研究生入學(xué)考試線性代數(shù)第講

2024/6/241附錄2數(shù)域命題量詞1.數(shù)域一個含有數(shù)0,1的數(shù)集F,如果其中任意兩個數(shù)關(guān)于數(shù)的四則運(yùn)算封閉(除法的除數(shù)不為零),即它們的和,差,積,商仍是F中的數(shù),則數(shù)集F就稱為一個數(shù)域.2024/6/242全體有理數(shù),實數(shù),復(fù)數(shù)級成的數(shù)集都是數(shù)域,稱為有理數(shù)域,實數(shù)域,復(fù)數(shù)域,分別記作Q,R,C.2024/6/243II命題命題是一個陳述句,這個陳述句可以用"是"或者"否"來判定其真?zhèn)?可以轉(zhuǎn)換為一個"是/否"問題.如:雪是白的.雪不是白的.兩個三角形相似當(dāng)且僅當(dāng)兩個三角形三個內(nèi)角分別相等.命題有簡單命題和復(fù)合命題兩種.2024/6/244邏輯連接詞

析取詞,合取詞,

蘊(yùn)含詞,雙蘊(yùn)含詞否定詞2024/6/245例如假設(shè)p為"刮風(fēng)",q為"下雨"p

q:刮風(fēng)且下雨p

q:刮風(fēng)或下雨p

q:如果刮風(fēng),則必下雨p

q:刮風(fēng)是下雨的充分必要條件

p:沒有刮風(fēng)

(p

q):如果刮風(fēng),也未見得就會下雨.2024/6/246條件命題p

q(若p則q)與其逆否命題(q)(p)(可簡寫為q

p)是等價命題設(shè)p為刮風(fēng),q為下雨p

q

如刮風(fēng)必下雨和

q

p

如不下雨必?zé)o刮風(fēng)是等價命題.用反證法證明一個數(shù)學(xué)定理"若p則q",就是證明它的逆否命題"若非q則非p"2024/6/247III量詞有些命題常用兩種斷言:"集X中每個元素具有性質(zhì)p";"集X中至少存在一個元素具有性質(zhì)p".為表述簡便,用邏輯符號:"

x

X,p"(或"(x

X)p")和"x

X,p"(或"(x

X)p)表示.2024/6/248例如,對于集合A與B,A

B的含義是"若a

A,則a

B".這可表述為

a

A,a

BA

B的否定為A

B,含義是

a

A,a

B2024/6/249一般地,含有量詞的命題的否定命題,滿足下面兩個基本的等價規(guī)則:非(

x

X)p,等價于(x

X)非p;非(x

X)p,等價于(x

X)非p.2024/6/2410定義1數(shù)域F上的n個數(shù)a1,a2,...,an構(gòu)成的有序數(shù)組,稱為數(shù)域F上的一個n元向量(以后常稱n維向量),記作

a=[a1,a2,...,an], (3.2)

其中ai稱為a的第i個分量.

向量寫作(3.2)的形式,稱為行向量;向量寫作列的形式(也用矩陣的轉(zhuǎn)置記號表示)

a=[a1,a2,...,an]T (3.3)

稱為列向量((3.2),(3.3)式的方括號也可用圓括號).

數(shù)域F上全體n元向量級成的集合,記作Fn.2024/6/2411定義2設(shè)a=[a1,a2,...,an],b=[b1,b2,...,bn]

Fn,k

F,定義

(i)a=b,當(dāng)且僅當(dāng)ai=bi(i=1,2,...,n)

(ii)向量加法(或a與b之和)為

a+b=[a1+b1,a2+b2,...,an+bn];

(iii)向量的數(shù)量乘法(簡稱數(shù)乘)為

ka=[ka1,ka2,...,kan],

ka稱為向量a與數(shù)k的數(shù)量乘積.

取k=-1,(-1)a=[-a1,-a2,...,-an]. (3.4)

稱右端為a的負(fù)向量,記作-a.則向量減法定義為 b-a=b+(-a).

分量全為零的向量稱作零向量,記作0n或0.2024/6/2412上述在Fn中定義的向量加法和數(shù)乘運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)算,滿足八條運(yùn)算規(guī)則:

(1)a+b=b+a (加法交換律);

(2)(a+b)+g=a+(b+g) (加法結(jié)合律);

(3)對任一向量a,a+0=a;

(4)對任一向量a,存在負(fù)向量-a,使a+(-a)=0

(5)1a=a;

(6)k(la)=(kl)a (數(shù)乘結(jié)合律);

(7)k(a+b)=ka+kb (數(shù)乘分配律);

(8)(k+l)a=ka+la (數(shù)乘分配律);

其中a,b,g

Fn,1,k,l

F,0為零向量.2024/6/2413除上面八條規(guī)則外,還有下面三個性質(zhì):

(1)0a=0,k0=0(其中0為數(shù)零,k為任意數(shù));

(2)若ka=0,則或者k=0,或者a=0;

(3)向量方程a+x=b有唯一解x=b-a.

定義3

數(shù)域F上的全體n元向量,在其中定義了上述向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算,就稱之為數(shù)域F上的n維向量空間,仍記作Fn.當(dāng)F=R(實數(shù)域)時,叫做n維實向量空間,記作Rn.2024/6/2414定義4設(shè)ai

Fn,ki

F(i=1,2,...,m),則向量稱為向量組a1,a2,...,am在數(shù)域F上的一個線性組合.如果記就說b可由a1,a2,...,am線性表示(或線性表出).2024/6/2415向量的線性相關(guān)性是向量在線性運(yùn)算下的一種性質(zhì),它是線性代數(shù)中極為重要的基本概念.為了更好地理解這個概念,先講一下它在三維實向量中的某些幾何背景,然后給以一般定義.

若兩個向量a1和a2共線,則a2=la1(l

R),這等于存在不全為零的數(shù)k1,k2使k1a1+k2a2=0;若a1和a2不共線,則l

R,有a2

la1,它等價于:只有當(dāng)k1,k2全為0時,才有k1a1+k2a2=0.a1a2a1a22024/6/2416若三個向量a1,a2,a3共面,則其中至少有一個向量可由另兩個向量線性表示.Oa1a2a3a3=l1a1+l2a2Oa1a2a3a1=l3a3+0a22024/6/2417兩種情況都等價于:存在不全為0的數(shù)k1,k2,k3,使k1a1+k2a2+k3a3=0;

若a1,a2,a3不共面,則任一個向量都不能由另兩個向量線性表示,即只有當(dāng)k1,k2,k3全為零時,才有k1a1+k2a2+k3a3=0.Oa3=ka2=ja1=i2024/6/2418定義5

如果對m個向量a1,a2,...,am

Fn,有m個不全為零的數(shù)k1,k2,...,km

F,使

k1a1+k2a2+...+kmam=0 (3.5)

成立,則稱a1,a2,...,am線性相關(guān);否則,稱a1,a2,...,am線性無關(guān).即只有當(dāng)k1,k2,...,km全為零時,才有

k1a1+k2a2+...+kmam=0

成立,就稱a1,a2,...,am線性無關(guān).2024/6/2419定理1向量組a1,a2,...,am(m2)線性相關(guān)的充分必要條件是a1,a2,...,am中至少有一個向量可由其余m-1個向量線性表示.

證設(shè)a1,a2,...,am線性相關(guān),則存在m個不全為0的數(shù)k1,k2,...,km,使

k1a1+k2a2+...+kmam=0.

不妨設(shè)k10,于是由向量的線性運(yùn)算性質(zhì)得必要性得證.2024/6/2420再證充分性,不妨設(shè)a1可用a2,a3,...,am線性表示,即

a1=l2a2+l3a3+...+lmam,

于是有

1a1-l2a2-l3a3-...-lmam=0,

顯然1,-l2,-l3,...,-lm不全為0,故a1,a2,...,am線性相關(guān).

定理1的等價命題(逆否命題)是:向量組a1,a2,...,am(m2)線性無關(guān)的充分必要條件是其中任一個向量都不能由其余向量線性表示.2024/6/2421例1設(shè)n維向量ei=[0,...,0,1,0,...,0],其中第i個分量為1,其余分量為0,則e1,e2,...,en是線性無關(guān)的.

證設(shè)存在n個數(shù)k1,k2,...,kn使

k1e1+k2e2+...+knen=0,

即 [k1,k2,...,kn]=0,

則必須k1=k2=...=kn=0,故e1,e2,...,en線性無關(guān).

以后,稱e1,e2,...,en為基本向量.2024/6/2422例2設(shè)n維向量a=[a1,a2,...,an],e1,e2,...,en為基本向量,則向量組a,e1,e2,...,en是線性相關(guān)的.

證由于

a=[a1,a2,...,an]=a1e1+a2e2+...+anen,

根據(jù)定理1,向量組a,e1,e2,...,en線性相關(guān).2024/6/2423例3包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的.

證設(shè)向量組a1,a2,...,as(其中a1=0),于是存在不全為零的數(shù)1,0,...,0,使

1a1+0a2+...+0as=0,

故線性相關(guān).

根據(jù)定義不難證明:單個向量a線性相關(guān)(無關(guān)),當(dāng)且僅當(dāng)a為零向量(非零向量).2024/6/2424定理2設(shè)a1,a2,...,ar

Fn,其中:

a1=[a11,a21,...,an1]T,a2=[a12,a22,...,an2]T,...,ar=[a1r,a2r,...,anr]T.則向量組a1,a2,...,ar線性相關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組

AX=0 (3.6)

有非零解,其中2024/6/2425證設(shè)x1a1+x2a2+...+xrar=0, (3.7)

即將(3.8)式左端作線性運(yùn)算,再與右端相等,即得方程(3.6).因此,如果a1,a2,...,ar線性相關(guān),就必有不全為零的數(shù)x1,x2,...,xr使(3.7)成立,即齊次線性方程組(3.6)有非零解.反之,如(3.6)有非零解,即有不全為零的數(shù)x1,x2,...,xr使(3.7)成立,故a1,a2,...,ar線性相關(guān).2024/6/2426定理2的等價命題是:a1,a2,...,ar線性無關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組(3.6)只有零解.

因此,判定一組向量是否線性相關(guān)或者線性無關(guān)的基本技術(shù)是求解齊次線性方程組(3.6).

在定理2中,如果n<r,由高斯消元法可知,方程組(3.6)求解必有自由未知量,即必有非零解.因此,任何n+1個n維向量都是線性相關(guān)的.所以在Rn中,任何一組線性無關(guān)的向量最多只能含n個向量.2024/6/2427定理3若向量組a1,a2,...,ar線性無關(guān),而b,a1,a2,...,ar線性相關(guān),則b可由a1,a2,...,ar線性表示,且表示法唯一.

證因b,a1,a2,...,ar線性相關(guān),存在不全為零的數(shù)k,k1,k2,...,kr,使得

kb+k1a1+k2a2+...+krar=0, (3.9)

其中k0(如k=0,則由線性無關(guān)又得必須全為零,這與不全為零矛盾),于是2024/6/2428再證表示法唯一,設(shè)有兩種表示法:

b=l1a1+l2a2+...+lrar

=h1a1+h2a2+...+hrar,

于是

(l1-h1)a1+(l2-h2)a2+...+(lr-hr)ar=0.

由于a1,a2,...,ar線性無關(guān),所以必有

li-hi=0,即li=hi, i=1,2,...,r,

故b由a1,a2,...,ar線性表示的表示法唯一.證畢.

由定理2和定理3可得如下推論:

推論如果Fn中n個向量a1,a2,...,an線性無關(guān),則Fn中任一向量可由a1,a2,...,an唯一地線性表示.2024/6/2429例4設(shè)a1=[1,-1,1],a2=[1,2,0],a3=[1,0,3],a4=[2,-3,7].問:(1)a1,a2,a3是否線性相關(guān)?(2)a4可否由a1,a2,a3線性表示?如能表示求其表示式.

解

(1)根據(jù)定理(2),作矩陣用高斯消元法易得方程組AX=O只有零解,故a1,a2,a3線性無關(guān).2024/6/2430(2)根據(jù)定理2和定理3的推論,a4可由a1,a2,a3線性表示,且表示法唯一.設(shè)

x1a1+x2a2+x3a3=a4,

即x1[1,-1,1]+x2[1,2,0]+x1[1,0,3]=[2,-3,7].

于是得即AX=a4,解此方程組得唯一解:x1=1,x2=-1,x3=2,故a4=a1-a2+2a3.2024/6/2431例5設(shè)向量組a1,a2,a3線性無關(guān),又b1=a1+a2+2a3,b2=a1-a2,b3=a1+a3,證明b1,b2,b3線性相關(guān).

證設(shè)x1b1+x2b2+x3b3=0(3.10)

即