新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量的運(yùn)算6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算教師用書新人教A版必修第二冊

向量的數(shù)乘運(yùn)算學(xué)習(xí)任務(wù)1．了解向量數(shù)乘的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．理解并駕馭向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會運(yùn)用向量數(shù)乘的運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．理解并駕馭向量共線定理及其判定方法．(邏輯推理)一只螞蟻?zhàn)鰟蛩僦本€運(yùn)動，假如螞蟻向東運(yùn)動1秒鐘的位移對應(yīng)的向量為a，那么它在同一方向上運(yùn)動3秒鐘的位移對應(yīng)的向量怎樣表示？是3a嗎？螞蟻向西運(yùn)動3秒鐘的位移對應(yīng)的向量又怎樣表示？是－3a嗎？你能用圖形表示嗎？問題：類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算“a＋a＋a＝3a”，你能猜想實(shí)例中a＋a＋a的結(jié)果嗎？學(xué)問點(diǎn)1向量的數(shù)乘運(yùn)算(1)定義：規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作：λa，它的長度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|．②當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同．當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反．當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0．(2)運(yùn)算律：設(shè)λ，μ為隨意實(shí)數(shù)，則有：①λ(μa)＝(λμ)a．②(λ＋μ)a＝λa＋μa．③λ(a＋b)＝λa＋λb．特殊地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb．(3)線性運(yùn)算：向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量．對于隨意向量a，b，以及隨意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．1．實(shí)數(shù)與向量可以相乘，那么能否相加或相減呢？[提示]不能進(jìn)行加減，像a＋λ，a－λ(λ為實(shí)數(shù))都是沒有意義的．2．若λa＝0，則確定有a＝0嗎？[提示]不愿定，還有可能λ＝0．學(xué)問點(diǎn)2向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa．定理中a≠0不能去掉．若a＝b＝0，則實(shí)數(shù)λ可以是隨意實(shí)數(shù)；若a＝0，b≠0，則不存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa．1．思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)a＝λb?a與b共線． ()(2)若a與b共線，確定有a＝λb． ()(3)若a，b不共線，則a，b中任何一個(gè)均不為0． ()[答案](1)√(2)×(3)√2．化簡：2(3a＋4b)－8a＝________．－2a＋8b[原式＝6a＋8b－8a＝－2a＋8b．]類型1向量的線性運(yùn)算【例1】化簡下列各式：(1)3(6a＋b)－9a+(2)123a+(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a．[解](1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a．(2)原式＝122a+32b－a－34b＝a＋34(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c．向量的線性運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．已知向量為a，b，未知向量為x，y，向量a，b，x，y滿意關(guān)系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y．[解]3x-2y=a①，-4x+3y=代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，所以y＝4a＋3b．所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b．類型2用已知向量表示相關(guān)向量【例2】如圖，D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，則CD＝()A．BC－12BA B．－BCC．－BC－12BA D．BCB[法一：∵D是AB的中點(diǎn)，∴BD＝12BA，∴CD＝CB+BD＝－法二：CD＝12(CB+CA)＝12[CB＋(CB+BA)]用已知向量表示其他向量的方法(1)干脆法：結(jié)合圖形的特征，把待求向量放在三角形或平行四邊形中，然后利用向量的三角形法則或平行四邊形法則用已知向量表示未知向量．(2)方程法：當(dāng)干脆表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．(3)中點(diǎn)向量公式：若M為AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則OM＝OA+[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．如圖，在?ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，若AB＝a，AD＝b，則DE等于()A．12a－b B．12aC．a(chǎn)＋12b D．a(chǎn)－1D[因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以CE＝12CB＝－12AD所以DE＝DC+CE＝AB+CE＝a－類型3向量共線定理【例3】設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)向量．(1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；(2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實(shí)數(shù)k的值．[思路導(dǎo)引](1)OA，OB，OC(2)8a＋kb與ka＋2b共線→8a＋kb＝λ(ka＋2b)．[解](1)[證明]∵AB＝OB-OA＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而BC＝OC-OB＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2AB，∴AB與∴A，B，C三點(diǎn)共線．(2)∵8a＋kb與ka＋2b共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，∵a與b不共線，∴8解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4．1．證明或推斷三點(diǎn)共線的方法一般來說，要判定A，B，C三點(diǎn)是否共線，只需看是否存在實(shí)數(shù)λ，使得AB＝λAC(或BC＝λAB等)即可．2．利用向量共線求參數(shù)的方法已知向量共線求λ，常依據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)對應(yīng)相等求解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．設(shè)OA，OB不共線，且OC＝aOA＋bOB(a，b∈R(1)若a＝13，b＝23，求證：A，B，(2)若A，B，C三點(diǎn)共線，則a＋b是否為定值？說明理由．[解](1)證明：當(dāng)a＝13，b＝2OC＝13OA＋所以23(OC-OB即2BC＝CA，所以BC與CA共線．又BC與CA有公共點(diǎn)C，所以A，B，C三點(diǎn)共線．(2)a＋b為定值1，理由如下：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以AC∥AB，不妨設(shè)AC＝λAB(λ∈R)，所以O(shè)C-OA＝λ(OB即OC＝(1－λ)OA＋λOB，又OC＝aOA＋bOB，且OA，則a=1所以a＋b＝1(定值)．1．(多選)已知a，b為兩個(gè)非零向量，下列說法中正確的是()A．2a與a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍B．－2a與5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的2C．－2a與2a是一對相反向量D．a(chǎn)－b與－(b－a)是一對相反向量ABC[A正確，∵2＞0，∴2a與a的方向相同，且|2a|＝2|a|．B正確，∵5＞0，∴5a與a的方向相同，且|5a|＝5|a|，又－2＜0，∴－2a與a的方向相反，且|－2a|＝2|a|，∴5a與－2a的方向相反，且－2a的模是5a的模的25C正確，依據(jù)相反向量的定義可以推斷．D不正確，∵－(b－a)與b－a是一對相反向量，而a－b與b－a是一對相反向量，∴a－b與－(b－a)為相等向量．故選ABC．]2．如圖，已知AM是△ABC的邊BC上的中線，若AB＝a，AC＝b，則AM等于()A．12(a－b) B．－12(a－C．12(a＋b) D．－12(a＋C[因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，所以AM＝12(a＋b)．3．13122b－a[原式＝16(2a＋8b)－13(4a－2b)＝13a＋43b－43a＋23b＝－4．已知O，A，B是平面內(nèi)隨意三點(diǎn)，點(diǎn)P在直線AB上，若OP＝3OA＋xOB，則x＝________．－2[因?yàn)辄c(diǎn)P在直線AB上，所以AP＝λAB，λ∈R，OP-OA＝λ(OB即OP＝λOB＋(1－λ)OA，所以1-λ=3，λ=x，所以回顧本節(jié)學(xué)問，自主完成以下問題：1．向量λa的幾何意義是什么？[提示]λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴(kuò)大或縮小為原來的|λ|倍．2．向量共線定理的內(nèi)容是什么？[提示]若向量a與b共線，則存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa(a≠0)．3．如何利用向量共線定理證明A，B，C三點(diǎn)共線？[提示]要證三點(diǎn)A，B，C共線，只需證明AB與BC或AB與AC共線即可．課時(shí)分層作業(yè)(四)向量的數(shù)乘運(yùn)算一、選擇題1．平面對量a，b共線的充要條件是()A．a(chǎn)，b方向相同B．a(chǎn)，b兩向量中至少有一個(gè)為零向量C．存在λ∈R，使得b＝λaD．存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使得λ1a＋λ2b＝0D[留意向量a，b是否為零向量，分類探討．若a，b均為零向量，則明顯符合題意，且存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使得λ1a＋λ2b＝0；若a≠0，則由兩向量共線知，存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，即λa－b＝0．故選D．]2．(多選)已知m，n是實(shí)數(shù)，a，b是向量，則下列命題中正確的為()A．m(a－b)＝ma－mbB．(m－n)a＝ma－naC．若ma＝mb，則a＝bD．若ma＝na，則m＝nAB[A正確；B正確；C錯(cuò)誤．由ma＝mb得m(a－b)＝0，當(dāng)m＝0時(shí)也成立，推不出a＝b；D錯(cuò)誤．由ma＝na得(m－n)a＝0，當(dāng)a＝0時(shí)也成立，推不出m＝n．故選AB．]3．(多選)下列非零向量a，b中，確定共線的是()A．a(chǎn)＝2e，b＝－2eB．a(chǎn)＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2C．a(chǎn)＝4e1－25e2，b＝e1－110D．a(chǎn)＝e1＋e2，b＝2e1－2e2ABC[對于A，b＝－a，有a∥b；對于B，b＝－2a，有a∥b；對于C，a＝4b，有a∥b；對于D，a與b不共線．故選ABC．]4．在四邊形ABCD中，若AB＝3a，CD＝－5a，且|AD|＝|BC|，則四邊形ABCD是()A．平行四邊形 B．菱形C．等腰梯形 D．非等腰梯形C[由條件可知AB＝－35CD，所以AB∥CD，又因?yàn)閨AD|＝|BC|，所以四邊形ABCD5．(2024·江蘇南通期末)在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，且3CD＝CA＋2CB，則()A．AD＝2BD B．AD＝12C．AD＝2DB D．AD＝1C[3CD＝CA＋2CB，則有CD-CA＝2(CB-CD)，可得AD＝2DB二、填空題6．在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB+AD＝λAO，則λ＝2[∵四邊形ABCD為平行四邊形，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，∴AB+AD＝AC＝2AO，∴λ＝27．設(shè)點(diǎn)C在線段AB上，且2AC＝3CB，則AC＝________AB，BC＝________35－25[因?yàn)?AC＝3CB，所以ACCB＝32，AC＝35AB，CB＝25AB，所以AC8．已知向量e1，e2不共線，假如AB＝e1＋2e2，BC＝－5e1＋6e2，CD＝7e1－2e2，則共線的三個(gè)點(diǎn)是________．A，B，D[∵AB＝e1＋2e2,BD＝BC＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2AB，∴AB，BD共線，且有公共點(diǎn)∴A，B，D三點(diǎn)共線．]三、解答題9．如圖所示，在四邊形ABCD中，M，N分別是DC，AB的中點(diǎn)，已知AB＝a，AD＝b，DC＝c，試用a，b，c表示BC，[解]BC＝BA+AD+DC＝－AB+AD+MN＝MD+DA+AN＝－12DC-AD＋12AB＝－12c－b＋10．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則EB+FC等于(A．BC B．1C．AD D．1C[如圖，EB+FC＝EC+CB+FB+BC＝EC+FB＝]11．已知在△ABC中，向量AP＝λ(AB+AC)(λ∈R)，則點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過△ABC的(A．垂心 B．內(nèi)心C．外心 D．重心D[設(shè)D為BC中點(diǎn)，則AB+AC＝2AD，所以AP＝2λAD，即點(diǎn)P在中線AD所在直線上，可知點(diǎn)P的軌跡必過△ABC12．點(diǎn)P在△ABC所在平面上，且滿意PA+PB+PC＝2AB，則SA．12 B．C．14 D．B[因?yàn)镻A+PB+PC＝2AB＝2(PB-PA)，所以3PA＝PB-PC＝CB，所以PA，CB共線，且3|PA|13．已知在△ABC中，點(diǎn)M滿意MA+MB+MC＝0，若存在實(shí)數(shù)m使得AB+AC＝m3[∵M(jìn)A+MB+∴MB+MC＝－又由AB+AC＝mAM得(MB+MC)－2MA即－3MA＝mAM＝－mMA，所以m＝3．]14．已知兩個(gè)非零向量a與b不共線，OA＝2a－b，OB＝a＋3b，OC＝ka＋5b．(1)若2OA-OB+OC＝(2)若A，B，C三點(diǎn)共線，求k的值．[解](1)因?yàn)?OA-OB+OC＝2(2a－b)－a－3b＋ka＋5b＝(k＋3)a＝0，所以(2)AB＝OB-OA＝－a＋4b，AC＝OC-OA＝(k－2)a＋6b，又A，B，C三點(diǎn)共線，則存在λ∈R，使AC＝λAB，即(k