遼寧省濱城高中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題

Page14濱城中學(xué)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年度上學(xué)期高二10月份考試數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知向量，則下列向量中與平行的是（）A． B． C． D．2．設(shè)，向量，，，且，，則（）A． B． C．3 D．43．已知平面，的法向量分別為，，則（）A． B．C．，相交但不垂直 D．，的位置關(guān)系不確定4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐成為陽(yáng)馬，如圖，四棱錐為陽(yáng)馬，平面ABCD，且，若，則（）A．2 B． C． D．15．已知，，，，則點(diǎn)D到平面ABC的距離為（）A． B． C． D．6．在正四棱錐中，，E為PC的中點(diǎn)，則異面直線AP與DE所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．如圖，設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，P是棱VA上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．記直線PB與直線AC所成的角為，直線PB與平面ABC所成的角為，二面角的平面角，則（）A．， B．， C．， D．，8．如圖，已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，沿MN將折起，當(dāng)直線AB與平面BCNM所成的角最大時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．二．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，假如，，．下列結(jié)論正確的有（）A． B．C．是平面ABCD的一個(gè)法向量 D．10．已知向量，，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．不存在實(shí)數(shù)，使得 D．若，則11．如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱AD，AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A．兩條異面直線和所成的角為45° B．存在點(diǎn)P，使得平面BEPC．對(duì)隨意點(diǎn)P，平面平面BEP D．點(diǎn)到直線的距離為412．如圖，在菱形ABCD中，，將沿BD折起，使頂點(diǎn)A至點(diǎn)M．在折起的過程中，下列結(jié)論中正確的是（）A． B．存在一個(gè)位置，使為等邊三角形C．DM與BC不行能垂直 D．直線DM與平面BCD所成角的最大值為60°三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中，16題第一空3分，其次空2分．13．已知空間向量，，則向量在向量上投影向量的坐標(biāo)是______．14．自然界中，構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元稱為晶胞，其形態(tài)一般是平行六面體，詳細(xì)形態(tài)大小由它的三組棱長(zhǎng)a，b，c及棱間交角，，（合稱為“晶胞參數(shù)”）來表征．如圖是某種晶體的晶胞，其中，，，，，則該晶胞的對(duì)角線的長(zhǎng)為______．15．二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，線段BD與AC分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并垂直于棱l，若，，，，則平面與平面的夾角為______．16．已知三棱錐，PA，PB，PC的長(zhǎng)分別為1，2，3，且PA，PB，PC兩兩夾角均為60°，G是三棱錐的重心，即，過點(diǎn)G作平面，與直線PA，PB，PC分別相交于D，E，F(xiàn)三點(diǎn)，且，，，則______，PG的長(zhǎng)度為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．其中，17題10分，其他題12分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知空間直角坐標(biāo)系中的三點(diǎn)，，．（1）若，且，求向量的坐標(biāo)；（2）已知向量與相互垂直，求k的值；（3）求點(diǎn)B到直線AC的距離．18．如圖，棱長(zhǎng)為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）OABC，M是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段AN上，且，．（1）用向量，，表示；（2）求．19．如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱底面ABCD，，E是PC的中點(diǎn)，作交PB于點(diǎn)F．（1）求證：平面BDE；（2）若平面BCP與平面BDP的夾角為，求點(diǎn)F到平面BCD的距離．20．如圖所示，等腰梯形ABCD中，，，，E為CD中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)O，將沿AE折起，使得D到達(dá)點(diǎn)P的位置（平面ABCE）．（1）證明：平面POB；（2）若，試推斷線段PB上是否存在一點(diǎn)Q（不含端點(diǎn)），使得直線PC與平面AEQ所成角的正弦值為，若存在，確定Q點(diǎn)位置；若不存在，說明理由．21．如圖，四棱錐中，底面四邊形PCBM是直角梯形，，，，，，，，直線AM與PC所成的角為60°．（1）求證：平面平面ABC；（2）點(diǎn)Q為線段MB上一點(diǎn)，若二面角的大小為30°，求QB的長(zhǎng)．22．如圖，已知直三棱柱中，，，M，N分別是，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線上，且．（1）求證：無論取何值，總有；（2）當(dāng)取何值時(shí)，直線PN與平面ABC所成的角最大？求該角取最大值時(shí)的正弦值；（3）是否存在點(diǎn)P，使得平面PMN與平面ABC所成的角為30°？若存在，試確認(rèn)點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．濱城中學(xué)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年度上學(xué)期高二10月份考試數(shù)學(xué)試卷答案一、選擇題1．B2．C3．C4．D5．A6．C7．B由最小角定理可知，又由題意可得是正三棱錐，則二面角與二面角的大小相等，由最大角定理可得，故選B．8．B因?yàn)榈冗吶切蜛BC是對(duì)稱圖形，分別取MN，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，則．以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EM，EF所在直線為x軸、y軸，過點(diǎn)E作z軸垂直于底面MBCN，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系．由題設(shè)知，記，則，，平面MBCN的一個(gè)法向量．設(shè)直線AB與平面MBCN所成的角為，則令，則．．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)，，．故．二．選擇題9．ABC∵，∴，即，A正確；∵，∴，即，B正確；∵，，且，平面ABCD，∴平面ABCD，∴是平面ABCD的一個(gè)法向量，C正確；由是平面ABCD的法向量可得，D錯(cuò)誤．10．AC對(duì)于A中，由，可得，解得，故A正確；對(duì)于B中，由，可得，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，若存在實(shí)數(shù)，使得，則，明顯無解，即不存在實(shí)數(shù)，使得，故C正確；對(duì)于D中，若，則，解得于是，故D錯(cuò)誤．11．BCD對(duì)于A，由正方體的性質(zhì)可得，兩條異面直線和所成角即為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)重合時(shí)，由題知，，，，∴，，四邊形是平行四邊形，∴，∵平面BEP，平面BEP，∴平面ABCD，故B正確；對(duì)于C，連接CF，∵平面ABCD，平面ABCD，∴，又，，，，∴，∴，∵CE，相交，CF，平面，∴平面，由平面BEP，∴對(duì)隨意點(diǎn)P，平面平面BEP，故C正確；對(duì)于D，由正方體的性質(zhì)得，，，∴，∴，∴點(diǎn)到直線的距離為，故D正確．12．ABD對(duì)于A，與相交于點(diǎn)O，在翻折過程中，AO始終與BD垂直，因此．又，由線面垂直的判定定理，可得平面CMO，因此，故A正確；對(duì)于B，已知，若為等邊三角形，則．設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，因?yàn)?，則，即，又，所以，即二面角的平面角的余弦值為時(shí)，為等邊三角形，故B正確；對(duì)于C，如圖，設(shè)N為BC的中點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，平面BCD，所以，又，則平面DMN，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)平面BCD，直線DM與平面BCD所成的角最大，為，易知，故D正確．三、填空題13．14．15．16．4；由，可得，因?yàn)镚，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，所以依據(jù)共面定理的推論可得．由，得，所以．四、解答題17．（1），因?yàn)?，所以，然后依?jù)，可得，所以或；（2），，得；（3）設(shè)在上的投影向量的模長(zhǎng)，則所求距離．18．（1），∴（2），∴，∴，∴19．（1）證明：連接AC交于點(diǎn)G，連接GE，∵E是PC的中點(diǎn)，∴，平面BDE，平面BDE，∴平面BDE．（2）設(shè)，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面BCP的法向量為，由得，同理，由，，由得，由平面BCP與平面BDP的夾角為，，解得，∴，．設(shè)，，又，∴，，∴，又平面ABCD，平面BCD的法向量，又，則點(diǎn)F到平面BCD的距離．20．（1）證明：連接BE，在等腰梯形ABCD中，，，E為CD中點(diǎn)，∴四邊形ABED為菱形，∴，∴，，即，，且，平面POB，平面POB，∴平面PBO．（2）由（1）可知四邊形ABCD為菱形，∴，在等腰梯形ABCD中，∴正三角形，∴，同理．∵，∴，∴．由（1）可知，，O為原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，各點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，∴，，，設(shè)，，設(shè)平面AEQ的一個(gè)法向量為，則，即，取得，，得，所以，設(shè)直線PC與平面AEQ所成角為，，則，即，化簡(jiǎn)得，解得．即Q為線段PB中點(diǎn)．21．（1）證明：∵，，，∴平面ABC．又平面PAC，∴平面平面ABC．（2）在平面ABC內(nèi)，過C作x軸⊥CB，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．由題意有，設(shè)，則，，，由直線AM與直線PC所成的角為60°，得，即，得，所以．由直角梯形PCBM可知，則可設(shè)，由題意得，，設(shè)平面ACQ的一個(gè)法向量為，則，取，得．平面ABC的法向量取，則，解得（負(fù)值舍去），則．22．