新九年級(jí)數(shù)學(xué)時(shí)期講義第5講二次函數(shù)(三)-提高班(學(xué)生版+解析)

第5講二次函數(shù)（三）利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實(shí)際問題時(shí)要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義.

利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟是：

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；

(2)把實(shí)際問題中的一些數(shù)據(jù)與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來；

(3)用待定系數(shù)法求出拋物線的關(guān)系式；

(4)利用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問題、解決問題.要點(diǎn)詮釋：常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實(shí)際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.

1.列二次函數(shù)關(guān)系【例題精選】例1(2023?蕪湖縣二模）共享單車為市民出行帶來了方便，某單車公司第一個(gè)月投放a輛單車，計(jì)劃第三個(gè)月投放單車y輛，設(shè)該公司第二、三兩個(gè)月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是（）A．y＝a（1+x）2 B．y＝a（1﹣x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝x2+a例2(2023秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）用一根長60cm的鐵絲圍成一個(gè)矩形，那么矩形的面積y（cm2）與它的一邊長x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝x2﹣30x（0＜x＜30） B．y＝﹣x2+30x（0≤x＜30） C．y＝﹣x2+30x（0＜x＜30） D．y＝﹣x2+30x（0＜x≤30）【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?江漢區(qū)校級(jí)月考）把一根長為50cm的鐵絲彎成一個(gè)長方形，設(shè)這個(gè)長方形的一邊長為x（cm），它的面積為y（cm2），則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝x2﹣50x C．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣2x2+252．(2023秋?金安區(qū)校級(jí)月考）據(jù)權(quán)威部門發(fā)布的消息，2019年第一季度安徽省城鎮(zhèn)居民人均可支配收入約為0.75萬元，若第三季度安徽省城鎮(zhèn)居民人均可支配收人為y萬元，平均每個(gè)季度城鎮(zhèn)居民人均可支配收入增長的百分率為x，則y與x之間的函數(shù)表達(dá)式是________________________．2．實(shí)際問題【例題精選】例1(2023秋?同安區(qū)校級(jí)期中）龍眼是同安的特產(chǎn)，遠(yuǎn)銷國內(nèi)外．現(xiàn)有一個(gè)龍眼銷售點(diǎn)在經(jīng)銷時(shí)發(fā)現(xiàn)：如果每箱龍眼盈利10元，每天可售出50箱．若每箱龍眼漲價(jià)1元，日銷售量將減少2箱．若該銷售點(diǎn)單純從經(jīng)濟(jì)角度考慮，每箱龍眼應(yīng)漲價(jià)多少元才能獲利最高？例2(2023秋?博山區(qū)期中）如圖，從某建筑物10m高的窗口A處用水管向外噴水，噴出的水成拋物線狀（拋物線所在平面與墻面垂直）．如果拋物線的最高點(diǎn)M離墻1m，離地面m，則水流落地點(diǎn)B離墻的距離OB是（）A．2m B．3m C．4m D．5m【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?衡水期中）一學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)的高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系為y＝﹣x2+x+，則學(xué)生推鉛球的距離為（）A． B．3m C．10m D．12m2．(2023秋?大通縣校級(jí)期中）鉛球行進(jìn)高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系為y＝﹣x2+x+，鉛球推出后最大高度是______m，鉛球落地時(shí)的水平距離是_______m．3．(2023春?雨花區(qū)期末）飛行中的炮彈經(jīng)x秒后的高度為y米，且高度與時(shí)間的關(guān)系為y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮彈在第7秒與第13秒時(shí)的高度相等，則炮彈在最高處的時(shí)間是第_______秒．4．(2023?南關(guān)區(qū)二模）如圖，有一個(gè)橫截面邊緣為拋物線的水泥門洞，門洞內(nèi)的地面寬度為8m，兩側(cè)距地面4m高處各有一盞燈，兩燈間的水平距離為6m，則這個(gè)門洞的高度為________m．（精確到0.1m）3．二次函數(shù)與幾何綜合【例題精選】例1(2023秋?麻城市期末）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4）．點(diǎn)D為拋物線上一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若△BCD是銳角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)n的取值范圍________________或____________．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?薛城區(qū)期末）如圖，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，3），B（﹣1，0），請(qǐng)解答下列問題：（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，連接BD，求BD的長；（3）點(diǎn)F在拋物線上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)F，使△BFC的面積為6，如果存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．2．(2023?嘉興模擬）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長．②連接PB，PC，求△PBC的面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與BC交于點(diǎn)E，點(diǎn)M是拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，N為y軸上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以點(diǎn)C、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．綜合練習(xí)一．選擇題（共3小題）1．將進(jìn)貨單價(jià)為70元的某種商品按零售價(jià)100元一個(gè)售出時(shí)，每天能賣出20個(gè)．若這種商品的零售價(jià)在一定范圍內(nèi)每降價(jià)1元，其日銷售量就增加1個(gè)，則能獲取的最大利潤是（）A．600元 B．625元 C．650元 D．675元2．汽車剎車后行駛的距離s（單位：米）關(guān)于行駛的時(shí)間t（單位：秒）的函數(shù)解析式為s＝﹣6t2+bt（b為常數(shù)）．已知t＝時(shí)，s＝6，則汽車剎車后行駛的最大距離為（）A．米 B．8米 C．米 D．10米3．超市有一種“喜之郎“果凍禮盒，內(nèi)裝兩個(gè)上下倒置的果凍，果凍高為4cm，底面是個(gè)直徑為6cm的圓，軸截面可以近似地看作一個(gè)拋物線，為了節(jié)省成本，包裝應(yīng)盡可能的小，這個(gè)包裝盒的長AD（不計(jì)重合部分，兩個(gè)果凍之間沒有擠壓）至少為（）A．（6+3）cm B．（6+2）cm C．（6+2）cm D．（6+3）cm二．解答題（共5小題）4．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，拋物線交x軸于A、C兩點(diǎn)，與直線y＝x﹣1交于A、B兩點(diǎn)，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解板式．（2）點(diǎn)P在直線AB上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，若△ABP的面積最大，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)B、E、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出符合條件點(diǎn)D的坐標(biāo)．5．某商場試銷一種成本為60元/件的T恤，規(guī)定試銷期間單價(jià)不低于成本單價(jià)，又獲利不得高于40%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y（件）不銷售單價(jià)x（元/件）符合一次函數(shù)y＝kx+b，且x＝70時(shí)，y＝50；x＝80時(shí)，y＝40；（1）寫出銷售單價(jià)x的取值范圍；（2）求出一次函數(shù)y＝kx+b的解析式；（3）若該商場獲得利潤為w元，試寫出利潤w與銷售單價(jià)x之間的關(guān)系式，銷售單價(jià)定為多少時(shí)，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少？6．某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于45%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)：銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）符合一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0），且當(dāng)x＝65時(shí)，y＝55；當(dāng)x＝70時(shí)，y＝50．（1）求y與x之間的解析式；（2）若該商場獲得利潤為w元，寫出利潤w與銷售單價(jià)x之間的關(guān)系式，并求出利潤是500元時(shí)的銷售單價(jià)；（3）銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？7．公司銷售一種進(jìn)價(jià)為20元/個(gè)的計(jì)算器，銷售過程中的其他開支（不含造價(jià)）總計(jì)40萬元，其銷售量y（萬個(gè)）與銷售價(jià)格x（元/個(gè)）的變化如下表：（1）求出當(dāng)銷售量等于2.5萬個(gè)時(shí)，銷售價(jià)格等于多少？（2）求出該公司銷售這種計(jì)算器的凈得利潤z（萬元）與銷售價(jià)格x（元/個(gè)）的函數(shù)解析式；（3）銷售價(jià)格應(yīng)定為多少元時(shí)，獲得利潤最大，最大利潤是多少？銷售價(jià)格x（元/個(gè)）銷售量y（萬元）30≤x≤60﹣x+860≤x≤808．如圖隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長是12m，寬是4m．按照?qǐng)D中所示的直角坐標(biāo)系，拋物線可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且拋物線上的點(diǎn)C到OB的水平距離為3m，到地面OA的距離為m．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算出拱頂D到地面OA的距離；（2）一輛貨運(yùn)汽車載一長方體集裝箱后高為6m，寬為4m，如果隧道內(nèi)設(shè)雙向車道，那么這輛貨車能否安全通過？第5講二次函數(shù)（三）利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實(shí)際問題時(shí)要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義.

利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟是：

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；

(2)把實(shí)際問題中的一些數(shù)據(jù)與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來；

(3)用待定系數(shù)法求出拋物線的關(guān)系式；

(4)利用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問題、解決問題.要點(diǎn)詮釋：常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實(shí)際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.

1.列二次函數(shù)關(guān)系【例題精選】例1(2023?蕪湖縣二模）共享單車為市民出行帶來了方便，某單車公司第一個(gè)月投放a輛單車，計(jì)劃第三個(gè)月投放單車y輛，設(shè)該公司第二、三兩個(gè)月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是（）A．y＝a（1+x）2 B．y＝a（1﹣x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝x2+a分析：主要考查增長率問題，一般用增長后的量＝增長前的量×（1+增長率），如果設(shè)該公司第二、三兩個(gè)月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，然后根據(jù)已知條件可得出方程．【解答】解：設(shè)該公司第二、三兩個(gè)月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，依題意得第三個(gè)月第三個(gè)月投放單車a（1+x）2輛，則y＝a（1+x）2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，求平均變化率的方法為：若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2＝b．例2(2023秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）用一根長60cm的鐵絲圍成一個(gè)矩形，那么矩形的面積y（cm2）與它的一邊長x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝x2﹣30x（0＜x＜30） B．y＝﹣x2+30x（0≤x＜30） C．y＝﹣x2+30x（0＜x＜30） D．y＝﹣x2+30x（0＜x≤30）分析：由矩形另一邊長為周長的一半減去已知邊長求得另一邊的長，進(jìn)一步根據(jù)矩形的面積等于相鄰兩邊長的積列出關(guān)系式即可．【解答】解：由題意得：矩形的另一邊長＝60÷2﹣x＝30﹣x，矩形的面積y（cm2）與它的一邊長x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝x（30﹣x）＝﹣x2+30x（0＜x＜30）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式；掌握矩形的邊長與所給周長與另一邊長的關(guān)系是解決本題的突破點(diǎn)．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?江漢區(qū)校級(jí)月考）把一根長為50cm的鐵絲彎成一個(gè)長方形，設(shè)這個(gè)長方形的一邊長為x（cm），它的面積為y（cm2），則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝x2﹣50x C．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣2x2+25【解答】解：設(shè)這個(gè)長方形的一邊長為xcm，則另一邊長為（25﹣x）cm，以面積y＝x（25﹣x）＝﹣x2+25x．故選：C．2．(2023秋?金安區(qū)校級(jí)月考）據(jù)權(quán)威部門發(fā)布的消息，2019年第一季度安徽省城鎮(zhèn)居民人均可支配收入約為0.75萬元，若第三季度安徽省城鎮(zhèn)居民人均可支配收人為y萬元，平均每個(gè)季度城鎮(zhèn)居民人均可支配收入增長的百分率為x，則y與x之間的函數(shù)表達(dá)式是________________________．【解答】解：平均每個(gè)季度城鎮(zhèn)居民人均可支配收入增長的百分率為x，根據(jù)題意可得：y與x之間的函數(shù)關(guān)系為：y＝0.75（1+x）2．故答案為：y＝0.75（1+x）2．2．實(shí)際問題【例題精選】例1(2023秋?同安區(qū)校級(jí)期中）龍眼是同安的特產(chǎn)，遠(yuǎn)銷國內(nèi)外．現(xiàn)有一個(gè)龍眼銷售點(diǎn)在經(jīng)銷時(shí)發(fā)現(xiàn)：如果每箱龍眼盈利10元，每天可售出50箱．若每箱龍眼漲價(jià)1元，日銷售量將減少2箱．若該銷售點(diǎn)單純從經(jīng)濟(jì)角度考慮，每箱龍眼應(yīng)漲價(jià)多少元才能獲利最高？分析：直接利用每件利潤×銷量＝總利潤，進(jìn)而得出關(guān)系式求出答案．【解答】解：設(shè)每箱龍眼應(yīng)漲價(jià)x元，總利潤為y，根據(jù)題意可得：y＝（10+x）（50﹣2x）＝﹣2x2+30x+500＝﹣2（x﹣）2+612.5，答：每箱龍眼應(yīng)漲價(jià)元才能獲利最高．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確得出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．例2(2023秋?博山區(qū)期中）如圖，從某建筑物10m高的窗口A處用水管向外噴水，噴出的水成拋物線狀（拋物線所在平面與墻面垂直）．如果拋物線的最高點(diǎn)M離墻1m，離地面m，則水流落地點(diǎn)B離墻的距離OB是（）A．2m B．3m C．4m D．5m分析：由題意可以知道M（1，），A（0，10）用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式，當(dāng)y＝0時(shí)就可以求出x的值，這樣就可以求出OB的值．【解答】解：設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+，由題意，得10＝a+，a＝﹣．∴拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣1）2+．當(dāng)y＝0時(shí)，0＝﹣（x﹣1）2+，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝3．OB＝3m．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的運(yùn)用，運(yùn)用拋物線的解析式解決實(shí)際問題．解答本題是時(shí)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式求解析式是關(guān)鍵．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?衡水期中）一學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)的高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系為y＝﹣x2+x+，則學(xué)生推鉛球的距離為（）A． B．3m C．10m D．12m【解答】解：令函數(shù)式y(tǒng)＝﹣x2+x+中，y＝0，即﹣x2+x+＝0，解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），即鉛球推出的距離是10m．故選：C．2．(2023秋?大通縣校級(jí)期中）鉛球行進(jìn)高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系為y＝﹣x2+x+，鉛球推出后最大高度是______m，鉛球落地時(shí)的水平距離是_______m．【解答】解：∵y＝﹣x2+x+，∴y＝﹣（x﹣4）2+3因?yàn)椹仯?所以當(dāng)x＝4時(shí)，y有最大值為3．所以鉛球推出后最大高度是3m．令y＝0，即0＝﹣（x﹣4）2+3解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去）所以鉛球落地時(shí)的水平距離是10m．故答案為3、10．3．(2023春?雨花區(qū)期末）飛行中的炮彈經(jīng)x秒后的高度為y米，且高度與時(shí)間的關(guān)系為y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮彈在第7秒與第13秒時(shí)的高度相等，則炮彈在最高處的時(shí)間是第_______秒．【解答】解：∵高度與時(shí)間的關(guān)系為y＝ax2+bx+c（a≠0），此炮彈在第7秒與第13秒時(shí)的高度相等，∴炮彈在最高處的時(shí)間是第＝10（秒），故答案為：10．4．(2023?南關(guān)區(qū)二模）如圖，有一個(gè)橫截面邊緣為拋物線的水泥門洞，門洞內(nèi)的地面寬度為8m，兩側(cè)距地面4m高處各有一盞燈，兩燈間的水平距離為6m，則這個(gè)門洞的高度為________m．（精確到0.1m）【解答】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．由題意可知各點(diǎn)的坐標(biāo)，A（﹣4，0），B（4，0），D（﹣3，4）．設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax2+c（a≠0），把B（4，0），D（﹣3，4）代入，得，解得，∴該拋物線的解析式為：y＝﹣x2+，則C（0，）．∵m≈9.1m．故答案為：9.1．3．二次函數(shù)與幾何綜合【例題精選】例1(2023秋?麻城市期末）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4）．點(diǎn)D為拋物線上一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若△BCD是銳角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)n的取值范圍________________或____________．分析：（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；（2）設(shè)D點(diǎn)板坐標(biāo)為3，代入函數(shù)解析式可得縱坐標(biāo)，分別論∠BCD＝90°，∠CBD＝90°的情況，作出圖形進(jìn)行求解；（3）當(dāng)BC為斜邊構(gòu)成Rt△BCD時(shí)，以BC中點(diǎn)O為圓心，以BC直徑畫圓，與拋物線交于D和D'，此時(shí)△BCD和△BCD'就是以BC為斜邊的直角三角形，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出方程求解，然后結(jié)合（2）找到m的取值范圍．【解答】解：（1）把B（4，0），C（0，4）代入y＝x2+bx+c，得，解得，則拋物線的解析式為y＝x2﹣5x+4．由于y＝x2﹣5x+4＝（x﹣1）（x﹣4）．所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0）；（2）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為a，則坐標(biāo)為a2﹣5a+4①當(dāng)∠BCD＝90°時(shí)，如下圖所示，連結(jié)BC，過C點(diǎn)作CD⊥BC與拋物交于點(diǎn)D，過D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，由B、C坐標(biāo)可知，OB＝OC＝4∴△OBC為等要真角三角形，∴∠OCB＝∠OBC＝45°又∵∠BCD＝90°，∴∠ECD+∠OCB＝90°∴∠ECD＝45°，∴△CDE為等要真角三角形，∴DE＝CE＝a∴OE＝OC+CE＝a+4由D、E織坐標(biāo)相等，可得a2﹣5a+4＝a+4解得a1＝6，a2＝0，當(dāng)a＝0時(shí)，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），與C重含，不符含思意，舍去當(dāng)a＝6時(shí)，D點(diǎn)坐標(biāo)為（6，10）②當(dāng)∠CBD＝90°時(shí)，如下圖所示，連按BC，過B點(diǎn)作BD⊥BC與拋物線交于點(diǎn)D，過B作FG⊥x軸，再過C作CF⊥FG于F，過D作DG⊥FG于G∠COB＝∠OBF＝∠BFC＝90°，四邊形OBFC為形，又∵OC＝OB，∴四邊形OBFC為正方形，∠CBF＝45°∠CBD＝90°，∴∠CBF+∠DBG＝90°∴∠DBG＝45°，∴△DBG為等腰直角三角形，∴DG＝BGD點(diǎn)橫坐標(biāo)為a∴DG＝4﹣a而BG＝﹣（a2﹣5a+4）∴﹣（a2﹣5a+4）＝4﹣a解得a1＝2，a2＝4當(dāng)a＝4時(shí)，D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），與B重含，不符含題意，舍去當(dāng)a＝2時(shí)，D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣2）上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為（6，10）或（2，﹣2）；（3）當(dāng)BC為斜邊構(gòu)成Rt△BCD時(shí)，如下圖所示，以BC中點(diǎn)O'為圓心，以BC為直徑畫圓，與物線交于D和D’BC為O'的直徑∠BDC＝∠BD'C＝90°∵BC＝＝4．∴D到O'的距離為O'的半徑r＝BC＝2．D點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，縱坐標(biāo)為m2﹣5m+4，O'坐標(biāo)為（2，2），∴DO′＝．由圖象易得m＝0或4為方程的解，則方程方邊必有因式m（m一4）．采用因式分解法進(jìn)行降次解方程：m（m﹣4）（m2﹣6m+6）＝0．m＝0或m﹣4＝0或m2﹣6m+6＝0，解得m1＝0，m2＝4，m3＝3+，m4＝3﹣．當(dāng)m＝0時(shí)，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），與C點(diǎn)重合，舍去；當(dāng)m＝4時(shí)，D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），與B點(diǎn)重合，舍去；當(dāng)m＝3+時(shí)，D點(diǎn)橫坐標(biāo)3+．當(dāng)m＝3﹣時(shí)，D點(diǎn)橫坐標(biāo)為3﹣結(jié)合（2）中△BCD形成直角三角形的情況，可得△BCD為銳角三角形時(shí)，D點(diǎn)橫坐標(biāo)m的取值范圍為3+＜m＜6或3﹣＜m＜2．故答案是：3+＜m＜6或3﹣＜m＜2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；會(huì)利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想和數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?薛城區(qū)期末）如圖，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，3），B（﹣1，0），請(qǐng)解答下列問題：（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，連接BD，求BD的長；（3）點(diǎn)F在拋物線上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)F，使△BFC的面積為6，如果存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，3），B（﹣1，0），則c＝3，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：b＝2，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；（2）函數(shù)的對(duì)稱軸為：x＝1，則點(diǎn)D（1，4），則BE＝2，DE＝4，BD＝＝2；（3）存在，理由：△BFC的面積＝×BC×|yF|＝2|yF|＝6，解得：yF＝±3，故：﹣x2+2x+3＝±3，解得：x＝0或2或1，故點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（0，3）或（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）；2．(2023?嘉興模擬）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長．②連接PB，PC，求△PBC的面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與BC交于點(diǎn)E，點(diǎn)M是拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，N為y軸上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以點(diǎn)C、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，∴，解得，∴拋物線解析式為y＝x2﹣4x+3；（2）如圖：①設(shè)P（m，m2﹣4m+3），將點(diǎn)B（3，0）、C（0，3）代入得直線BC解析式為yBC＝﹣x+3．∵過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)D，∴D（m，﹣m+3），∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．答：用含m的代數(shù)式表示線段PD的長為﹣m2+3m．②S△PBC＝S△CPD+S△BPD＝OB?PD＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+．∴當(dāng)m＝時(shí)，S有最大值．當(dāng)m＝時(shí)，m2﹣4m+3＝﹣．∴P（，﹣）．答：△PBC的面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）．（3）存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以點(diǎn)C、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．根據(jù)題意，點(diǎn)E（2，1），∴EF＝CF＝2，∴EC＝2，根據(jù)菱形的四條邊相等，∴ME＝EC＝2，∴M（2，1﹣2）或（2，1+2）當(dāng)EM＝EF＝2時(shí)，M（2，3）答：點(diǎn)M的坐標(biāo)為M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．綜合練習(xí)一．選擇題（共3小題）1．將進(jìn)貨單價(jià)為70元的某種商品按零售價(jià)100元一個(gè)售出時(shí)，每天能賣出20個(gè)．若這種商品的零售價(jià)在一定范圍內(nèi)每降價(jià)1元，其日銷售量就增加1個(gè)，則能獲取的最大利潤是（）A．600元 B．625元 C．650元 D．675元【解答】解：設(shè)降價(jià)x元，所獲得的利潤為W元，則W＝（20+x）（100﹣x﹣70）＝﹣x2+10x+600＝﹣（x﹣5）2+625，∵﹣1＜0∴當(dāng)x＝5元時(shí)，二次函數(shù)有最大值W＝625．∴獲得的最大利潤為625元．故選：B．2．汽車剎車后行駛的距離s（單位：米）關(guān)于行駛的時(shí)間t（單位：秒）的函數(shù)解析式為s＝﹣6t2+bt（b為常數(shù)）．已知t＝時(shí)，s＝6，則汽車剎車后行駛的最大距離為（）A．米 B．8米 C．米 D．10米【解答】解：把t＝，s＝6代入s＝﹣6t2+bt得，6＝﹣6×+b×，解得，b＝15∴函數(shù)解析式為s＝﹣6t2+15t＝﹣6（t﹣）2+，∴當(dāng)t＝時(shí)，s取得最大值，此時(shí)s＝，故選：C．3．超市有一種“喜之郎“果凍禮盒，內(nèi)裝兩個(gè)上下倒置的果凍，果凍高為4cm，底面是個(gè)直徑為6cm的圓，軸截面可以近似地看作一個(gè)拋物線，為了節(jié)省成本，包裝應(yīng)盡可能的小，這個(gè)包裝盒的長AD（不計(jì)重合部分，兩個(gè)果凍之間沒有擠壓）至少為（）A．（6+3）cm B．（6+2）cm C．（6+2）cm D．（6+3）cm【解答】解：設(shè)左側(cè)拋物線的方程為：y＝ax2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，4），將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式并解得：a＝，則拋物線的表達(dá)式為：y＝x2，由題意得：點(diǎn)MG是矩形HFEO的中線，則點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為2，將y＝2代入拋物線表達(dá)式得：2＝x2，解得：x＝（負(fù)值已舍去），則AD＝2AH+2x＝6+3，故選：A．二．解答題（共5小題）4．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，拋物線交x軸于A、C兩點(diǎn)，與直線y＝x﹣1交于A、B兩點(diǎn)，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解板式．（2）點(diǎn)P在直線AB上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，若△ABP的面積最大，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)B、E、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出符合條件點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解答】解：（1）令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，∴點(diǎn)A（1，0），∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即點(diǎn)C（﹣3，0），∴，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵點(diǎn)P在直線AB上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，∴設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2﹣2m+3），∵拋物線與直線y＝x﹣1交于A、B兩點(diǎn)，∴，解得：，，∴點(diǎn)B（﹣4，﹣5），如圖，過點(diǎn)P作PM∥y軸交直線AB于點(diǎn)M，則點(diǎn)M（m，m﹣1），∴PM＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，∴S△ABP＝S△PBM+S△PBA＝（﹣m2﹣3m+4）（m+4）+（﹣m2﹣3m+4）（1﹣m）＝，∴當(dāng)m＝時(shí)，P最大，∴點(diǎn)P（，）；（3）當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣1﹣1＝﹣2，∴點(diǎn)E（﹣1，﹣2），如圖，直線BC的解析式為y＝5x+15，直線BE的解析式為y＝x﹣1，直線CE的解析式為y＝﹣x﹣3，∵以點(diǎn)B、C、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴直線D1D3的解析式為y＝5x+3，直線D1D2的解析式為y＝x+3，直線D2D3的解析式為y＝﹣x﹣9，聯(lián)立得D1（0，3），同理可得D2（﹣6，﹣3），D3（﹣2，﹣7），綜上所述，符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為D1（0，3），D2（﹣6，﹣3），D3（﹣2，﹣7）．5．某商場試銷一種成本為60元/件的T恤，規(guī)定試銷期間單價(jià)不低于成本單價(jià)，又獲利不得高于40%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y（件）不銷售單價(jià)x（元/件）符合一次函數(shù)y＝kx+b，且x＝70時(shí)，y＝50；x＝80時(shí)，y＝40；（1）寫出銷售單價(jià)x的取值范圍；（2）求出一次函數(shù)y＝kx+b的解析式；（3）若該商場獲得利潤為w元，試寫出利潤w與銷售單價(jià)x之間的關(guān)系式，銷售單價(jià)定為多少時(shí)，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少？【解答】解：（1）根據(jù)題意得，60≤x≤60×（1+40%），即60≤x≤84；（2）由題意得：，∴．∴一次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x+120；（3）w＝（x﹣60）（﹣x+120）＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900，∵拋物線開口向下，∴當(dāng)x＜90時(shí)，w隨x的增大而增大，而60≤x≤84，∴當(dāng)x＝84時(shí)，w＝（84﹣60）×（120﹣84）＝864．答：當(dāng)銷售價(jià)定為84元/件時(shí)，商場可以獲得最大利潤，最大利潤是864元．6．某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于45%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)：銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）符合一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0），且當(dāng)x＝65時(shí)，y＝55；當(dāng)x＝70時(shí)，y＝50．（1