馬爾可夫鏈專題講義 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

馬爾科夫鏈專題講義馬爾科夫鏈?zhǔn)且远砹_斯數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾科夫的名字命名,是一個數(shù)學(xué)隨機(jī)模型,描述了一連串可能發(fā)生的事件,從一個狀態(tài)到另外一個狀態(tài),也可以是保持當(dāng)前狀態(tài)的隨機(jī)過程.下一個狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定,在時間序列中它前面的事件均與之無關(guān).高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常與條件概率,全概率公式,貝葉斯公式相結(jié)合,構(gòu)造遞推關(guān)系求的概率.一、馬爾科夫鏈的性質(zhì)馬爾科夫鏈具有狀態(tài)空間,無記憶性,轉(zhuǎn)移概率(轉(zhuǎn)移矩陣)等三個要素,馬爾科夫鏈?zhǔn)菑囊粋€狀態(tài)到另一個狀態(tài)轉(zhuǎn)化的隨機(jī)過程,每個狀態(tài)稱為狀態(tài)空間.無記憶性是而的事件均與之無關(guān).這種特定類型的“無記憶性”稱作馬爾科天性.在馬爾科夫鏈的每一步,根據(jù)概率分布,可以從個狀態(tài)變頻另外一個狀態(tài),也可以保持當(dāng)前狀態(tài).狀態(tài)的改變叫做轉(zhuǎn)移,與不同狀態(tài)改變相關(guān)的概率叫做轉(zhuǎn)移項(xiàng)率.對于隨機(jī)變量序列Xm已知第n小時的狀態(tài)Xn.如果X?,Xn?1的取值都沒有關(guān)系,那么稱隨機(jī)變量序列二、馬爾科夫鏈基本原理雖然貝葉斯公式不做要求,但是全概率公式已經(jīng)是新高考考查內(nèi)容,利用全概率公式,我們既可以構(gòu)造某些遞推關(guān)系求解概率,還可以推導(dǎo)經(jīng)典的一維隨機(jī)游走模型,即設(shè)數(shù)軸上一個點(diǎn),它的位置只能位于整點(diǎn)處,在時刻t=0時,位于點(diǎn)X=ii∈N?一個時刻,它將以概率α或者P另一方面,由于PX代入上式可得Pi進(jìn)一步,我們假設(shè)在x=0與x=進(jìn)一步,若點(diǎn)在某個位置后有三種情況:向左平移一個單位,其概率為a,原地不動,其概率為b,向右平移一個單位,其概率為c,那么根據(jù)全概率公式可得Pi三、應(yīng)用舉例1.藥物試驗(yàn)問題例1（2019全國1卷21）為治療某種歡病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn).對于兩只白鼠,隨機(jī)選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,脫停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗(yàn),若施以甲藥的白貝治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得?1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈半分別記為α和β,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X(1)求X的分布列:(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時都賦予4分,pi(i=0p其中a=PX(i)證明:pi(iii)求pc,并根據(jù)p解:(1)由超意知,X的所有可能取值為-1.0,1.PX∴XX?01P1αβα(i)由(1)知,ac∴∴∴又p1?p(ii)由(i)可得pi∴====∵∴===p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率.由計算結(jié)果可以看出,在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時,認(rèn)為甲藥更有效的概率為p4=注：雖然當(dāng)時學(xué)生未學(xué)過全概率公式,但命題人直接把pi2.投籃問題例2(2023年新高考I卷21)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8,由抽簽確定第一次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率;(2)求第i次投籃的人是甲的概率;(3)已知:若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布,且PXi=1=1?PXi【分析】(1)第2次投籃的人是乙有兩種可能:①第1次甲投,但甲未中;②第1次乙投,且乙投中;(2)第i次投籃的人是甲有兩種可能:①第i?1次甲投,且甲投中;②第i?1次乙投,且乙未中;(3)隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布可以理解為第i次投球的人,Xi=1表示甲投,Xi=0解:(1)記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai,“第i籃的人是乙”為事件BiPP∴第2次投籃的人是乙的概率為0.6.(2)設(shè)PAi=當(dāng)i≥2即p設(shè)pi+λ∴?35λ∴p又p1∴pi?13即pi∴p∴第i次投籃的人是甲的概率為pi=1(3)由(2)知,pi∴當(dāng)n∈N∴3.傳球問題例3(2019人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三第91頁第10題)甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練,第1次由甲將球傳出,每次傳球時,傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人.求n次傳球后球在甲手中的概率.【分析】若第n+（1）第n次傳球后球在甲手中,第n+（2）第n次傳球后球在乙或丙手中,第n+根據(jù)全概率公式列出概率遞推關(guān)系式,構(gòu)造等比數(shù)列即可解決問題.解:設(shè)n次傳球后球在甲手中的概率為pn,記An=AnP∴pn+設(shè)pn+∴32λ=1∴數(shù)列pn?13是首項(xiàng)為∴∴n次傳球后球在甲手中的概率為1 注：由全概率公式構(gòu)造概率遞推關(guān)系式,其本質(zhì)上就是由第n?1次的各種試驗(yàn)結(jié)果,結(jié)合全概率公式去計算第n例4校足球隊(duì)中的甲、乙、丙、丁四名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練,第1次由甲將球傳出,每次傳球時,傳球者都等可能的將球傳給另外三個人中的任何一人,如此不停地傳下去,且假定每次傳球都能被接到.記開始傳球的人為第1次觸球者,第n次觸球者是甲的概率記為Pn,即P(1)求P3(2)證明:數(shù)列Pn解:(1)由題意得,第二次觸球者為乙、丙、丁中的一個,第二次觸球者傳給包括甲的三人中的一人,故傳給甲的概率為13,即P(2)第n次觸球者是甲的概率記為Pn,則當(dāng)n≥2時,第n?1次觸球者是甲的概率為P由全概率公式得Pn∴∴數(shù)列Pn?14是首項(xiàng)為∴∴∴P例5唐代酒宴上的助興游戲“擊鼓傳花”,也稱傳彩球.游戲規(guī)則為:擊鼓時,眾人開始依次傳花,至鼓停為止,此時花在誰手中,誰就上臺表演節(jié)目.甲、乙、丙三人玩擊鼓傳花,鼓響時,第一次由甲將花傳出,每次傳花時,傳花者都等可能地將花傳給另外兩人中的任何一人,經(jīng)過6次傳花后,花又在甲手中的概率為___.【答案】11【解析】設(shè)n次傳花后花在甲手中的概率為PnP1=0,且設(shè)Pn+1令?32k=12,解得所以Pn?13是以則Pn?1故經(jīng)過6次傳花后,花又在甲手中的概率為P64.摸球問題例6(2023屆廣東茂名二模)馬爾科夫鏈?zhǔn)且蚨韲鴶?shù)學(xué)家安德烈.馬爾科夫得名,其過程具備“無記憶”的性質(zhì),即第n+1次狀態(tài)的概率分布只跟第n次的狀態(tài)有關(guān),與第n?1,n?2,n(1)求X1(2)求數(shù)列an(3)求Xn解:(1)由題意知,X1的可能取值為0,PPP∴XX012P252由全概率公式得P++=即an∴a易得an又a1∴數(shù)列an?35是首項(xiàng)為∴an?（3）由全概率公式得P=+=0=即bn+1∴b∴又∴∴∴∴E例7(2023屆佛山二模T16)有n個編號分別為1,2,?∴【答案】59【解析】設(shè)Pn為從第n個盒子中取到白球的概率,則此時P2當(dāng)n≥2易得Pn故數(shù)列Pn?12是以的等比數(shù)列,所以P例8(深圳中學(xué)2024屆高三年級高考適應(yīng)性測試14)馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型,也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石,為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機(jī)過程.該過程要求具備“無記憶”的性質(zhì):下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定,在時間序列中它前面的事件均與之無關(guān).甲口袋中裝有一個黑球和2個白球,乙口袋中裝有2個黑球和1個白球,現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋,重復(fù)進(jìn)行nn∈N?次這樣的操作,記口袋甲中黑球的個數(shù)為Xn,恰有1個黑球的概率為an,則a【答案】49【解析】第一問,考慮到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的,即從甲、乙兩口袋中各取一個黑球交換,或各取一個白球交換.由全概率公式可得a1由題意知,Xn?1設(shè)PXn?PPPP∴===由題意知,X1PPP∴=∴∴E∴數(shù)列EXn?32∴∴5.賭徒輸光問題例9(2023屆杭州高三下期質(zhì)量檢測T21)馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型,也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石,在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.其數(shù)學(xué)定義為:假設(shè)我們的序列狀態(tài)是?,Xt?2,PXt+1∣?,Xt?2當(dāng)賭徒手中有n元0≤n≤(1)請直接寫出P0與P(2)證明{Pn}(3)當(dāng)A=100時,分別計算PA的數(shù)值,并結(jié)合實(shí)際解釋當(dāng)B→∞時,解:(1)當(dāng)n=0時,賭徒已經(jīng)輸光了,因此當(dāng)n=B時,賭徒到了終止賭博的條件,不再賭了,因此輸光的概率(2)記M:賭徒有n元最后輸光的事件,N:賭徒有n元上一場贏的事件,則P即Pn即Pn則{Pn}P累加得P故PB?P(3)由題知A=100,由PA?當(dāng)B=200時,當(dāng)B=1000時,當(dāng)B→∞時,P即便是一個這樣看似公平的游戲,只要賭徒一直玩下去就會100% 注：此題很新穎,題目的背景設(shè)置的雖然較為陌生復(fù)雜,但解答并不困難,該題將概率和數(shù)列知識綜合到了一起,解答的關(guān)鍵是要弄明白題目的含義,即審清楚題意,明確Pn6.游戲問題例10(山東省濟(jì)南市2023屆高三下學(xué)期開學(xué)考)甲、乙兩人進(jìn)行拋擲骰子游戲,兩人輪流拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子.規(guī)定:先擲出點(diǎn)數(shù)6的獲勝,游戲結(jié)束.(1)記兩人拋擲骰子的總次數(shù)為X,若每次最多拋擲兩次骰子,求比賽結(jié)束時,X的分布列和期望;（2）已知甲先擲,求甲恰好拋擲n次骰子并獲得勝利的概率.解:(1)依題意得,拋擲骰子一次獲勝的概率為16,XPPPP∴X的分布列為X1234P1525125期望EX(2)設(shè)甲拋擲第n次骰子且不獲勝的事件的概率為a依題意得,a1=56因此,數(shù)列an是首項(xiàng)為56,公比為則an當(dāng)n≥2時,甲恰好拋擲P顯然當(dāng)n=1時,P所以甲恰好拋擲n次骰子并獲得勝利的概率為16例11（2024年5月“桐·浦·富·興”教研聯(lián)盟高二調(diào)研測試18)有一款闖關(guān)游戲,其規(guī)則如下:一顆棋子位于數(shù)軸原點(diǎn)O處,若擲出的骰子大于或者等于3,則棋子向右移動一個單位(從0移動到1),若擲出的骰子小于或者等于2,則棋子向右兩個單位(從0移動到2),若棋子移動到99處,則“闖關(guān)失敗”,若棋子移動到100處,則“闖關(guān)成功”,無論“闖關(guān)失敗”或者“闖關(guān)成功”都將停止游戲,記棋子在坐標(biāo)i處的概率為Pi(1)求P1(2)求證:Pi?Pi?(3)若有5人同時參加此游戲,記隨機(jī)變量X為“闖關(guān)成功”的人數(shù),求EX解:(1)由題意得,棋子向右移動一個單位的概率為23,棋子向右移動二個單位的概率為1∴P(2)由題意得,棋子在坐標(biāo)i處有兩種情況:①棋子在坐標(biāo)i?1處向右移動一個位;②棋子在坐標(biāo)∴∴P又P2∴數(shù)列Pi?Pi?1是首項(xiàng)為∴∴累加得Pi?∴Pi=(3)由題意得,“闖關(guān)成功”,即棋子在坐標(biāo)100處,只能是棋子在坐標(biāo)98處向右移動二個單位到達(dá),則P=1又7.學(xué)生就餐問題例12(江蘇省鹽城市2024屆高三考前指導(dǎo)卷16)某學(xué)校有A,B兩個餐廳,經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),學(xué)生在第一天就餐時會隨機(jī)地選擇一個餐廳用餐.此后,如果某同學(xué)某天去A餐廳,那么該同學(xué)下一天還去A餐廳的概率為0.4;如果某同學(xué)某天去B餐廳,那么該同學(xué)下一天去(1)記甲、乙、丙3位同學(xué)中第2天選擇A餐廳的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和期望;(2)甲同學(xué)第幾天去A餐廳就餐的可能性最大?并說明理由.解:(1)一位同學(xué)第2天選擇A餐廳的概率為0.5×由題意得,X～PPPPX故X的分布列為X0123P8365427∴E(2)設(shè)甲同學(xué)第n天去A餐廳的概率為Pn,則P當(dāng)n≥2∴Pn?∴數(shù)列Pn?47是首項(xiàng)為數(shù)列,∴當(dāng)n為奇數(shù)時,Pn當(dāng)n為偶數(shù)時,Pn=P∴甲同學(xué)第2天去A餐廳就餐的可能性最大.8.布朗運(yùn)動問題例13(2024屆武漢市二調(diào)14)“布朗運(yùn)動”是指微小顆粒永不停息的無規(guī)則隨機(jī)運(yùn)動,在如圖所示的試驗(yàn)容器中,容器由三個倉組成,某粒子作布朗運(yùn)動時每次會從所在倉的通道口中隨機(jī)選擇一個到達(dá)相鄰倉或者容器外,一旦粒子到達(dá)容器外就會被外部捕獲裝置所捕獲,此時試驗(yàn)結(jié)束.已知該粒子初始位置在1號倉,則試驗(yàn)結(jié)束時該粒子是從1號倉到達(dá)容器外的概率為【答案】10【解析】方法一:設(shè)該粒子在第nn率分別為an,∴an又a0∴a試驗(yàn)結(jié)束時該粒子是從1號倉到達(dá)容器外的概率為2====方法二:記從ii概率為Pi,則解得P1故試驗(yàn)結(jié)束時該粒子是從1號倉到達(dá)容器外的概率為1013例14（河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試19)“布朗運(yùn)動”是指懸浮在液體或氣體中的微小顆粒所做的永不停息的無規(guī)則運(yùn)動,在如圖所示的試驗(yàn)容器中,容器由三個倉組成,某粒子做布朗運(yùn)動時每次會從所在倉的通道口中隨機(jī)選擇一個到達(dá)相鄰倉,且粒子經(jīng)過n次隨機(jī)選擇后到達(dá)2號倉的概率為Pn(1)證明數(shù)列Pn?1(2)粒子經(jīng)過4次隨機(jī)選擇后,記粒子在1號倉出現(xiàn)的次數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解:(1)設(shè)粒子經(jīng)過n次隨機(jī)選擇后分別到達(dá)1號倉,3號倉的概率為AnP∴∴P又P0∴Pn?14∴∴(2)由題意得,X的可能取值為0,1,2.PP×P∴Xx012P