高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)專題題組訓(xùn)練12阿波羅尼斯教師版

專題12阿波羅尼斯一、單選題1．阿波羅尼斯是古希臘聞名數(shù)學(xué)家，與阿基米德?歐幾里得并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他探討發(fā)覺：假如一個動點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)（，且），那么點(diǎn)P的軌跡為圓，這就是聞名的阿波羅尼斯圓.若點(diǎn)C到的距離之比為，則點(diǎn)C到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)，依題意，依據(jù)兩點(diǎn)的距離公式求出動點(diǎn)的軌跡方程，再求出圓心到直線的距離，即可求出點(diǎn)到直線距離的最小值；【詳解】解：設(shè)，則，即，化簡得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，的圓，則圓心到直線的距離，所以點(diǎn)C到直線的距離的最小值為；故選：A2．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約前262—前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知，，圓上有且僅有一個點(diǎn)P滿意，則r的取值為（

）A．1 B．5 C．1或5 D．不存在【答案】C【解析】【分析】干脆設(shè)點(diǎn)P，依據(jù)可以求得點(diǎn)P的軌跡為圓，依據(jù)題意兩圓有且僅有一個公共點(diǎn)，則兩圓外切或內(nèi)切，可得或．【詳解】設(shè)點(diǎn)P∵即整理得：∴點(diǎn)P的軌跡為以為圓心，半徑的圓，∵圓的為圓心，半徑的圓由題意可得：或∴或故選：C．3．阿波羅尼斯(約公元前262-190年)證明過這樣一個命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)，動點(diǎn)滿意，當(dāng)P、A、B不共線時(shí)，面積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用求出圓的方程和半徑，進(jìn)而利用圓的范圍可求出三角形面積的最大值.【詳解】設(shè)，因?yàn)?、，且，所以，整理得，即圓的方程為，半徑為；所以，則面積的最大值是.故選：D.4．古希臘聞名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)覺：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)，的距離之比為定值（，且）的點(diǎn)所形成的圖形是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿意，則點(diǎn)的軌跡的圓心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題設(shè)，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式可得，整理并化為圓的標(biāo)準(zhǔn)形式，即可確定圓心.【詳解】令P(x，y)，則，兩邊平方并整理得：，∴圓心為(4，0)．故選：A．5．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯(約公元前262~公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知O(0，0)，A(3，0)，動點(diǎn)P(x，y)滿，則動點(diǎn)P軌跡與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．內(nèi)切 D．外切【答案】A【解析】【分析】首先求得點(diǎn)的軌跡，再利用圓心距與半徑的關(guān)系，即可推斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】由條件可知，，化簡為：，動點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，圓是以為圓心，為半徑的圓，兩圓圓心間的距離，所以兩圓相交.故選：A6．阿波羅尼斯（公元前262年~公元前190年），古希臘人，與阿基米德、歐幾里得一起被譽(yù)為古希臘三大數(shù)學(xué)家．阿波羅尼斯探討了眾多平面軌跡問題，其中阿波羅尼斯圓是他的論著中的一個聞名問題：已知平面上兩點(diǎn)A，B，則全部滿意（，且）的點(diǎn)P的軌跡是一個圓．已知平面內(nèi)的兩個相異定點(diǎn)P，Q，動點(diǎn)M滿意，記M的軌跡為C，若與C無公共點(diǎn)的直線l上存在點(diǎn)R，使得的最小值為6，且最大值為10，則C的長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)給定條件確定軌跡C是圓，利用圓的性質(zhì)求出其半徑即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，M的軌跡C是圓，設(shè)其圓心為點(diǎn)D，半徑為r，明顯直線l與圓C相離，令點(diǎn)D到直線l的距離為d，由圓的性質(zhì)得：，解得，，所以C的長度為.故選：B7．公元前三世紀(jì)，阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中明確給出了橢圓一個基本性質(zhì)：過橢圓上隨意一點(diǎn)（不同于，）作長軸的垂線，垂足為，則為常數(shù)，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】設(shè)橢圓方程為（）并確定、坐標(biāo)，可得,,，代入得到參數(shù)的關(guān)系，列方程求離心率即可【詳解】設(shè)橢圓方程為（）若,,，則,,，所以,而,即,所以故選：D8．阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個命題：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動點(diǎn)P滿意，則面積的最大值是（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【解析】【分析】設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A，B的直線為x軸，的方向?yàn)閤軸正方向，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法計(jì)算.【詳解】設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A，B的直線為x軸，的方向?yàn)閤軸正方向，線段AB的垂直平分線為y軸，線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.則，．設(shè)，∵，∴，兩邊平方并整理得，即．要使的面積最大，只需點(diǎn)P到AB（x軸）的距離最大時(shí)，此時(shí)面積為．故選：C.9．阿波羅尼斯探討圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)得到：從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線或聲波在經(jīng)過拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)．設(shè)拋物線C：，一束平行于拋物線對稱軸的光線經(jīng)過，被拋物線反射后，又射到拋物線C上的Q點(diǎn)，則直線FQ的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)可得，由三點(diǎn)共線結(jié)合斜率兩點(diǎn)式求直線FQ的斜率，進(jìn)而利用點(diǎn)斜式寫出直線方程.【詳解】設(shè)過平行于拋物線對稱軸的直線與拋物線交于點(diǎn)P，易知．將代入拋物線方程得，即，又焦點(diǎn)為F，且P，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線，則，由點(diǎn)斜式方程化簡得.故選：D10．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓為橢圓長軸的端點(diǎn)，為橢圓短軸的端點(diǎn)，，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，動點(diǎn)滿意面積的最大值為面積的最小值為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由題可得動點(diǎn)M的軌跡方程，可得，，即求.【詳解】設(shè)，，由，可得=2，化簡得.∵△MAB面積的最大值為面積的最小值為，∴，，∴，即，∴．故選：A．11．古希臘聞名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)覺：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)A，B的距離之比為定值()的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知，，點(diǎn)P滿意，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為圓C，下列結(jié)論中正確的個數(shù)是(

)①圓C的方程是②過點(diǎn)A向圓C引切線，兩條切線的夾角為60°③過點(diǎn)A作直線l，若圓C上恰有三個點(diǎn)到直線l距離為2，該直線斜率為④在直線上存在異于A，B的兩點(diǎn)D，E，使得A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】【分析】設(shè)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡可得的軌跡方程，可推斷①；設(shè)切點(diǎn)為，，利用正弦即可求出，由對稱性可求得，從而推斷②；依據(jù)題意設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離為2，求得切線斜率，可推斷③；取，，即可推斷④．【詳解】①．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿意，設(shè)，則，化簡可得圓的方程為，故①正確；②．圓心，半徑為4，∴，過點(diǎn)向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為，，則，∴，∴，故②正確；③．過點(diǎn)作直線，若圓上恰有三個點(diǎn)到直線距離為2，可設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為2，即，解得，故③錯誤；④．當(dāng)，時(shí)，，故④正確．故選：C．12．阿波羅尼斯是古希臘聞名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得?阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的探討，主要探討成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓就是他的探討成果之一.指的是：已知動點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，其中，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】設(shè)，，依據(jù)和求出a的值，由，兩點(diǎn)之間直線最短，可得的最小值為，依據(jù)坐標(biāo)求出即可.【詳解】設(shè)，，所以，由，所以，因?yàn)榍?，所以，整理可得，又動點(diǎn)M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因?yàn)?，所以的最小值，?dāng)M在位置或時(shí)等號成立.故選：D13．在平面上給定相異兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在同一平面上且滿意，當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)覺，故我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線的虛軸端點(diǎn)，動點(diǎn)滿意，面積的最大值為，面積的最小值為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先求動點(diǎn)的軌跡方程，再依據(jù)面積的最大值求得，依據(jù)的面積最小值求，由此可求雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)，，,依題意,得,即,兩邊平方化簡得,所以動點(diǎn)的軌跡是圓心為,半徑的圓，當(dāng)位于圓的最高點(diǎn)時(shí)的面積最大，所以,解得；當(dāng)位于圓的最左端時(shí)的面積最小，所以,解得,故雙曲線的離心率為.故選:C.二、多選題14．古希臘聞名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)覺：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿意，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則（

）A．曲線的方程為B．過點(diǎn)向曲線引切線，兩條切線的夾角為C．若點(diǎn)在曲線上，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為D．為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)向曲線引切線，其中為切點(diǎn)，則的最小值為【答案】AC【解析】【分析】由求得曲線的方程，結(jié)合圓的切線、軌跡、切線長等學(xué)問對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從確定正確答案.【詳解】設(shè)，由，即得：，整理得，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，過點(diǎn)向曲線引切線，設(shè)其中一個切點(diǎn)為，如下圖所示，中，，所以兩條切線的夾角不是，B選項(xiàng)錯誤.C選項(xiàng)，設(shè)，則，代入圓的方程得：，整理得，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，由于，所以當(dāng)最小時(shí)，最小，最小為，所以最小為，D選項(xiàng)錯誤.故選：AC15．阿波羅尼斯古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前年的著作圓錐曲線論是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地．他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．現(xiàn)有圓C：和點(diǎn)，若圓C上存在點(diǎn)P，使其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則t的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【解析】【分析】由求出點(diǎn)的軌跡為圓，再將問題化為兩圓有交點(diǎn)，依據(jù)圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系列式，求出的范圍，從而可得答案.【詳解】設(shè)，由得，整理得，即，依題意可知，圓與圓有交點(diǎn)，兩圓圓心分別為和，兩圓半徑分別為和，圓心距為，所以，即，解得，所以的取值可以是和.故選：AB16．已知兩定點(diǎn)，（），動點(diǎn)與、的距離比（且），那么點(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，若其方程為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若，則最小值為D．若滿意點(diǎn)的軌跡方程，則【答案】ACD【解析】【分析】設(shè),由,得,與對比,可得且,求解即可推斷A，B；對于C，，利用三角形三邊關(guān)系定理即可推斷；對于D，等價(jià)于，依據(jù)的判別式的符號即可判定【詳解】設(shè),由(且),得所以所以又的軌跡方程為,所以且,解得(舍去)或,所以,所以,所以,故A正確B錯誤對于C，連接交圓于當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號，故C正確對于D，的判別式因?yàn)闈M意，故設(shè)則（其中為第四象限角，）所以所以在上恒成立故D正確故選:ACD17．古希臘聞名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)覺：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（－2，0），B（4，0），點(diǎn)P滿意＝.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，則下列結(jié)論正確的是（）A．軌跡C的方程為（x＋4）2＋y2＝9B．在x軸上存在異于A，B的兩點(diǎn)D，E使得＝C．當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時(shí)，射線PO是∠APB的平分線D．在C上存在點(diǎn)M，使得【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)阿波羅尼斯圓的定義，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式逐一推斷即可.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（－2，0），B（4，0），點(diǎn)P滿意，設(shè)P（x，y），則，化簡得（x＋4）2＋y2＝16，所以A錯誤；假設(shè)在x軸上存在異于A，B的兩點(diǎn)D，E使得，設(shè)D（m，0），E（n，0），則，化簡得3x2＋3y2－（8m－2n）x＋4m2－n2＝0，由軌跡C的方程為x2＋y2＋8x＝0，可得8m－2n＝－24，4m2－n2＝0，解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4（舍去），即在x軸上存在異于A，B的兩點(diǎn)D，E使，所以B正確；當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時(shí)，，可得射線PO是∠APB的平分線，所以C正確；若在C上存在點(diǎn)M，使得，可設(shè)M（x，y），則有＝2，化簡得x2＋y2＋x＋＝0，與x2＋y2＋8x＝0聯(lián)立，方程組無解，故不存在點(diǎn)M，所以D錯誤．故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式是解題的關(guān)鍵.18．古希臘聞名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)覺：“平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿意．點(diǎn)的軌跡為曲線，下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線的方程為B．曲線被軸截得的弦長為C．直線與曲線相切D．是曲線上隨意一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】AB【解析】【分析】設(shè)，依據(jù)，，點(diǎn)滿意．求得點(diǎn)的軌跡方程，再逐項(xiàng)推斷.【詳解】對于選項(xiàng)A，設(shè)，由，，可得，所以，整理可得，即，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，令得，曲線被軸截得的弦長為，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，因?yàn)椋詧A心，半徑，所以圓心到直線的距離，所以直線與曲線相離，故選項(xiàng)C錯誤；對于選項(xiàng)D，因?yàn)槭乔€上隨意一點(diǎn)，要使的面積最大，則曲線上的點(diǎn)到軸的距離最大，即的邊上的高等于圓的半徑時(shí)，的面積最大，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選項(xiàng)D錯誤．故選：AB．19．古希臘聞名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)覺：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)A，B的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓．在平面直角坐示系xOy中，，，動點(diǎn)M滿意，直線l：，則以下說法正確的是（

）A．動點(diǎn)M的軌跡方程為B．直線l與動點(diǎn)M的軌跡確定相交C．若直線l與動點(diǎn)M的軌跡交于P、Q兩點(diǎn)，且，則D．動點(diǎn)M到直線l距離的最大值為3【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)，由題意求出點(diǎn)的軌跡以及軌跡方程，利用直線與圓的位置關(guān)系，依次推斷四個選項(xiàng)即可．【詳解】解：設(shè)，因?yàn)閯狱c(diǎn)滿意，且，，所以，整理可得，即，對于A，動點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，動點(diǎn)的軌跡方程為，故選項(xiàng)A正確；對于B，因?yàn)橹本€：過定點(diǎn)，而點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與動點(diǎn)的軌跡確定相交，故選項(xiàng)B正確；對于C：因?yàn)?，所以圓心到直線的距離，所以，解得，故C錯誤；對于D：因?yàn)?，所以動點(diǎn)到直線距離的最大值為，故D正確；故選：ABD三、填空題20．阿波羅尼斯（約前262—前190年）證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，動點(diǎn)P滿意，則點(diǎn)P的軌跡方程是___________．【答案】【解析】【分析】干脆設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式代入化簡整理可求點(diǎn)P的軌跡方程．【詳解】設(shè)，即，整理得：即．故答案為：．21．阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，則的長為____________.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理將角化邊，即可求得點(diǎn)的軌跡方程，然后確定三角形面積的最大值和點(diǎn)的坐標(biāo)，最終求解的長度即可．【詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理可得，即，因?yàn)?，不妨令，，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的軌跡方程滿意：，整理可得：，，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓（除與軸兩交點(diǎn)外），當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)或時(shí)三角形的面積最大，其最大值為，由勾股定理可得．故答案為：．22．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個聞名的幾何問題：在平面上給定兩點(diǎn)A、B，動點(diǎn)P滿意（其中是正常數(shù)，且），則P的軌跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”．現(xiàn)已知兩定點(diǎn)，P是圓上的動點(diǎn)，則的最小值為____________【答案】【解析】【分析】在軸上取，由可得，可得，利用兩點(diǎn)間距離公式可求得結(jié)果.【詳解】如圖，在軸上取點(diǎn)，，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)為與圓交點(diǎn)時(shí)取等號），.故答案為：.23．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（ApolloniusofPerga，約公元前262~190年）發(fā)覺：平面上兩定點(diǎn)A，B，則滿意的動點(diǎn)M的軌跡是一個圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知，動點(diǎn)M滿意，則面積的最大值為_________.【答案】13【解析】【分析】依據(jù)題意求點(diǎn)的方程與邊，利用圓上的點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)距離為圓心到直線的距離加上半徑，即可求出邊的高，進(jìn)而求出面積的最大值.【詳解】設(shè)點(diǎn)，

，故點(diǎn)的方程為.直線的方程為圓心到直線的距離.設(shè)點(diǎn)到邊的高為，的最大值為.故答案為：13.24．公元前三世紀(jì)，阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中明確給出了橢圓的一個基本性質(zhì)：如圖，過橢圓上隨意一點(diǎn)P（不同于A，B）作長軸的垂線，垂足為Q，則為常數(shù)k．若，則該橢圓的離心率為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)橢圓方程為、并確定坐標(biāo)，可得，，，代入題設(shè)等式，結(jié)合橢圓參數(shù)的關(guān)系列方程求離心率即可.【詳解】設(shè)橢圓方程為且，若，，則，，，所以，而，即，所以.故答案為：.25．在平面上給定相異兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)P滿意，則當(dāng)且時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是一個圓，我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓.已知橢圓的離心率，A，B為橢圓的長軸端點(diǎn)，C，D為橢圓的短軸端點(diǎn)，動點(diǎn)P滿意，若的面積的最大值為3，則面積的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】先依據(jù)求出圓的方程，再由的面積的最大值結(jié)合離心率求出和的值，進(jìn)而求出面積的最小值.【詳解】解：由題意，設(shè)，，因?yàn)榧磧蛇吰椒秸淼茫核詧A心為，半徑因?yàn)榈拿娣e的最大值為3所以，解得：因?yàn)闄E圓的離心率即，所以由得：所以面積的最小值為：故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題先依據(jù)已知的比例關(guān)系求出阿波羅尼斯圓的方程，再利用已知面積和離心率求出橢圓的方程，進(jìn)而求得面積的最值.四、雙空題26．古希臘聞名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)覺：“平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)A、B的距離之比為定值（且）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓，在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿意，則點(diǎn)P的軌跡方程為__________.（答案寫成標(biāo)準(zhǔn)方程），的最小值為___________.【答案】

【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，然后用干脆法可求；依據(jù)軌跡方程和數(shù)量積的坐標(biāo)表示對化簡，結(jié)合軌跡方程可得x的范圍，然后可解.【詳解】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則由，得，化簡得，即.因?yàn)?，所以因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，故所以，故的最小值為.故答案為：，27．阿波羅尼斯與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)三巨匠．“阿波羅尼斯圓”是他的代表成果之一：平面上動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之比滿意(且，t為常數(shù))，則點(diǎn)的軌跡為圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，動點(diǎn)P滿意，則P點(diǎn)的軌跡為圓，該圓方程為_________；過點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，且，則_________．【答案】

【解析】【分析】設(shè)，依據(jù)可得圓的方程，利用垂徑定理可求.【詳解】設(shè)，則，整理得到，即.因?yàn)?，故為的中點(diǎn)，過圓心作的垂線，垂足為，則為的中點(diǎn)