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2025屆福建省安溪第六中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.在遞增的等比數(shù)列an中,a4,a6是方程x2A.2 B.±2 C.12 D.12.點(diǎn)(4,0)關(guān)于直線5x+4y+21=0的對(duì)稱點(diǎn)是().A.(-6,8) B.(-8,-6) C.(6,8) D.(-6,-8)3.關(guān)于的不等式的解集是,則關(guān)于的不等式的解集是()A. B.C. D.4.已知向量,滿足:則A. B. C. D.5.已知冪函數(shù)過點(diǎn),令,,記數(shù)列的前項(xiàng)和為,則時(shí),的值是()A.10 B.120 C.130 D.1406.式子的值為()A. B.0 C.1 D.7.已知變量,之間的線性回歸方程為,且變量,之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示,則下列說法中錯(cuò)誤的是()681012632A.變量,之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系B.的值等于5C.變量,之間的相關(guān)系數(shù)D.由表格數(shù)據(jù)知,該回歸直線必過點(diǎn)8.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3,-4),則的值為()A. B. C. D.9.在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,若,,,則()A. B. C. D.10.如圖,在平行六面體中,M,N分別是所在棱的中點(diǎn),則MN與平面的位置關(guān)系是()A.MN平面B.MN與平面相交C.MN平面D.無法確定MN與平面的位置關(guān)系二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.某公司當(dāng)月購(gòu)進(jìn)、、三種產(chǎn)品,數(shù)量分別為、、,現(xiàn)用分層抽樣的方法從、、三種產(chǎn)品中抽出樣本容量為的樣本,若樣本中型產(chǎn)品有件,則的值為_______.12.已知,,,則的最小值為__________.13.已知?jiǎng)tsin2x的值為________.14.?dāng)?shù)列中,,以后各項(xiàng)由公式給出,則等于_____.15.中,,,,則______.16.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個(gè)著名的幾何問題:在平面上給定兩點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)滿足(其中和是正常數(shù),且),則的軌跡是一個(gè)圓,這個(gè)圓稱之為“阿波羅尼斯圓”,該圓的半徑為__________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.如圖,在三棱柱中,平面平面,,,為棱的中點(diǎn).(1)證明:;(2)求三棱柱的高.18.某公司為了解廣告投入對(duì)銷售收益的影響,在若干地區(qū)各投入4萬元廣告費(fèi)用,并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示),由于工作人員操作失誤,橫軸的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從0開始計(jì)數(shù)的.(1)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長(zhǎng)方形的寬度;(2)試估計(jì)該公司在若干地區(qū)各投入4萬元廣告費(fèi)用之后,對(duì)應(yīng)銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值);(3)該公司按照類似的研究方法,測(cè)得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:廣告投入(單位:萬元)12345銷售收益(單位:萬元)2337由表中的數(shù)據(jù)顯示,與之間存在著線性相關(guān)關(guān)系,請(qǐng)將(2)的結(jié)果填入空白欄,并求出關(guān)于的回歸直線方程.(參考公式:)19.已知三棱錐的體積為1.在側(cè)棱上取一點(diǎn),使,然后在上取一點(diǎn),使,繼續(xù)在上取一點(diǎn),使,……按上述步驟,依次得到點(diǎn),記三棱錐的體積依次構(gòu)成數(shù)列,數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;(2)記,為數(shù)列的前項(xiàng)和,若不等式對(duì)一切恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),判斷并證明函數(shù)的奇偶性;(2)當(dāng)時(shí),判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性.21.在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若,.(1)求角A的大??;(2)若,求的周長(zhǎng).
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】
先解方程求出a4,a6,然后根據(jù)等比數(shù)列滿足【詳解】∵a4,a6是方程x2-10x+16=0的兩個(gè)根,∴a4+a6=10,a4【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列任意兩項(xiàng)的關(guān)系,易錯(cuò)點(diǎn)是數(shù)列an為遞增數(shù)列,那么又q>12、D【解析】試題分析:設(shè)點(diǎn)(4,0)關(guān)于直線5x+4y+21=0的對(duì)稱點(diǎn)是,則點(diǎn)在直線5x+4y+21=0上,將選項(xiàng)代入就可排除A,B,C,答案為D考點(diǎn):點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,排除法的應(yīng)用3、C【解析】關(guān)于的不等式,即的解集是,∴不等式,可化為,解得,∴所求不等式的解集是,故選C.4、D【解析】
利用向量的數(shù)量積運(yùn)算及向量的模運(yùn)算即可求出.【詳解】∵||=3,||=2,|+|=4,∴|+|2=||2+||2+2=16,∴2=3,∴|﹣|2=||2+||2﹣2=9+4﹣3=10,∴|﹣|=,故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量模的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
根據(jù)冪函數(shù)所過點(diǎn)求得冪函數(shù)解析式,由此求得的表達(dá)式,利用裂項(xiàng)求和法求得的表達(dá)式,解方程求得的值.【詳解】設(shè)冪函數(shù)為,將代入得,所以.所以,所以,故,由解得,故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查冪函數(shù)解析式的求法,考查裂項(xiàng)求和法,考查方程的思想,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
利用兩角和的正弦公式可得原式為cos(),再由特殊角的三角函數(shù)值可得結(jié)果.【詳解】cos()=coscos,故選D.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的余弦公式,熟練掌握兩角和與差的余弦公式以及特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】分析:根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式,求得樣本中心為,代入回歸直線的方程,即可求解,得到樣本中心,再根據(jù)之間的變化趨勢(shì),可得其負(fù)相關(guān)關(guān)系,即可得到答案.詳解:由題意,根據(jù)上表可知,即數(shù)據(jù)的樣本中心為,把樣本中心代入回歸直線的方程,可得,解得,則,即數(shù)據(jù)的樣本中心為,由上表中的數(shù)據(jù)可判定,變量之間隨著的增大,值變小,所以呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系,由于回歸方程可知,回歸系數(shù),而不是,所以C是錯(cuò)誤的,故選C.點(diǎn)睛:本題主要考查了數(shù)據(jù)的平均數(shù)的計(jì)算公式,回歸直線方程的特點(diǎn),以及相關(guān)關(guān)系的判定等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用,其中熟記回歸分析的基本知識(shí)點(diǎn)是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力.8、A【解析】
先求出的值,即得解.【詳解】由題得,,所以.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的坐標(biāo)定義,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
由余弦定理可直接求出邊的長(zhǎng).【詳解】由余弦定理可得,,所以.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理的運(yùn)用,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
取的中點(diǎn),連結(jié),可證明平面平面,由于平面,可知平面.【詳解】取的中點(diǎn),連結(jié),顯然,因?yàn)槠矫?,平面,所以平面,平面,又,故平面平面,又因?yàn)槠矫妫云矫?故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面的位置關(guān)系,考查了線面平行、面面平行的證明,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、.【解析】
利用分層抽樣每層抽樣比和總體的抽樣比相等,列等式求出的值.【詳解】在分層抽樣中,每層抽樣比和總體的抽樣比相等,則有,解得,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣中的相關(guān)計(jì)算,解題時(shí)要充分利用各層抽樣比與總體抽樣比相等這一條件列等式求解,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12、25【解析】
變形后,利用基本不等式可得.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)取等號(hào).故答案為:25【點(diǎn)睛】本題考查了利用基本不等式求最值,屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】
利用二倍角的余弦函數(shù)公式求出的值,再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn),將的值代入計(jì)算即可求出值.【詳解】解:∵,,則sin2x==,故答案為.【點(diǎn)睛】此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式,以及誘導(dǎo)公式的作用,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.14、【解析】
可以利用前項(xiàng)的積與前項(xiàng)的積的關(guān)系,分別求得第三項(xiàng)和第五項(xiàng),即可求解,得到答案.【詳解】由題意知,數(shù)列中,,且,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用,其中解答中熟練的應(yīng)用遞推關(guān)系式是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù),得到的值,再由余弦定理,得到的值.【詳解】因?yàn)椋?,在中,,,由余弦定理?所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的余弦公式,余弦定理解三角形,屬于簡(jiǎn)單題.16、【解析】
設(shè),由動(dòng)點(diǎn)滿足(其中和是正常數(shù),且),可得,化簡(jiǎn)整理可得.【詳解】設(shè),由動(dòng)點(diǎn)滿足(其中和是正常數(shù),且),所以,化簡(jiǎn)得,即,所以該圓半徑故該圓的半徑為.【點(diǎn)睛】本題考查圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式和兩點(diǎn)距離公式,難點(diǎn)主要在于計(jì)算.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)連接,,作為棱的中點(diǎn),連結(jié),,由平面平面,得到平面,則,再由,即可證明平面,從而得證;(2)根據(jù)等體積法求出點(diǎn)面距.【詳解】(1)證明:連接,.∵,,∴是等邊三角形.作為棱的中點(diǎn),連結(jié),,∴.∵平面平面,平面平面,平面,∴平面.∵平面,∴.∵,∴平行四邊形是菱形.∴.又,分別為,的中點(diǎn),∴,∴.又,平面,平面.∴平面.又平面,∴.(2)解:連接,∵,,∴為正三角形.∵為的中點(diǎn),∴,同理可得又∵平面平面,且平面平面,平面,∴平面.∴,又三棱柱的高即點(diǎn)到平面的距離.在中,,,則.又∵,∴,則.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直,線線垂直的證明,三棱錐的體積及點(diǎn)到平面的距離的計(jì)算,屬于中檔題.18、(1)2;(2)5;(3)空白欄中填5,【解析】
(1)根據(jù)頻率等于小長(zhǎng)方形的面積以及頻率和為,得到關(guān)于的等式,求解出即可;(2)根據(jù)各組數(shù)據(jù)的組中值與頻率的乘積之和得到對(duì)應(yīng)的銷售收益的平均值;(3)先填寫空白欄數(shù)據(jù),然后根據(jù)所給數(shù)據(jù)計(jì)算出,即可求解出回歸直線方程.【詳解】(1)設(shè)各小長(zhǎng)方形的寬度為.由頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積總和為1,可知,解得.故圖中各小長(zhǎng)方形的寬度為2.(2)由(1)知各小組依次是,其中點(diǎn)分別為對(duì)應(yīng)的頻率分別為故可估計(jì)平均值為.(3)由(2)可知空白欄中填5.由題意可知,,,根據(jù)公式,可求得,.所以所求的回歸直線方程為.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的實(shí)際應(yīng)用以及回歸直線方程的求法,難度一般.(1)頻率分布直方圖中,小矩形的面積代表該組數(shù)據(jù)的頻率,所有小矩形面積之和為;(2)求解回歸直線方程時(shí),先求解出,然后根據(jù)回歸直線方程過樣本點(diǎn)的中心再求解出.19、(1).;(2).【解析】
(1)由三棱錐的體積公式可得是等比數(shù)列,從而可求得其通項(xiàng)公式,利用可求得,但要注意;(2)用錯(cuò)位相減法求得,化簡(jiǎn)不等式,分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.【詳解】(1)由題意,∴,三棱錐的體積就是三棱錐的體積,它們都以為底面,因此它們的體積比等于它們高的比,即到平面的距離之比,又都在直線上,所以點(diǎn)到平面的距離之比就等于棱長(zhǎng)的比,∴,,,∴.,則,時(shí),,也適合.∴.(2)由(1),,,兩式相減得:,∴.不等式為,即,設(shè),則,∴當(dāng)時(shí),遞增,當(dāng),遞減,是中的最大項(xiàng),.不等式對(duì)恒成立,則,∴或.故的范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查棱錐的體積,考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查由求通項(xiàng),考查錯(cuò)位相減法求和,考查不等式恒成立問題.考查數(shù)列的單調(diào)性,難度較大.對(duì)學(xué)生的運(yùn)算求解能力要求較高.在由求時(shí)要注意需另外求解,證明數(shù)列單調(diào)性時(shí)可以有數(shù)列的前后項(xiàng)作差或作商比較.20、(1)見解析;(2)見解析.【解析】
(1)將代入函數(shù)的解析式,利用函數(shù)的奇偶性定義來證明出函數(shù)的奇偶性;(2)將函數(shù)的解析式化為,然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明出函數(shù)在上的單調(diào)性.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,函數(shù)為上的奇函數(shù).證明如下:,其定義域?yàn)?,則,故函數(shù)為奇函數(shù);(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減.證明如下:,任取,則,又由,則,則有,即.因此,函數(shù)為上的減函數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判定與證明,在利用定
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