廣東省重點(diǎn)名校2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

廣東省重點(diǎn)名校2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的最小值是A．0 B．1 C．2 D．42．如圖，為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．異面直線與所成的角為45° B．平面C．平面平面 D．異面直線與所成的角為45°3．三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，⊥底面，且，則此三棱錐外接球的半徑為（）A． B． C． D．4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈：A．281盞 B．9盞 C．6盞 D．3盞5．已知分別是的內(nèi)角的的對(duì)邊，若，則的形狀為（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形6．已知是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則（）A． B．C． D．7．一個(gè)幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C．10 D．8．若函數(shù)局部圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為A． B．C． D．9．已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過(guò)直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為A． B． C． D．10．若圓錐的高擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，底面半徑縮短為原來(lái)的12A．縮小為原來(lái)的34 B．縮小為原來(lái)的C．?dāng)U大為原來(lái)的2倍 D．不變二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知棱長(zhǎng)都相等正四棱錐的側(cè)面積為，則該正四棱錐內(nèi)切球的表面積為_(kāi)_______．12．設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，，且，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，則的值用表示為_(kāi)_________．13．已知，則____________.14．已知角的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則____.15．如圖，二面角等于，、是棱上兩點(diǎn)，、分別在半平面、內(nèi)，，，且，則的長(zhǎng)等于______．16．若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．18．如圖，已知在側(cè)棱垂直于底面三棱柱中，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：（3）求三棱錐的體積.19．某大學(xué)藝術(shù)專(zhuān)業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：（Ⅰ）從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；（Ⅱ）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50）內(nèi)的人數(shù)；20．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，它的前項(xiàng)和為.（1）若，，求；（2）若，，且，求.21．已知，.(1)求的值；(2)若，均為銳角，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】解：∵x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)可知：a+b=x+y，cd=xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取“=”，2、A【解析】

根據(jù)正方體性質(zhì)，依次證明線面平行和面面平行，根據(jù)直線的平行關(guān)系求異面直線的夾角.【詳解】根據(jù)正方體性質(zhì)，，所以異面直線與所成的角等于，，，所以不等于45°，所以A選項(xiàng)說(shuō)法不正確；，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，所以平面，所以B選項(xiàng)說(shuō)法正確；同理可證：平面，是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面平面，所以C選項(xiàng)說(shuō)法正確；，異面直線與所成的角等于，所以D選項(xiàng)說(shuō)法正確.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查線面平行和面面平行的判定，根據(jù)平行關(guān)系求異面直線的夾角，考查空間線線平行和線面平行關(guān)系的掌握3、D【解析】

過(guò)的中心M作直線,則上任意點(diǎn)到的距離相等，過(guò)線段中點(diǎn)作平面，則面上的點(diǎn)到的距離相等，平面與的交點(diǎn)即為球心O，半徑，故選D.考點(diǎn)：求解三棱錐外接球問(wèn)題.點(diǎn)評(píng)：此題的關(guān)鍵是找到球心的位置（球心到4個(gè)頂點(diǎn)距離相等）.4、D【解析】

設(shè)塔的頂層共有盞燈，得到數(shù)列的公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式，即可求解．【詳解】設(shè)塔的頂層共有盞燈，則數(shù)列的公比為2的等比數(shù)列，所以，解得，即塔的頂層共有3盞燈，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解析】

由已知結(jié)合正弦定理可得利用三角形的內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式可得，整理可得從而有結(jié)合三角形的性質(zhì)可求【詳解】解：是的一個(gè)內(nèi)角，，由正弦定理可得，又，，即為鈍角，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，三角形的內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)試題．6、A【解析】

在同一直角坐標(biāo)系中作出與的圖象，設(shè)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，依題意可得，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合圖象即可得答案．【詳解】解：，在同一直角坐標(biāo)系中作出與的圖象，

設(shè)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，

則，即，

又，

所以，，即，

所以①；

又，故，即②，由①②得：，

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，依題意可得是關(guān)鍵，考查作圖能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題．7、B【解析】

由三視圖可知該幾何體為正四棱臺(tái)，下底面邊長(zhǎng)為4，上底面邊長(zhǎng)為2，高為1．再由正四棱臺(tái)體積公式求解．【詳解】由三視圖可知該幾何體為正四棱臺(tái)，下底面邊長(zhǎng)為4，上底面邊長(zhǎng)為2，高為1，所以，，∴該正四棱臺(tái)的體積.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求正四棱臺(tái)的體積，關(guān)鍵是由三視圖判斷出原幾何體的形狀，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解析】

由的部分圖象可求得A，T，從而可得，再由，結(jié)合的范圍可求得，從而可得答案．【詳解】，；又由圖象可得：，可得：，，，．，，又，當(dāng)時(shí)，可得：，此時(shí)，可得：故選D．【點(diǎn)睛】本題考查由的部分圖象確定函數(shù)解析式，常用五點(diǎn)法求得的值，屬于中檔題．9、B【解析】分析：首先根據(jù)正方形的面積求得正方形的邊長(zhǎng)，從而進(jìn)一步確定圓柱的底面圓半徑與圓柱的高，從而利用相關(guān)公式求得圓柱的表面積.詳解：根據(jù)題意，可得截面是邊長(zhǎng)為的正方形，結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是的圓，且高為，所以其表面積為，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)圓柱的表面積的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要利用題的條件確定圓柱的相關(guān)量，即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高，在求圓柱的表面積的時(shí)候，一定要注意是兩個(gè)底面圓與側(cè)面積的和.10、A【解析】

設(shè)原來(lái)的圓錐底面半徑為r，高為h，可得出變化后的圓錐的底面半徑為12r，高為【詳解】設(shè)原來(lái)的圓錐底面半徑為r，高為h，該圓錐的體積為V=1變化后的圓錐底面半徑為12r，高為該圓錐的體積為V'=1故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐體積的計(jì)算，考查變化后的圓錐體積的變化，解題關(guān)鍵就是圓錐體積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)側(cè)面積求出正四棱錐的棱長(zhǎng)，畫(huà)出組合體的截面圖，根據(jù)三角形的相似求得四棱錐內(nèi)切球的半徑，于是可得內(nèi)切球的表面積．【詳解】設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為，則，解得．于是該正四棱錐內(nèi)切球的大圓是如圖△PMN的內(nèi)切圓，其中，．∴．設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，由∽，得，即，解得，∴內(nèi)切球的表面積為．【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑．12、【解析】

由題設(shè)可得知該函數(shù)的最小正周期是，令，則由等差數(shù)列的定義可知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，即，由此可得，將以上個(gè)等式兩邊相加可得，即，所以，故，應(yīng)填答案．點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是借助題設(shè)中提供的數(shù)列遞推關(guān)系式，先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再運(yùn)用列項(xiàng)相消法求出，最后借助題設(shè)中提供的新信息，求出使得問(wèn)題獲解．13、【解析】

由已知結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得，然后分子分母同時(shí)除以求解．【詳解】，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．14、【解析】

由已知先求，再由三角函數(shù)的定義可得即可得解．【詳解】解：由題意可得點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，，由三角函數(shù)的定義可得，，，此時(shí)；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．15、1【解析】

由已知中二面角α﹣l﹣β等于110°，A、B是棱l上兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，由，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，即可求出CD的長(zhǎng)．【詳解】∵A、B是棱l上兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，又∵二面角α﹣l﹣β的平面角θ等于110°，且AB＝AC＝BD＝1，∴，60°，∴故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，其中利用，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，是解答本題的關(guān)鍵．16、【解析】

利用判別式可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】不等式有解等價(jià)于有解，所以，故或，填.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式有解問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、【解析】

利用公式，計(jì)算的通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證時(shí)的情況.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足上式．∴【點(diǎn)睛】本題考查了利用求數(shù)列通項(xiàng)公式，忽略的情況是容易犯的錯(cuò)誤.18、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；(3)8.【解析】試題分析：（1）由勾股定理得，由面得到，從而得到面，故；（2）連接交于點(diǎn)，則為的中位線，得到∥，從而得到∥面；（3）過(guò)作垂足為，面，面積法求，求出三角形的面積，代入體積公式進(jìn)行運(yùn)算.試題解析：（1）證明：在中，由勾股定理得為直角三角形，即．又面，，，面，.（2）證明：設(shè)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，則為的中位線，則在中，∥，又面，則∥面．（3）在中過(guò)作垂足為，由面⊥面知，面，．而，，.考點(diǎn)：直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．19、（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）20.【解析】

（1）首先可以根據(jù)頻率分布直方圖得出樣本中分?jǐn)?shù)不小于的頻率，然后算出樣本中分?jǐn)?shù)小于的頻率，最后計(jì)算出分?jǐn)?shù)小于的概率；（2）首先計(jì)算出樣本中分?jǐn)?shù)不小于的頻率，然后計(jì)算出分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，最后計(jì)算出總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)?！驹斀狻浚?）根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于的頻率為，所以樣本中分?jǐn)?shù)小于的頻率為．所以從總體的名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于的概率估計(jì)為。（2）根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于的頻率為，分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為，所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為?！军c(diǎn)睛】遇到頻率分布直方圖問(wèn)題時(shí)需要注意：在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率/組距，而不是頻率；利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時(shí)，應(yīng)注意三點(diǎn)：①最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；②中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的；③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。20、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)題意建立和的方程組，求出這兩個(gè)量，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出；（2）分、、三種情況討論，然后利用等比數(shù)列的求和公式求出和，即可計(jì)算出.【詳解】（1）若，則，得，則，這與矛盾，則，所以，，解得，因此，；（2