重慶2025屆數學高一下期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

重慶2025屆數學高一下期末學業(yè)質量監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在區(qū)間上隨機取一個數x，的值介于0到之間的概率為（）A． B． C． D．2．向量，若，則的值是（）A． B． C． D．3．已知平面向量，，，，在下列命題中：①存在唯一的實數，使得；②為單位向量，且，則；③；④與共線，與共線，則與共線；⑤若且，則.正確命題的序號是()A．①④⑤ B．②③④ C．①⑤ D．②③4．設向量，滿足，，則（）A．1 B．2 C．3 D．55．若滿足條件的三角形ABC有兩個，那么a的取值范圍是（）A． B． C． D．6．在三棱柱中，底面，是正三角形，若，則該三棱柱外接球的表面積為（）A． B． C． D．7．正四棱柱的高為3cm,體對角線長為cm,則正四棱柱的側面積為()A．10 B．24 C．36 D．408．設是等差數列的前項和，若，則（）A． B． C． D．9．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題中正確的個數為①若，，則②若，則③若，則④若，則A．1 B．2 C．3 D．410．在等差數列中，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數列滿足，，，記數列的前項和為，則________.12．已知球為正四面體的外接球，，過點作球的截面，則截面面積的取值范圍為____________________．13．三菱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長和側棱長都相等，BAA1=CAA1=60°則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為____________.14．若圓:與圓:相交于，兩點，且兩圓在點處的切線互相垂直，則公共弦的長度是______.15．已知數列，，且，則________．16．如圖記錄了甲乙兩名籃球運動員練習投籃時，進行的5組100次投籃的命中數，若這兩組數據的中位數相等，平均數也相等，則______，_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，將一矩形花壇擴建成一個更大的矩形花壇，要求點在上，點在上，且對角線過點，已知米，米.（1）要使矩形的面積大于64平方米，則的長應在什么范圍內？（2）當的長為多少時，矩形花壇的面積最?。坎⑶蟪鲎钚≈?18．已知數列{}的首項.(1)求證：數列為等比數列；(2)記，若，求最大正整數.19．已知和的交點為．（1）求經過點且與直線垂直的直線的方程（2）直線經過點與軸、軸交于、兩點，且為線段的中點，求的面積．20．（Ⅰ）已知向量，求與的夾角的余弦值；（Ⅱ）已知角終邊上一點，求的值．21．已知向量=,=,=,為坐標原點.（1）若△為直角三角形，且∠為直角，求實數的值；（2）若點、、能構成三角形，求實數應滿足的條件.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】因為,若,則,，故選A.2、C【解析】

由平面向量的坐標運算與共線定理，列方程求出λ的值．【詳解】向量=（-4，5），=（λ，1），則-=（-4-λ，4），又（-）∥，所以-4-λ-4λ=0，解得λ=-．故選C．【點睛】本題考查了平面向量的坐標運算與共線定理應用問題，是基礎題．3、D【解析】

分別根據向量的平行、模、數量積即可解決?！驹斀狻慨敒榱阆蛄繒r不滿足，①錯；當為零向量時④錯，對于⑤：兩個向量相乘，等于模相乘再乘以夾角的余弦值，與有可能夾角不一樣或者的模不一樣，兩個向量相等要保證方向、模都相同才可以，因此選擇D【點睛】本題主要考查了向量的共線，零向量。屬于基礎題。4、A【解析】

將等式進行平方，相加即可得到結論．【詳解】∵||，||，∴分別平方得2?10，2?6，兩式相減得4?10﹣6＝4，即?1，故選A．【點睛】本題主要考查向量的基本運算，利用平方進行相加是解決本題的關鍵，比較基礎．5、C【解析】

利用正弦定理，用a表示出sinA，結合C的取值范圍，可知；根據存在兩個三角形的條件，即可求得a的取值范圍?！驹斀狻扛鶕叶ɡ砜芍?，代入可求得因為，所以若滿足有兩個三角形ABC則所以所以選C【點睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的簡單應用，判斷三角形的個數情況，屬于基礎題。6、C【解析】

設球心為，的中心為，求出與，利用勾股定理求出外接球的半徑，代入球的表面積公式即可.【詳解】設球心為，的中心為，則，，球的半徑，所以球的表面積為.故選：C【點睛】本題考查多面體外接球問題，球的表面積公式，屬于中檔題.7、B【解析】

設正四棱柱，設底面邊長為，由正四棱柱體對角線的平方等于從同一頂點出發(fā)的三條棱的平方和，可得關于的方程.【詳解】如圖，正四棱柱，設底面邊長為，則，解得：，所以正四棱柱的側面積.【點睛】本題考查正棱柱的概念，即底面為正方形且側棱垂直于底面的幾何體，考查幾何體的側面積計算.8、D【解析】

根據等差數列片斷和的性質得出、、、成等差數列，并將和都用表示，可得出的值．【詳解】根據等差數列的性質，若數列為等差數列，則也成等差數列；又，則數列是以為首項，以為公差的等差數列，則，故選D．【點睛】本題考查等差數列片斷和的性質，再利用片斷和的性質時，要注意下標之間的倍數關系，結合性質進行求解，考查運算求解能力，屬于中等題．9、A【解析】

根據面面垂直的定義判斷①③錯誤，由面面平行的性質判斷②錯誤，由線面垂直性質、面面垂直的判定定理判定④正確．【詳解】如圖正方體，平面是平面，平面是平面，但兩直線與不垂直，①錯；平面是平面，平面是平面，但兩直線與不平行，②錯；直線是直線，直線是直線，滿足，但平面與平面不垂直，③錯；由得，∵，過作平面與平面交于直線，則，于是，∴，④正確．∴只有一個命題正確．故選A．【點睛】本題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關系．對一個命題不正確，可只舉一例說明即可．對正確的命題一般需要證明．10、B【解析】

利用等差中項的性質得出關于的等式，可解出的值.【詳解】由等差中項的性質可得，由于，即，即，解得，故選：B.【點睛】本題考查等差中項性質的應用，解題時充分利用等差中項的性質進行計算，可簡化計算，考查運算能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、7500【解析】

討論的奇偶性，分別化簡遞推公式，根據等差數列的定義得的通項公式，進而可求.【詳解】當是奇數時，＝﹣1，由，得，所以，，，…，…是以為首項，以2為公差的等差數列，當為偶數時，＝1，由，得，所以，，，…，…是首項為，以4為公差的等差數列，則，所以.故答案為：7500【點睛】本題考查數列遞推公式的化簡，等差數列的通項公式，以及等差數列前n項和公式的應用，也考查了分類討論思想，屬于中檔題．12、【解析】

在平面中，過圓內一點的弦長何時最長，何時最短，類比在空間中，過球內一點的球的大圓面積最大，與此大圓垂直的截面小圓面積最小.利用正四面體的性質及球的性質求正四面體外接球的半徑、小圓半徑，確定答案.【詳解】因為正四面體棱長為AB=3，所以正四面體外接球半徑R=.由球的性質，當過E及球心O時的截面為球的大圓，面積最大，最大面積為；當過E的截面與EO垂直時面積最小，取△BCD的中心，因為為正四面體，所以平面BCD,O在上，，所以,在三角形中，由,，,，由余弦定理在直角三角形中所以過E且與EO垂直的截面圓的半徑r為，截面面積為.所以所求截面面積的范圍是.【點睛】本題考查空間想象能力，邏輯推理能力，空間組合體的關系，正四面體、球的性質，考查計算能力，屬于難題.13、【解析】

如圖設設棱長為1，則，因為底面邊長和側棱長都相等，且所以，所以，，，設異面直線的夾角為，所以.14、【解析】

根據兩圓在點處的切線互相垂直，得出是直角三角形，求出，然后兩圓相減求出公共弦的直線方程，運用點到直線的距離公式求出圓心到公共弦的距離，進而求出公共弦長.【詳解】由題意，圓圓心坐標，半徑，圓圓心坐標,半徑，因為兩圓相交于點，且兩圓在點處的切線互相垂直，所以是直角三角形，，所以，由兩點間距離公式，，所以，解得，所以圓：，兩圓方程相減，得，即，所以公共弦：，圓心到公共弦的距離，故公共弦長故答案為：【點睛】本題主要考查兩圓公共弦的方程、圓弦長的求法和點到直線的距離公式，考查學生的分析能力，屬于基礎題.15、【解析】

由題意可得{}是以+1為首項，以2為公比的等比數列，再由已知求得首項，進一步求得即可．【詳解】在數列中，滿足得，則數列是以+1為首項，以公比為2的等比數列，得，由，則，得．由，得，故．故答案為：【點睛】本題考查了數列的遞推式，利用構造等比數列方法求數列的通項公式，屬于中檔題．16、3.5.【解析】

根據莖葉圖,將兩組數據按照從小到大順序排列,由中位數和平均數相等,即可解得的值.【詳解】甲乙兩組數據的中位數相等,平均數也相等對于甲組將數據按照從小到大順序排列后可知,中位數為65.所以乙組中位數也為65.根據乙組數據可得則由兩組的平均數相等,可知兩組的總數也相等,即解得故答案為:;【點睛】本題考查了莖葉圖的簡單應用,由莖葉圖求中位數和平均數,屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）時，【解析】

（1）設，有題知，得到，再計算矩形的面積，解不等式即可.（2）首先將花壇的面積化簡為，再利用基本不等式的性質即可求出面積的最小值.【詳解】（1）設，.因為四邊形為矩形，所以.即：，解得：.所以，.所以，，解得或.因為，所以或.所以的長度范圍是.（2）因為.當且僅當，即時取“”.所以當時，.【點睛】本題第一問考查了函數模型，第二問考查了基本不等式，屬于中檔題.18、（1）詳見解析；（2）99.【解析】

（1）利用數列遞推公式取倒數，變形可得，從而可證數列為等比數列；（2）確定數列的通項，利用等比數列的求和公式求和，即可求最大的正整數．【詳解】解（1）∵，∴，∵，∴∴數列為等比數列.（2）由（1）可求得，∴.∴.因為在上單調遞增，又因為，∴【點睛】本題考查數列遞推公式，考查等比數列的證明，考查等比數列的求和公式，屬于中檔題．19、（1）；（2）2【解析】

（1）聯立兩條直線的方程，解方程組求得點坐標，根據的斜率求得與其垂直直線的斜率，根據點斜式求得所求直線方程.（2）根據（1）中點的坐標以及為中點這一條件，求得兩點的坐標，進而求得三角形的面積.【詳解】解：（1）聯立，解得交點的坐標為，∵與垂直，∴的斜率，∴的方程為，即.（2）∵為的中點，已知，，即，∴【點睛】本小題主要考查兩條直線交點坐標的求法，考查兩條直線垂直斜率的關系，考查直線的點斜式方程，考查三角形的面積公式以及中點坐標，屬于基礎題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由已知分別求得及與，再由數量積求夾角計算結果；（Ⅱ）利用任意角的三角函數的定義求得sinα，再由三角函數的誘導公式化簡求值．【詳解】（Ⅰ）∵，∴，||＝5，||，∴．（Ⅱ）∵P（﹣4，3）為角α終邊上一點，∴，．則sin2α．【點睛】本題考查利用數量積求向量的夾角，考查任意角的三角函數的定義，訓練了利用誘導公式化簡求值，