2024八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期末測試模擬卷含解析新版浙教版

Page21期末測試模擬卷（考試范圍：八下全部考試時間：120分鐘試卷總分：120分）一．選擇題（共10小題，每題3分，共30分）1．（3分）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞0 B．x≥0 C．x≥﹣2 D．x＞﹣2【分析】依據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)解答即可．【解答】解：由題意得：x+2≥0，解得：x≥﹣2．故選：C．2．（3分）中華民族歷史悠久，傳統(tǒng)文化博大精深．下面選取了幾幅傳統(tǒng)文化圖片，其中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．B． C．D．【分析】依據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進(jìn)行推斷即可．【解答】解：A．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；B．是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項符合題意；C．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D．既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；故選：D．3．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有實(shí)數(shù)根，則a應(yīng)滿足（）A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)≤1且a≠0 C．a(chǎn)≥﹣1且a≠0 D．a(chǎn)≥1【分析】由關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有實(shí)數(shù)根，即可得判別式Δ≥0且a≠0，繼而可求得a的范圍．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4?a×1＝4﹣4a≥0，解得：a≤1，∵方程ax2﹣4x+1＝0是一元二次方程，∴a≠0，∴a的范圍是：a≤1且a≠0．故選：B．4．（3分）已知兩組數(shù)據(jù)：5、6、7和2、3、4那么這兩組數(shù)據(jù)的（）A．中位數(shù)不相等，方差不相等 B．平均數(shù)相等，方差不相等 C．中位數(shù)不相等，平均數(shù)相等 D．平均數(shù)不相等，方差相等【分析】分別利用平均數(shù)以及方差和中位數(shù)的定義分析，進(jìn)而求出答案．【解答】解：2、3、4的平均數(shù)為：×（2+3+4）＝3，中位數(shù)是3，方差為：×[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣4）2]＝；3、4、5的平均數(shù)為：×（3+4+5）＝4，中位數(shù)是4，方差為：×[（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2]＝；故中位數(shù)不相等，方差相等．故選：D．5．（3分）若n邊形的內(nèi)角和與外角和相加為1800°，則n的值為（）A．7 B．8． C．9 D．10【分析】先求得多邊形的內(nèi)角和，然后依據(jù)條件列出方程，即可求得n的值．【解答】解：由題意得，180°×（n﹣2）+360°＝1800°，解得：n＝10，故選：D．6．（3分）若點(diǎn)A（x1，﹣4），B（x2，2），C（x3，10）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是（）A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．y2＜y1＜y3 D．x3＜x2＜x1【分析】依據(jù)反比例函數(shù)的解析式可確定A點(diǎn)在第三象限，B，C在第一象限，再依據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得x1＜x3＜x2，即可選擇．【解答】解：反比例函數(shù)y＝中，k＝20＞0，∴A點(diǎn)在第三象限，B，C在第一象限，依據(jù)反比例函數(shù)增減性可得x1＜x3＜x2，故選：B．7．（3分）如圖，在矩形ABCD中，E在AD邊上，將△ABE沿BE折疊，使點(diǎn)A恰好落在矩形ABCD的對稱中心O處，AB＝4，則BC的長是（）A． B． C．8 D．12【分析】如圖，連接OD，首先說明B，O，D共線，證明∠DBC＝30°，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，連接OD．∵O是矩形ABCD的對稱中心，∴B，O，D共線，∵∠C＝90°，BD＝2OB＝2AB＝2CD＝8，∴∠DBC＝30°，∴BC＝BD?cos30°＝4，故選：B．8．（3分）如圖，已知ABCD為隨意四邊形，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，添加下列哪個條件，不能推斷四邊形EFGH為菱形的是（）A．EH＝HG B．EG⊥HF C．AC＝BD D．AC⊥BD【分析】首先依據(jù)中位線定理可得四邊形EFGH為平行四邊形，進(jìn)而依據(jù)菱形的判定：①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②對角線垂直的平行四邊形是菱形，可以得出答案．【解答】解：如圖，連接AC、BD，∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC且EF＝AC，同理可得：HG∥AC，HG＝AC，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四邊形EFGH為平行四邊形，A：若EH＝HG，則?EFGH為菱形，故A選項能推斷四邊形EFGH為菱形，B：若EG⊥HF，則?EFGH為菱形，故B選項能推斷四邊形EFGH為菱形，C：若AC＝BD，則有：EH＝，HG＝，∴EH＝HG，∴?EFGH為菱形，故C選項能推斷四邊形EFGH為菱形，D：若AC⊥BD，則可得：EH⊥HG，則?EFGH為矩形，不愿定是菱形，∴D選項不能推斷四邊形EFGH為菱形．故選：D．9．（3分）如圖，①②③④⑤五個平行四邊形拼成一個含45°內(nèi)角的菱形EFGH（不重疊無縫隙）．若①②③④四個平行四邊形面積的和為14cm2，四邊形ABCD面積是11cm2，則①②③④四個平行四邊形周長的總和為（）A．48 B．24 C．48 D．24【分析】依據(jù)①②③④四個平行四邊形面積的和為14cm2，四邊形ABCD面積是11cm2，可求出⑤的面積，從而可求出菱形的面積，依據(jù)菱形的性質(zhì)可求出邊長，進(jìn)而可求出①②③④四個平行四邊形周長的總和．【解答】解：作GM⊥EF于點(diǎn)M．由題意得：S⑤＝S四邊形ABCD﹣（S①+S②+S③+S④）＝11﹣14＝4cm2，∴S菱形EFGH＝14+4＝18cm2，又∵∠F＝45°，設(shè)菱形的邊長為x，則菱形的高為：GM＝GF＝x，依據(jù)菱形的面積公式得：x?＝18，解得：x＝6，∴菱形的邊長為6cm，而①②③④四個平行四邊形周長的總和＝2（AE+AH+HD+DG+GC+CF+FB+BE）＝2（EF+FG+GH+HE）＝48cm．故選：A．10．（3分）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，對角線OB在y軸上，位于第一象限的點(diǎn)A和其次象限的點(diǎn)C分別在雙曲線y＝和y＝的一支上，分別過點(diǎn)A，C作x軸的垂線垂足分別為M和N，則有以下的結(jié)論：①ON＝OM；②△OMA≌△ONC；③陰影部分面積是（k1+k2）；④四邊形OABC是菱形，則圖中曲線關(guān)于y軸對稱，其中正確的結(jié)論是（）A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①④【分析】先推斷出CE＝ON，AD＝OM，再推斷出CE＝AD，即可推斷出①正確；由于四邊形OABC是平行四邊形，所以O(shè)A不愿定等于OC，即可得出②錯誤；先求出三角形COM的面積，再求出三角形AOM的面積求和即可推斷出③錯誤，依據(jù)菱形的性質(zhì)推斷出OB⊥AC，OB與AC相互平分即可得出④正確．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥y軸于D，過點(diǎn)C作CE⊥y軸E，∵AM⊥x軸，CM⊥x軸，OB⊥MN，∴∠AMO＝∠DOM＝∠ADO＝∠CNO＝∠EON＝∠CEO＝90°，∴四邊形ONCE和四邊形OMAD是矩形，∴ON＝CE，OM＝AD，∵OB是?OABC的對角線，∴△BOC≌△OBA，∴S△BOC＝S△OBA，∵S△BOC＝OB×CE，S△BOA＝OB×AD，∴CE＝AD，∴ON＝OM，故①正確；在Rt△CON和Rt△AOM中，ON＝OM，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴OA與OC不愿定相等，∴△CON與△AOM不愿定全等，故②錯誤；∵其次象限的點(diǎn)C在雙曲線y＝上，∴S△CON＝|k2|＝﹣k2，∵第一象限的點(diǎn)A在雙曲線y＝上，S△AOM＝|k1|＝k1，∴S陰影＝S△CON+S△AOM＝﹣k2+k1＝（k1﹣k2），故③錯誤；∵四邊形OABC是菱形，∴AC⊥OB，AC與OB相互平分，∴點(diǎn)A和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等，點(diǎn)A與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱，∴k2＝﹣k1，即：四邊形是菱形，則圖中曲線關(guān)于y軸對稱，故④正確，∴正確的有①④，故選：D．二．填空題（共6小題，每題4分，共24分）11．（4分）已知＝﹣3﹣a，則a的取值范圍是a≤﹣3．【分析】依據(jù)＝|a|化簡即可得出答案．【解答】解：∵＝|3+a|＝﹣3﹣a，∴3+a≤0，∴a≤﹣3．故答案為：a≤﹣3．12．（4分）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)進(jìn)行跳高測試，每人10次跳高成果的平均數(shù)都是1.28m，方差分別是S甲2＝0.63m2，S乙2＝0.61m2，S丙2＝0.57m2，S丁2＝0.56m2，則這四名同學(xué)成果最穩(wěn)定的是?。痉治觥恳罁?jù)方差的意義求解即可．【解答】解：∵S甲2＝0.63m2，S乙2＝0.61m2，S丙2＝0.57m2，S丁2＝0.56m2，∴S丁2＜S丙2＜S乙2＜S甲2，∴這四名同學(xué)成果最穩(wěn)定的是丁，故答案為：?。?3．（4分）如圖，在寬為25m，長為40m的長方形耕地上修建同樣寬的三條道路（橫向與縱向垂直），把耕地分成若干塊，作為小麥試驗田，假設(shè)試驗田面積為912m2，求道路的寬為多少？設(shè)道路的寬為xm，可列出的方程是x2﹣45x+44＝0．（化為一般形式）【分析】設(shè)道路的寬為xm，則種植小麥的部分可合成長為（40﹣2x）m，寬為（25﹣x）m的矩形，依據(jù)試驗田面積為912m2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，化簡后即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)道路的寬為xm，則種植小麥的部分可合成長為（40﹣2x）m，寬為（25﹣x）m的矩形，依題意得：（40﹣2x）（25﹣x）＝912，化簡得：x2﹣45x+44＝0．故答案為：x2﹣45x+44＝0．14．（4分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的BC邊在x軸上，點(diǎn)A（0，3），B（﹣1，0），若直線y＝﹣2x+4恰好平分平行四邊形ABCD的面積，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（，3）．【分析】連接BD，設(shè)D（m，3），BD的中點(diǎn)為T．求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，利用的待定系數(shù)法，可得結(jié)論．【解答】解：連接BD，設(shè)D（m，3），BD的中點(diǎn)為T．∵B（﹣1，0），∴T（，），∵直線y＝﹣2x+4平分平行四邊形ABCD的面積，∴直線y＝﹣2x+4經(jīng)過點(diǎn)T，∴＝﹣2×+4，∴m＝，∴D（，3），故答案為：（，3）．15．（4分）如圖，矩形ACDO的面積為12，點(diǎn)B、C分別為反比例函數(shù)和圖象上的點(diǎn)，若B是AC的中點(diǎn)，則k1﹣k2的值為﹣6．【分析】設(shè)AB＝a，則AC＝2a，CD＝b，利用反比例函數(shù)解析式表示出k1，k2，即可求解．【解答】解：設(shè)AB＝a，CD＝b，∵四邊形ACDO是矩形，B是AC的中點(diǎn)，∴AC＝2a，∴B（a，b），C（2a，b），∵點(diǎn)B、C分別為反比例函數(shù)y＝和y＝圖象上的點(diǎn)，∴k1＝ab，k2＝2ab，∵矩形ACDO的面積為12，∴2ab＝12，∴k1＝6，k2＝12，∴k1﹣k2＝﹣6，故答案為：﹣6．16．（4分）如圖，先有一張矩形紙片ABCD，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)M，N分別在矩形的邊AD，BC上，將矩形紙片沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在矩形的邊AD上，記為點(diǎn)P，點(diǎn)D落在G處，連接PC，交MN于點(diǎn)Q，連接CM．下列結(jié)論：①CQ＝CD；②四邊形CMPN是菱形；③P，A重合時，MN＝2；④△PQM的面積S的取值范圍是3≤S≤5．其中正確的②③．（把正確結(jié)論的序號都填上）．【分析】先推斷出四邊形CNPM是平行四邊形，再依據(jù)翻折的性質(zhì)可得CN＝NP，然后依據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，推斷出②正確；假設(shè)CQ＝CD，得Rt△CMQ≌Rt△CMD，進(jìn)而得∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，這個不愿定成立，推斷①錯誤；點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，設(shè)BN＝x，表示出AN＝NC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，進(jìn)而用勾股定理求得MN，推斷出③正確；當(dāng)MN過D點(diǎn)時，求得四邊形CMPN的最小面積，進(jìn)而得S的最小值，當(dāng)P與A重合時，S的值最大，求得最大值即可．【解答】解：如圖1，∵PM∥CN，∴∠PMN＝∠MNC，∵∠MNC＝∠PNM，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN，∵NC＝NP，∴PM＝CN，∵M(jìn)P∥CN，∴四邊形CNPM是平行四邊形，∵CN＝NP，∴四邊形CNPM是菱形，故②正確；∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP，∴∠MQC＝∠D＝90°，∵CM＝CM，若CQ＝CD，則Rt△CMQ≌Rt△CMD（HL），∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，這個不愿定成立，故①錯誤；點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，如圖2所示：設(shè)BN＝x，則AN＝NC＝8﹣x，在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴CN＝8﹣3＝5，AC＝＝＝4，∴CQ＝AC＝2，∴QN＝＝＝，∴MN＝2QN＝2．故③正確；當(dāng)MN過點(diǎn)D時，如圖3所示：此時，CN最短，四邊形CMPN的面積最小，則S最小為S＝S菱形CMPN＝×4×4＝4，當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時，CN最長，四邊形CMPN的面積最大，則S最大為S＝×5×4＝5，∴4≤S≤5，故④錯誤．故答案為：②③．三．解答題（共8小題，共66分）17．（6分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）x2﹣16x﹣17＝0．（2）x2﹣2x﹣5＝0．【分析】（1）利用因式分解法把方程化為x+1＝0或x﹣17＝0，然后解一次方程即可；（2）利用配方法得到x+1＝0或x﹣17＝0，然后利用干脆開平方法解方程．【解答】解：（1）x2﹣16x﹣17＝0，（x+1）（x﹣17）＝0，x+1＝0或x﹣17＝0，所以x1＝﹣1，x2＝17；（2）x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，x+1＝0或x﹣17＝0，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．18．（6分）（1）計算：+﹣（﹣）；（2）當(dāng)x＝+2，y＝﹣2時，求代數(shù)式x2﹣y2+xy的值．【分析】（1）先化簡，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可；（2）由題意得x+y＝2，x﹣y＝4，xy＝﹣1，再把所求的式子進(jìn)行整理，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．【解答】解：（1）+﹣（﹣）＝2+2﹣3+＝；（2）∵x＝+2，y＝﹣2，∴x+y＝+2+﹣2＝2，x﹣y＝+2﹣（﹣2）＝4，xy＝（+2）×（﹣2）＝﹣1，∴x2﹣y2+xy＝（x+y）（x﹣y）+xy＝2×4+（﹣1）＝8﹣1．19．（6分）已知關(guān)于x的方程x2+2x+n＝0（n≠0）．（1）當(dāng)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根時，求n的取值范圍；（2）當(dāng)x＝n是原方程的一個根時，求n的值與方程的根．【分析】（1）依據(jù)題意，可得Δ＝4﹣4n＞0，解不等式即可；（2）將x＝n代入方程，解出n的值，然后代入原方程，求解即可．【解答】解：（1）∵方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝4﹣4n＞0，解得n＜1，∴n的取值范圍是n＜1；（2）將x＝n代入方程，得n2+2n+n＝0，解得n＝0或n＝﹣3，∵n≠0，∴n＝﹣3，∴原方程化為：x2+2x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3．20．（8分）某工廠生產(chǎn)部門為了解本部門工人的生產(chǎn)實(shí)力狀況，進(jìn)行了抽樣調(diào)查．該部門隨機(jī)抽取了30名工人某天每人加工零件的個數(shù)，整理數(shù)據(jù)，得到條形統(tǒng)計圖：樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如表所示：統(tǒng)計量平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)數(shù)值23m21依據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）表中眾數(shù)m的值為18；（2）為調(diào)動工人的主動性，該部門依據(jù)工人每天加工零件的個數(shù)制定了嘉獎標(biāo)準(zhǔn)，凡達(dá)到或超過這個標(biāo)準(zhǔn)的工人將獲得嘉獎，假如想讓一半左右的工人能獲獎，應(yīng)依據(jù)中位數(shù)來確定嘉獎標(biāo)準(zhǔn)比較合適．（填“平均數(shù)”、“眾數(shù)”或“中位數(shù)”）（3）該部門規(guī)定：每天加工零件的個數(shù)達(dá)到或超過25個的工人為生產(chǎn)能手，若該部門有300名工人，試估計該部門生產(chǎn)能手的人數(shù)．【分析】（1）依據(jù)條形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，可以得到m的值；（2）依據(jù)題意和中位數(shù)的定義，可以解答本題；（3）依據(jù)條形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，可以計算出該部門生產(chǎn)能手的人數(shù)．【解答】解：（1）由條形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)可得，眾數(shù)m的值是18，故答案為：18；（2）假如想讓一半左右的工人能獲獎，應(yīng)依據(jù)中位數(shù)來確定嘉獎標(biāo)準(zhǔn)比較合適，故答案為：中位數(shù)；（3）300×＝100（名），即該部門生產(chǎn)能手有100名．21．（8分）如圖，一次函數(shù)y1＝﹣x+2的圖象與反比例函數(shù)y2＝的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2n，﹣n）．（1）求n的值，并確定反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）結(jié)合函數(shù)圖象，干脆寫出不等式＞﹣x+2的解集．【分析】（1）把B的坐標(biāo)代入y1＝﹣x+2求得n的值，得出B（4，﹣2），再代入入y2＝即可求得k的值；（2）先依據(jù)方程﹣＝﹣x+2可得A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，依據(jù)圖象即可求得．【解答】解：（1）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2n，﹣n）且在一次函數(shù)y1＝﹣x+2的圖象上，代入得﹣n＝﹣2n+2．∴n＝2．∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣2），把B（4，﹣2）代入y2＝得k＝4×（﹣2）＝﹣8，∴反比例函數(shù)表達(dá)式為y2＝﹣；（2）∵﹣＝﹣x+2，∴x1＝4，x2＝﹣2，由圖象得：不等式＞﹣x+2的解集是x＞4或﹣2＜x＜0．22．（10分）如圖，已知等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A動身，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B動身，沿B→A的方向以cm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)B時，兩點(diǎn)均停止運(yùn)動．運(yùn)動時間記為t秒，請解決下列問題：（1）若點(diǎn)P在邊AC上，當(dāng)t為何值時，△APQ為直角三角形？（2）是否存在這樣的t值，使△APQ的面積為8cm2？若存在，請求出t的值，若不存在，請說明理由．【分析】（1）設(shè)經(jīng)過t秒，△APQ是直角三角形，此時AP＝2t，AQ＝．分類探討∠APQ＝90°或∠AQP＝90°．當(dāng)∠APQ＝90°時，AQ＝AP；當(dāng)∠AQP＝90°時，AP＝AQ，分別解方程即可；（2）設(shè)經(jīng)過t秒，△APQ的面積為為8cm2，連接PQ，作PH⊥AQ于H，分類探討點(diǎn)P在AC邊上和點(diǎn)P在BC邊上，△APQ的面積＝AQ×PH÷2＝8，即可求解．【解答】解：在等腰直角△ABC中，∵AC＝BC＝6cm，∴AB＝cm，（1）設(shè)經(jīng)過t秒，△APQ是直角三角形，此時AP＝2t，AQ＝．①當(dāng)∠APQ＝90°時，AQ＝AP，如下圖所示：∴＝，解得t＝2．②當(dāng)∠AQP＝90°時，AP＝AQ，如下圖所示：∴2t＝（），解得t＝3．∴若P在AC邊上，當(dāng)t＝2或t＝3時△APQ是直角三角形．（2）①當(dāng)P在AC邊上，連接PQ，過點(diǎn)P作PH⊥AB于H，如下圖所示：設(shè)經(jīng)過t秒，△APQ的面積為為8cm2，此時AP＝2t，AQ＝．∴PH＝，∴÷2＝8，解得t＝2或t＝4（舍去），②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時，連接AP，PQ，作PH⊥AQ于H，如下圖所示：設(shè)經(jīng)過t秒，△APQ的面積為為8cm2，此時PB＝12﹣2t，AQ＝．∴PH＝，∴＝＝8，解得t＝，或t＝（舍去），∴當(dāng)t＝2或t＝時，△APQ的面積為為8cm2．23．（10分）閱讀材料，并回答問題．定義：假如一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，那么把這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．（1）請你寫出一個和諧四邊形是菱形（或正方形）；（2）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝100°，∠C＝70°，BD平分∠ABC，求證：BD是四邊形ABCD的和諧線；（3）如圖2，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，在平面內(nèi)找一點(diǎn)D，使得以點(diǎn)A、B、C、D組成的四邊形為和諧四邊形，且滿足AD為和諧線，AB＝BD，請畫出草圖，并干脆寫出∠ABD的度數(shù)．【分析】（1）依據(jù)所學(xué)的特殊四邊形的性質(zhì)可干脆得出結(jié)論；（2）先依據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABC的度數(shù)，再依據(jù)家平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和求出∠ADB的度數(shù)，進(jìn)而可以推斷△ABD是等腰三角形，同理利用三角形內(nèi)角和可求出∠BDC的度數(shù)，由此可推斷△BDC是等腰三角形．（3）須要分三種狀況，當(dāng)AD＝AC時，當(dāng)AC＝CD時，當(dāng)AD＝CD時，畫出圖形，再分別求解即可．【解答】（1）解：依據(jù)定義可干脆得出，菱形和正方形都是和諧四邊形．故答案為：菱形（或正方形）；（2）證明：如圖1，∵AD∥BC，∠A＝100°，∴∠A+∠ABC＝180°，∠ADB＝∠DBC，∴∠ABC＝80°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ADB＝40°，∴AB＝AD，即△ABD是等腰三角形；∵∠C＝70°，∠DBC＝40°，∴∠BDC＝70°，∴∠C＝∠BDC，∴BD＝BC，即△BDC是等腰三角形，∴BD把四邊形ABCD分成兩個等腰三角形，即BD是四邊形ABCD的和諧線．（3）解：須要分三種狀況，①當(dāng)AD＝AC時，如圖2，∵AB＝AC，AB＝BD，∴AB＝BD＝AD，即△ABD是等邊三角形，∴∠ABD＝60°；②當(dāng)AC＝CD時，如圖2，此時AB＝BD＝AD＝CD，∵∠BAC＝90°，∴四邊形ABDC是正方形，∴∠ABD＝90°；③當(dāng)AD＝CD時，如圖4，過點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)N，則四邊形ANDM是長方形，∴DN＝AM＝CM＝AC，∵AB＝BD＝AC，∴DN＝BD，∴∠DBN＝30°，∴∠ABD＝150°．綜上，若以點(diǎn)A、B、C、D組成的四邊形為和諧四邊形，且滿足AD為和諧線，則∠ABD的度數(shù)為60°，90°或150°．24．（12分）古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在探討“三等分隨意銳角”時，發(fā)覺了如下的方法：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，將∠AOB的頂點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，邊OB與x軸的正半軸重合，OA在第一象限內(nèi)．①在平面直角坐標(biāo)系