高三數(shù)學二輪培優(yōu)微專題36講23.焦點向漸近線做垂線情境下的專題復習

焦點向漸近線做垂線情境下的專題復習結論1.雙曲線中，右焦點為，作垂直于漸近線，垂足為，則點在雙曲線的右準線上，且的坐標為，且.例1．已知雙曲線C：的右焦點為F，過點F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為點A，且與另一條漸近線交于點B，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．解析：由題意知：雙曲線C：的漸近線方程為：，不妨設過右焦點垂直于漸近線的直線的方程為：，聯(lián)立方程組解得：，又因為，所以為的中點，因，則有，由題意知：點在直線，代入可得：，整理可得：，則，故選：.結論2.過雙曲線的右焦點且與漸近線垂直的直線分別交的兩條漸近線于兩點，則.（1）當時，設，則，，，，.進一步，若，則（2）當時，設是直線與軸的交點，，則，，，，，，，.進一步：若，則例2（2024全國1卷）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，，則C的離心率為____________．解析：如圖，由得又得OA是三角形的中位線，即由，得則有，又OA與OB都是漸近線，得又，得．又漸近線OB的斜率為，所以該雙曲線的離心率為．結論3.設是雙曲線的左，右焦點，是坐標原點.過作的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則的離心率為.證明：易知，，由中線定理可得，即，又因為，所以，則.結論4.設是雙曲線的左，右焦點，是坐標原點.過作的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則的離心率為.例3（2024全國3卷）．設,是雙曲線（）的左、右焦點，是坐標原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為A． B． C． D．詳解：由題可知，在中，在中，，故選B.二．更多例題例1．過雙曲線的右焦點做一條漸近線的垂線，垂足為，與雙曲線的另一條漸近線交于點，若，則此雙曲線的離心率為________解析：滿意情形1，即，故，則例2．已知雙曲線的兩條漸近線分別為直線，，經(jīng)過右焦點且垂直于的直線分別交，于兩點，且，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．解析：滿意情形2，即，.例3（2024全國3卷）．雙曲線C：=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標原點，若，則△PFO的面積為A． B． C． D．解析：由．，又P在C的一條漸近線上，不妨設為在上，，故選A．例4.（2024全國1卷）．已知雙曲線C：，O為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M、N.若OMN為直角三角形，則|MN|=A． B．3 C． D．4詳解：依據(jù)題意，可知其漸近線的斜率為，且右焦點為，從而得到，所以直線的傾斜角為或，依據(jù)雙曲線的對稱性，設其傾斜角為，可以得出直線的方程為，分別與兩條漸近線和聯(lián)立，求得，所以，故選B.例5．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點M在雙曲線C的右支上，，若與C的一條漸近線l垂直，垂足為N，且，其中O為坐標原點，則雙曲線C的標準方程為（

）A． B．C． D．解析：因為，，且為中點，所以，且，因為，所以，解得，直線l的方程為，所以，則，在直角三角形中利用勾股定理得，解得，所以雙曲線的標準方程為.故選：C.例6．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若A為線段的中點，且，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．3解析：由題意可知，過的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，當兩個交點分別在其次和第三象限時不符合，A為線段的中點，當交點在軸上方或軸下方時，依據(jù)對稱性結果是一樣的，選擇一種即可，如圖.依據(jù)雙曲線可得，，，兩條漸近線方程，