函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ) 講義（知識點 考點 練習）人教A版（2019）高一數(shù)學必修第一冊

5.6函數(shù)y=/sin（0x+9）

知識點A,co,夕對函數(shù)j=Nsin3x+°）圖象的影響

1.夕對了=5由（》+9）,xGR圖象的影響

2.①（（y>0）對y=sin（cwx+3）圖象的影響

考點一求解析式

【例1】(2020?韶關市第一中學期末)已知

/(x)=Asin(?x+^)(A>O,?>O,|^|<7z-),其部分圖象如圖所示，則/(%)的解

析式為()

17115〃

A./(x)=3sin-x-\——B./(x)=3sin—x-----

2626

15冗1n

C./(x)=3sin—x+——D./(x)=3sin—x----

2626

【練1】(2020?浙江高一課時練習)若函數(shù)y=sinn(?x+^)(?>0)的部分圖象如

圖，則。=()

A.5B.4C.3D.2

考點二伸縮平移

【例2】（2020?應城市第一高級中學高一月考）已知函數(shù)

Ax）=sin（0x+o）［o〉O，SI＜、］的最小正周期為萬，將該函數(shù)的圖象向左平移

［個單位后，得到的圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則/'（X）的圖象（）

A.關于點對稱B.關于直線％=當對稱

（12）12

C.關于點信。卜寸稱D.關于直線％對稱

【練2】（2020?浙江衢州?高一期末）要得到函數(shù)y=4sin（2x-的圖象，只需

將函數(shù)y=4sin2x的圖象（）

A.向左平移;個單位長度B.向右平移二個單位長

44

C.向左平移￡7T個單位長度D.向右平移g個單位長度

OO

考點三綜合運用

【例3】（2020?湖南益陽?高一期末）已知函數(shù)

/（x）=加由（5+0）/〉0,0〉0,|同＜0的部分圖象如圖所示.

⑴求函數(shù)/⑺的解析式;

（2）將函數(shù)/（九）的圖象向左平移:個單位，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來

的2倍（縱坐標不變）得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間［0,句上的值

域.

【練3】（2020?河南林州一中高一月考）函數(shù)/（x）=sin（2x+。/圖＜?的圖象向

左平移￡個單位后關于》軸對稱，則函數(shù)/（九）在0,|上的最小值為（）

課后練習

1.（2021高一下彳衢州月考）將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移；個單位

后，所得函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為（）

A.%=28.x--Q-X--

842

-57r

D.X=—

8

2.（2021?桂林模擬）將函數(shù)/（%）=Jsin（s+m）+2（3〉0）的圖像向右平

z6

移W個單位長度后與原函數(shù)圖像重合，則實數(shù)3的最小值是（）

A.2B.3

C.6D.9

3.（2020高一上?畢節(jié)期末）將函數(shù)y=sinQ-3的圖像上所有點的橫坐標

變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），再將所得的圖像向左平移g個單位，則

6

所得圖像對應的解析式為（）

A.y=sin（2%+勺B.y=sin（2x—勺C.y=sin（HD.y=

S1I1<2~石）

4.（2021高二下?梅州期末）若將函數(shù)/（%）=sin（2%+?）的圖象向右平移

（P個單位，所得圖象關于y軸對稱，則（P的最小正值是（）

7T

A.

8

B.-

4

-37T

c—

8

-37r

D—

4

5.（2021高一下,駐馬店期末）已知函數(shù)/（%）=sin（。％+（p）（co>0,（pE

?，兀））的部分圖象如圖所示，則/（2021）=

6.（2020高一上?蕪湖期末）將函數(shù)y=sM（2x-$的圖象向左平移cp后

得到一個奇函數(shù)的圖象，則（p的最小正值是

7.（2020高一上?合肥期末）將函數(shù)y=cos（2%—（7r）的圖象向左平移

（p（（p>0）個單位，所得圖象關于y軸對稱，則<p的最小值為.

8.（2021高二下?房山期末）函數(shù)/（%）=4sin（o）%+@）（4>0,3>0,|@|V

與）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)/（%）的最小正周期T=_,函數(shù)

/（%）的解析式為—.

9.(2020高一上?公主嶺期末)已知函數(shù)/(%)=2sin(2%+勺+1

6

(I)用"五點法''畫出它在一個周期內的閉區(qū)間上的圖象(完成橫、縱坐標列

表)；

(II)寫出函數(shù)y=/(%)圖象的對稱中心坐標及對稱軸的方程

10.(2020高一上?成都期末)已知函數(shù)/(%)=Zsin(3%+3)(其中4>0,

\(P\<1)的圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)/(%)的解析式；

(2)若將函數(shù)y=/(x)的圖象上的所有點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來

的3倍，得到函數(shù)g(%)的圖象，求當%e[0,7r]時，函數(shù)y=g(%)的單調

遞增區(qū)間.

11.(2021高三上?桂林月考)已知函數(shù)/(%)=2sin(oi%+3)(3>0,-]<

卬<$的圖象如圖所示，直線X=?、%?是其兩條對稱軸.

Noo

(1)求函數(shù)/(%)的解析式；

(2)已知/(a)=:,且,求/G+a)的值.

5ooo

精講答案

[例1]

【答案】D

【解析】由圖可知丁=4?=子，解得。=；；又因為〃x)s=3,故可得

A=3；

由五點作圖法可知m：+0=0,解得0=-￡,故/(x)=3sin[x-￡].故選:

D.

【練1】

【答案】B：?由題中圖象可知Xo+￡-Xo7=^.?.?=]..?.啰=4.故選B.

【例2】

【答案】A

【解析】由題意。=3=2,平移得函數(shù)式為

71

TTrr

g(x)=sin[2(%+—)+^]=sin(2x+—+^),其為偶函數(shù)，

o3

(P+——K7T+-,kGZ,由|倒〈—,??(p—.

/(x)=sin(2x+?),/(||^)=sin(2x||^+^)=0,

/(2)=sin(2x2+工)c1^,0)是對稱中心.故選：A.

12126212

【練2】

【答案】D

【解析】解：只需將函數(shù)y=4sin2x的圖象，向右平移g個單位長度，即可得

0

到函數(shù)y=4sin(2尤-?)的圖象，故選：D.

【例3】

【答案】(D/(x)=0sin"-(2)[-l,V2].

77r37r

【解析】(1)由圖可知，gT=?—?=4.??/=〃，①=2

2oo2

34JTJT

/.2x—+(p=Ikn+—,(p=lk7i--[keZ)

|^|<y,〃0)=AsinA=—l,/.A=A/2

/(x)=A/2sin^2x-^

(2)易知g(x)=V^sin[x+￡]當xe[0,同時，x+^e?；.gd=3,

g(4n=T

g(%)在區(qū)間[0,句上的值域為11,行].

【練3】

【答案】B

【解析】平移得到的圖像對應的解析式為g(x)=sin12x+。+。],

因為g(x)為偶函數(shù)，所以g@=sin'+"=±l,

所以0+《=左》+],其中左eZ.

因為|。|<9,所以夕=!，

2o

當x』0,4時，gw2x+g<?,所以—；Vsin(2x+，Vl,

_2J6662I6J

當且僅當％=彳時，/(X)1nm=T，故選B.

乙乙

練習答案

1.【答案】B

【考點】函數(shù)y=Asin(wx+4))的圖象變換

【解析】函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移；個單位后得到y(tǒng)=cos2(x-J)=

cos(2x-；)=sin2x

要求y=sin2x的對稱軸方程，

令2%=巴+左兀，kEZ,解得：x=-+—,kEZ,

242

當k=0時，％=E為y=sin2x的一條對稱軸方程.

故答案為：B

【分析】根據(jù)題意由函數(shù)平移的性質以及誘導公式整理結合余弦函數(shù)的圖象即

可得出答案。

2.【答案】C

【考點】函數(shù)y=Asin(3X+。)的圖象變換，正弦函數(shù)的周期性

【解析】解：因為函數(shù)/(%)=；sin(3/+g)+23>0)的圖像向右平移三個

單位長度后與原函數(shù)圖像重合，

所以1是/(%)=|sin(o)x+^)+2(0)>0)的周期的倍數(shù),

■J26

、n兀127T]_

設-=k--,kEZ7,

33

所以3=6k,kEZ,

因為a>0,所以當k=1時，3=6最小，

故答案為：C

【分析】根據(jù)題意函數(shù)平移的性質即可得出函數(shù)平移之后的解析式，再由周期

公式計算出3=6k,kez對k賦值即可求出最小值即可。

3.【答案】C

【考點】函數(shù)y=Asin（（JOX+4））的圖象變換

【解析】將函數(shù)y=sin（x-三）的圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱

坐標不變），所得到的函數(shù)的解析式為：y=sin（^-5,將y=sinG-$

的圖像向左平移I個單位，得到的函數(shù)的解析式為：y=si%（%+級

白，化簡得：y=sin（1-.

4ZO

故答案為：C

【分析】由條件利用函數(shù)丫=人引1!（3*+4））的圖象變換規(guī)律，可得所得函數(shù)的解

4.【答案】C

【考點】余弦函數(shù)的奇偶性與對稱性，函數(shù)y=Asin（3X+4））的圖象變換

【解析】函數(shù)fix）=sin（2x+?）的圖象向右平移（p個單位得：g（%）=

sin[2（x-<p）+^]=sin（2x-2（p+^）,因為g（%）的圖象關于y軸對稱，所

以一2伊+巳=E+左兀（攵CZ）n卬=—￡—與兀（/cCZ），令k=—1,得的

4282

最小正值是In.

O

故答案為：C.

【分析】根據(jù)函數(shù)丫=人5皿（^^+4>）的圖象變換規(guī)律，可得所得圖象對應的函數(shù)

解析式為g（%）=sin（2%-28+9,再根據(jù)所得圖象關于y軸對稱可得

-23+?=m+/OT（kcz）,由此求得6的最小正值.

4Z

5.【答案】—延

2

【考點】函數(shù)y=Asin（3X+4））的圖象變換，誘導公式

【解析】由圖知：/(0)=sin(p=—,

因為(pG(^,7T),所以(p,

N4

所以/(%)=sin?X+手),因為/(：)=sin(；3+午)=-1,

所以.+米='+2kn(keZ),

所以3=7i+等(keZ),

由圖知：,所以T=變＜3,可得，

440)3

所以取k-0,to=兀，所以/(%)=sin(兀%+-),

所以/(2021)=sin(2021兀+?)=sin(—力=一?，

故答案為：—五.

2

【分析】由函數(shù)圖象確定函數(shù)解析式，再利用誘導公式求解即可.

6.【答案】

【考點】函數(shù)y=Asin((JOX+4))的圖象變換

【解析】將函數(shù)y=sin(2x-的圖象向左平移(p后得到y(tǒng)=sin(2x+

2(p-？,

因為函數(shù)是一個奇函數(shù)，

所以2(p_￡=eZ),

解得3=^+3/cez),

所以(p的最小正值是,

故答案為：

【分析】先利用平移變換得到y(tǒng)=s5(2%+20-勺，再根據(jù)函數(shù)是一個奇

函數(shù)求解可得(P的最小正值.

7.【答案】I

【考點】函數(shù)y=Asin((JOX+4))的圖象變換

【解析】解：把函數(shù)y-cos(2x-|TT)的圖象向左平移(p((p>0)個單位，

得到的函數(shù)解析式為y=COS［2(K+<P)—［兀］=85(2%+23—(兀)，

:所得圖象關于y軸對稱，:y=cos(2x+2(p-|TT)為偶函數(shù)，

貝?。?(p--Ji=ku,/cCz.即(P—~—-71,kE.Z.

(P>0,k=—10t,(p有最小值為?.

故答案為：￡.

【分析】由函數(shù)平移的性質即可得出函數(shù)平移之后的函數(shù)解析式，再由余弦函

數(shù)的圖象和性質即可得出函數(shù)為偶函數(shù)，由此即可求出8=浮+|兀,kCZ對k

賦值即可求出最小值。

8.【答案】7T；/(x)=2sin(2%-5

【考點】由丫=人5皿(3X+6)的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的周期性

【解析】由圖可知2=2,￡=?+?=即7=2=兀，所以3=2,

/(%)=2sin(2x+g),令％=g,4)=2sin(y+,)=2,

那么與+0=］+2/OT,即(p=-l+2k7i,kEZ,因為取<；

所以(P=Y，即/(%)=2sin(2x.

OO

故答案為：(1)兀；(2)/(久)=2sin(2%—5.

O

【分析】由圖象求得A,T的值，由周期公式求得3=2,再由五點作圖的第

一點求得8=-?，可得函數(shù)/(%)的解析式。

9.【答案】解：(I)

2x+

Tt37r

0n2兀

it22

6

717157T271117T

X

12612312

y131-11

圖象如下:

(II)觀察圖象可得出，

對稱中心的坐標為：(竽—，kEZ,

對稱軸方程為：X="+g，kEZ

【考點】正弦函數(shù)的圖象，五點法作函數(shù)y=Asin((JOX+4))的圖象，由y=Asin

(3X+4))的部分圖象確定其解析式

【解析】(I)由五點法列表描點即可作出函數(shù)的圖象。

(II)由圖象即可得出答案。

10.【答案】(1)解：根據(jù)函數(shù)/(%)=Zsin(3%+(p)(xER,(JO>0,

QI)的部分圖象，

可得a=1,.-.0)=2.

4w123

再根據(jù)五點法作圖，2義5+勿=兀，

/(%)=sin(2x+]).

(2)解：若將函數(shù)y=/(%)的圖象上的所有點的縱坐標不變，橫坐標伸長到

原來的3倍，

得到函數(shù)g(%)=sin(|x+^)的圖象，

對于函數(shù)y=g(%),令2/OT—^<|X+|<2/OT+1,求得3kn—^-<x<

3/OTH—4,

可得g(x)的增區(qū)間為