河南南陽市第一中學2025屆高一數學第二學期期末教學質量檢測模擬試題含解析

河南南陽市第一中學2025屆高一數學第二學期期末教學質量檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若cosB＝，＝2，且S△ABC＝，則b的值為()A．4 B．3 C．2 D．12．函數的最大值為A．4 B．5 C．6 D．73．如圖，某人在點處測得某塔在南偏西的方向上，塔頂仰角為，此人沿正南方向前進30米到達處，測得塔頂的仰角為，則塔高為（）A．20米 B．15米 C．12米 D．10米4．設a,b,c均為不等于1的正實數,則下列等式中恒成立的是A．B．C．D．5．設，,則的值可表示為（）A． B． C． D．6．設,,,則（）A． B． C． D．7．已知數列的前項和為，且，，則（）A．200 B．210 C．400 D．4108．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為()A．30° B．45° C．60° D．90°9．不等式的解集為,則的值為(

)A． B．C． D．10．從A，B，C三個同學中選2名代表，則A被選中的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若關于x的不等式的解集是，則_________.12．兩個實習生加工一個零件，產品為一等品的概率分別為和，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為__________.13．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為__________．14．若數據的平均數為，則____________.15．若不等式對于任意都成立，則實數的取值范圍是____________．16．某住宅小區(qū)有居民萬戶，從中隨機抽取戶，調查是否安裝寬帶，調查結果如下表所示：寬帶租戶業(yè)主已安裝未安裝則該小區(qū)已安裝寬帶的居民估計有______戶．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．渦陽縣某華為手機專賣店對市民進行華為手機認可度的調查，在已購買華為手機的名市民中，隨機抽取名，按年齡（單位：歲）進行統(tǒng)計的頻數分布表和頻率分布直方圖如圖：分組（歲）頻數合計（1）求頻數分布表中、的值，并補全頻率分布直方圖；（2）在抽取的這名市民中，從年齡在、內的市民中用分層抽樣的方法抽取人參加華為手機宣傳活動，現從這人中隨機選取人各贈送一部華為手機，求這人中恰有人的年齡在內的概率.18．如圖，在三棱錐中，垂直于平面，.求證：平面.19．已知的三個內角、、的對邊分別是、、，的面積，（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若中，邊上的高，求的值.20．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD，，，，M為線段AD上一點，，N為PC的中點.（1）證明：平面PAB；（2）求直線AN與平面PMN所成角的余弦值.21．請你幫忙設計2010年玉樹地震災區(qū)小學的新校舍，如圖，在學校的東北力有一塊地，其中兩面是不能動的圍墻，在邊界內是不能動的一些體育設施．現準備在此建一棟教學樓，使樓的底面為一矩形，且靠圍墻的方向須留有5米寬的空地，問如何設計，才能使教學樓的面積最大？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】試題分析：根據正弦定理可得,.在中,,.,,.,.故C正確.考點：1正弦定理;2余弦定理.2、B【解析】試題分析：因為，而，所以當時，取得最大值5，選B.【考點】正弦函數的性質、二次函數的性質【名師點睛】求解本題易出現的錯誤是認為當時，函數取得最大值.3、B【解析】

設塔底為，塔高為，根據已知條件求得以及角，利用余弦定理列方程，解方程求得塔高的值.【詳解】設塔底為，塔高為，故，由于，所以在三角形中，由余弦定理得，解得米.故選B.【點睛】本小題主要考查利用余弦定理解三角形，考查空間想象能力，屬于基礎題.4、B【解析】

根據對數運算的規(guī)律一一進行運算可得答案.【詳解】解：由a,b,c≠1.考察對數2個公式:，,對選項A:,顯然與第二個公式不符，所以為假.對選項B:,顯然與第二個公式一致，所以為真.對選項C:,顯然與第一個公式不符，所以為假.對選項D:,同樣與第一個公式不符，所以為假.所以選B.【點睛】本題主要考查對數運算的性質，熟練掌握對數運算的各公式是解題的關鍵.5、A【解析】

由，可得到，然后根據反余弦函數的圖象與性質即可得到答案.【詳解】因為，所以，則.故選：A【點睛】本題主要考查反余弦函數的運用，熟練掌握反余弦函數的概念及性質是解決本題的關鍵.6、B【解析】

根據與特殊點的比較可得因為,,,從而得到,得出答案.【詳解】解:因為,,,所以.故選:B【點睛】本題主要考查指數函數和對數函數的單調性與特殊點的問題,要熟記一些特殊點,如,,.7、B【解析】

首先利用遞推關系式求出數列的通項公式，進一步利用等差數列的前項和公式的應用求出結果．【詳解】由題，，又因為所以當時，可解的當時，，與相減得當為奇數時，數列是以為首相，為公差的等差數列，當為偶數時，數列是以為首相，為公差的等差數列，所以當為正整數時，，則故選B.【點睛】本題考查的知識點有數列通項公式的求法及應用，等差數列的前項和公式的應用，主要考查學生的運算能力和轉化能力，屬于一般題．8、C【解析】連接，由三角形中位線定理及平行四邊形性質可得，所以是與所成角，由正方體的性質可知是等邊三角形，所以，與所成角是,故選C.9、B【解析】

根據一元二次不等式解集與對應一元二次方程根的關系列方程組，解得a，c的值.【詳解】由題意得為方程兩根，所以，選B.【點睛】一元二次方程的根與對應一元二次不等式解集以及對應二次函數零點的關系，是數形結合思想，等價轉化思想的具體體現，注意轉化時的等價性.10、D【解析】

先求出基本事件總數，被選中包含的基本事件個數，由此能求出被選中的概率．【詳解】從，，三個同學中選2名代表，基本事件總數為：，共個，被選中包含的基本事件為：，共2個，被選中的概率．故選：D．【點睛】本題考查概率的求法，考查列舉法和運算求解能力，是基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、－14【解析】

由不等式的解集求出對應方程的實數根，利用根與系數的關系求出的值，從而可得結果.【詳解】不等式的解集是，所以對應方程的實數根為和，且，由根與系數的關系得，解得，，故答案為.【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解集與一元二次不等式的根之間的關系，以及韋達定理的應用，屬于簡單題.12、【解析】

利用相互獨立事件概率乘法公式直接求解．【詳解】解：兩個實習生加工一個零件，產品為一等品的概率分別為和，這兩個零件中恰有一個一等品的概率為：．故答案為：．【點睛】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．13、【解析】由三視圖知該幾何體是一個半圓錐挖掉一個三棱錐后剩余的部分，如圖所示，所以其體積為.點睛：求多面體的外接球的面積和體積問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點，再根據勾股定理求球的半徑；（3）如果設計幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作兩個面的垂線，垂線的交點為幾何體的球心，本題就是第三種方法.14、【解析】

根據求平均數的公式，得到關于的方程，求得.【詳解】由題意得：，解得：，故填：.【點睛】本題考查求一組數據的平均數，考查基本數據處理能力.15、【解析】

利用換元法令（），將不等式左邊構造成一次函數，根據一次函數的性質列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】令，，則．由已知得，不等式對于任意都成立．又令，則，即，解得．所以所求實數的取值范圍是．故答案為：【點睛】本小題主要考查不等式恒成立問題的求解策略，考查三角函數的取值范圍，考查一次函數的性質，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.16、【解析】

計算出抽樣中已安裝寬帶的用戶比例，乘以總人數，求得小區(qū)已安裝寬帶的居民數.【詳解】抽樣中已安裝寬帶的用戶比例為，故小區(qū)已安裝寬帶的居民有戶.【點睛】本小題主要考查用樣本估計總體，考查頻率的計算，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），頻率分布直方圖見解析；（2）.【解析】

（1）根據分布直方圖計算出第二個矩形的面積，乘以可得出的值，再由頻數之和為得出的值，利用頻數除以樣本容量得出第四個矩形的面積，并計算出第四個矩形的高，于此可補全頻率分布直方圖；（2）先計算出人中年齡在、內的市民人數分別為、，將年齡在的位市民記為，年齡在的位市民記為、、、，記事件恰有人的年齡在內，列舉出所有的基本事件，并確定事件所包含的基本事件數，利用古典概型的概率公式可計算出事件的概率.【詳解】（1）由頻數分布表和頻率分布直方圖可知，解得.頻率分布直方圖中年齡在內的人數為人，對應的為，所以補全的頻率分布直方圖如下圖所示：（2）由頻數分布表知，在抽取的人中，年齡在內的市民的人數為，記為，年齡在內的市民的人數為，分別記為、、、.從這人中任取人的所有基本事件為：、、、、、、、、、，共個基本事件.記“恰有人的年齡在內”為事件，則所包含的基本事件有個：、、、，所以這人中恰有人的年齡在內的概率為.【點睛】本題考查頻率分布直方圖和頻率分布表的應用，同時也考查了古典概型概率公式計算概率，在列舉基本事件時要遵循不重不漏的基本原則，常用的是列舉法，也可以利用樹狀圖來輔助理解，考查運算求解能力，屬于中等題.18、證明見解析【解析】

分析：由線面垂直的性質可得，結合，利用線面垂直的判定定理可得平面.詳解：∵面，在面內，∴，又∵，，∴面.點睛：證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質；（4）利用面面垂直的性質，當兩個平面垂直時，在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由面積公式推出，代入所給等式可得，求出角C的余弦值從而求得角C；（Ⅱ）首先由求出邊c，再由面積公式代入相應值求出邊b，利用余弦定理即可求出邊a.【詳解】（Ⅰ）由得①于是，即∴又，所以（Ⅱ），由得，將代入中得，解得.【點睛】本題考查余弦定理解三角形，三角形面積公式，屬于基礎題.20、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）如圖所示，為中點，連接，證明為平行四邊形得到答案.（2）分別以為軸建立直角坐標系，平面的法向量為，計算向量夾角得到答案.【詳解】（1）如圖所示，為中點，連接.為中點，N為PC的中點，故，，，故，且，故為平行四邊形.故，平面，故平面PAB.（2）中點為，，故，故，底面ABCD，故，.分別以為軸建立直角坐標系，則，，，，.設平面的法向量為，則，即，取得到，故，故直線AN與平面PMN所成角的余弦值為.【點睛】本題考查了線面平行，線面夾角，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.21、在