2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)2019選擇性試題1.4兩條直線的交點(diǎn)

1.4兩條直線的交點(diǎn)一、單選題1．直線l經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且平行于直線，則直線l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得兩直線交點(diǎn)為(－1，0)，直線l斜率與相同，為，則直線l方程為y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0.故選：B.2．已知三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)的取值集合為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題知：①當(dāng)直線與直線平行時，三條直線不能構(gòu)成三角形.即.②當(dāng)直線與直線平行時，三條直線不能構(gòu)成三角形.即.③當(dāng)直線過直線與直線交點(diǎn)時，三條直線不能構(gòu)成三角形.所以，解得，將代入，解得.所以實(shí)數(shù)的取值集合為.故選：D.3．若三條直線，和相交于一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】聯(lián)立，解得，即直線與直線交于點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程中，得，解得.故選：B.4．無論k為何值，直線都過一個定點(diǎn)，則該定點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】直線方程可化為，則此直線過直線和直線的交點(diǎn)．由解得因此所求定點(diǎn)為．故選：D．5．設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題知集合表示直線，即上的點(diǎn)，但除去點(diǎn)（1，3），集合表示直線上的點(diǎn)，易知直線與直線不重合，所以當(dāng)時，直線與直線相交且交點(diǎn)不是點(diǎn)（1，3），當(dāng)時，兩條直線相交且交點(diǎn)為（4，9），符合題意；當(dāng)時，由且，得且且.綜上，且.故選：C.6．經(jīng)過直線l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線l1的方程為（）A．2x﹣y+13＝0 B．x+2y+13＝0 C．2x﹣y﹣13＝0 D．x+2y﹣13＝0【答案】B【解析】聯(lián)立直線l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的方程，解得x＝﹣3，y＝﹣5，所以直線l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交點(diǎn)為（﹣3，﹣5），又直線l1的斜率為2，故所求直線的斜率為，所以所求直線的方程為，即x+2y+13＝0．故選：B7．已知線段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，若直線與線段AB有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】直線恒過的定點(diǎn)，.當(dāng)時，直線方程為，與線段有交點(diǎn)，符合題意.當(dāng)時，直線的斜率為，則，解得或，綜上，.故選：C8．直線l經(jīng)過兩條直線3x+4y﹣5＝0和3x﹣4y﹣13＝0的交點(diǎn)，且與直線x+2y+1＝0垂直，則l的方程是（）A．2x+y﹣7＝0 B．2x﹣y﹣7＝0C．2x+y+7＝0 D．2x﹣y+7＝0【答案】B【解析】聯(lián)立方程，解得x＝3，y＝﹣1，故所求直線l過點(diǎn)（3，﹣1），由直線x+2y+1＝0的斜率為，可知l的斜率為2，由點(diǎn)斜式方程可得：y+1＝2（x﹣3），即2x﹣y﹣7＝0，故選：B二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率B．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為C．經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為D．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2【答案】ABD【解析】當(dāng)傾斜角為90°時，斜率不存在，故A選項正確；設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則滿足，解得：，故點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，B正確；當(dāng)在x軸和y軸上截距都等于0時，此時直線為，故C錯誤；直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為與，故與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，D正確故選：ABD10．已知△是邊長為2的等邊三角形，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且，，BD與CE交于點(diǎn)O，則（）A． B．C． D．方向上的投影向量的模為【答案】BD【解析】如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，垂直的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，故為的中點(diǎn)，所以，設(shè)，則，，因?yàn)?，故，即，解得：，則設(shè)直線：，則代入，解得：，所以直線：，設(shè)直線：，把，代入，解得：，所以直線：，聯(lián)立，解得：，故，A選項：，A選項錯誤；B選項：，故B選項正確；，，，所以，故，C選項錯誤；方向上的投影向量的模為，故方向上的投影向量的模為，D選項正確.故選：BD11．已知平面上三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k的值可以為（

）A． B． C．0 D．1【答案】ABC【解析】依題：三條直線交于一點(diǎn)或其中兩條平行且與第三條直線相交，①當(dāng)直線經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)時，，解得.②當(dāng)直線與直線平行時，，解得；當(dāng)直線與直線平行時，可得，綜上：或或.故選:ABC.12．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonharEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心?重心?垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.若已知的頂點(diǎn)，，其歐拉線方程為，則下列正確的是（

）A．重心的坐標(biāo)為或B．垂心的坐標(biāo)為或C．頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為或D．歐拉線將分成的兩部分的面積之比為【答案】BCD【解析】AB的中點(diǎn)為，AB的中垂線方程為，即，聯(lián)立，解得.∴的外心為，設(shè)，由重心坐標(biāo)公式得，三角形的重心為，代入歐拉線方程得：，整理得：①又外心為，所以，整理得：②聯(lián)立①②得：，或，，所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)是或.重心的坐標(biāo)為或；由于或，所以垂心的坐標(biāo)為或.因?yàn)橹本€與歐拉線平行，所以兩部分的面積之比是或.故選：BCD三、填空題13．經(jīng)過和的交點(diǎn)，且與垂直的直線方程為______.【答案】##+【解析】解法1：由得.又的斜率為，故所求直線的斜率為2，由點(diǎn)斜式得，即．解法2：設(shè)所求的直線方程為，即，由題意得，得，所以所求直線方程為．故答案為：.14．若直線經(jīng)過直線和的交點(diǎn)，則___________.【答案】【解析】由題意，直線，，交于一點(diǎn)，所以，得，所以直線過點(diǎn)，得，求解得.故答案為：15．已知直線經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且垂直于直線，則直線方程為___________.【答案】【解析】由，解可得，所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線過點(diǎn)，因?yàn)橹本€與垂直，所以直線的斜率為，所以直線的方程為：，即，故答案為：.16．經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，并且平行于直線的直線的一般式方程為______．【答案】【解析】由解得，故交點(diǎn)坐標(biāo)為，由平行于直線可得斜率為1，故方程為，化為一般方程為.故答案為：.四、解答題17．過點(diǎn)P(0，1)作直線l，使它被直線l1：和l2：截得的線段恰好被點(diǎn)P平分，求直線l的方程.【解析】設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a，82a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)B(a，2a6)在l2上，代入l2的方程得:a3(2a6)＋10＝0，解得a＝4，即點(diǎn)A(4，0)在直線l上，∴直線l的方程為即x＋4y4＝0.18．求過直線和的交點(diǎn)P，且與直線垂直的直線l的方程.【解析】解法一：由，解得直線的斜率為，直線的斜率為4.因此滿足條件的直線l的方程為：，即.解法二：直線l垂直于直線.設(shè)直線l的方程為.與的交點(diǎn)為，，解得從而.所以直線l的方程為.解法三：因?yàn)橹本€l過與的交點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為，即，與直線垂直，，解得.直線l的方程為.19．已知的一個頂點(diǎn)，且，的角平分線所在直線的方程依次是，，求的三邊所在直線的方程.【解析】記的角平分線交于點(diǎn)，的角平分線交于點(diǎn).由角平分線的性質(zhì)，知點(diǎn)關(guān)于直線，的對稱點(diǎn)，均在直線上.∵直線的方程為，，則，解得，∴.∵直線的方程為，∴同理求得，∴直線的方程是，即，這也是所在直線的方程.由，得，由，得，∴所在直線的方程是，所在直線的方程是.20．三條直線??有且只有兩個交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.【解析】由得：，即有一個交點(diǎn)，或；即或，解得：或.21．已知直線：與直線：的交點(diǎn)為，求經(jīng)過點(diǎn)且滿足下列條件的直線的方程：（方程結(jié)果用一般式表示）(1)與直線平行；(2)與直線垂直.【解析】(1)由，解得，所以交點(diǎn)為，直線的斜率為2，因?yàn)樗笾本€與直線平行，可得所求直線的斜率，所以所求直線方程為，即；(2)因?yàn)橹本€的斜率為，因?yàn)樗笾本€與直線垂直，故所求直線的斜率，所以所求直線方程為，即.22．已知△ABC中，BC邊上的高所在的直線方程為，∠A的平分線所在的直線方程為y=0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，2).（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)C作直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于點(diǎn)M、N，求△MON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積最小值及此時直線l的方程.【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)A在BC邊上的高所在的直線x2y+1=0上，且在∠A的平分線所在的直線y=0上，所以解方程組得A(1，0).因?yàn)锽C邊上的高所在的直線方程為x2y+1=0，所以kBC=2，因?yàn)辄c(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，2)，所以直線BC的方程為2x+y4=0，