2024屆高考數(shù)學(xué)精英模擬卷 【新結(jié)構(gòu)版】含答案

2024屆高考數(shù)學(xué)精英模擬卷【新結(jié)構(gòu)版】【滿分：150分】一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知向量，，且，則()A. B. C. D.82.已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的虛部為()A.i B.1 C. D.3.下表是關(guān)于某設(shè)備的使用年限x（單位：年）和所支出的維修費(fèi)用y（單位：萬元）的統(tǒng)計(jì)表：x23456y3.44.25.15.56.8由上表數(shù)據(jù)求得線性回歸方程，若規(guī)定：維修費(fèi)用y不超過10萬元，一旦大于10萬元時(shí)，該設(shè)備必須報(bào)廢.據(jù)此模型預(yù)測，該設(shè)備使用年限的最大值約為()A.8 B.9 C.10 D.114.規(guī)定：在整數(shù)集Z中，被7除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“家族”，記為，即，，給出如下四個(gè)結(jié)論：①；②；③若整數(shù)a，b屬于同一“家族”，則；④若，則整數(shù)a，b屬于同一“家族”.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.45.已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，若不等式對任意正實(shí)數(shù)a，b以及任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個(gè)單位長度得函數(shù)的圖象，若在上有兩個(gè)不同的根，（），則的值為()A. B. C. D.7.已知圓柱的下底面圓的內(nèi)接正三角形ABC的邊長為6，P為圓柱上底面圓上任意—點(diǎn)，若三棱錐的體積為，則圓柱的外接球的表面積為()A. B. C. D.8.已知圓與圓交于A，B兩點(diǎn)，且四邊形OACB的面積為3r，則()A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知為第一象限角，為第三象限角，且，，則的值可能為()A. B. C. D.10.已知，下列不等式恒成立的是()A. B.C. D.11.已知M，N是拋物線上兩點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為，下列說法正確的是()A.B.若，則直線MN恒過定點(diǎn)C.若的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則該圓的半徑為D.若，則直線MN的斜率為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則___________.13.已知，分別為橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，，則橢圓C的離心率為______.14.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為.若對于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（13分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.16.（15分）如圖，在四面體ABCD中，，，，E為AC的中點(diǎn).（1）證明：平面平面ACD；（2）設(shè)，，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求CF與平面ABD所成的角的正弦值.17.（15分）以雙曲線的右焦點(diǎn)F為圓心作圓，與C的一條漸近線相切于點(diǎn).（1）求C的方程.（2）在x軸上是否存在定點(diǎn)M，過點(diǎn)M任意作一條不與坐標(biāo)軸垂直的直線l，當(dāng)l與C交于A，B兩點(diǎn)時(shí)，直線，的斜率之和為定值？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.18.（17分）現(xiàn)有紅、綠、藍(lán)三種顏色的箱子，其中紅箱中有4個(gè)紅球，2個(gè)綠球，2個(gè)藍(lán)球；綠箱中有2個(gè)紅球，4個(gè)綠球，2個(gè)藍(lán)球；藍(lán)箱中有2個(gè)紅球，2個(gè)綠球，4個(gè)藍(lán)球，所有球的大小、形狀、質(zhì)量完全相同.第一次從紅箱中隨機(jī)抽取一球，記錄顏色后將球放回去；第二次要從與第一次記錄顏色相同的箱子中隨機(jī)抽取一球，記錄顏色后將球放回去；以此類推，第次是從與第k次記錄顏色相同的箱子中隨機(jī)抽取一球，記錄顏色后放回去，記第n次取出的球是紅球的概率為.（1）求第3次取出的球是藍(lán)球的概率；（2）求的解析式.19.（17分）設(shè)是定義在R上的函數(shù)，若存在區(qū)間和，使得在上嚴(yán)格減，在上嚴(yán)格增，則稱為“含谷函數(shù)”，為“谷點(diǎn)”，稱為的一個(gè)“含谷區(qū)間”.（1）判斷下列函數(shù)中，哪些是含谷函數(shù)？若是，請指出谷點(diǎn)；若不是，請說明理由：（i），（ii）；（2）已知實(shí)數(shù)，是含谷函數(shù)，且是它的一個(gè)含谷區(qū)間，求m的取值范圍；（3）設(shè)p，，.設(shè)函數(shù)是含谷函數(shù)，是它的一個(gè)含谷區(qū)間，并記的最大值為.若，且，求的最小值.

答案以及解析1.答案：C解析：由題意，得，解得，所以，所以.故選C.2.答案：D解析：設(shè)復(fù)數(shù)，，又，可得，解得，所以復(fù)數(shù)z的虛部為.故選D.3.答案：C解析：，，因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，即.所以回歸方程為.由題意得，解得.又因?yàn)椋栽撛O(shè)備使用年限的最大值約為10.故選C.4.答案：C解析：因?yàn)?，所以，故①正確；因?yàn)?，所以，故②錯(cuò)誤；若a與b屬于同一“家族”，則，，(其中)，故③正確；若，設(shè)，則，不妨令，，則(，)，所以a與b屬于同一“家族”，故④正確.選C.5.答案：C解析：由題意得對任意實(shí)數(shù)a，b以及任意實(shí)數(shù)x恒成立.由已知條件及基本不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立.又，所以，則.因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選C.6.答案：D解析：設(shè)的最小正周期為T，由圖象可知，，所以，則，于是，又的圖象過點(diǎn)，所以，，所以，又，則，，則，由，得，則，又當(dāng)時(shí)，，所以，得，則，，結(jié)合知，所以，所以.故選D.7.答案：B解析：如圖，因?yàn)槭沁呴L為6的正三角形，則其外接圓的半徑，解得，又，設(shè)圓柱的母線長為l，則，解得，所以圓柱的外接球的半徑，所以外接球的表面積為.故選B.8.答案：C解析：如圖所示，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為3，由題意可知，，，，所以，所以，所以.設(shè)，則M為AB的中點(diǎn)，故四邊形OACB的面積，則，故，所以，所以，又因?yàn)椋?，解得，因此?故選C.9.答案：CD解析：因?yàn)闉榈谝幌笙藿?，所以，，所以?又，所以是第二象限角，所以.因?yàn)闉榈谌笙藿牵?，，所以，，又，所以是第二象限角或第三象限?當(dāng)是第二象限角時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)是第三象限角時(shí)，，此時(shí).10.答案：AB解析：令，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，A正確；令，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，B正確；令，，則，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，與的大小不能確定，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，D錯(cuò)誤.11.答案：AD解析：根據(jù)拋物線的定義知，得，故A選項(xiàng)正確；設(shè)，，因?yàn)橹本€MN斜率必存在，設(shè)直線MN的方程為，代入得，，，，所以，解得，所以直線MN恒過定點(diǎn)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；外接圓圓心的縱坐標(biāo)為，外接圓半徑為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以直線MN過焦點(diǎn)F，且，設(shè)直線MN的傾斜角為，由拋物線性質(zhì)知MN的斜率為互為相反數(shù)的兩個(gè)值，如圖，過M，N分別向準(zhǔn)線作垂線MA，NB，過N向MA作垂線NC，設(shè)，則，，，，，，，故D選項(xiàng)正確.故選AD.12.答案：256解析：的展開式的通項(xiàng)為，所以，，，，，則，令，得.13.答案：解析：由，得A為線段的中點(diǎn)，且點(diǎn)P在橢圓外，所以，則，又，所以為線段的中點(diǎn)，所以，設(shè)，則，又，所以，由橢圓的定義可知：，得，如圖，延長交橢圓C于點(diǎn)Q，連接，則由橢圓的對稱性可知，，又，故，由余弦定理可得：，在中，，由余弦定理可得，即，所以橢圓C的離心率為.故答案為：.14.答案：解析：由，得，所以.設(shè)，則.設(shè)，則，令，解得，即在上單調(diào)遞增，令，解得，即在上單調(diào)遞減，又，，，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以.當(dāng)，2時(shí)，，即，所以.綜上，，所以，即，所以的取值范圍為.15.答案：（1）見解析（2）證明見解析解析：（1）由，得，①當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，，要證當(dāng)時(shí)，，可證，因?yàn)?，即證.設(shè)，則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，.16.答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明：在中，，E為AC的中點(diǎn)，.在與中，，，，，，又E為AC的中點(diǎn)，，又，，平面，平面BED，又平面ACD，平面平面.（2）由（1）知是等腰三角形，又，為等邊三角形，，，在等腰中，，又，，以E為原點(diǎn)，EA，EB，ED所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，連接EF，則，，，，，，設(shè)平面ABD的法向量為，則令，得，易知的面積最小時(shí)，，在中，由知，，，，，，易得，設(shè)CF與平面ABD所成的角為，則，與平面ABD所成的角的正弦值為.17.答案：（1）（2）存在滿足條件的定點(diǎn)解析：（1）雙曲線C的漸近線方程為，圓F與直線切于點(diǎn)，所以代入得，①設(shè)，直線FQ有斜率，則，即，②又，③由①②③解得，，，所以雙曲線C的方程為.（2）假設(shè)存在滿足條件的定點(diǎn)，因?yàn)橹本€l不與坐標(biāo)軸垂直，故設(shè)l的方程為，，.由消去x整理得，則即，且，因?yàn)?，所以直線，的斜率為，.設(shè)（為定值），即，即，即，整理得，所以，所以.因?yàn)閠，為定值，且上式對任意m恒成立，所以，解得，.將代入式解得或且.綜上，存在滿足條件的定點(diǎn).18.答案：（1）（2）解析：（1）分別設(shè)第次取出紅球、綠球和籃球的概率為：、和，其中，，由題意知：，，，若第k次取出紅球，且第次取出藍(lán)球的概率為：，若第k次取出綠球，且第次取出藍(lán)球的概率為：，若第k次取出藍(lán)球，且第次取出藍(lán)球的概率為：，所以第次取出藍(lán)球的概率為：，由于，可得：，若設(shè)數(shù)列，上式即為：，配湊為：，，其中，數(shù)列是一個(gè)以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，則，即，即第3次取出的球是藍(lán)球的概率為：.（2）同上，分別設(shè)第次取出紅球、綠球和籃球的概率為：、和，其中，，由題意知：，，，若第k次取出紅球，且第次取出紅球的概率為：，若第k次取出綠球，且第次取出紅球的概率為：，若第k次取出藍(lán)球，且第次取出紅球的概率為：，所以第次取出紅球的概率為：，由于，可得：，由已知，記第n次取出的球是紅球的概率為，上式即為，有，，其中，，數(shù)列是一個(gè)以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，的解析式為：.19.答案：（1）是含谷函數(shù)，谷點(diǎn)；不是含谷函數(shù)，證明見解析（2）（3）解析：（1）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以是含谷函數(shù)，谷點(diǎn)；函數(shù)，求導(dǎo)恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，所以不是含谷函數(shù).（2）由題意可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)先減后增，且存在谷點(diǎn)，令，所以，設(shè)，所以，由可知恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，若滿足谷點(diǎn)，