陜西省渭南市韓城市2023-2024學年高二下學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題

2023-2024學年陜西省渭南市韓城市高二（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.數(shù)列1，，5，，…的第9項是(

)A. B.19 C. D.172.已知函數(shù)在處的導數(shù)為3，則(

)A.6 B.3 C. D.3.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(

)A.

B.

C.

D.

4.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則當取得最小值時，(

)A.4 B.5 C.6 D.75.已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列關于的描述一定正確的是(

)A.在區(qū)間上單調(diào)遞減

B.當時，取得最大值

C.在區(qū)間上單調(diào)遞減

D.當時，取得最小值6.設數(shù)列滿足…，則(

)A. B. C. D.7.設函數(shù)，若，且，則下列不等式恒成立的是(

)A. B. C. D.8.風箏由中國古代勞動人民發(fā)明于東周春秋時期，距今已2000多年.因龍被視為中華古老文明的象征，再加上大型龍類風箏放飛場面壯觀，氣勢磅礴而廣受喜愛.某團隊耗時3個多月做出一長達180米、重約20公斤，“龍身”共有140節(jié)“鱗片”的巨龍風箏.制作過程中，風箏骨架可采用竹子制作，但竹子易斷，還有一種耐用的碳桿材質(zhì)也可做骨架，但它比竹質(zhì)的成本高.最終團隊決定鱗片骨架按圖中規(guī)律創(chuàng)作.則所有鱗片中竹質(zhì)鱗片個數(shù)為(

)A.120 B.124 C.128 D.130二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.若數(shù)列為遞增數(shù)列，則的通項公式可以為(

)A. B. C. D.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(

)A.，

B.函數(shù)可能無極值點

C.若是的極值點，則

D.若是的極小值點，則在區(qū)間單調(diào)遞減11.設等比數(shù)列的公比為q，其前n項和為，前n項積為，若，，且，則下列結(jié)論正確的是(

)A. B.

C.數(shù)列中的最大值是 D.數(shù)列無最大值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)，______.13.在正項等比數(shù)列中，為其前n項和，若，，則的值為______.14.設且，若關于x的方程有兩個實數(shù)根，則a的取值范圍是______.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題13分

求下列函數(shù)的導數(shù)：

Ⅰ；

Ⅱ16.本小題15分

已知等比數(shù)列的前n項和為公比，若，

求的通項公式；

證明：17.本小題15分

已知函數(shù)，

Ⅰ若，求曲線在點處的切線方程；

Ⅱ若在上恒成立，求a的取值范圍.18.本小題17分

若數(shù)列滿足條件：存在正整數(shù)k，使得對一切，都成立，則稱數(shù)列為k級等差數(shù)列.

Ⅰ若數(shù)列為1級等差數(shù)列，，，求數(shù)列的前n項和；

Ⅱ若數(shù)列為2級等差數(shù)列，且前四項依次為2，0，4，3，求、及數(shù)列的前2024項和19.本小題17分

已知函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，

Ⅰ當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

Ⅱ是否存在實數(shù)a，使的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：由題意可知，該數(shù)列可用表示，

故

故選：

該數(shù)列可用表示，將代入，即可求解．

本題主要考查數(shù)列的概念及簡單表示法，屬于基礎題．2.【答案】A

【解析】解：由題意可得，

則

故選：

利用極限的運算性質(zhì)以及導數(shù)的幾何意義化簡即可求解．

本題考查了導數(shù)的幾何意義以及極限的運算性質(zhì)，屬于基礎題．3.【答案】A

【解析】解：由圖可得，函數(shù)一直單調(diào)遞增，且遞增速度越來越慢，

故

故選：

直接根據(jù)導數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的圖像即可得到結(jié)論．

本題主要考查導數(shù)的幾何意義的應用，屬于基礎題．4.【答案】B

【解析】解：，

則，

，

則，

故當取得最小值時，

故選：

根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎題．5.【答案】C

【解析】解：由圖可知，時，，為增函數(shù)；

時，，為減函數(shù)；

當時，有極大值，不一定為最大值；

時，，為增函數(shù)；

當時，有極小值，不一定為最小值；

時，，為減函數(shù)，

綜上可得只有C正確．

故選：

根據(jù)導數(shù)圖象與函數(shù)圖象的關系可得答案．

本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題．6.【答案】D

【解析】解：…，

當時，

當時，…，

，

當時也成立，

故選：

利用遞推關系即可得出．

本題考查了數(shù)列的通項公式求法、遞推關系的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．7.【答案】D

【解析】解：，則函數(shù)為偶函數(shù)，

當時，，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又，且，

則，

故

故選：

易知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，結(jié)合題意可得，由此得解．

本題考查函數(shù)與導數(shù)的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．8.【答案】B

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的實際應用，涉及等差數(shù)列的求和公式在實際問題中的應用，屬于基礎題．

根據(jù)題意，分析碳桿材質(zhì)的鱗片和竹質(zhì)鱗片之間的規(guī)律，再假設有n個“碳桿”鱗片，分析可得n的不等式，求出n的值，分析可得答案．【解答】

解：根據(jù)題意，分析可得：第n個碳桿材質(zhì)的鱗片和第個碳桿材質(zhì)的鱗片之間有n個竹質(zhì)鱗片，

假設有n個碳桿材質(zhì)的鱗片，，

由已知可得…①，

如果只有個碳桿材質(zhì)的鱗片，則骨架總數(shù)少于140，

所以…②，

聯(lián)立①②可得：且，

又，解得，即需要16個碳桿材質(zhì)的鱗片，

故需要個竹質(zhì)鱗片．

故選：9.【答案】ABD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A，，則，易得，則數(shù)列為遞增數(shù)列，符合題意；

對于B，，則，則數(shù)列為遞增數(shù)列，符合題意；

對于C，，有，數(shù)列不是遞增數(shù)列，不符合題意；

對于D，，，數(shù)列為遞增數(shù)列，符合題意．

故選：

根據(jù)題意，依次分析選項中數(shù)列的單調(diào)性，綜合可得答案．

本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，涉及數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎題．10.【答案】ABC

【解析】解：函數(shù)，當時，，當時，，

又連續(xù)，所以，，A正確；

當時，在R上單調(diào)遞增，無極值點，故B正確；

三次函數(shù)是連續(xù)的，若是的極值點，則，故C正確；

若是的極小值點，可能還有極大值點，若，

則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故D錯誤．

故選：

由三次函數(shù)的圖象特征可判斷A；取函數(shù)即可判斷B；由極值點的定義即可判斷C；由極值點與單調(diào)性的關系即可判斷

本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．11.【答案】ABC

【解析】解：，，且，

則，，

對于A，，故A正確；

對于B，，故B正確；

對于CD，，，，

則數(shù)列中的最大值是，故C正確，D錯誤．

故選：

根據(jù)已知條件，推得，，即可依次判斷．

本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎題．12.【答案】

【解析】解：由題，

所以，

則

故答案為：

先求出導數(shù)，即可求出常數(shù)

本題主要考查了函數(shù)的求導公式的應用，屬于基礎題．13.【答案】35

【解析】解：正項等比數(shù)列中，為其前n項和，

故，，成等比數(shù)列；由于，，

所以，解得

故答案為：

直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出結(jié)果．

本題考查的知識點：等比數(shù)列的性質(zhì)，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．14.【答案】

【解析】解：當時，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知與只有一個交點，不滿足題意；

當時，

設，

則在上有2個根，

因為，

易知在0，上單調(diào)遞增，

設，即有，

則當時，，單調(diào)遞減，

當時，，單調(diào)遞增，

所以，

所以，

即，，

，，，

解得，

綜上，

故答案為：

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知當時，不滿足題意，當時，設，將問題轉(zhuǎn)化為在上有2個根，利用導數(shù)求解即可．

本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、轉(zhuǎn)化思想及導數(shù)的綜合運用，屬于中檔題．15.【答案】解：；

Ⅱ

【解析】由已知結(jié)合函數(shù)的求導公式及求導法則即可分別求解．

本題主要考查了函數(shù)的求導公式及求導法則的應用，屬于基礎題．16.【答案】解：等比數(shù)列中，由于，，

則有，

解得或舍去，所以

因為，且，

所以，

所以

【解析】根據(jù)題意，分析得到關于、q的方程組，解得即可；

首先求出，再利用作差法證明即可．

本題考查等不數(shù)量的求和，涉及等比數(shù)列的前n項和，屬于基礎題．17.【答案】解：Ⅰ當時，，

則，，

，

曲線在點處的切線方程為，即；

Ⅱ在上恒成立，等價于在上恒成立，

即，令，

則，

當時，，當時，，

在上的極小值點為，也是最小值點，

，

，

即a的取值范圍為

【解析】Ⅰ利用導數(shù)的幾何意義求解；

Ⅱ由題意可知，在上恒成立，即，令，利用導數(shù)求出的最小值即可．

本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬于中檔題．18.【答案】解：Ⅰ若數(shù)列為1級等差數(shù)列，即對一切，都成立，

則數(shù)列為等差數(shù)列，設公差為d，

由，，可得，

則

Ⅱ由數(shù)列為2級等差數(shù)列，且前四項分別為2，0，4，3，

可得對一切，都成立，

，，，…，

可得數(shù)列中奇數(shù)項是首項和公差均為2的等差數(shù)列，偶數(shù)項是首項為0，公差為3的等差數(shù)列，

則

【解析】Ⅰ結(jié)合已知定義，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式即可求解；

Ⅱ由已知遞推關系，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解．

本題主要考查了數(shù)列的遞推關系，等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式的應用，屬于中檔題．19.【答案】解：Ⅰ當時，，

則，

當時，，則單調(diào)遞減；

當時，，則單調(diào)遞增．

所以函數(shù)的極小值為，

故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

的極小值為，無極大值；

Ⅱ假設存在實數(shù)a，使，的最小值是3，

，

①當時，因為所以，在上單調(diào)遞減，

所以，解得舍去；

②當時，即時，

當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；

當時，，此時函數(shù)單調(diào)