高三數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)微專題36講05.必要性探路與端點(diǎn)效應(yīng)的正確使用方法

必要性探路與端點(diǎn)效應(yīng)的運(yùn)用方法一．前言中學(xué)階段的主流導(dǎo)數(shù)壓軸題之一就是含參數(shù)的恒成立問題求參數(shù)范圍，在這一類問題中，由于參數(shù)不確定，給我們探討帶來了極大的困難.但是，由于恒成立問題的隨意性，倘如我們先通過一些手段得到一個(gè)參數(shù)的大致范圍，那么這個(gè)取值范圍是不等式恒成立的一個(gè)必要條件，這樣相當(dāng)于對(duì)參數(shù)增加了一個(gè)條件，對(duì)問題解決有很好的導(dǎo)向性.我們下面通過一個(gè)問題來說明在知曉參數(shù)范圍時(shí)，去證明一個(gè)恒成立問題有多便利.例1．（2024全國(guó)卷1文科）已知函數(shù)．（1）設(shè)是的極值點(diǎn)．求，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．解析：（1）略.（2）當(dāng)時(shí)，．設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以是的最小值點(diǎn)．故當(dāng)時(shí)，．因此，當(dāng)時(shí)，．可以看到，在知道參數(shù)范圍后，我們可以甩掉參數(shù)帶來的繁雜，干脆去證明（探討）一個(gè)不含參的不等式，這明顯簡(jiǎn)潔的多，因此，上面的思想就是必要性探路的基本想法.二．基本原理探究必要條件，縮小參數(shù)范圍：首先利用端點(diǎn)效應(yīng)初步獲得參數(shù)的取值范圍，這個(gè)范圍是必要的；常見的幾種縮小參數(shù)范圍的思路：1.必要性探路：若在上恒成立，則，均有，我們可以帶一些特?cái)?shù)值，對(duì)數(shù)取1，指數(shù)取0，三角取特別角等，算出一個(gè)參數(shù)的范圍.2.下面的思路為端點(diǎn)效應(yīng)(2)若在上恒成立，且則此法應(yīng)用于區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值為零的狀況.(3)若在上恒成立，且，則此法應(yīng)用于區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值為零且導(dǎo)數(shù)值也為零的狀況.2.證明充分性，求結(jié)果：利用第一步中的參數(shù)的范圍去判定函數(shù)是否單調(diào)；（1）假如函數(shù)單調(diào)，則由端點(diǎn)得到的范圍就是最終答案；（2）假如函數(shù)不單調(diào)，則利用端點(diǎn)確定的范圍進(jìn)一步確定函數(shù)的最值.三．典例分析題型1.必要性探路方法1.必要性探路+甩掉參數(shù)這一種題目的方法就是利用必要性探路得到參數(shù)范圍后，對(duì)參數(shù)進(jìn)行放縮，從而消掉參數(shù)項(xiàng)，得到欲證恒成立問題的一個(gè)界.例1.（2025屆武漢九月調(diào)考）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：（1）當(dāng)時(shí)，，，，切點(diǎn)為，斜率為，曲線在點(diǎn)處的切線方程：.（2）恒成立,,,令，，在恒成立，在單調(diào)遞增，且，，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍.方法2.必要性探路+主元變換得到參數(shù)范圍后，我們當(dāng)然也可以變換主元，從簡(jiǎn)潔的視角來證明.例2.（2024全國(guó)卷1文科）已知函數(shù)．（1）設(shè)是的極值點(diǎn)．求，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．解析.主元法令，則，故在上遞增，那么，由于，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，另一方面：，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).綜上，，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).證畢.題型2.端點(diǎn)效應(yīng)例3．（2024新高考2卷）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，探討的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍.解析：（2）設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)沖突.若，則，下證：對(duì)隨意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.例4.（2024全國(guó)1卷）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，探討的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.解析：令，其中，則，令，則.并不能保證，況且二階導(dǎo)函數(shù)在上不單調(diào)且存在兩個(gè)零點(diǎn)，事實(shí)當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù)，則有時(shí)，，即在上為減函數(shù)，則有時(shí)，.事實(shí)上不等式在取等號(hào)之外，在區(qū)間中還存在其它點(diǎn)處取等號(hào)的狀況，所以，本題用失敗的緣由就是函數(shù)在其他地方還有一個(gè)零點(diǎn)，所以，在這種狀況下，要確保端點(diǎn)效應(yīng)照舊有效，我們就需進(jìn)一步運(yùn)用下面的方法來尋求必要性.題型3.切線分析與必要性探路若題干給出含參不等式恒成立，當(dāng)參數(shù)變更時(shí)，假設(shè)的圖象隨之而變更，在變更的過程之中，能使恒成立的臨界狀態(tài)恰好為兩個(gè)函數(shù)圖象相切的情形，這一狀態(tài)我們一般稱之為“臨界相切”，如下圖所示.這類問題由于具有深刻的圖形背景，所以分析圖形是找尋解題思路的好方法，可以先在草稿紙上分析并求解出臨界狀態(tài)，如圖中的處，應(yīng)有，由這一方程組可以求出參數(shù)的臨界值和臨界狀態(tài)下兩個(gè)函數(shù)圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在作答時(shí)可先用來得出成立的必要條件，再證明充分性.例5.（2024全國(guó)1卷）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，探討的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.解析：時(shí)，.令，直線與曲線相切于點(diǎn)，又直線過點(diǎn)，所以，這正是取的緣由所在當(dāng)時(shí)，．只需證明①式成立．①式，令，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減．從而，即，①式成立．所以當(dāng)時(shí)，恒成立．綜上．小結(jié)：（1）本文所運(yùn)用方法只是論證必要性，論證完后必需再證充分性.（2）對(duì)于函數(shù)有內(nèi)零點(diǎn)的情形，可利用題型3來解決處理，這樣基本可以找到與答案一樣的參數(shù)范圍.三．習(xí)題演練習(xí)題.已知函數(shù)，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：由題意，留意到，，，，令.當(dāng)時(shí)，，，所以，滿意題意；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞