高三數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)微專題36講18.斜率和積問題的六大算法

斜率和積問題的六大算法例1.（2024新高考1卷）已知點在雙曲線上，直線交于，兩點，直線，的斜率之和為0．（1）求的斜率.（2）若，求的面積．解法1：設(shè)點解點設(shè)直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立，消去得到，依據(jù)韋達(dá)定理，得，故，從而.因為直線的斜率之和為，所以直線的方程為，同理，可得：，.所以直線的斜率為解法2：不聯(lián)立的藝術(shù)設(shè)，由點都在雙曲線上，得，，所以，結(jié)合斜率公式，相減后變形，可得：，.因為直線的斜率之和為，即，所以，由得.②由得.③由②-③，得，從而，即的斜率為.解法3：設(shè)而不求，韋達(dá)定理將點代入雙曲線方程得，化簡得，，故雙曲線方程為，由題明顯直線的斜率存在，設(shè)，設(shè)，，，則聯(lián)立雙曲線得：，故，，，化簡得：，故，即，當(dāng)時，直線過點A，不合題意，舍去.,故.方法4.同構(gòu)雙斜率設(shè)過點的直線方程為，直線的方程為，聯(lián)立解得，代入雙曲線的方程中，整理得，這是關(guān)于的一元二次方程，方程的兩根分別為直線的斜率.因為直線的斜率之和為，即，所以，整理后分解得.因為直線不經(jīng)過點，所以，從而，即的斜率為.方法5：齊次化聯(lián)立雙曲線方程為，設(shè)，∵AP,AQ的斜率之和為0，∴，故將雙曲線方程為變形為：，且設(shè)直線，由式有：,（兩邊同除以），即，而是此方程的兩根.∴，故直線斜率為?1.方法6：曲線系點處的切線方程為，設(shè)直線的方程為，的方程為，的方程，則過這四條直線交點的二次曲線方程為又因為雙曲線過這些交點，比較的系數(shù)得.又由，所以.例2．（2024山東卷）已知橢圓C：的離心率為，且過點．（1）求的方程：（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．解析：（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.方法1.設(shè)線解點（2）由題意，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，可得.解得.所以.因為，將代替上面的，可得.故.所以直線的方程為.化簡，得.即直線恒過定點.方法2：韋達(dá)定理（2）設(shè)點，若直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程：消去并整理得：，可得，，因為，所以，即，依據(jù),代入整理可得：，

所以，整理化簡得，因為不在直線上，所以，故，于是的方程為，所以直線過定點直線過定點.當(dāng)直線的斜率不存在時，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時直線過點.令為的中點，即，若與不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，若與重合，則，故存在點，使得為定值.方法3.齊次化（2）將原坐標(biāo)系平移，原來的O點平移至點A處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，即，化簡得，即．設(shè)，因為則，即．代入直線方程中得．則在新坐標(biāo)系下直線過定點，則在原坐標(biāo)系下直線過定點．又，D在以為直徑的圓上．的中點即為圓心Q．經(jīng)檢驗，直線垂直于x軸時也成立．故存在，使得．方法4.不聯(lián)立，不韋達(dá)（2）設(shè)，依題意知，因為，所以，整理得同理得相減可得即直線恒過定點.又，D在以為直徑的圓上．的中點即為圓心Q．經(jīng)檢驗，直線垂直于x軸時也成立．故存在，使得．方法5.曲線系（2）A點處的切線方程為，即．設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．由題意得．則過A，M，N三點的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為（其中為系數(shù)）．用直線及點A處的切線可表示為（其中為系數(shù)）．即．對比項、x項及y項系數(shù)得，將①