N2成立的前提條件為（）.

A.x>2yB.x>2yC.x<2yD.x<2y

6.已知a>0,b>0,且2a+h=4,則aS的最大值為（）

A.yB.4C.-D.2

42

7.周長為12的矩形，其面積的最大值為（）

A.6B.7C.8D.9

8.函數(shù)y=x+'+6（x>0）的最小值為（）

X

A.6B.7C.8D.9

二、多選題

9.下列表達(dá)式的最小值為2的有（）

A.當(dāng)=寸，a+b

B.當(dāng)曲=1時一，-+y

ab

Cacr—2a+3

2

D.7a+2+-7=X=

J礦+2

10.設(shè)aSeR,則下列不等式一定成立的是（）

22C.從+lN力D,削去2

A.a+b>2ahB.a+-a^2

11.下列判斷第送的是（）

A.x+L的最小值是2B.｛菱形｝n｛矩形｝=｛正方形｝

X

C.不等式|x-1|<2的解集為［0,引D.如果“<力<0,那么/

12.下列求最值的運(yùn)算中，運(yùn)算方法錯誤的有（）

A.當(dāng)x<0時，x+-=-(-x)+—<-2.(-x)---=-2,故x<0時，的最

x_X」V—X

大值是-2.

B.當(dāng)X>1時，x+^—>2lx-^-,當(dāng)且僅當(dāng)x=取等，解得x=-l或

x-1Vx-]x-\

2,

2

又由X>1,所以取x=2,故x>l時-，的最小值為2+丁;-4

Z—1

QQIQ-

C.由于+——-=x2+4+——--4>2.(x2+4)?——--4=2,

x+4x+4Vx+4

故r+目的最小值是2

x+4

D.當(dāng)x,y>0,且x+4.y=2時，由于2=x+4”2jx.4y=4^/藥,y/xy<,

11111_22_,,

=故當(dāng)—>。，且x+4y=2時，(］的最

小值為4

三、填空題

13.設(shè)0<a<b<l,則四個數(shù)2J拓，2ab,a+b,〃+力2中最小的是

14.若x>0、y>0,且x+y=l,則x?y的最大值為.

15.已知x>0,y>0,x+2y=20,則沖的最大值是.

16.若x>0,則/(x)=4x+\的最小值為.

四、解答題

17(1)把49寫成兩個正數(shù)的積，當(dāng)這兩個正數(shù)各取何值時，它們的

和最??？

(2)把12寫成兩個正教的和，當(dāng)這兩個正數(shù)各取何值時，它們

的積最大？

4

18.求函數(shù)y=x+1(尤<。)的值域.

參考答案

1.A

【解析】

【分析】

根據(jù)基本不等式等號成立的條件可知，當(dāng)二=>2時等號成立.

x-2

【詳解】

當(dāng)x>2時，-^+(x-2)>2^-^-(x-2)=6,

等號成立的條件是々=》-2,

x-2

(X-2)2=9,解得：x=5.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查基本不等式，利用基本不等式求最值，需滿足“一正，二定,

三相等”，常用不等式包含。2+〃之2ab,a+b>2\[ab(?>0,b>0),

2.B

【解析】

【分析】

先由Lx-八0分離參數(shù)得到求出Lx的最小值即可.

XXX

【詳解】

因為_L+x_aM0,所以。，+北2、匹=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時，取等號,

XX\X

所以只需故選B.

—16―

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用基本不等式處理不等式成立的問題，屬于基礎(chǔ)題

型.

3.C

【解析】

【分析】

由均值不等式的前提需“一正、二定，三相等"，能使2+成立,

ab

則需匕同號，再逐一判斷即可得解.

【詳解】

解：由均值不等式的前提需“一正、二定，三相等"，即當(dāng)￡均

ab

為正數(shù)時，可得2此時只需6同號即可，所以①③④均滿

ab

足要求.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了均值不等式成立的前提條件是“一正、二定，三相等”，

屬基礎(chǔ)題.

4.C

【解析】

【分析】

取特殊值可得選項A,B,D不恒成立，由Y+121可得選項C對應(yīng)的不

等式，41恒成立，得解.

【詳解】

—17—

解：對于A,當(dāng)x<0時，根式無意義，故A不恒成立；

對于B,當(dāng)x=l時，X2+1=2X,故B不恒成立；

對于C,%2+1>1,所以」成立，故C成立；

對于D,當(dāng)x<0時，x+-<2,故D恒不成立，

X

即對任何實數(shù)X都成立的一個式子是一匚41,

X+1

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了均值不等式的前提，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

【分析】

由均值不等式成立的前提條件是“一正、二定，三相等”，結(jié)合此條

件即可得解.

【詳解】

解：由均值不等式的條件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成

立的前提條件是各項均為正數(shù)，所以不等式（》-2），）+」廠22成立的

X-Ly

前提條件為x-2y>0,即x>2y.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了均值不等式成立的前提條件是“一正、二定，三相等”，

屬基礎(chǔ)題.

—18―

6.D

【解析】

【分析】

由基本不等式可構(gòu)造關(guān)于仍的不等式，解不等式求得結(jié)果.

【詳解】

?>0,b>0,2a+b=4N212ab(當(dāng)且僅當(dāng)2a時取等號)

：.2ah<A,解得：ah<2,即時的最大值為2

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查利用基本不等式求解最值的問題，屬于基礎(chǔ)題.

7.D

【解析】

【分析】

設(shè)矩形的長寬分別為x,%可得2(x+y)=12,化為x+尸6,利用

5=初'(巖j即可得出結(jié)果.

【詳解】

設(shè)矩形的長寬分別為x,y,

則2(x+y)=12,化為x+y=6.

???S=x%(晝J=9,當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)產(chǎn)3時取等號.

因此面積的最大值是9.

故選：D.

—19

【點(diǎn)睛】

本題考查利用基本不等式求最值，注意認(rèn)真計算，準(zhǔn)確運(yùn)用公式，屬

基礎(chǔ)題.

8.C

【解析】

【分析】

直接利用均值不等式得到答案.

【詳解】

y=x+-+6(x>0)>2x--+6=8,x=l時等號成立.

XVX

故答案選C

【點(diǎn)睛】

本題考查了均值不等式，屬于簡單題.

9.BC

【解析】

【分析】

對式子變形,利用基本不等式的的性質(zhì)即可求得.

【詳解】

解：①對選項A,當(dāng)均為負(fù)值時，。+)<0,故最小值不為2;

②對選項B,因為燦=1,所以。力同號，所以2>04〉0,

ab

所以2+/.2\陌=2,當(dāng)且僅即a=b=±l時取等號，故最小值為

ab\aba”

2；

——20——

③對選項C,a2-2a+3=(a-l)2+2,當(dāng)。=1時，取最小值2;

④對選項DJQ2+2+-/:”-2卜/+2,J-=2,

ICT+2yyCl4-2

當(dāng)且僅當(dāng)二，即時，取等號，但等號顯然不成立，

\Ja-+2Y+2=1

故最小值不為2.

故選:BC

【點(diǎn)睛】

本題考查基本不等式的應(yīng)用，要注意“一正，二定，三相等”.

10.ACD

【解析】

【分析】

逐一分析選項，驗證基本不等式的使用是否成立.

【詳解】

A.當(dāng)a,beR時，成立，故A正確；

B.當(dāng)a>0時，“+,等號成立的條件是a=l,當(dāng)a<0時，a+-<-2,

〃a

等號成立的條件是a=-1,故B不正確；

C.當(dāng)人eH時，從+1_抄=(人I/?。，所以"+]220,故C正確；

D.g>0,|>0,所以目+1卜2j\x*=2,等號成立的條件是當(dāng)且僅

當(dāng)2=2,即/=〃，故D正確.

ab

故答案為：ACD

【點(diǎn)睛】

—21

本題考查判斷基本不等式使用是否正確，意在考查基本公式的簡單應(yīng)

用，屬于基礎(chǔ)題型.

11.AC

【解析】

【分析】

對A利用基本不等式的知識分析判斷;對B利用交集的定義分析判斷；

對C利用解不等式分析判斷；對D利用不等式的性質(zhì)分析判斷得解.

【詳解】

對選項4當(dāng)X<O時，X+，為負(fù)數(shù)，故力錯誤；

X

對選項用｛菱形｝n｛矩形｝=｛正方形｝,故方正確；

對選項C,不等式|x-1|<2的解集為11,3］，故C錯誤；

對選項。，若則-0>-0>0,所以a2>02〉0,所以，故

〃正確.

故選：AC

【點(diǎn)睛】

本題主要考查基本不等式和解不等式，考查集合交集和不等式的性質(zhì),

意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

12.BCD

【解析】

【分析】

利用基本不等式使用條件，取等號的條件和利用基本不等式求最值的

方法，逐項判定，即可求解.

—22—

【詳解】

對于A中，根據(jù)基本不等式，可判定是正確的；

對于B中，當(dāng)x>l時，x-l+—+l>2J(x-l)--+1=272+1,

x-1Vx-1

當(dāng)且僅當(dāng)X-1=上7取等，即》=夜+1時，最小值為2夜+1,所以B不

x-l

正確；

對于C中，由于爐+^~7=-2+4+^7—422而+4).^^—4=2,

x+4x+4Vx+4

Q

當(dāng)且僅當(dāng)/+4=方,即/+4=3時，此時不成立，所以C項不正確；

對于D中，兩次基本不等式的等號成立條件不相同，第一次是x=4y,

第二、次是x招,所以不正確.

故選BCD.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記基本不等式的使

用條件和等號成立的條件，以及基本不等式求最值的方法是解答的關(guān)

鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.2ab

【解析】

【分析】

根據(jù)基本不等式，先得到a+b>2j石，a2+b2>2ab,再由作商法，比

較2J法與2",即可得出結(jié)果.

【詳解】

因為0<a<A<l,所以a+>>2j拓，a2+b2>2ab,

—23—

又2\［ab=?'所以>2ab,

綜上，2必最小.

故答案為：2ab

【點(diǎn)睛】

本題主要考查由不等式性質(zhì)比較大小，熟記不等式的性質(zhì)，以及基本

不等式即可，屬于?？碱}型.

14.-

4

【解析】

試題分析：x>0,y>0,則％+y>26^即1>2^/xy,所以

:哪甘—I=—

k*4當(dāng)且僅當(dāng)％=y=［時取"=所以%y的最大值為1.

考點(diǎn)：基本不等式.

15.5()

【解析】

【分析】

利用配湊法，結(jié)合基本不等式，求得孫的最大值.

【詳解】

依題意刈=1上2^<、卜聚口2=」(次［=50,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=10時等

號成立.故口的最大值為50.

故答案為：50.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用基本不等式求最大值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思

—24—

想方法，屬于基礎(chǔ)題.

【解析】

【分析】

直接利用基本不等式求函數(shù)的最小值.

【詳解】

?.”>0,

???4x+4N2、rJ