人教版高中數學必修一《函數的概念》導學學案

§1.2.1函數的概念

一、教學目標：

1、從初中函數概念為背景出發(fā)，運用集合思想，結合具體特征實例，規(guī)范函數的概念；

2、明確函數概念及組成函數的三要素：定義域、值域、對應關系；

3、會求函數的函數值及一些簡單函數或簡單組合函數的定義域。

二、重難點：

1、重點：函數概念的形成；

2、難點：對函數概念的再理解及符號“y=f(x)”的含義。

三、情感能力培養(yǎng)目標：

通過對函數概念的學習，使學生經歷一個從“一般到特殊”的過程，通過類比，建立一個系

統(tǒng)完整的函數概念。

四、教學方法：啟發(fā)式教學；對比式教學；并運用多媒體手段輔助。

五、教學過程：

(一)、復習回顧：

1、認識幾個函數：y=kx;y=-;y=x2+2x=3,了解這幾個函數成立的自變量x的取值

x

范圍，并簡要說明什么函數？(回顧初中對函數的定義)

2、關注幾個實例：閱讀課本引例，體會函數是描述客觀事物變化規(guī)律的數學模型的思想：

(1)炮彈的射高與時間的變化關系問題；

(2)南極臭氧空洞面積與時間的變化關系問題；

(3)“八五”計劃以來我國城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數與時間的變化關系問題

備用實例：

我國2003年4月份非典疫情統(tǒng)計：

日期222324252627282930

新增確診病例數1061058910311312698152101

思考:上述三個實例和一個備用實例它們的變量之間存在怎樣的關系？該關系是否具有共同

點？

上述關系都可以描述為：對于數集A中的每一個x,按照某種對應關系了,在數集6中都

有唯一確定的y和它對應。——這就是函數。

(二)、新課內容：§121函數的概念

1、定義：一般地，設A,8是非空數集，如果按照某種確定的對應關系f,使對于集合A中

的任意一個數X,在集合8中都有唯一確定的數/(%)和它對應，那么就稱了:Af3為從

集合A到集合8的一個函數，記作y=R。其中x叫做自變量，工的取值范圍叫

做函數的定義域，即為4。與x的值相對應的y的值叫做函數值，函數值的集合

{/(x)|九eA}叫做函數的值域，顯然，值域是集合6的子集。

注意：

①“y=f3”是函數符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

②函數符號“y=/(x)”中的/(x)表示與x對應的函數值，一個數，而不是/乘了.

思考：通過對函數的上述定義，你認為：

(1)、要構成一個函數，需要有一些怎樣的條件？

(2)、如何理解值域是集合5的子集？

2、函數三要素：定義域、值域、對應關系

例1、觀察下列關系式，哪些是函數？說明理由。

(1)、y=x+2

(2)、y=+x

例2、確定下列函數的定義域、值域

(1)、y=2x+3

(2)、y—4c-G—3

3、區(qū)間的表示：

定義:設。，。是兩個實數，且。<匕，規(guī)定：

(1)、滿足不等式匕的實數x的集合叫做閉區(qū)間，記作[a,>]={x|aWxW〃}；

(2)、滿足不等式a<x<Z>的實數x的集合叫做開區(qū)間，記作(a,>)={x|a<x<3}；

(3)、滿足不等式或的實數x的集合叫做半開半閉區(qū)間，記作

(。,勿={X|a<x<》}或[a,>)={X|aWx<3}；

說明：7?=(-co,+oo)；|x|x>?}=[a,+oo)；[x\x<b]=(-oo,Z?)

例3、已知函數于(x)=Jx+3

(1)、求函數的定義域A；

2

(2)、求/(一3)"(§)的值；

(3)、當a>0時,求/(a),/(a-1)的值

說明：定義域、值域要寫出集合或區(qū)間的形式；

例4、求下列函數的定義域

2

(1)、y=----

x+2

(2)、y=Jx+3

(3)y=Jx+3H——--

x+2

⑷、

x+2

說明：如果只給出解析式y(tǒng)=/(x),而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使

這個式子有意義的實數的集合。

思考：函數是由定義域、對應關系和值域確定的，那么當定義域與對應關系確定時，值域唯

一嗎？同樣，當值域和對應關系確定時，定義域唯一嗎？

得出結論：當定義域和對應關系確定時，函數唯一。

由此可判斷兩個函數是否相同。

例5、下列函數中哪個與y=x相同

(1)、y=(Vx)2(2)、y=(3)、y=(4)、y=—

x

練習：書本第19頁1、2、3

小結：(1)、函數的概念及函數概念的建立所經歷的“由一般到特殊”的過程；

(2)、函數表達式y(tǒng)=/(x)的理解及函數三要素；

(3)、區(qū)間的表示；

(4)、使兩個函數相同的條件表示。

作業(yè)：課本P28習題L2(A組)第1—7題(B組)第1題

函數的概念

一、教學目標

知識與技能：

函數是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數學模型.高中階段不僅把函數看成變量之間

的依賴關系，同時還用集合與對應的語言刻畫函數，高中階段更注重函數模型化的思想與意

識.

2、過程與方法：

(1)通過實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，在此基礎上

學習用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；

(2)了解構成函數的要素；

(3)會求一些簡單函數的定義域和值域；

(4)能夠正確使用“區(qū)間”的符號表示某些函數的定義域；

3、情態(tài)與價值，使學生感受到學習函數的必要性的重要性，激發(fā)學習的積極性。

二、教學重點與難點：

重點：理解函數的模型化思想，用集合與對應的語言來刻畫函數；

難點：符號"y=f(x)”的含義，函數定義域和值域的區(qū)間表示；

三、學法與教學用具

1、學法：學生通過自學、思考、交流、討論和概括，從而更好地完成本節(jié)課的教學目標.

2、教學用具：投影儀.

四、教學思路

(-)創(chuàng)設情景，揭示課題

1、復習初中所學函數的概念，強調函數的模型化思想；

2、閱讀課本引例，體會函數是描述客觀事物變化規(guī)律的數學模型的思想：

(1)炮彈的射高與時間的變化關系問題；

(2)南極臭氧空洞面積與時間的變化關系問題；

(3)“八五”計劃以來我國城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數與時間的變化關系問題

3、分析、歸納以上三個實例，它們有什么共同點。

4、引導學生應用集合與對應的語言描述各個實例中兩個變量間的依賴關系；

5、根據初中所學函數的概念，判斷各個實例中的兩個變量間的關系是否是函數關系.

(二)研探新知

1、函數的有關概念

(1)函數的概念：

設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數x,

在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A-B為從集合A到集合B的一

個函數(function).

記作：y=f(x),xGA.

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域(domain)；與x的值相對應的y

值叫做函數值，函數值的集合｛f(x)|xGA｝叫做函數的值域(range).

注意：

①"y=f(x)”是函數符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

②函數符號"y=f(x)”中的f(x)表示與x對應的函數值，一個數，而不是f乘x.

(2)構成函數的三要素是什么？

定義域、對應關系和值域

(3)區(qū)間的概念

①區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；

②無窮區(qū)間；

③區(qū)間的數軸表示.

(4)初中學過哪些函數？它們的定義域、值域、對應法則分別是什么？

通過三個已知的函數：y=ax+b(aWO)

y=ax2+bx+c(a#O)

k

y=%(k*O)

比較描述性定義和集合，與對應語言刻畫的定義，談談體會。

師：歸納總結

(三)質疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維。

1、如何求函數的定義域

1

例1：已知函數f(x)=VX+3+X+2

(1)求函數的定義域；

2

(2)求f(—3),f(3)的值；

(3)當a>0時，求f(a),f(a—l)的值.

分析：函數的定義域通常由問題的實際背景確定，如前所述的三個實例.如果只給出解析式

y=f(x),而沒有指明它的定義域，那么函數的定義域就是指能使這個式子有意義的實數的集

合，函數的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.

解：略

例2、設一個矩形周長為80,其中一邊長為x,求它的面積關于x的函數的解析式，并寫出

定義域.

80—2%

分析：由題意知，另一邊長為2,且邊長為正數，所以0<x<40.

-80---2%-x

所以s=2=(40—x)x(0<x<40)

引導學生小結幾類函數的定義域：

(1)如果f(x)是整式，那么函數的定義域是實數集R.

(2)如果f(x)是分式，那么函數的定義域是使分母不等于零的實數的集合.

(3)如果f(x)是二次根式，那么函數的定義域是使根號內的式子大于或等于零的實數的集

合.

(4)如果f(x)是由幾個部分的數學式子構成的，那么函數定義域是使各部分式子都有意義

的實數集合.(即求各集合的交集)

(5)滿足實際問題有意義.

鞏固練習：課本P22第1

2、如何判斷兩個函數是否為同一函數

例3、下列函數中哪個與函數y=x相等？

(1)y=(?)2;

y=()；

x2

(3)y=";

(4)y=x

分析：

①構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系決定的,

所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等(或為同一函數)

②兩個函數相等當且僅當它