2025屆吉林省吉林市“三校”高一數(shù)學第二學期期末達標檢測試題含解析

2025屆吉林省吉林市“三?！备咭粩?shù)學第二學期期末達標檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若，則△ABC是A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形2．下列函數(shù)所具有的性質(zhì)，一定成立的是（）A． B．C． D．3．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且若對任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．數(shù)列1，，，…，的前n項和為A． B． C． D．5．甲、乙兩人在相同條件下，射擊5次，命中環(huán)數(shù)如下：甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計（）A．甲比乙的射擊技術穩(wěn)定 B．乙.比甲的射擊技術穩(wěn)定C．兩人沒有區(qū)別 D．兩人區(qū)別不大6．實數(shù)滿足,則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．若向量互相垂直，且，則的值為（）A． B． C． D．8．計算()A． B． C． D．9．已知點，直線過點，且與線段相交，則直線的斜率滿足()A．或 B．或 C． D．10．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．關于的不等式，對于恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_______.12．求值：_____．13．若是方程的解，其中，則________．14．已知直線與相互垂直，且垂足為，則的值為______.15．已知正數(shù)、滿足，則的最大值為__________．16．《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一.書中有一道這樣的題目：把100個面包分給5個人，使每人所得份量成等差數(shù)列，且較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小一份的量為___.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某購物中心舉行抽獎活動，顧客從裝有編號分別為0，1，2，3四個球的抽獎箱中，每次取出1個球，記下編號后放回，連續(xù)取兩次（假設取到任何一個小球的可能性相同）.若取出的兩個小球號碼相加之和等于5，則中一等獎；若取出的兩個小球號碼相加之和等于4，則中二等獎；若取出的兩個小球號碼相加之和等于3，則中三等獎；其它情況不中獎.（Ⅰ）求顧客中三等獎的概率；（Ⅱ）求顧客未中獎的概率.18．已知圓經(jīng)過點，且圓心在直線：上.（1）求圓的方程；（2）過點的直線與圓交于兩點，問在直線上是否存在定點，使得恒成立？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.19．已知的內(nèi)角的對邊分別為，若向量，且.（1）求角的值；（2）已知的外接圓半徑為，求周長的取值范圍.20．如圖，在直三棱柱中，，，是棱的中點．（1）求證：；（2）求證：．21．某廠生產(chǎn)產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)千件需另投人成本萬元.當年產(chǎn)量不足80千件時，（萬元）；當年產(chǎn)量不小于80千件時，萬元，每千件產(chǎn)品的售價為50萬元，該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完.（1）寫出年利潤萬元關于千件的函數(shù)關系式；（2）當年產(chǎn)量為多少千件時該廠當年的利潤最大？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

由正弦定理，記，則，，，又，所以，即，所以.故選：A.2、B【解析】

結合反三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意，對于A中，令，則，所以不正確；對于C中，根據(jù)反正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以是錯誤的；對于D中，函數(shù)當時，則滿足，所以不正確，故選：B.【點睛】本題主要考查了反三角函數(shù)的性質(zhì)的應用，其中解答中熟記反三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項判定是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.3、C【解析】

由得到an=n，任意的，恒成立等價于，利用作差法求出的最小值即可.【詳解】當n=1時，，又∴∵an+12=2Sn+n+1，∴當n≥2時，an2=2Sn﹣1+n，兩式相減可得：an+12﹣an2=2an+1，∴an+12=（an+1）2，∵數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的數(shù)列，∴an+1=an+1，即an+1﹣an=1，顯然n=1時，適合上式∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項為1，公差為1．∴an=1+（n﹣1）=n．任意的，恒成立，即恒成立記，，∴為單調(diào)增數(shù)列，即的最小值為∴，即故選C【點睛】已知求的一般步驟：（1）當時，由求的值；（2）當時，由，求得的表達式；（3）檢驗的值是否滿足（2）中的表達式，若不滿足則分段表示；（4）寫出的完整表達式.4、B【解析】

數(shù)列為，則所以前n項和為．故選B5、A【解析】

先計算甲、乙兩人射擊5次，命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)，再計算出各自的方差，根據(jù)方差的數(shù)值的比較，得出正確的答案.【詳解】甲、乙兩人射擊5次，命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)分別為：，甲、乙兩人射擊5次，命中環(huán)數(shù)的方差分別為：，，因為，所以甲比乙的射擊技術穩(wěn)定，故本題選A.【點睛】本題考查了用方差解決實際問題的能力，考查了方差的統(tǒng)計學意義.6、A【解析】

畫出可行域，平移基準直線到可行域邊界的位置，由此求得目標函數(shù)的取值范圍.【詳解】畫出可行域如下圖所示，平移基準直線到可行域邊界的位置，由圖可知目標函數(shù)分別在出取的最小值和最大值，最小值為，最大值為，故的取值范圍是，故選A.【點睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求最大值和最小值，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.7、B【解析】

首先根據(jù)題意得到，再計算即可.【詳解】因為向量互相垂直，，所以.所以.故選：B【點睛】本題主要考查平面向量模長的計算，同時考查了平面向量數(shù)量積，屬于簡單題.8、A【解析】

根據(jù)對數(shù)運算,即可求得答案.【詳解】故選:A.【點睛】本題主要考查了對數(shù)運算,解題關鍵是掌握對數(shù)運算基礎知識,考查了計算能力,屬于基礎題.9、A【解析】

畫出三點的圖像，根據(jù)的斜率，求得直線斜率的取值范圍.【詳解】如圖所示，過點作直線軸交線段于點，作由直線①直線與線段的交點在線段(除去點)上時，直線的傾斜角為鈍角，斜率的范圍是.②直線與線段的交點在線段(除去點)上時，直線的傾斜角為銳角，斜率的范圍是.因為，，所以直線的斜率滿足或.故選:A.【點睛】本小題主要考查兩點求斜率的公式，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，考查分類討論的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.10、A【解析】

由題意首先求得平移之后的函數(shù)解析式，然后確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知：將的圖象向右平移個單位長度之后的解析式為：.則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：，即，令可得一個單調(diào)遞增區(qū)間為：.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：，即，令可得一個單調(diào)遞減區(qū)間為：，本題選擇A選項.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的判斷等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、或【解析】

利用換元法令，則對任意的恒成立，再對分兩種情況討論，令求出函數(shù)的最小值，即可得答案.【詳解】令，則對任意的恒成立，（1）當，即時，上式顯然成立；（2）當，即時，令①當時，，顯然不成立，故不成立；②當時，，∴解得：綜上所述：或.故答案為：或.【點睛】本題考查含絕對值函數(shù)的最值問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意分段函數(shù)的最值求解.12、【解析】

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系：，以及反三角函數(shù)即可解決?！驹斀狻坑深}意．故答案為：．【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關系，同角角三角函數(shù)基本關系主要有:,.屬于基礎題。13、或【解析】

將代入方程，化簡結合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可得：，即所以或又所以或故答案為：或【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)求值問題，屬于基礎題.14、【解析】

先由兩直線垂直，可求出的值，將垂足點代入直線的方程可求出的點，再將垂足點代入直線的方程可求出的值，由此可計算出的值.【詳解】，，解得，直線的方程為，即，由于點在直線上，，解得，將點的坐標代入直線的方程得，解得，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查了由兩直線垂直求參數(shù)，以及由兩直線的公共點求參數(shù)，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題.15、【解析】

直接利用均值不等式得到答案.【詳解】，當即時等號成立.故答案為：【點睛】本題考查了均值不等式，意在考查學生的計算能力.16、【解析】

設此等差數(shù)列為{an}，公差為d，則（a3+a4+a5）×=a1+a2，即，解得a1=，d=．最小一份為a1，故答案為．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）利用列舉法列出所有可能,設事件為“顧客中三等獎”,的事件.由古典概型概率計算公式即可求解.（Ⅱ）先分別求得中一等獎、二等獎和三等獎的概率,根據(jù)對立事件的概率性質(zhì)即可求得未中獎的概率.【詳解】（Ⅰ）所有基本事件包括共16個設事件為“顧客中三等獎”,事件包含基本事件共4個,所以.（Ⅱ）由題意,中一等獎時“兩個小球號碼相加之和等于5”,這一事件包括基本事件共2個中二等獎時,“兩個小球號碼相加之和等于4”,這一事件包括基本事件共3個由（Ⅰ）可知中三等獎的概率為設事件為“顧客未中獎”則由對立事件概率的性質(zhì)可得所以未中獎的概率為.【點睛】本題考查了古典概型概率的計算方法,對立事件概率性質(zhì)的應用,屬于基礎題.18、（1）（2）在直線上存在定點，使得恒成立，詳見解析【解析】

（1）求出弦中垂線方程，由中垂線和直線相交得圓心坐標，再求出圓半徑，從而得圓標準方程；（2）直線斜率存在時，設方程為，代入圓的方程，得的一元二次方程，同時設交點為由韋達定理得，假設定點存在，設其為，由求得，再驗證所作直線斜率不存在時，點也滿足題意．【詳解】（1）的中點為，∴的垂直平分線的斜率為，∴的垂直平分線的方程為，∴的垂直平分線與直線交點為圓心，則，解得，又．∴圓的方程為.（2）當直線的斜率存在時，設直線的斜率為，則過點的直線方程為，故由，整理得，設，設，則，，，即，當斜率不存在時，成立，∴在直線上存在定點，使得恒成立【點睛】本題考查求圓的標準方程，考查與圓有關的定點問題．求圓的標準方程可先求出圓心坐標和圓的半徑，然后得標準方程，注意圓心一定在弦的中垂線上．定點問題，通常用設而不求思想，即設直線方程與圓方程聯(lián)立消元后得一元二次方程，設直線與圓的交點坐標為，由韋達定理得，然后設定點坐標如本題，再由條件求出，若不能求出說明定點不存在，如能求出值，注意驗證直線斜率不存在時，此定點也滿足題意．19、(1)(2)【解析】試題分析：（1）由，得，利用正弦定理統(tǒng)一到角上易得（2）根據(jù)題意，得，由余弦定理，得，結合均值不等式可得，所以的最大值為4，又，從而得到周長的取值范圍.試題解析：（1）由，得.由正弦定理，得，即.在中，由，得.又，所以.（2）根據(jù)題意，得.由余弦定理，得，即，整理得，當且僅當時，取等號，所以的最大值為4.又，所以，所以.所以的周長的取值范圍為.20、(1)見詳解；（2）見詳解.【解析】

（1）連接AC1，設AC1∩A1C＝O，連接OD，可求O為AC1的中點，D是棱AB的中點，利用中位線的性質(zhì)可證OD∥BC1，根據(jù)線面平行的判斷定理即可證明BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可證平行四邊形ACC1A1是菱形，由其性質(zhì)可得AC1⊥A1C，利用線面垂直的性質(zhì)可證AB⊥AA1，根據(jù)AB⊥AC，利用線面垂直的判定定理可證AB⊥平面ACC1A1，利用線面垂直的性質(zhì)可證AB⊥A1C，又AC1⊥A1C，根據(jù)線面垂直的判定定理可證A1C⊥平面ABC1，利用線面垂直的性質(zhì)即可證明BC1⊥A1C．【詳解】（1）連接AC1，設AC1∩A1C＝O，連接OD，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面ACC1A1是平行四邊形，所以：O為AC1的中點，又因為：D是棱AB的中點，所以：OD∥BC1，又因為：BC1?平面A1CD，OD?平面A1CD，所以：BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可知：側面ACC1A1是平行四邊形，因為：AC＝AA1，所以：平行四邊形ACC1A1是菱形，所以：AC1⊥A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因為：AB?平面ABC，所以：AB⊥AA1，又因為：AB⊥AC，AC∩AA1＝A，AC?平面ACC1A1，AA1?平面ACC1A1，所以：AB⊥平面ACC1A1，因為：A1C?平面ACC1A1，所以：AB⊥A1C，又因為：AC1⊥A1C，AB∩AC1＝A，AB?平面ABC1，AC1?平面ABC1，所以：A1C⊥平面ABC1，因為：BC1?平面ABC1，所以：BC1⊥A1C．【點睛】本題主要考查了線面平行的判定，線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．21、（1）（2）100【解析】