復(fù)習(xí)清單05 概率初步（解析版）

清單05概率初步（9個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+核心素養(yǎng)提升+中考熱點(diǎn)聚焦）【知識(shí)導(dǎo)圖】【知識(shí)清單】考點(diǎn)一．隨機(jī)事件（1）確定事件事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的．（2）隨機(jī)事件在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件．（3）事件分為確定事件和不確定事件（隨機(jī)事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，①必然事件發(fā)生的概率為1，即P（必然事件）＝1；②不可能事件發(fā)生的概率為0，即P（不可能事件）＝0；③如果A為不確定事件（隨機(jī)事件），那么0＜P（A）＜1．1．（2022秋?耿馬縣期末）下列成語中，表示不可能事件的是（）A．水中撈月 B．守株待兔 C．水漲船高 D．水滴石穿【分析】直接利用不可能事件以及必然事件的定義分析得出答案．【解答】解：A、水中撈月，是不可能事件，符合題意；B、守株待兔，是隨機(jī)事件，不合題意；C、水漲船高，是必然事件，不合題意；D、水滴石穿，是必然事件，不合題意；故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了隨機(jī)事件，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．2．（2022秋?開州區(qū)期末）下列事件中是必然事件的是（）A．經(jīng)過交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈 B．投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地后國徽面朝上 C．太陽從東方升起，西方落下 D．任意一個(gè)五邊形的外角和等于540°【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【解答】解：A、經(jīng)過交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈是隨機(jī)事件，不符合題意；B、投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地后國徽面朝上是隨機(jī)事件，不符合題意；C、太陽從東方升起，西方落下是必然事件，符合題意；D、∵任意多邊形外角和等于360°，∴任意一個(gè)五邊形的外角和等于540°是不可能事件，不符合題意，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．解題的關(guān)鍵是熟練掌握各類事件的概念．3．（2022秋?三臺(tái)縣期末）下列事件：①．在足球比賽中，中國男足戰(zhàn)勝德國男足；②．有交通信號(hào)燈的路口遇到紅燈；③．連續(xù)兩次拋擲一枚普通的正方體骰子得到的點(diǎn)數(shù)之和為13；④．任取一數(shù)為x，使它滿足x3＝x2．其中隨機(jī)事件有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷．【解答】解：①、在足球比賽中，中國男足戰(zhàn)勝德國男足，是隨機(jī)事件；②、有交通信號(hào)燈的路口遇到紅燈，是隨機(jī)事件；③、連續(xù)兩次拋擲一枚普通的正方體骰子得到的點(diǎn)數(shù)之和為13，是不可能事件；④、任取一數(shù)為x，使它滿足x3＝x2，是隨機(jī)事件；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．考點(diǎn)二．可能性的大小隨機(jī)事件發(fā)生的可能性（概率）的計(jì)算方法：（1）理論計(jì)算又分為如下兩種情況：第一種：只涉及一步實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率，如：根據(jù)概率的大小與面積的關(guān)系，對一類概率模型進(jìn)行的計(jì)算；第二種：通過列表法、列舉法、樹狀圖來計(jì)算涉及兩步或兩步以上實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率，如：配紫色，對游戲是否公平的計(jì)算．（2）實(shí)驗(yàn)估算又分為如下兩種情況：第一種：利用實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行概率估算．要知道當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)非常大時(shí)，實(shí)驗(yàn)頻率可作為事件發(fā)生的概率的估計(jì)值，即大量實(shí)驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率．第二種：利用模擬實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行概率估算．如，利用計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來模擬實(shí)驗(yàn)．4．（2022秋?阜寧縣期末）一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤如圖所示，小明已經(jīng)任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)后指針都落在“藍(lán)色”區(qū)域內(nèi)．那么，從概率的角度分析，小明第三次轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止時(shí)（）A．轉(zhuǎn)出的結(jié)果一定是“藍(lán)色” B．轉(zhuǎn)出的結(jié)果為“藍(lán)色”的可能性大于“紅色” C．轉(zhuǎn)出的結(jié)果為“紅色”的可能性大于“藍(lán)色” D．轉(zhuǎn)出的結(jié)果為“藍(lán)色”和“紅色”的可能性一樣大【分析】根據(jù)陰影部分面積與轉(zhuǎn)盤總面積之比就是轉(zhuǎn)出的結(jié)果為“藍(lán)色”的概率，空白部分面積與轉(zhuǎn)盤總面積之比就是轉(zhuǎn)出的結(jié)果為“紅色”的概率，進(jìn)行比較即可．【解答】解：∵轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)后指針都落在“紅色”區(qū)域內(nèi)的概率是＝，轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)后指針都落在“藍(lán)色”區(qū)域內(nèi)的概率是＝，∴小明第三次轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止時(shí)轉(zhuǎn)出的結(jié)果為“藍(lán)色”的可能性大于“紅色”；故選：B．【點(diǎn)評】此考查了可能性大小，用到的知識(shí)點(diǎn)是概率公式，如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P（A）＝．5．（2022秋?臨海市期末）某路口紅綠燈的時(shí)間設(shè)置如下：綠燈60秒，紅燈40秒，黃燈3秒，當(dāng)車隨機(jī)經(jīng)過該路口，遇到哪一種燈的可能性最大（）A．綠燈 B．紅燈 C．黃燈 D．不能確定【分析】根據(jù)在這幾種燈中，每種燈時(shí)間的長短，即可得出答案．【解答】解：因?yàn)榫G燈持續(xù)的時(shí)間最長，黃燈持續(xù)的時(shí)間最短，所以人或車隨意經(jīng)過該路口時(shí)，遇到綠燈的可能性最大，遇到黃燈的可能性最?。蔬x：A．【點(diǎn)評】此題考查了可能性的大小，解決這類題目要注意具體情況具體對待，用到的知識(shí)點(diǎn)為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．考點(diǎn)三．概率的意義（1）一般地，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么這個(gè)常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為P（A）＝p．（2）概率是頻率（多個(gè)）的波動(dòng)穩(wěn)定值，是對事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)．（3）概率取值范圍：0≤p≤1．（4）必然發(fā)生的事件的概率P（A）＝1；不可能發(fā)生事件的概率P（A）＝0．（4）事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1，事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于0．（5）通過設(shè)計(jì)簡單的概率模型，在不確定的情境中做出合理的決策；概率與實(shí)際生活聯(lián)系密切，通過理解什么是游戲?qū)﹄p方公平，用概率的語言說明游戲的公平性，并能按要求設(shè)計(jì)游戲的概率模型，以及結(jié)合具體實(shí)際問題，體會(huì)概率與統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系，可以解決一些實(shí)際問題．6．（2022秋?新鄉(xiāng)期末）下列說法正確的是（）A．若你在上一個(gè)路口遇到綠燈，則在下一路口必遇到紅燈 B．某籃球運(yùn)動(dòng)員2次罰球，投中一個(gè)，則可斷定他罰球命中的概率一定為50% C．“明天我市會(huì)下雨”是隨機(jī)事件 D．若某種彩票中獎(jiǎng)的概率是1%，則買100張?jiān)摲N彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)【分析】根據(jù)概率的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：A、若你在上一個(gè)路口遇到綠燈，則在下一路口不一定遇到紅燈，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、某籃球運(yùn)動(dòng)員2次罰球，投中一個(gè)，這是一個(gè)隨機(jī)事件，但不能斷定他罰球命中的概率一定為50%，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、明天我市會(huì)下雨是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)正確；D、某種彩票中獎(jiǎng)的概率是1%，買100張?jiān)摲N彩票不一定會(huì)中獎(jiǎng)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)評】考查了概率的意義．正確理解概率的含義是解決本題的關(guān)鍵．7．（2023春?清苑區(qū)期末）已知拋一枚均勻硬幣正面朝上的概率為，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．通過拋一枚均勻硬幣確定籃球賽中誰先發(fā)球是公平的 B．大量重復(fù)拋一枚均勻硬幣，出現(xiàn)正面朝上的頻率穩(wěn)定于 C．連續(xù)拋一枚均勻硬幣10次可能都是正面朝上 D．連續(xù)拋一枚均勻硬幣2次必有1次正面朝上【分析】根據(jù)概率的意義，結(jié)合具體的問題情境綜合進(jìn)行判斷即可．【解答】解：拋一枚均勻硬幣正面朝上的概率為，就是經(jīng)過大量重復(fù)的實(shí)驗(yàn)，拋一枚均勻硬幣正面朝上的頻率越穩(wěn)定在左右，因此，A．通過拋一枚均勻硬幣確定籃球賽中誰先發(fā)球是公平的，這是公平的，因此選項(xiàng)A不符合題意；B．大量重復(fù)拋一枚均勻硬幣，出現(xiàn)正面朝上的頻率穩(wěn)定于，這種說法是正確的，因此選項(xiàng)B不符合題意；C．連續(xù)拋一枚均勻硬幣10次可能都是正面朝上，是可能存在的，因此選項(xiàng)C不符合題意；D．連續(xù)拋一枚均勻硬幣2次必有1次正面朝上，這是不正確的，因此選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查頻率與概率，理解概率的意義，掌握頻率與概率的關(guān)系是正確判斷的前提．考點(diǎn)四．概率公式（1）隨機(jī)事件A的概率P（A）＝．（2）P（必然事件）＝1．（3）P（不可能事件）＝0．8．（2022秋?巧家縣期末）我市舉辦的“喜迎黨的二十大，奮進(jìn)新征程——鄉(xiāng)村振興成果展”吸引了眾多市民前來參觀，如圖所示的是該展覽館出入口的示意圖．小穎從A入口進(jìn)E出口的概率是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，即可得到答案．【解答】解：該展覽館有A、B兩個(gè)入口，C、D、E三個(gè)出口，且從每個(gè)入口進(jìn)入和沒個(gè)出口出去的可能性是一樣的，列樹狀圖如下：小穎從A入口進(jìn)E出口的概率是，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了用樹狀圖計(jì)算概率，正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?海淀區(qū)校級期末）假設(shè)甲是確診感染者，乙與甲有接觸，乙稱為密切接觸者；丙與乙有接觸，且與甲沒有接觸，丙稱為次密切接觸者．經(jīng)過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)A，B，C，D，E，F(xiàn)的接觸情況如圖所示．若兩人有接觸，則在代表兩人的兩個(gè)點(diǎn)之間連結(jié)一條線段．已知A是確診感染者，則從其余五人中隨機(jī)抽取一名，是次密切接觸者的概率為（）A．2 B． C． D．【分析】根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【解答】解：由題意可知B，D，F(xiàn)為密切接觸者，C、E為次密切接觸者，∴從其余五人中隨機(jī)抽取一名，是次密切接觸者的概率為．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了概率公式，正確理解題意和利用概率公式是關(guān)鍵．考點(diǎn)五．幾何概率所謂幾何概型的概率問題，是指具有下列特征的一些隨機(jī)現(xiàn)象的概率問題：設(shè)在空間上有一區(qū)域G，又區(qū)域g包含在區(qū)域G內(nèi)（如圖），而區(qū)域G與g都是可以度量的（可求面積），現(xiàn)隨機(jī)地向G內(nèi)投擲一點(diǎn)M，假設(shè)點(diǎn)M必落在G中，且點(diǎn)M落在區(qū)域G的任何部分區(qū)域g內(nèi)的概率只與g的度量（長度、面積、體積等）成正比，而與g的位置和形狀無關(guān)．具有這種性質(zhì)的隨機(jī)試驗(yàn)（擲點(diǎn)），稱為幾何概型．關(guān)于幾何概型的隨機(jī)事件“向區(qū)域G中任意投擲一個(gè)點(diǎn)M，點(diǎn)M落在G內(nèi)的部分區(qū)域g”的概率P定義為：g的度量與G的度量之比，即P＝g的測度G的測度簡單來說：求概率時(shí)，已知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率．計(jì)算方法是長度比，面積比，體積比等．10．（2022秋?潼南區(qū)期末）一個(gè)小球在如圖所示的地板上自由滾動(dòng)，并隨機(jī)停在某塊方磚上．如果每一塊方磚除顏色外完全相同，那么小球最終停留在黑磚上的概率是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)幾何概率的求法：最終停留在黑色的方磚上的概率就是黑色區(qū)域的面積與總面積的比值．【解答】解：觀察這個(gè)圖可知：黑色區(qū)域（5塊）的面積占總面積（9塊）的，則它最終停留在黑磚上的概率是．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A）；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件（A）發(fā)生的概率．11．（2022秋?杜爾伯特縣期末）如圖，點(diǎn)A、B分別是正方形地板磚兩鄰邊的中點(diǎn)，一只螞蟻在上面爬行，螞蟻停留在陰影部分的概率為．【分析】直接利用已知表示出陰影部分面積，進(jìn)而得出螞蟻停留在陰影部分的概率．【解答】解：如圖所示，設(shè)正方形的邊長為2x，由題意可得，陰影部分的面積為：正方形面積﹣S△BEF﹣S△ABC﹣S△ADE＝＝，故螞蟻停留在陰影部分的概率為：．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查的是幾何概率，解題關(guān)鍵是理解陰影部分在整體中的比例就是所求事件的概率．考點(diǎn)六．列表法與樹狀圖法（1）當(dāng)試驗(yàn)中存在兩個(gè)元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時(shí)，我們常用列表的方式，列出所有可能的結(jié)果，再求出概率．（2）列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率．（3）列舉法（樹形圖法）求概率的關(guān)鍵在于列舉出所有可能的結(jié)果，列表法是一種，但當(dāng)一個(gè)事件涉及三個(gè)或更多元素時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖．（4）樹形圖列舉法一般是選擇一個(gè)元素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹的枝丫形式，最末端的枝丫個(gè)數(shù)就是總的可能的結(jié)果n．（5）當(dāng)有兩個(gè)元素時(shí)，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉．12．（2022秋?高青縣期末）為解決“在甲、乙兩個(gè)不透明口袋中隨機(jī)摸球”的問題，小明畫出如圖所示的樹狀圖，已知這些球除顏色外無其他差別，根據(jù)樹狀圖，小明從兩個(gè)口袋中各隨機(jī)取出一個(gè)球，其中取出的球是一個(gè)紅球和一個(gè)白球的結(jié)果共有（）種．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用題中的樹狀圖找出一個(gè)紅球和一個(gè)白球的結(jié)果數(shù)即可．【解答】解：樹狀圖為：共有6種等可能的結(jié)果，其中取出的球是一個(gè)紅球和一個(gè)白球的結(jié)果共有2種．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．13．（2022秋?玉林期末）在一個(gè)不透明的袋子中有1個(gè)黑球，2個(gè)白球，這些球除顏色外的形狀、大小、質(zhì)地完全相同，現(xiàn)隨機(jī)摸出1個(gè)球記下顏色，然后放回?fù)u勻，又隨機(jī)摸出1個(gè)球記下顏色，有下列說法：①第一次摸出是黑球，第二次摸出的球不一定是黑球；②第一次摸出黑球的概率是；③兩次都摸到黑球的概率是．則以上說法正確的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】由題意知，第一次摸出是黑球，第二次摸出的球不一定是黑球，可判斷①的正誤；第一次摸出黑球的概率是，可判斷②的正誤；列舉法求兩次都摸到黑球的概率，可判斷③的正確．【解答】解：由題意知，第一次摸出是黑球，第二次摸出的球不一定是黑球，正確，故①符合要求；第一次摸出黑球的概率是，正確，故②符合要求；列表如下：黑白白黑（黑，黑）（黑，白）（黑，白）白（白，黑）（白，白）（白，白）白（白，黑）（白，白）（白，白）∴兩次摸球共有9種等可能的結(jié)果，兩次都摸到黑球共有1種結(jié)果，∴兩次都摸到黑球的概率為，③錯(cuò)誤，故③不符合要求；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了隨機(jī)事件，簡單的概率求解，列舉法求概率等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對知識(shí)的熟練掌握．14．（2022秋?滎陽市校級期末）學(xué)校聯(lián)歡會(huì)設(shè)計(jì)了一個(gè)“配紫色”游戲：如圖是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，A盤被分成面積相等的幾個(gè)扇形，B盤中藍(lán)色扇形區(qū)域所占的圓心角是120°．同學(xué)們同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，如果其中一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，那么可以配成紫色，贏得游戲．若小李同學(xué)同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)A盤和B盤，她贏得游戲的概率是（）A． B． C． D．【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色、另一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色的有3種情況，然后由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色、另一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色的有3種情況，∴小李同學(xué)同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)A盤和B盤，她贏得游戲的概率是＝，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了樹狀圖法求概率，正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．考點(diǎn)七．游戲公平性（1）判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．（2）概率＝．15．（2022秋?古冶區(qū)期末）藝術(shù)節(jié)上，甲、乙兩名同學(xué)計(jì)劃用葫蘆絲合奏一首樂曲，要合奏的樂曲是用游戲的方式在《月夜》與《云之南》中確定一首．游戲規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的口袋中裝有分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的四個(gè)小球（除標(biāo)號(hào)外，其余都相同），甲從口袋中任意摸出1個(gè)小球，小球上的數(shù)字記為a．在另一個(gè)不透明的口袋中裝有分別標(biāo)有數(shù)字1，2的兩張卡片（除標(biāo)號(hào)外，其余都相同），乙從口袋里任意摸出1張卡片，卡片上的數(shù)字記為b．然后計(jì)算這兩個(gè)數(shù)的和，即a+b，若a+b為奇數(shù)，則演奏《月夜》，否則演奏《云之南》．（1）用列表法或畫樹狀圖的方法，求（a，b）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)；（2）你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？如果公平，請說明理由；如果不公平，哪一首樂曲更可能被選中？【分析】（1）利用列表法解答即可；（2）利用計(jì)算概率的方法解答即可．【解答】解：（1）按游戲規(guī)則計(jì)算兩個(gè)數(shù)的和，列表如下：123411+1＝21+2＝31+3＝41+4＝522+1＝32+2＝42+3＝52+4＝6從表中可以看出共有8種等可能；（2）我認(rèn)為這個(gè)游戲公平，理由：從表中可以看出共有8種等可能，其中和為奇數(shù)與和為偶數(shù)的等可能性各有4種，所以P（和為奇數(shù)）＝P（和為偶數(shù)），∴這個(gè)游戲公平．【點(diǎn)評】本題主要考查了列表法或樹狀圖法，游戲的公平性，事件的概率，利用游戲規(guī)則正確列出表格是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋?城關(guān)區(qū)校級期末）甲乙兩人在玩轉(zhuǎn)盤游戲時(shí)，把轉(zhuǎn)盤A、B分別分成4等份、3等份，并在每一份內(nèi)標(biāo)上數(shù)字，如圖所示．游戲規(guī)定：轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤停止后，指針必須指到某一數(shù)字，否則重轉(zhuǎn)．（1）請用樹狀圖或列表法列出所有可能的結(jié)果；（2）小明和小紅約定做一個(gè)游戲，其規(guī)則為：若x，y滿足xy＞6，則小明勝；若x，y滿足xy＜6，則小紅勝，這個(gè)游戲公平嗎？請說明理由．【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果；（2）由概率公式即可求得小明獲勝與小紅獲勝的概率，繼而求得他們兩人誰獲勝的概率大．【解答】解：（1）列表如下：12342（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（2）不公平，理由如下：從上表中可看出，指針?biāo)傅膬蓚€(gè)數(shù)字有12種等可能的結(jié)果，其中滿足xy＞6的結(jié)果有6個(gè)，滿足xy＜6的結(jié)果有4個(gè)，所以，P（小明勝）＝，P（小紅勝）＝．所以，此游戲小明獲勝的概率更大，故不公平．【點(diǎn)評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．解題的關(guān)鍵是注意樹狀圖法與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．考點(diǎn)八．利用頻率估計(jì)概率（1）大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．（2）用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來越精確．（3）當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)或結(jié)果個(gè)數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般通過統(tǒng)計(jì)頻率來估計(jì)概率．17．（2022秋?蒙自市期末）昆明是我國有名的花城，它四季如春，比較適合各種花卉的生長條件，成了養(yǎng)殖花卉的名城，某林業(yè)部門為了考察某種花的種子在一定條件下的發(fā)芽率，做了大量的種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，得到如下的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：實(shí)驗(yàn)種子數(shù)量（顆）10050010001500200030004000發(fā)芽種子數(shù)量（顆）653466971051139621012808種子發(fā)芽的頻率0.650.6920.6970.7010.6980.7000.702估計(jì)該種子在此條件下發(fā)芽的概率是（）（結(jié)果精確到0.1）A．0.6 B．0.7 C．0.69 D．0.70【分析】在大量重復(fù)試驗(yàn)下，利用頻率估計(jì)概率即可解答．【解答】解：∵隨著種子數(shù)量的增多，其發(fā)芽的頻率逐漸穩(wěn)定在0.7左右，∴估計(jì)該種子在此條件下發(fā)芽的概率是0.7，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，掌握大量重復(fù)試驗(yàn)下頻率與概率的關(guān)系是解題關(guān)鍵．18．（2022秋?南明區(qū)期末）圓周率π是無限不循環(huán)小數(shù)．目前，超級計(jì)算機(jī)已計(jì)算出π的小數(shù)部分超過31.4萬億位．有學(xué)者發(fā)現(xiàn)，隨著π小數(shù)部分位數(shù)的增加，0～9這10個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定接近相同．從π的小數(shù)部分隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)字，估計(jì)數(shù)字是9的概率為（）A． B． C． D．【分析】從π的小數(shù)部分隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)字共有10種等可能的結(jié)果，其中出現(xiàn)數(shù)字9的只有1種結(jié)果，利用概率公式求解即可．【解答】解：∵隨著π小數(shù)部分位數(shù)的增加，0～9這10個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定接近相同，∴從π的小數(shù)部分隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)字共有10種等可能的結(jié)果，其中出現(xiàn)數(shù)字9的只有1種結(jié)果，∴P（數(shù)字是9）＝．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，掌握大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)九．模擬試驗(yàn)（1）在一些有關(guān)抽取實(shí)物實(shí)驗(yàn)中通常用摸取卡片代替了實(shí)際的物品或人抽取，這樣的實(shí)驗(yàn)稱為模擬試驗(yàn)．（2）模擬試驗(yàn)是用卡片、小球編號(hào)等形式代替實(shí)物進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，或用計(jì)算機(jī)編號(hào)等進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，目的在于省時(shí)、省力，但能達(dá)到同樣的效果．（3）模擬試驗(yàn)只能用更簡便方法完成，驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)?zāi)康?，但不能改變?shí)驗(yàn)?zāi)康模@部分內(nèi)容根據(jù)《新課標(biāo)》要求，只要設(shè)計(jì)出一個(gè)模擬試驗(yàn)即可．19．（2022秋?江陽區(qū)期末）在課外實(shí)踐活動(dòng)中，甲、乙、丙、丁四個(gè)小組用投擲一元硬幣的方法估算正面朝上的概率，其實(shí)驗(yàn)次數(shù)分別為10次、50次、100次，200次，其中實(shí)驗(yàn)相對科學(xué)的是（）A．甲組 B．乙組 C．丙組 D．丁組【分析】大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，某事件發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)的附近，這個(gè)常數(shù)就叫做事件概率的估計(jì)值．【解答】解：根據(jù)模擬實(shí)驗(yàn)的定義可知，實(shí)驗(yàn)相對科學(xué)的是次數(shù)最多的丁組．故選：D．【點(diǎn)評】考查了模擬實(shí)驗(yàn)，選擇和拋硬幣類似的條件的試驗(yàn)驗(yàn)證拋硬幣實(shí)驗(yàn)的概率，是一種常用的模擬試驗(yàn)的方法．20．（2022秋?三河市校級期末）在一個(gè)不透明的袋子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共4個(gè)，某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)上述過程，下表是試驗(yàn)進(jìn)行中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．（1）當(dāng)n很大時(shí)，摸到黑球的頻率將會(huì)趨近（精確到0.01），該袋子中的黑球有個(gè)；（2）該學(xué)習(xí)小組成員從該袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球，請你用列表或畫樹狀圖的方法求出隨機(jī)摸出的2個(gè)球的顏色不同的概率．摸球的次數(shù)n101002005001000摸到黑球的次數(shù)m32651126251摸到黑球的頻率0.30.260.2550.2520.251【分析】（1）根據(jù)頻率的概念及表中頻率穩(wěn)定的數(shù)值求解即可，再利用頻率求數(shù)量；（2）畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：（1）當(dāng)n很大時(shí)，摸到黑球的頻率將會(huì)趨近0.25，該袋子中的黑球有4×0.25＝1，故答案為：0.25；1；（2）解：樹狀圖如圖；共有12種等可能的情況，其中摸出的2個(gè)球的顏色不同的情況有6種，∴隨機(jī)摸出的2個(gè)球的顏色不同的概率為．【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖法以及利用頻率估計(jì)概率，掌握用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率是關(guān)鍵．【核心素養(yǎng)提升】數(shù)學(xué)建模-抽象概率模型，解決實(shí)際問題21．（2022秋?延邊州期末）一個(gè)批發(fā)商從某服裝制造公司購進(jìn)了50包型號(hào)為L的襯衫，由于包裝工人的疏忽，在包裹中混進(jìn)了型號(hào)為M的襯衫，每一包中混入的M號(hào)襯衫數(shù)見下表：M號(hào)襯衫數(shù)0145791011包數(shù)7310155433一位零售商從50包中任意選取了一包，求下列事件的概率：（1）包中沒有混入的M號(hào)襯衫；（2）包中混入的M號(hào)襯衫數(shù)不超過7；（3）包中混入的M號(hào)襯衫數(shù)超過10．【分析】列舉出符合題意的各種情況的個(gè)數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可．【解答】解：（1）沒有混入的M號(hào)襯衫的包數(shù)是7包，所以P（沒有混入的M號(hào)襯衫）＝；（2）混入的M號(hào)襯衫數(shù)不超過7的包數(shù)是40包，所以P（混入的M號(hào)襯衫數(shù)不超過7）＝；（3）混入的M號(hào)襯衫數(shù)超過10的包數(shù)是3包，所以P（混入的M號(hào)襯衫數(shù)超過10）＝．【點(diǎn)評】如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P（A）＝．根據(jù)概率公式分別計(jì)算即可．22．（2022秋?豐南區(qū)校級期末）小明和小亮玩一個(gè)游戲：三張大小、質(zhì)地都相同的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，現(xiàn)將標(biāo)有數(shù)字的一面朝下，小明從中任意抽取一張后，小亮再從剩下的卡片中抽取一張．計(jì)算小明和小亮抽得的兩個(gè)數(shù)字之和，如果和為奇數(shù)則小明勝，和為偶數(shù)則小亮勝．（1）請用列表法或樹狀圖等方法求小明獲勝的概率；（2）你認(rèn)為該游戲?qū)﹄p方是否公平？請說明理由．【分析】（1）將所有可能的情況在圖中表示出來即可；（2）計(jì)算出和為奇數(shù)與和為偶數(shù)的概率，即可得到游戲是否公平．【解答】解：（1）列表如下：小明小亮12312+1＝33+1＝421+2＝33+2＝531+3＝42+3＝5由上表可知，所有等可能的結(jié)果共有6種．（2）∵共有6種等可能的情況數(shù)，其中和為奇數(shù)的有4種，和為偶數(shù)的有2種，P（和為奇數(shù)）＝＝，P（和為偶數(shù)）＝＝，∵＞，∴這個(gè)游戲規(guī)則對雙方是不公平的．【點(diǎn)評】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．建立方程模型、求解概率問題23．（2022秋?沈河區(qū)期末）一個(gè)不透明的袋中裝有若干個(gè)紅球，為了估計(jì)袋中紅球的個(gè)數(shù)，在袋中放入3個(gè)除了顏色外其余均相同的白球，隨機(jī)的從袋子中摸出一個(gè)球，記錄下顏色后，放回袋中并搖勻，通過大量重復(fù)這樣的試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.15附近，則紅球的個(gè)數(shù)為（）A．11 B．14 C．17 D．20【分析】根據(jù)口袋中有3個(gè)白球，利用小球在總數(shù)中所占比例得出與實(shí)驗(yàn)比例應(yīng)該相等求出即可．【解答】解：設(shè)紅球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)題意得：∴＝0.15，解得：x＝17，經(jīng)檢驗(yàn)x＝17是原方程的解，則紅球的個(gè)數(shù)為17個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了用樣本估計(jì)總體，根據(jù)已知得出小球在總數(shù)中所占比例得出與實(shí)驗(yàn)比例應(yīng)該相等是解決問題的關(guān)鍵．24．（2022秋?邯鄲期末）在一個(gè)不透明的袋子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共4個(gè)，某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)上述過程，下表是試驗(yàn)進(jìn)行中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．摸球的次數(shù)n101002005001000摸到黑球的次數(shù)m32651126251摸到黑球的頻率0.30.260.2550.2520.251（1）當(dāng)n很大時(shí)，摸到黑球的頻率將會(huì)趨近（精確到0.01），該袋子中的黑球有個(gè)；（2）該學(xué)習(xí)小組成員從該袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球，請你用列表或畫樹狀圖的方法求出隨機(jī)摸出的2個(gè)球的顏色不同的概率．【分析】（1）根據(jù)頻率的概念及表中頻率穩(wěn)定的數(shù)值求解即可，根據(jù)概率公式可求得黑球的個(gè)數(shù)；（2）根據(jù)畫樹狀圖，得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：（1）當(dāng)n很大時(shí)，摸到黑球的頻率將會(huì)趨近0.25，估計(jì)摸到黑球的概率為0.25，設(shè)黑球有a個(gè)，則，解得：a＝1，故答案為：0.25，1；（2）樹狀圖如圖；共有12種等可能的情況，其中摸出的2個(gè)球的顏色不同的情況有6種，∴隨機(jī)摸出的2個(gè)球的顏色不同的概率為．【點(diǎn)評】本題考查了用頻率估計(jì)概率、用樹狀圖求概率，會(huì)用樹狀圖列出所有可能的結(jié)果是解題關(guān)鍵．【中考熱點(diǎn)聚焦】用列舉法計(jì)算概率1．（2023?常德）我市“神十五”航天員張陸和他的兩位戰(zhàn)友已于2023年6月4日回到地球家園，“神十六”的三位航天員已在中國空間站開始值守，空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙，假設(shè)“神十六”甲、乙、丙三名航天員從核心艙進(jìn)入問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙開展實(shí)驗(yàn)的機(jī)會(huì)均等，現(xiàn)在要從這三名航天員中選2人各進(jìn)入一個(gè)實(shí)驗(yàn)艙開展科學(xué)實(shí)驗(yàn)，則甲、乙兩人同時(shí)被選中的概率為（）A． B． C． D．【分析】列出樹狀圖，運(yùn)用概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：∴一共有6種等可能的情況，其中甲、乙兩人同時(shí)被選中的情況有2種，∴甲、乙兩人同時(shí)被選中的概率為＝．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．2．（2023?河南）為落實(shí)教育部辦公廳、中共中央宣傳部辦公廳關(guān)于《第41批向全國中小學(xué)生推薦優(yōu)秀影片片目》的通知精神，某校七、八年級分別從如圖所示的三部影片中隨機(jī)選擇一部組織本年級學(xué)生觀看，則這兩個(gè)年級選擇的影片相同的概率為（）A． B． C． D．【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中七、八年級選擇的影片相同的結(jié)果有3種，再由概率公式求解即可．【解答】解：把三部影片分別記為A、B、C，畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中七、八年級選擇的影片相同的結(jié)果有3種，∴這兩個(gè)年級選擇的影片相同的概率為＝，故選：B．【點(diǎn)評】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．3．（2023?齊齊哈爾）某校舉辦文藝匯演，在主持人選拔環(huán)節(jié)中，有一名男同學(xué)和三名女同學(xué)表現(xiàn)優(yōu)異．若從以上四名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)擔(dān)任主持人，則剛好抽中一名男同學(xué)和一名女同學(xué)的概率是（）A． B． C． D．【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中剛好抽中一名男同學(xué)和一名女同學(xué)的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中剛好抽中一名男同學(xué)和一名女同學(xué)的結(jié)果有6種，∴剛好抽中一名男同學(xué)和一名女同學(xué)的概率是＝，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了樹狀圖法，樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)還要注意是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．4．（2023?淄博）“敬老愛老”是中華民族的優(yōu)秀傳統(tǒng)美德．小剛、小強(qiáng)計(jì)劃利用暑期從A，B，C三處養(yǎng)老服務(wù)中心中，隨機(jī)選擇一處參加志愿服務(wù)活動(dòng)，則兩人恰好選到同一處的概率是（）A． B． C． D．【分析】畫出樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，找出兩人恰好到一處的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【解答】解：畫樹狀圖如圖：共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩人恰好到一處的結(jié)果數(shù)為3，∴明明和亮亮兩人恰好到一處的概率＝＝，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．5．（2023?山西）中國古代的“四書”是指《論語》《孟子》《大學(xué)》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分．若從這四部著作中隨機(jī)抽取兩本（先隨機(jī)抽取一本，不放回，再隨機(jī)抽取另一本），則抽取的兩本恰好是《論語》和《大學(xué)》的概率是．【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的情況，其中抽取的兩本恰好是《論語》和《大學(xué)》的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：把《論語》《孟子》《大學(xué)》《中庸》分別記為A、B、C、D，畫樹狀圖如下：共有12種等可能的情況，其中抽取的兩本恰好是《論語》和《大學(xué)》的結(jié)果有2種，即AC、CA，∴抽取的兩本恰好是《論語》和《大學(xué)》的概率是＝，故答案為：．【點(diǎn)評】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．6．（2023?黑龍江）一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些小球除標(biāo)號(hào)外完全相同，隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，恰好是一紅一白的概率是．【分析】畫樹狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，其中恰好是一紅一白的結(jié)果有12種，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有20種等可能的結(jié)果，其中恰好是一紅一白的結(jié)果有12種，∴恰好是一紅一白的概率是＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．7．（2023?甘孜州）一天晚上，小張幫助媽媽清洗兩個(gè)只有顏色不同的有蓋茶杯，突然停電了，小張只好把杯蓋和茶杯隨機(jī)搭配在一起．則顏色搭配正確的概率是．【分析】根據(jù)概率的計(jì)算公式．顏色搭配總共有4種可能，分別列出搭配正確和搭配錯(cuò)誤的可能，進(jìn)而求出各自的概率即可．【解答】解：用A和a分別表示第一個(gè)有蓋茶杯的杯蓋和茶杯；用B和b分別表示第二個(gè)有蓋茶杯的杯蓋和茶杯、經(jīng)過搭配所能產(chǎn)生的結(jié)果如下：所以顏色搭配正確的概率是＝．故答案為：．【點(diǎn)評】此題主要考查概率的求法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P（A）＝，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．8．（2023?揚(yáng)州）揚(yáng)州是個(gè)好地方，有著豐富的旅游資源．某天甲、乙兩人來揚(yáng)州旅游，兩人分別從A、B、C三個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)游覽．（1）甲選擇A景點(diǎn)的概率為；（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點(diǎn)的概率．【分析】（1）由概率公式直接可得答案；（2）先畫出樹狀圖，共有9種等可能的情況，再根據(jù)概率公式，計(jì)算即可得出結(jié)果．【解答】解：（1）甲選擇A景點(diǎn)的概率為，故答案為：；（2）根據(jù)題意畫樹狀圖如下：∵共有9種等可能的情況，其中甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點(diǎn)的情況有5種，∴甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點(diǎn)的概率是．【點(diǎn)評】本題考查了用樹狀圖求概率，解本題的關(guān)鍵在根據(jù)樹狀圖找出所有等可能的情況數(shù)．概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．9．（2023?陜西）從同一副撲克牌中選出四張牌，牌面數(shù)字分別為2，5，6，8．將這四張牌背面朝上，洗勻．（1）從這四張牌中隨機(jī)抽出一張牌，這張牌上的牌面數(shù)字是偶數(shù)的概率是；（2）小明從這四張牌中隨機(jī)抽出一張牌，記下牌面數(shù)字后，放回．背面朝上，洗勻．然后，小華從中隨機(jī)抽出一張牌，請用畫樹狀圖或列表的方法，求小華抽出的牌上的牌面數(shù)字比小明抽出的牌上的牌面數(shù)字大的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，找出小華抽出的牌上的牌面數(shù)字比小明抽出的牌上的牌面數(shù)字大的情況數(shù)，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵共有四張撲克牌，分別是2，5，6，8，其中偶數(shù)有3張，∴從這四張牌中隨機(jī)抽出一張牌，這張牌上的牌面數(shù)字是偶數(shù)的概率是．故答案為：；列表如下：一共有16種等可能的情況，其中小華抽出的牌上的牌面數(shù)字比小明抽出的牌上的牌面數(shù)字大的有6種，則小華抽出的牌上的牌面數(shù)字比小明抽出的牌上的牌面數(shù)字大的概率是＝．【點(diǎn)評】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．10．（2023?淮安）小華、小玲一起到淮安西游樂園游玩，他們決定在三個(gè)熱門項(xiàng)目（A：智取芭蕉扇、B：三打白骨精、C：盤絲洞）中各自隨機(jī)選擇一個(gè)項(xiàng)目游玩．（1）小華選擇C項(xiàng)目的概率是；（2）用畫樹狀圖或列表法方法求小華、小玲選擇不同游玩項(xiàng)目的概率．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小華、小玲選擇不同游玩項(xiàng)目的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）小華選擇C項(xiàng)目的概率是．故答案為：．（2）畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中小華、小玲選擇不同游玩項(xiàng)目的結(jié)果有：AB，AC，BA，BC，CA，CB，共6種，∴小華、小玲選擇不同游玩項(xiàng)目的概率為＝．【點(diǎn)評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．11．（2023?江西）為了弘揚(yáng)雷鋒精神，某校組織“學(xué)雷鋒，爭做新時(shí)代好少年”的宣傳活動(dòng)．根據(jù)活動(dòng)要求，每班需要2名宣傳員．某班班主任決定從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中隨機(jī)選取2名同學(xué)作為宣傳員．（1）“甲、乙同學(xué)都被選為宣傳員”是事件；（填“必然”、“不可能”或“隨機(jī)”）（2）請用畫樹狀圖法或列表法，求甲、丁同學(xué)都被選為宣傳員的概率．【分析】（1）根據(jù)題意可知：“甲、乙同學(xué)都被選為宣傳員”是隨機(jī)事件；（2）根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的樹狀圖，然后即可求得甲、丁同學(xué)都被選為宣傳員的概率．【解答】解：（1）由題意可得，“甲、乙同學(xué)都被選為宣傳員”是隨機(jī)事件，故答案為：隨機(jī)；（2）樹狀圖如下所示：由上可得，一共有12種等可能事件，其中甲、丁同學(xué)都被選為宣傳員的可能性有2種，∴甲、丁同學(xué)都被選為宣傳員的概率為：＝．【點(diǎn)評】本題考查列表法與樹狀圖法、隨機(jī)事件，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的樹狀圖，求出相應(yīng)的概率．12．（2023?青島）為了解我國的數(shù)學(xué)文化，小明和小紅從《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《海島算經(jīng)》（依次用A、B、C表示）三本書中隨機(jī)抽取一本進(jìn)行閱讀，小明先隨機(jī)抽取一本，小紅再從剩下的兩本中隨機(jī)抽取一本．請用列表或畫樹狀圖的方法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．并求抽取兩本書中有《九章算術(shù)》的概率．【分析】畫樹狀圖展示所有6種等可能的結(jié)果，再找出抽取兩本書中有《九章算術(shù)》的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算．【解答】解：畫樹狀圖為：共有6種等可能的結(jié)果，其中抽取兩本書中有《九章算術(shù)》的結(jié)果數(shù)為4種，所以抽取兩本書中有《九章算術(shù)》的概率＝＝．【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．13．（2023?湘潭）為落實(shí)“雙減”政策要求，豐富學(xué)生課余生活，某校七年級根據(jù)學(xué)生需求，組建了四個(gè)社團(tuán)供學(xué)生選擇：A（合唱社團(tuán)）、B（硬筆書法社團(tuán)）、C（街舞社團(tuán)）、D（面點(diǎn)社團(tuán)）．學(xué)生從中任意選擇兩個(gè)社團(tuán)參加活動(dòng)．（1）小明對這4個(gè)社團(tuán)都很感興趣，如果他隨機(jī)選擇兩個(gè)社團(tuán)，請列舉出所有的可能結(jié)果；（2）小宇和小江在選擇過程中，首先都選了社團(tuán)C（街舞社團(tuán)），第二個(gè)社團(tuán)他倆決定隨機(jī)選擇，請用列表法或樹狀圖求他倆選到相同社團(tuán)的概率．【分析】（1）列舉出所有的可能結(jié)果即可；（2）畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中小宇和小江選到相同社團(tuán)的結(jié)果有3種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）所有的可能結(jié)果共有6種，分別為：AB、AC、AD、BC、BD、CD；（2）畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中小宇和小江選到相同社團(tuán)的結(jié)果有3種，∴他倆選到相同社團(tuán)的概率為＝．【點(diǎn)評】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．14．（2023?鞍山）二十四節(jié)氣是中國古代一種用來指導(dǎo)農(nóng)事的補(bǔ)充歷法，在國際氣象界被譽(yù)為“中國的第五大發(fā)明”，并位列聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，小明和小亮對二十四節(jié)氣非常感興趣，在課間玩游戲時(shí)，準(zhǔn)備了四張完全相同的不透明卡片，卡片正面分別寫有“A．驚蟄”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四個(gè)節(jié)氣，兩人商量將卡片背面朝上洗勻后，從中隨機(jī)抽取一張，并講述所抽卡片上的節(jié)氣的由來與習(xí)俗．（1）小明從四張卡片中隨機(jī)抽取一張卡片，抽到“A．驚蟄”的概率是．（2）小明先從四張卡片中隨機(jī)抽取一張，小亮再從剩下的卡片中隨機(jī)抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求兩人都沒有抽到“B．夏至”的概率．【分析】（1）共有4種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中抽到“A．驚蟄”的只有1種，由概率的定義可得答案；（2）用樹狀圖列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)概率的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）共有4種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中抽到“A．驚蟄”的只有1種，所以小明從四張卡片中隨機(jī)抽取一張卡片，抽到“A．驚蟄”的概率是，故答案為：；（2）用樹狀圖表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中兩人都沒有抽到“B．夏至”的有6種，所以兩人都沒有抽到“B．夏至”的概率為＝．【點(diǎn)評】本題考查列表法或樹狀圖法，用樹狀圖表示所有等可能的出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的關(guān)鍵．15．（2023?南通）有同型號(hào)的A，B兩把鎖和同型號(hào)的a，b，c三把鑰匙，其中a鑰匙只能打開A鎖，b鑰匙只能打開B鎖，c鑰匙不能打開這兩把鎖．（1）從三把鑰匙中隨機(jī)取出一把鑰匙，取出c鑰匙的概率等于；（2）從兩把鎖中隨機(jī)取出一把鎖，從三把鑰匙中隨機(jī)取出一把鑰匙，求取出的鑰匙恰好能打開取出的鎖的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中取出的鑰匙恰好能打開取出的鎖的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵有同型號(hào)的a，b，c三把鑰匙，∴從三把鑰匙中隨機(jī)取出一把鑰匙，取出c鑰匙的概率等于，故答案為：；（2）畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中取出的鑰匙恰好能打開取出的鎖的結(jié)果有2種，即Aa、Bb，∴取出的鑰匙恰好能打開取出的鎖的概率為＝．【點(diǎn)評】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．16．（2023?連云港）如圖，有4張分別印有Q版西游圖案的卡片：A唐僧、B孫悟空、C豬八戒、D沙悟凈．現(xiàn)將這4張卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）放在不透明的盒子中，攪勻后從中任意取出1張卡片，記錄后放回、攪勻，再從中任意取出1張卡片．求下列事件發(fā)生的概率：（1）第一次取出的卡片圖案為“B孫悟空”的概率為；（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A唐僧”的概率．【分析】（1）直接根據(jù)概率公式計(jì)算；（2）畫樹狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果，再找出兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A唐僧”的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【解答】解：（1）第一次取出的卡片圖案為“B孫悟空”的概率為；故答案為：；（2）畫樹狀圖為：共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A唐僧”的結(jié)果數(shù)為7，所以兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A唐僧”的概率＝．【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．概率與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用17．（2023?盤錦）某校為了解學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果整理后繪制了以下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表（如圖所示）．學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長情況統(tǒng)計(jì)表平均每天閱讀時(shí)長x/min人數(shù)0＜x≤202020＜x≤40a40＜x≤602560＜x≤8015x＞8010根據(jù)以上提供的信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查共抽取了名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)表中a＝．（2）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長為“60＜x≤80”所對應(yīng)的圓心角度數(shù)．（3）若全校共有1400名學(xué)生，請估計(jì)平均每天閱讀時(shí)長為“x＞80”的學(xué)生人數(shù)．（4）該校某同學(xué)從《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》四本書中選擇兩本進(jìn)行閱讀，這四本書分別用相同的卡片A，B，C，D標(biāo)記，先隨機(jī)抽取一張卡片后不放回，再隨機(jī)抽取一張卡片，請用列表法或畫樹狀圖法，求該同學(xué)恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的概率．【分析】（1）將40＜x≤60組的人數(shù)除以其百分比即可求出抽取的人數(shù)；將抽取的人數(shù)乘以20＜x≤40組的百分比即可求出a的值；（2）將60＜x≤80組的人數(shù)除以抽取的人數(shù)，再乘以360°即可求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長為“60＜x≤80”所對應(yīng)的圓心角度數(shù)；（3）將x＞80組的人數(shù)除以抽取的人數(shù)，再乘以1400即可估計(jì)平均每天閱讀時(shí)長為“x＞80”的學(xué)生人數(shù)；（4）用列表法或畫樹狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的結(jié)果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．【解答】解：（1）∵40＜x≤60組的人數(shù)為25，占比為25%，且25÷25%＝100，∴本次調(diào)查共抽取了100名學(xué)生；∵20＜x≤40組占比30%，30%×100＝30，∴a＝30，故答案為：100，30；（2）∵樣本中平均每天閱讀時(shí)長為“60＜x≤80”有15名，且15÷100×360°＝54°，∴扇形統(tǒng)計(jì)圖中學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長為“60＜x≤80”所對應(yīng)的圓心角度數(shù)為54°；（3）∵樣本中平均每天閱讀時(shí)長為“x＞80”的學(xué)生人數(shù)為10人，且10÷100×1400＝140（名），∴估計(jì)平均每天閱讀時(shí)長為“x＞80”的學(xué)生人數(shù)為140名；（4）《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》這四本書分別用相同的卡片A，B，C，D標(biāo)記，畫樹狀圖如下：一共有12種等可能的情況，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游記》即D有2種可能的情況，∴P（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的）＝．【點(diǎn)評】本題考查頻數(shù)分布表，扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，用列表法和畫樹狀圖法求等可能事件的概率，能從統(tǒng)計(jì)圖表中獲取有用信息，掌握用列表法和畫樹狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關(guān)鍵．18．（2023?隨州）中學(xué)生心理健康受到社會(huì)的廣泛關(guān)注，某校開展心理健康教育專題講座，就學(xué)生對心理健康知識(shí)的了解程度，采用隨機(jī)抽樣調(diào)查的方式，根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中信息回答下列問題：（1）接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有人，條形統(tǒng)計(jì)圖中m的值為，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“非常了解”部分所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為；（2）若該校共有學(xué)生800人，根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，可以估計(jì)出該校學(xué)生中對心理健康知識(shí)“不了解”的總?cè)藬?shù)為人；（3）若某班要從對心理健康知識(shí)達(dá)到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2人參加心理健康知識(shí)競賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到2名女生的概率．【分析】（1）將基本了解的人數(shù)除以其所占百分比即可得到接受調(diào)查的學(xué)生總數(shù)；將接受調(diào)查的學(xué)生總數(shù)減去另外三項(xiàng)人數(shù)即可求出M的值；將“非常了解”占比乘以360°即可求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中“非常了解”部分所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)；（2）將該校學(xué)生總數(shù)乘以樣本中該校學(xué)生中對心理健康知識(shí)“不了解”的占比即可；（3）用列表法或樹狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出恰好抽到2名女生的可能結(jié)果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．【解答】解：（1）∵基本了解的有40人，占50%，∴接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有40÷50%＝80（人），條形統(tǒng)計(jì)圖中m的值為：80﹣20﹣40﹣4＝16，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“非常了解”部分所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為：＝90°，故答案為：80，16，90°；（2）可以估計(jì)出該校學(xué)生中對心理健康知識(shí)“不了解”的總?cè)藬?shù)為：800×＝40人），故答案為：40；（3）畫樹狀圖如下：一共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到2名女生的結(jié)果有2種，∴P（恰好抽到2名女生）＝．【點(diǎn)評】本題考查扇形統(tǒng)計(jì)