2025版新教材高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.3.1空間直角坐標(biāo)系題型探究新人教A版選擇性必修第一冊

1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.3.1空間直角坐標(biāo)系題型探究題型一空間中點(diǎn)的坐標(biāo)表示1．在正四棱錐V－ABCD中，O為底面中心，若AB＝2，VO＝3，以底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，確定各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．[解析]因?yàn)轫旤c(diǎn)V在z軸正半軸上，且VO＝3，所以它的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是0，所以點(diǎn)V的坐標(biāo)是(0,0,3)．因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)都在Oxy平面上，所以它們的豎坐標(biāo)都是零．又因?yàn)锳B＝2，O為底面中心，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，－1,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1,1,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(－1,1,0)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是(－1，－1,0)．[規(guī)律方法]求空間一點(diǎn)P的坐標(biāo)的兩種方法(1)利用點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的投影求解；(2)利用單位正交基底表示向量eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))的坐標(biāo)就是點(diǎn)P的坐標(biāo)．對點(diǎn)訓(xùn)練?畫一個(gè)正方體ABCD－A1B1C1D1，若以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以棱AB，AD，AA1所在的直線分為x軸、y軸、z軸，取正方體的棱長為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系，則(1)頂點(diǎn)A，D1的坐標(biāo)分別為_(0,0,0)，(0,1,1)__；(2)棱C1C中點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))；(3)正方形AA1B1B對角線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2))).題型二空間向量的坐標(biāo)表示2．在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝eq\f(π,2)，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D為A1B1的中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(A1B,\s\up6(→))的坐標(biāo)．[分析]先在空間幾何體中找到兩兩垂直的三條直線建立空間直角坐標(biāo)系，再依據(jù)空間向量基本定理，將eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(A1B,\s\up6(→))用基底表示，即得坐標(biāo)．[解析]由已知AO⊥OB，O1O⊥OA，O1O⊥OB，從而建立以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OO1,\s\up6(→))方向上的單位向量i，j，k為正交基底的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖，則eq\o(OA,\s\up6(→))＝4i，eq\o(OB,\s\up6(→))＝2j，eq\o(OO1,\s\up6(→))＝4k，eq\o(DO,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))＝－(eq\o(OO1,\s\up6(→))＋eq\o(O1D,\s\up6(→)))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(OO1,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(OA,\s\up6(→))＋\o(OB,\s\up6(→))))＝－eq\o(OO1,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＝－2i－j－4k，故eq\o(DO,\s\up6(→))的坐標(biāo)為(－2，－1，－4)．eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA1,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))＝－4i＋2j－4k，故eq\o(A1B,\s\up6(→))的坐標(biāo)為(－4,2，－4)．即eq\o(DO,\s\up6(→))＝(－2，－1，－4)，eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(－4,2，－4)．[規(guī)律方法]用坐標(biāo)表示空間向量的步驟如下：對點(diǎn)訓(xùn)練?已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M為BC1的中點(diǎn)，N為A1B1的中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))的坐標(biāo)．[解析]建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝i，eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝j(luò)，eq\f(1,4)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝k，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4i＋0j＋0k＝(4,0,0)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0i＋4j＋4k＝(0,4,4)，∴eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝－4i＋4j＋4k＝(－4,4,4)．題型三空間向量坐標(biāo)的應(yīng)用角度1對稱問題3．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(－2,1,4)．(1)求點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)P關(guān)于Oxy平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2，－1，－4)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)．[解析](1)由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱后，它在x軸的重量不變，在y軸、z軸的重量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點(diǎn)為(－2，－1，－4)．(2)由于點(diǎn)P關(guān)于Oxy平面對稱后，它在x軸、y軸的重量不變，在z軸的重量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點(diǎn)為(－2，1，－4)．(3)設(shè)對稱點(diǎn)為P1(x，y，z)，則點(diǎn)M為線段PP1的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P1(6，－3，－12)．角度2距離問題4.如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，點(diǎn)M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且為D1C的中點(diǎn)，求線段MN的長度．[解析]如圖所示，分別以AB，AD，AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．由題意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，因?yàn)閨DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，所以C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，因?yàn)镹為CD1的中點(diǎn)，所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3，1)).M是A1C1的三分之一分點(diǎn)且靠近A1點(diǎn)，所以M(1,1,2)．所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝(1,1,2)＝i＋j＋2k，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3，1))＝eq\f(3,2)i＋3j＋k，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)i＋3j＋k))－(i＋j＋2k)＝eq\f(1,2)i＋2j－k，所以|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)i))2＋2j2＋－k2)＝eq\f(\r(21),2)，即|MN|＝eq\f(\r(21),2).[規(guī)律方法]1.空間對稱問題的特點(diǎn)空間的對稱問題可類比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱問題，要駕馭對稱點(diǎn)的變更規(guī)律，才能精確求解．對稱點(diǎn)的問題常常接受“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個(gè)結(jié)論．2．利用向量法求空間兩點(diǎn)距離的方法(1)建系，確定兩點(diǎn)坐標(biāo)．(2)求出以向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))的坐標(biāo)．(3)求eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)．(4)依據(jù)公式求出eq\o(AB,\s\up6(→))的模，即AB的距離．對點(diǎn)訓(xùn)練?已知點(diǎn)