湖南省長(zhǎng)沙市一中開福中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

湖南省長(zhǎng)沙市一中開福中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若向量，的夾角為60°，且||＝2，||＝3，則|2|＝（）A．2 B．14 C．2 D．82．若實(shí)數(shù)滿足約束條件則的最大值與最小值之和為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（）A．1 B． C． D．4．若向量，且，則等于（）A． B． C． D．5．若直線上存在點(diǎn)滿足則實(shí)數(shù)的最大值為A． B． C． D．6．若集合A=α|α=π6+kπ,k∈ZA．? B．π6 C．-π7．一個(gè)正方體內(nèi)接于一個(gè)球，過球心作一個(gè)截面，如圖所示，則截面的可能圖形是（）A．①③④ B．②④ C．②③④ D．①②③8．設(shè)A,B是任意事件，下列哪一個(gè)關(guān)系式正確的（）A．A+B=A B．ABA C．A+AB=A D．A9．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列單調(diào)遞增，則的取值范圍為A． B． C． D．10．在等差數(shù)列中，如果，則數(shù)列前9項(xiàng)的和為()A．297 B．144 C．99 D．66二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在數(shù)列{}中，，則____.12．已知三棱錐的底面是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長(zhǎng)都等于，則其外接球的體積為______.13．已知a、b為不垂直的異面直線，α是一個(gè)平面，則a、b在α上的射影有可能是：①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點(diǎn)．在上面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號(hào)是________．(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào))14．已知，，若，則______15．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，從“到”，左邊需增乘的代數(shù)式是___________.16．函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間為____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．正四棱錐S－ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為x.（1）求出其表面積S（x）和體積V（x）；（2）設(shè)，求出函數(shù)的定義域，并判斷其單調(diào)性（無需證明）.18．已知圓，直線.圓與軸交于兩點(diǎn)，是圓上不同于的一動(dòng)點(diǎn)，所在直線分別與交于.（1）當(dāng)時(shí)，求以為直徑的圓的方程；（2）證明：以為直徑的圓截軸所得弦長(zhǎng)為定值.19．的內(nèi)角的對(duì)邊為，（1）求；（2）若求．20．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，然后再向右平移()個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱．求的最小值21．?dāng)?shù)列an，n∈N*各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S（1）求證數(shù)列Sn2為等差數(shù)列，并求數(shù)列（2）設(shè)bn=24Sn4-1，求數(shù)列bn的前n

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

由已知可得||，根據(jù)數(shù)量積公式求解即可．【詳解】||．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，考查了利用數(shù)量積進(jìn)行向量模的運(yùn)算求解方法，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解析】

首先根據(jù)不等式組畫出對(duì)應(yīng)的可行域，再分別計(jì)算出頂點(diǎn)的坐標(biāo)，帶入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的值，即可找到最大值和最小值.【詳解】不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示：，.，.，，.，，.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃，根據(jù)不等式組畫出可行域?yàn)榻忸}的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)單題.3、D【解析】由圖象性質(zhì)可知，，解得，故選D。4、B【解析】

根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的平行對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系，即可計(jì)算出的值，再根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的加法即可求解出的坐標(biāo)表示.【詳解】因?yàn)榍?，所以，所以，所?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的平行求解參數(shù)以及向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算，難度較易.已知，若則有.5、B【解析】

首先畫出可行域，然后結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo)平移直線即可確定實(shí)數(shù)m的最大值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示，由，得：，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，－2），平移直線x＝m，移到C點(diǎn)或C點(diǎn)的左邊時(shí)，直線上存在點(diǎn)在平面區(qū)域內(nèi)，所以，m≤－1，即實(shí)數(shù)的最大值為－1.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃及其應(yīng)用，屬于中等題.6、B【解析】

先化簡(jiǎn)集合A,B,再求A∩B.【詳解】由題得B={x|-1≤x≤3}，A=?所以A∩B=π故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法和集合的交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題,7、A【解析】

分別當(dāng)截面平行于正方體的一個(gè)面時(shí)，當(dāng)截面過正方體的兩條相交的體對(duì)角線時(shí)，當(dāng)截面既不過體對(duì)角線也不平行于任一側(cè)面時(shí)，進(jìn)行判定，即可求解.【詳解】由題意，當(dāng)截面平行于正方體的一個(gè)面時(shí)得③；當(dāng)截面過正方體的兩條相交的體對(duì)角線時(shí)得④；當(dāng)截面既不過正方體體對(duì)角線也不平行于任一側(cè)面時(shí)可能得①；無論如何都不能得②.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方體與球的組合體的截面問題，其中解答中熟記空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理能力，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

試題分析：因?yàn)轭}目中給定了A,B是任意事件，那么利用集合的并集思想來分析，兩個(gè)事件的和事件不一定等于其中的事件A.可能大于事件A選項(xiàng)B，AB表示的為AB的積事件，那么利用集合的思想，和交集類似，不一定包含A事件．選項(xiàng)C，由于利用集合的交集和并集的思想可知，A+AB=A表示的等式成立．選項(xiàng)D中，利用補(bǔ)集的思想和交集的概念可知，表示的事件A不發(fā)生了，同時(shí)事件B發(fā)生，顯然D不成立．考點(diǎn)：本試題考查了事件的關(guān)系．點(diǎn)評(píng)：對(duì)于事件之間的關(guān)系的理解，可以運(yùn)用集合中的交集，并集和補(bǔ)集的思想分別對(duì)應(yīng)到事件中的和事件，積事件，非事件上來分析得到，屬于基礎(chǔ)題．【詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?、C【解析】

數(shù)列{an}單調(diào)遞增?an+1＞an，可得：n+1+＞n+，化簡(jiǎn)解出即可得出．【詳解】數(shù)列{an}單調(diào)遞增?an+1＞an，可得：n+1+＞n+，化為：a＜n1+n．∴a＜1．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的單調(diào)性、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．10、C【解析】試題分析：，，∴a4=13,a6=9,S9==99考點(diǎn)：等差數(shù)列性質(zhì)及前n項(xiàng)和點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列性質(zhì)及前n項(xiàng)和，掌握相關(guān)公式及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

直接利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案．【詳解】解：在等比數(shù)列中，由，公比，得．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)題．12、【解析】

先判斷球心在上，再利用勾股定理得到半徑，最后計(jì)算體積.【詳解】三棱錐的底面是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長(zhǎng)都等于為中點(diǎn)，為外心，連接，平面球心在上設(shè)半徑為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的體積，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.13、①②④【解析】用正方體ABCD-A1B1C1D1實(shí)例說明A1D1與BC1在平面ABCD上的投影互相平行，AB1與BC1在平面ABCD上的投影互相垂直，BC1與DD1在平面ABCD上的投影是一條直線及其外一點(diǎn)．故①②④正確．14、【解析】

根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列出等式，求出，再利用二倍角公式、平方關(guān)系即可求出．【詳解】由得，，解得，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示以及二倍角公式、平方關(guān)系的應(yīng)用．15、.【解析】

從到時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是，化簡(jiǎn)即可得出．【詳解】假設(shè)時(shí)命題成立，則，當(dāng)時(shí)，從到時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．16、【解析】

將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)為，求出其單調(diào)增區(qū)間再結(jié)合，可得結(jié)論.【詳解】解：，遞增區(qū)間為：，可得，在范圍內(nèi)單調(diào)遞增區(qū)間為。故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）x>，是減函數(shù).【解析】

（1）畫出圖形，分別求出四棱錐的高，及側(cè)面的高的表達(dá)式，即可求出表面積與體積的表達(dá)式；（2）結(jié)合表達(dá)式，可求出的范圍，即定義域，然后判斷其為減函數(shù).【詳解】（1）過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)闉檎睦忮F，所以，，，，所以四棱錐的表面積為，體積.（2），解得，是減函數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了表面積與體積的計(jì)算，考查了學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）討論點(diǎn)的位置，根據(jù)直線的方程，直線的方程分別與直線方程聯(lián)立，得出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出圓心坐標(biāo)以及半徑，即可得出該圓的方程；（2）討論點(diǎn)的位置，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系得出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出圓心坐標(biāo)以及半徑，再由圓的弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)即可證明.【詳解】（1）由圓的方程可知，①當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，如下圖所示當(dāng)時(shí)，，所以直線的方程為由，解得直線的方程為由，解得則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以以為直徑的圓的方程為②當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，如下圖所示當(dāng)時(shí)，，所以直線的方程為由，解得直線的方程為由，解得則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以以為直徑的圓的方程為綜上，以為直徑的圓的方程為（2）①當(dāng)點(diǎn)在圓上半圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，取直線交軸于點(diǎn)，如下圖所示設(shè)，則則以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑所以以為直徑的圓截軸所得弦長(zhǎng)為②當(dāng)點(diǎn)在圓下半圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，取直線交軸于點(diǎn)，如下圖所示設(shè)，則則以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑所以以為直徑的圓截軸所得弦長(zhǎng)為綜上，以為直徑的圓截軸所得弦長(zhǎng)為定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求圓的方程以及圓的弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）由題目中告訴的，利用正弦定理則可得到，再結(jié)合余弦定理公式求出角的值．（2）根據(jù)第一問求得的的值和題目中告訴的角的值可求得角的值，再利用正弦定理可求得邊和的值．【詳解】(1)由正弦定理，得，由余弦定理，得，又所以．(2)由（1）知：,又所以，又，根據(jù)正弦定理，得，，所以【點(diǎn)睛】本題考查利用正余弦定理求解邊與角．20、(1)，，．（2）.【解析】

(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式，二倍角公式，輔助角公式把化為的形式，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解；(2)先根據(jù)變換關(guān)系得到函數(shù)解析式，所得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則時(shí)，.【詳解】(1)當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，然后再向右平移()個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)為，若圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則，即，解得，又，則當(dāng)時(shí)，有最小值.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像的變換.關(guān)鍵在于化為的形式，三角函數(shù)的