高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)專題題組訓(xùn)練7笛卡爾學(xué)生版

專題7笛卡爾一、單選題1．笛卡爾是世界聞名的數(shù)學(xué)家，他因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父.據(jù)說在他生病臥床時(shí)，還在反復(fù)思索一個(gè)問題：通過什么樣的方法，才能把“點(diǎn)”和“數(shù)”聯(lián)系起來呢？突然，他望見屋頂角上有一只蜘蛛正在拉絲織網(wǎng)，受其啟發(fā)建立了笛卡爾坐標(biāo)系的雛形.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，單位正方體頂點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．2．假如兩個(gè)正整數(shù)和，的全部真因數(shù)（即不是自身的因數(shù)）之和等于，的全部真因數(shù)之和等于，則稱和是一對“親和數(shù)”．約兩千五百年前，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)覺第一對親和數(shù)：284和220．歷史中不少數(shù)學(xué)家們都曾參加找尋親和數(shù)，其中包括笛卡爾、費(fèi)馬、歐拉等.1774年，歐拉向全世界宣布找到30對親和數(shù)，并以為2620和2924是最小的其次對親和數(shù)，可到了1867年，意大利的16歲中學(xué)生白格黑尼，竟然發(fā)覺了數(shù)學(xué)大師歐拉的疏漏——在284和2620之間還有一對較小的親和數(shù)1184和1210．我們知道220的全部真因數(shù)之和為：，284的全部真因數(shù)之和為：，若從284的全部真因數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則該數(shù)為奇數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．3．笛卡爾是世界聞名的數(shù)學(xué)家，他因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父.據(jù)說在他生病臥床時(shí)，還在反復(fù)思索一個(gè)問題：通過什么樣的方法，才能把“點(diǎn)”和“數(shù)”聯(lián)系起來呢？突然，他望見屋頂角上有一只蜘蛛正在拉絲織網(wǎng)，受其啟發(fā)建立了笛卡爾坐標(biāo)系的雛形.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，單位正方體頂點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．4．“虛數(shù)”這個(gè)名詞是17世紀(jì)聞名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)制的，直到19世紀(jì)虛數(shù)才真正聞人數(shù)的領(lǐng)域，虛數(shù)不能像實(shí)數(shù)一樣比較大小.已知復(fù)數(shù)，且(其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（

）A． B．C． D．5．“虛數(shù)”這個(gè)詞是17世紀(jì)聞名數(shù)學(xué)家?哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)制的，當(dāng)時(shí)的觀念認(rèn)為這是不存在的數(shù).人們發(fā)覺，最簡潔的二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有解.已知復(fù)數(shù)滿意，則（

）A．4 B．2 C． D．16．1614年蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在探討天文學(xué)的過程中為了簡化計(jì)算而獨(dú)創(chuàng)了對數(shù)方法；1637年法國數(shù)學(xué)家笛卡爾起先運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算；1770年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺了指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系，指出：對數(shù)源于指數(shù)，對數(shù)的獨(dú)創(chuàng)先于指數(shù)．若，，則的值約為（

）A．2.301 B．2.322 C．2.507 D．2.6997．1614年納皮爾在探討天文學(xué)的過程中，為了簡化計(jì)算而獨(dú)創(chuàng)對數(shù)；1637年笛卡爾起先運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算；1707年歐拉發(fā)覺了指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系.對數(shù)源于指數(shù)，對數(shù)的獨(dú)創(chuàng)先于指數(shù)，這已成為歷史珍聞.若，，，依據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系，估計(jì)的值約為（

）A．0.4961 B．0.6941 C．0.9164 D．1.4698．宏大的法國數(shù)學(xué)家笛卡兒（Descartes1596～1650）創(chuàng)立了直角坐標(biāo)系.他用平面上的一點(diǎn)到兩條固定直線的距離來確定這個(gè)點(diǎn)的位置，用坐標(biāo)來描述空間上的點(diǎn)，因此直角坐標(biāo)系又被稱為“笛卡爾系”；直角坐標(biāo)系的引入，將諸多的幾何學(xué)的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，大大降低了問題的難度，而直角坐標(biāo)系，在平面對量中也有著重要的作用；在正三角形中，是線段上的點(diǎn)，，，則（

）.A．3 B．6 C．9 D．129．宏大的法國數(shù)學(xué)家笛卡兒創(chuàng)立了直角坐標(biāo)系.他用平面上的一點(diǎn)到兩條固定直線的距離來確定這個(gè)點(diǎn)的位置，用坐標(biāo)來描述空間上的點(diǎn)，因此直角坐標(biāo)系又被稱為“笛卡爾系”；直角坐標(biāo)系的引入，將諸多的幾何學(xué)的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，大大降低了問題的難度，而直角坐標(biāo)系，在平面對量中也有著重要的作用；已知直角梯形中，，，，是線段上靠近的三等分點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，若，，則（

）A． B． C． D．10．笛卡爾是法國聞名的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、物理學(xué)家，他獨(dú)創(chuàng)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)工具之一——坐標(biāo)系，將幾何與代數(shù)相結(jié)合，創(chuàng)立了解析幾何．相傳，52歲時(shí)，窮困潦倒的笛卡爾戀上了18歲的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驅(qū)除，在寄給公主的最終一封信里，僅有短短的一個(gè)方程：，拿信的公主早已淚眼婆娑，原來該方程的圖形是一顆愛心的形態(tài)．這就是聞名的“心形線”故事．某同學(xué)利用幾何畫板，將函數(shù)，畫在同一坐標(biāo)系中，得到了如圖曲線．視察圖形，當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)函數(shù)的圖像為(

)A． B．C． D．11．1614年納皮爾在探討天文學(xué)的過程中為了簡化計(jì)算而獨(dú)創(chuàng)對數(shù)；1637年笛卡爾起先運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算；1770年，歐拉發(fā)覺了指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系，指出：對數(shù)源于指數(shù)，對數(shù)的獨(dú)創(chuàng)先于指數(shù)，稱為數(shù)學(xué)史上的珍聞，對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，即對數(shù)函數(shù)（且）的反函數(shù)為（且）．已知函數(shù)，，則對于隨意的，有恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題12．17世紀(jì)初，約翰·納皮爾為了簡化計(jì)算而獨(dú)創(chuàng)了對數(shù)．對數(shù)的獨(dú)創(chuàng)是數(shù)學(xué)史上的重大事務(wù)，恩格斯曾經(jīng)把笛卡爾的坐標(biāo)系、納皮爾的對數(shù)、牛頓和萊布尼茲的微積分共同稱為17世紀(jì)的三大數(shù)學(xué)獨(dú)創(chuàng)．我們知道，任何一個(gè)正實(shí)數(shù)N可以表示成的形式，兩邊取常用對數(shù)，則有，現(xiàn)給出部分常用對數(shù)值（如下表），則下列說法中正確的有（

）真數(shù)x2345678910（近似值）0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000真數(shù)x111213141516171819（近似值）1.0411.0791.1141.1461.1761.2041.2301.2551.279A．在區(qū)間內(nèi)B．是15位數(shù)C．若，則D．若是一個(gè)35位正整數(shù)，則13．“虛數(shù)”這個(gè)詞是世紀(jì)聞名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)制的，當(dāng)時(shí)的觀念認(rèn)為這是不存在的數(shù).人們發(fā)覺即使運(yùn)用全部的有理數(shù)和無理數(shù)，也不能解決代數(shù)方程的求解問題，像這樣最簡潔的二次方程，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有解.引進(jìn)虛數(shù)概念以后，代數(shù)方程的求解問題才得以解決.設(shè)是方程的根，則（

）A． B．C．是該方程的根 D．是該方程的根14．卵形曲線也叫卵形線，是常見曲線的一種，分笛卡爾卵形線和卡西尼卵形線.卡西尼卵形線是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)（叫做焦點(diǎn)）距離之積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.設(shè)焦點(diǎn)是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，（是定長），特殊地，當(dāng)時(shí)的卡西尼卵形線又稱為伯努利雙紐線，某同學(xué)通過類比橢圓與雙曲線的探討方法，對伯努利雙紐線進(jìn)行了相關(guān)性質(zhì)的探究，得到下列結(jié)論，其中正確的是（

）A．曲線過原點(diǎn)B．關(guān)于原點(diǎn)中心對稱且關(guān)于坐標(biāo)軸成軸對稱C．方程為D．曲線上隨意點(diǎn)，，15．笛卡爾是西方哲學(xué)思想的奠基人之一，“我思故我在”便是他提出的聞名的哲學(xué)命題；同時(shí)，笛卡爾也是一位家喻戶曉的數(shù)學(xué)家，除了獨(dú)創(chuàng)坐標(biāo)系以外，笛卡爾葉形線也是他的杰出作品，其方程為x3＋y3＝3axy，a為非零常數(shù)．下列關(guān)于笛卡爾葉形線的說法中正確的是（

）A．圖象關(guān)于直線y＝x對稱B．圖象與直線x＋y＋a＝0有2個(gè)交點(diǎn)C．當(dāng)a＞0時(shí)，圖象在第三象限沒有分布D．當(dāng)a＝1，x、y＞0時(shí)，y的最大值為16．作為平面直角坐標(biāo)系的獨(dú)創(chuàng)者，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾也探討了不少美麗的曲線，如笛卡爾葉形線，其在平面直角坐標(biāo)系xOy下的一般方程為.某同學(xué)對情形下的笛卡爾葉形線的性質(zhì)進(jìn)行了探究，得到了下列結(jié)論，其中正確的是(

)A．曲線不經(jīng)過第三象限B．曲線關(guān)于直線對稱C．曲線與直線有公共點(diǎn)D．曲線與直線沒有公共點(diǎn)17．發(fā)覺土星衛(wèi)星的天文學(xué)家喬凡尼卡西尼對把卵形線描繪成軌道有愛好.像笛卡爾卵形線一樣，笛卡爾卵形線的作法也是基于對橢圓的針線作法作修改，從而產(chǎn)生更多的卵形曲線.卡西尼卵形線是由下列條件所定義的：曲線上全部點(diǎn)到兩定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之積為常數(shù).已知：曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(-1，0)和F2(1，0）的距離的積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，則下列命題中正確的是（

）A．曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)B．曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱C．曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱D．若點(diǎn)在曲線C上，則的面積不大于三、填空題18．笛卡爾坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系與斜角坐標(biāo)系的統(tǒng)稱，如圖，在平面斜角坐標(biāo)系中，兩坐標(biāo)軸的正半軸的夾角為，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，若向量，則稱有序?qū)崝?shù)對為在該斜角坐標(biāo)系下的坐標(biāo).若向量，在該斜角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為，，當(dāng)_______時(shí)，.19．笛卡爾?牛頓都探討過方程，關(guān)于這個(gè)方程的曲線有下列說法：①該曲線關(guān)于y軸對稱；②該曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱；③該曲線不經(jīng)過第三象限；④該曲線上有且只有三個(gè)點(diǎn)的橫?縱坐標(biāo)都是整數(shù).其中不正確的是___________.20．阿波羅尼奧斯（Apollonius）（公元前262～公元前190），古希臘人，與歐幾里得和阿基米德齊名，他的著作《圓錐曲線論》憑一己之力將圓錐曲線探討殆盡，致使后人沒有任何可插足之地；直到17世紀(jì)，笛卡爾和費(fèi)馬的坐標(biāo)系之后，數(shù)學(xué)家建立起了解析幾何體系，圓錐曲線的探討才有了突破.阿波羅尼奧斯在他的著作里得到了這樣的結(jié)論：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，也稱阿氏圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之比為2：1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為________.四、雙空題21．阿波羅尼奧斯（Apollonius）（公元前262～公元前190），古希臘人，與歐幾里得和阿基米德齊名，他的著作《圓錐曲線論》憑一己之力將圓錐曲線探討殆盡，致使后人沒有任何可插足之地；直到17世紀(jì)，笛卡爾和費(fèi)馬的坐標(biāo)系之后，數(shù)學(xué)家建立起了解析幾何體系，圓錐曲線的探討才有了突破．阿波羅尼奧斯在他的著作里得到了這樣的結(jié)論：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，也稱阿氏圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之比為2∶1，