福建省2024八年級數(shù)學下冊第十七章勾股定理學情評估新版新人教版

第十七章學情評估一、選擇題(本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的)1．下列四組線段中，能構成直角三角形的是()A．3，4，5 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，62．如圖，貨車卸貨時支架側面是Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，若AB＝2.5m，AC＝2m，則BC的長為()A．1.5m B．2m C．2.5m D．3m(第2題)(第6題)3．在平面直角坐標系中，點P(eq\r(2)，eq\r(3))到原點的距離是()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.eq\r(5) D.eq\r(6)4．把命題“假如x＝y(tǒng)，那么eq\r(x)＝eq\r(y)”作為原命題，則下列結論正確的是()A．原命題和逆命題都是真命題B．原命題和逆命題都是假命題C．原命題是真命題，逆命題是假命題D．原命題是假命題，逆命題是真命題5．若直角三角形的兩邊長a，b滿意(a－4)2＋eq\r(b－3)＝0，則第三邊的長是()A．5 B.eq\r(7) C．5或7 D．5或eq\r(7)6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜邊AB上的高，則CD的長是()A．5 B.eq\f(12,5) C.eq\f(4,5) D.eq\f(3,4)7．如圖，每個小正方形的邊長都是1，A，B，C分別在格點上，則∠ABC的度數(shù)為()A．30° B．45° C．50° D．60°(第7題)(第8題)8．如圖，福州某小巷左右兩側都是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左端墻腳的距離為0.7m，頂端距離地面2.4m，假如保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2m，則小巷的寬度為()A．0.7m B．1.5m C．2.2m D．2.4m9．如圖，已知1號、4號兩個正方形的面積和為7，2號、3號兩個正方形的面積和為4，則a，b，c三個正方形的面積和為()A．11 B．15 C．10 D．22(第9題)(第10題)10．如圖是一個長、寬、高分別是6cm、4cm、3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體木塊的頂點A處沿著長方體的表面到頂點B處吃食物，那么它需爬行的最短路程是()A．(3＋2eq\r(13))cm B.eq\r(97)cm C.eq\r(85)cm D.eq\r(109)cm二、填空題(本題共6小題，每小題3分，共18分)11．等腰三角形腰長10cm，底長16cm，則底邊上的高是____________．12．如圖，在Rt△OBC中，OC＝1，OB＝2，∠BOC＝90°，以B為圓心，BC長為半徑作弧，交BO于A，若點A在數(shù)軸上所表示的數(shù)為a，則a的值是__________．(第12題)(第13題)13．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝4eq\r(5)，CD＝8，則∠ADC＝________度．14．我國古代數(shù)學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖(如圖)，可以說是充分確定了我國數(shù)學的成就，也弘揚了我國古代的數(shù)學文化．弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．假如大正方形的面積是13，小正方形的面積是2，直角三角形的較短直角邊長為a，較長直角邊長為b，那么(a＋b)2的值是____________．(第14題)(第15題)15．把兩個同樣大小的含45°角的直角三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的一個銳角頂點與另一個三角尺的直角頂點重合于點A，且另三個銳角頂點B，C，D在同始終線上．若AB＝eq\r(2)，則CD＝________．16．如圖，Rt△OA0A1在平面直角坐標系內，∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，以OA1為直角邊向外作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90°，∠A1OA2＝30°，以OA2為直角邊向外作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，按此方法進行下去，得到Rt△OA3A4，Rt△OA4A5，…，Rt△OA2024A2025，若點A0(－1，0)，則點A2025的縱坐標為________．三、解答題(本題共6小題，共52分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(8分)如圖，公路一邊有一根5.4m長的電線桿(AC)被一輛貨車從離地面1.5m處(點B處)撞斷裂，倒下的電線桿頂部C1是否會落在離它底部3.8m遠的快車道上？說明理由．18．(8分)如圖，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝eq\r(3)，CD＝2，AD＝2eq\r(2).(1)求證：△ACD是直角三角形；(2)求四邊形ABCD的面積．19．(8分)在一條東西走向的河的一側有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB＝AC，由于某種緣由，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為便利村民取水，在河邊新建了一個取水點H(A，H，B在一條直線上)，并新修了一條路CH，測得CB＝3km，CH＝2.4km，HB＝1.8km.(1)問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？(即問：CH與AB是否垂直？)請通過計算說明理由；(2)求原來的路途AC的長．20．(8分)如圖，一個等腰直角三角尺不當心掉到兩墻之間(∠ACB＝90°)，已知AB＝20cm，AD為三塊磚的厚度，BE為兩塊磚的厚度，求砌墻所用的磚每塊的厚度(每塊磚的厚度均相同)．21．(10分)我們已經(jīng)知道了一些特別的勾股數(shù)，如三個連續(xù)整數(shù)中的勾股數(shù)：3，4，5；三個連續(xù)偶數(shù)中的勾股數(shù)6，8，10，由此發(fā)覺勾股數(shù)的正整數(shù)倍照舊是勾股數(shù)．(1)假如a，b，c是一組勾股數(shù)，即滿意a2＋b2＝c2，求證：ka，kb，kc(k為正整數(shù))也是一組勾股數(shù)．(2)另外利用一些構成勾股數(shù)的公式也可以寫出很多勾股數(shù)，畢達哥拉斯學派就曾提出公式a＝2n＋1，b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1(n為正整數(shù))是一組勾股數(shù)，證明滿意以上公式的a，b，c是一組勾股數(shù)．(3)值得高傲的是，世界上第一次給出的勾股數(shù)公式收集在我國的《九章算術》中，書中提到：當a＝eq\f(1,2)(m2－n2)，b＝mn，c＝eq\f(1,2)(m2＋n2)(m，n為正整數(shù)，m>n)時，a，b，c構成一組勾股數(shù)．請依據(jù)這一結論干脆寫出一組符合條件的勾股數(shù)．22．(10分)綜合與實踐：構圖法求三角形的面積問題提出在△ABC中，AB，BC，AC三邊的長分別為eq\r(5)，eq\r(10)，eq\r(13)，求△ABC的面積.素材1某數(shù)學愛好小組發(fā)覺，假如運用三角形面積公式S＝eq\f(1,2)ah(a為底邊長，h為對應的高的長)求解，那么高h的計算較為困難，進一步視察發(fā)覺AB＝eq\r(5)＝eq\r(12＋22)，BC＝eq\r(10)＝eq\r(12＋32)，AC＝eq\r(13)＝eq\r(22＋32)，若把△ABC放到如圖①所示的正方形網(wǎng)格中(每個小正方形的邊長均為1)，且△ABC的三個頂點恰好都在小正方形的頂點處，這樣無需求三角形的高，干脆借助網(wǎng)格就能計算出△ABC的面積．這種借助網(wǎng)格計算面積的方法稱為“構圖法”.素材2某園藝公司對一塊三角形花圃PQR進行改造，如圖②所示，分別以原花圃的PQ，PR為邊向外擴建正方形花圃PQGF，正方形花圃PRDE，并增加三角形花圃FPE，將原花圃改造為六邊形花圃QRDEFG.任務1(1)請干脆寫出圖①中的三角形ABC的面積：________.任務2(2)已知△KMN三邊KM，MN，KN的長分別為eq\r(5)，2eq\r(2)，eq\r(17)，請利用圖③的正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長均為1)畫出相應的△KMN，并求出它的面積.任務3(3)若三角形花圃PQR的邊PQ＝2eq\r(2)，PR＝eq\r(5)，QR＝3，請利用圖④求改造后的六邊形花圃QRDEFG的面積.

答案一、1.A2.A3.C4.D5.D6.B7.B8.C9．B10.C二、11.6cm12.－eq\r(5)＋213.15014.2415.eq\r(3)－116．－eq\f(\r(3)·22025,31013)點撥：∵∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，∴A0A1＝eq\f(1,2)OA1，設OA1＝x，則A0A1＝eq\f(1,2)x，由題意得OA0＝1，∴x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))eq\s\up12(2)＋12，解得x＝eq\f(2\r(3),3).∴OA1＝eq\f(2\r(3),3).同理可得OA2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))eq\s\up12(2)，…，OAn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))eq\s\up12(n).∴OA2025＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))eq\s\up12(2025).∵2025÷(360÷30)＝168……9，∴OA2025所在直線與OA9所在直線重合，即點A2025在y軸負半軸上，∴A2025的縱坐標為－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))eq\s\up12(2025)＝－eq\f(\r(3)·22025,31013).三、17.解：不會落在離它底部3.8m遠的快車道上，理由如下：∵AB＝1.5m，AC＝5.4m，∴BC＝BC1＝AC－AB＝3.9m，在Rt△ABC1中，AC1＝eq\r(BC12－AB2)＝eq\r(3.92－1.52)＝3.6(m)，∵3.6＜3.8，∴倒下的電線桿頂部不會落在離它底部3.8m遠的快車道上．18．(1)證明：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝eq\r(3)，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(（\r(3)）2＋12)＝2，∵CD＝2，AD＝2eq\r(2)，∴AC2＋CD2＝22＋22＝8，AD2＝(2eq\r(2))2＝8，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°.(2)解：S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＋eq\f(1,2)×2×2＝eq\f(\r(3),2)＋2.19．解：(1)是．理由：在△CHB中，∵CH2＋BH2＝2.42＋1.82＝9，BC2＝9，∴CH2＋BH2＝BC2，∴△CHB是直角三角形，∠CHB＝90°，∴CH是從村莊C到河邊的最近路．(2)設AC＝xkm，∵AB＝AC，∴AB＝xkm.在Rt△ACH中，AH＝(x－1.8)km，CH＝2.4km，∴x2＝(x－1.8)2＋2.42，解得x＝2.5.答：原來的路途AC的長是2.5km.20．解：設砌墻所用的磚每塊的厚度為xcm，則BE＝2xcm，AD＝3xcm，過點B作BF⊥AD于點F，易得AF＝xcm.∵∠ACB＝90°，∠BEC＝90°，∴∠ACD＋∠ECB＝90°，∠ECB＋∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE.由題意易得AC＝BC.在△ACD和△CBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADC＝∠CEB＝90°，,∠ACD＝∠CBE，,AC＝CB，))∴△ACD≌△CBE.∴AD＝CE，CD＝BE，∴BF＝DE＝5xcm.在Rt△AFB中，AF2＋BF2＝AB2，∴x2＋25x2＝400，解得x＝eq\f(10\r(26),13)(負值已舍去)．∴砌墻所用的磚每塊的厚度為eq\f(10\r(26),13)cm.21．(1)證明：∵(ka)2＋(kb)2＝k2(a2＋b2)＝k2c2＝(kc)2，∴ka，kb，kc(k為正整數(shù))也是一組勾股數(shù)．(2)證明：∵(2n＋1)2＋(2n2＋2n)2＝4n2＋4n＋1＋4n4＋8n3＋4n2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，(2n2＋2n＋1)2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，∴(2n＋1)2＋