2024年高中數(shù)學(xué)專題8-1重難點題型培優(yōu)精講成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性教師版新人教A版選擇性必修第三冊

專題8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性1．變量的相關(guān)關(guān)系(1)函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，常用解析式來表示.(2)相關(guān)關(guān)系兩個變量有關(guān)系，但又沒有精確到可由其中的一個去精確地確定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.2．散點圖(1)散點圖成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點表示出來，由這些點組成的統(tǒng)計圖叫做散點圖.(2)正相關(guān)和負相關(guān)假如從整體上看，當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關(guān)；假如當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)削減的趨勢，則稱這兩個變量負相關(guān).3．線性相關(guān)一般地，假如兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負相關(guān)，而且散點落在一條直線旁邊，則稱這兩個變量線性相關(guān).4．樣本相關(guān)系數(shù)(1)對于變量x和變量y，設(shè)經(jīng)過隨機抽樣獲得的成對樣本數(shù)據(jù)為(,)，(,)，，(,)，利用相關(guān)系數(shù)r來衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強弱，相關(guān)系數(shù)r的計算公式：（其中，，，和，，，的均值分別為和）.①當(dāng)r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān).這時，當(dāng)其中一個數(shù)據(jù)的值變小時，另一個數(shù)據(jù)的值通常也變??；當(dāng)其中一個數(shù)據(jù)的值變大時，另一個數(shù)據(jù)的值通常也變大.②當(dāng)r<0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān).這時，當(dāng)其中一個數(shù)據(jù)的值變小時，另一個數(shù)據(jù)的值通常會變大；當(dāng)其中一個數(shù)據(jù)的值變大時，另一個數(shù)據(jù)的值通常會變小.【題型1變量間的相關(guān)關(guān)系】【方法點撥】依據(jù)變量間的相關(guān)關(guān)系的定義，進行推斷求解即可.【例1】（2024春·四川成都·高二期中）下列兩個量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是（

）A．勻速直線運動中時間與位移的關(guān)系 B．學(xué)生的成果和身高C．兒童的年齡與體重 D．物體的體積和質(zhì)量【解題思路】依據(jù)相關(guān)關(guān)系和函數(shù)關(guān)系的概念即可推斷【解答過程】A、D是函數(shù)關(guān)系；B是不相關(guān)關(guān)系；C是相關(guān)關(guān)系，故選：C.【變式1-1】（2024·全國·高二專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．y=2x2+1中的B．正四面體的體積與棱長具有相關(guān)關(guān)系C．電腦的銷售量與電腦的價格之間是一種確定性的關(guān)系D．傳染病醫(yī)院感染傳染病的醫(yī)務(wù)人員數(shù)與醫(yī)院收治的傳染病人數(shù)是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量【解題思路】依據(jù)相關(guān)關(guān)系的定義、函數(shù)的定義即可推斷【解答過程】A，B均為函數(shù)關(guān)系，故A、B錯誤；C，D為相關(guān)關(guān)系，故C錯，D對.故選：D.【變式1-2】（2024春·安徽阜陽·高二階段練習(xí)）有幾組變量：①汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程；②平均日學(xué)習(xí)時間和平均學(xué)習(xí)成果；③立方體的棱長和體積.其中兩個變量成正相關(guān)的是（

）A．①③ B．②③C．② D．③【解題思路】利用相關(guān)關(guān)系和函數(shù)關(guān)系的概念分析解答.【解答過程】①汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程是負相關(guān)關(guān)系；②平均日學(xué)習(xí)時間和平均學(xué)習(xí)成果是正相關(guān)關(guān)系；③立方體的棱長和體積是函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系.故選:C.【變式1-3】（2024·全國·高二專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．任何兩個變量都具有相關(guān)關(guān)系B．球的體積與該球的半徑具有相關(guān)關(guān)系C．農(nóng)作物的產(chǎn)量與施化肥量之間是一種確定性關(guān)系D．一個學(xué)生的數(shù)學(xué)成果與物理成果之間是一種非確定性的關(guān)系【解題思路】依據(jù)相關(guān)關(guān)系是一種不確定關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系，可推斷A；依據(jù)球的體積與半徑之間的關(guān)系，可推斷該關(guān)系為函數(shù)關(guān)系，可推斷B；依據(jù)農(nóng)作物的產(chǎn)量與施化肥量之間的關(guān)系可得該關(guān)系為一種相關(guān)關(guān)系，可推斷C；依據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)成果與物理成果之間是一種相關(guān)關(guān)系可推斷D.【解答過程】解：當(dāng)兩個變量之間具有確定的關(guān)系時，兩個變量之間是函數(shù)關(guān)系，而不是相關(guān)關(guān)系，故A錯誤；球的體積與該球的半徑之間是函數(shù)關(guān)系，故B錯誤；農(nóng)作物的產(chǎn)量與施化肥量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系，是非確定性關(guān)系，故C錯誤；學(xué)生的數(shù)學(xué)成果與物理成果之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系，是非確定性關(guān)系，故D正確.故選：D.【題型2利用散點圖推斷相關(guān)性】【方法點撥】依據(jù)所給的散點圖，探討兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系，進行求解即可.【例2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）對變量x、y由觀測數(shù)據(jù)得散點圖1，對變量y、z由觀測數(shù)據(jù)得散點圖2.由這兩個散點圖可以推斷（

）A．變量x與y負相關(guān)，x與z正相關(guān)B．變量x與y負相關(guān)，x與z負相關(guān)C．變量x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)D．變量x與y正相關(guān)，x與z負相關(guān)【解題思路】依據(jù)散點圖干脆推斷可得出結(jié)論.【解答過程】由散點圖可知，變量x與y負相關(guān)，變量y與z正相關(guān)，所以，x與z負相關(guān).故選：B.【變式2-1】（2024·高二課時練習(xí)）在下列各散點圖中，兩個變量具有正相關(guān)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【解題思路】依據(jù)散點圖中兩個變量的變更趨勢干脆推斷即可.【解答過程】對于A，散點的變更具有波動性，非正相關(guān)關(guān)系，A錯誤；對于B，當(dāng)x變大時，y的變更趨勢也是慢慢增大，可知兩個變量具有正相關(guān)關(guān)系，B正確；對于C，當(dāng)x變大時，y的變更趨勢是慢慢減小，可知兩個變量具有負相關(guān)關(guān)系，C錯誤；對于D，兩個變量的變更無規(guī)律，二者沒有相關(guān)性，D錯誤.故選：B.【變式2-2】（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)料）某中學(xué)的愛好小組在某座山測得海拔高度?氣壓?沸點的六組數(shù)據(jù)，并繪制出如圖所示的散點圖，下列說法錯誤的是（

）A．氣壓與海拔高度呈負相關(guān) B．沸點與氣壓呈正相關(guān)C．沸點與海拔高度呈正相關(guān) D．沸點與海拔高度的相關(guān)性很強【解題思路】依據(jù)正相關(guān)、負相關(guān)的概念推斷．【解答過程】沸點與氣壓呈正相關(guān)，氣壓與海拔高度呈負相關(guān)，所以沸點與海拔高度呈負相關(guān)，故選：C.【變式2-3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得以下散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（

）A．r2<C．r4<【解題思路】利用正負相關(guān)與線性相關(guān)的強弱進行求解即可【解答過程】r1所以r1并且相關(guān)性r1所以r1r2所以r2且r2所以r2所以r2所以r2故選：A.【題型3樣本相關(guān)系數(shù)的意義】【方法點撥】對于所給題目，依據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的定義和有關(guān)概念來進行推斷，即可得解.【例3】（2024秋·陜西榆林·高二期末）兩個變量y與x的回來模型中，分別選擇了4個不同的模型，它們的相關(guān)系數(shù)r如下表，其中擬合效果最好的模型是（

）模型模型1模型2模型3模型4相關(guān)系數(shù)r0.480.960.150.30A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4【解題思路】依據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義，推斷r的大小，即可推斷選項.【解答過程】依據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可知，r越大，約接近于1，則擬合效果越好.由數(shù)據(jù)可知，模型2的相關(guān)系數(shù)最大，所以擬合效果最好.故選：B.【變式3-1】（2024春·山東臨沂·高二期末）對于樣本相關(guān)系數(shù)，下列說法錯誤的是（

）A．樣本相關(guān)系數(shù)可以用來推斷成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)的正負性B．樣本相關(guān)系數(shù)可以是正的，也可以是負的C．樣本相關(guān)系數(shù)rD．樣本相關(guān)系數(shù)越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度也越強【解題思路】利用相關(guān)系數(shù)與成對樣本數(shù)據(jù)間的相關(guān)關(guān)系逐項推斷，可得出合適的選項.【解答過程】對于A選項，樣本相關(guān)系數(shù)可以用來推斷成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)的正負性，A對；對于B選項，樣本相關(guān)系數(shù)可以是正的，也可以是負的，B對；對于C選項，樣本相關(guān)系數(shù)r∈對于D選項，樣本相關(guān)系數(shù)的確定值越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度也越強，D錯.故選：D.【變式3-2】（2024·高二課時練習(xí)）下列有關(guān)樣本線性相關(guān)系數(shù)r的說法，錯誤的是（）A．相關(guān)系數(shù)r可用來衡量x與y之間的線性相關(guān)程度B．r≤1，且C．r≤1，且D．r≤1，且【解題思路】依據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義，即可推斷選項.【解答過程】相關(guān)系數(shù)是來衡量兩個變量之間的線性相關(guān)程度的，線性相關(guān)系數(shù)是一個確定值小于等于1的量，并且它的確定值越大就說明相關(guān)程度越大，所以不正確的只有D.故選：D.【變式3-3】（2024春·江蘇無錫·高二期末）對于樣本相關(guān)系數(shù)r，下列說法不正確的是（

）A．樣本相關(guān)系數(shù)r可以用來推斷成對數(shù)據(jù)相關(guān)的正負性B．樣本相關(guān)系數(shù)rC．當(dāng)r=0D．樣本相關(guān)系數(shù)r越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度也越強【解題思路】依據(jù)相關(guān)系數(shù)：1.r≤1；2.r>0，則成對數(shù)據(jù)為正相關(guān),r<0，則成對數(shù)據(jù)為負相關(guān)；3.r→【解答過程】依據(jù)相關(guān)系數(shù)的理解：r≤r>0，則成對數(shù)據(jù)為正相關(guān)；rr→1，線性相關(guān)程度越強，r→故選：D．【題型4樣本相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用】【方法點撥】樣本相關(guān)系數(shù)是對兩個變量相關(guān)程度進行定量刻畫，|r|越大，表明兩個變量之間的線性相關(guān)程度越強，運用樣本相關(guān)系數(shù)進行推斷的一般步驟如下：(1)整理數(shù)據(jù)，求出相關(guān)值；(2)計算樣本相關(guān)系數(shù)；(3)得出結(jié)論.【例4】（2024秋·陜西西安·高二階段練習(xí)）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡潔隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得i=120xi=60，i=120yi(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；(2)求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（附：相關(guān)系數(shù)r=i=1n(【解題思路】(1)由已知數(shù)據(jù)求得20個樣區(qū)野生動物數(shù)量的平均數(shù)，乘以200得答案；(2)由已知干脆利用相關(guān)系數(shù)公式求解.【解答過程】（1）由已知得樣本平均數(shù)y=（2）樣本(xr=【變式4-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡潔隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)xi,yi(i=1,2,?,20)，其中xi和yi分別表示第i(1)估計該地區(qū)這種野生動物的數(shù)量；(2)求樣本xi【解題思路】（1）計算出樣區(qū)野生動物的數(shù)量的平均值，乘以地塊數(shù)，即得答案；（2）依據(jù)相關(guān)系數(shù)公式進行計算，可得答案.【解答過程】（1）由已知得樣本平均數(shù)y=從而該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值為200（2）由i=120xi-x可得樣本(xr=【變式4-2】（2024·高二課時練習(xí)）下圖是我國2014年至2021年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖．（注：年份代碼1~7分別對應(yīng)年份2014~2021.）由折線圖看出，可用線性回來模型擬合y與t的關(guān)系．請求出相關(guān)系數(shù)r，并用相關(guān)系數(shù)的大小說明y與t相關(guān)性的強弱．參考數(shù)據(jù)和公式：i=17yi=10.97，i=17【解題思路】計算出i=17ti【解答過程】由折線圖中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得t=i=17i=17yi所以r=所以y與t的線性相關(guān)程度比較高．【變式4-3】（2024·高二課時練習(xí)）為調(diào)查野生動物疼惜地某種野生動物的數(shù)量，將疼惜地分成面積相近的300個地塊，并設(shè)計兩種抽樣方案．方案一：在該地區(qū)應(yīng)用簡潔隨機抽樣的方法抽取30個作為樣本區(qū)，依據(jù)抽樣數(shù)據(jù)計算得到相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)r=0.81方案二：在該地區(qū)應(yīng)用分層抽樣的方法抽取30個作為樣本區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)xi,yii=1,2,???,30，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數(shù)量，并計算得i=1(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；(2)求方案二抽取的樣本xi