隨機(jī)變量及其分布單元測(cè)試-2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

第七章隨機(jī)變量及其分布（單元測(cè)試）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.氣象資料表明，某地區(qū)每年七月份刮臺(tái)風(fēng)的概率為eq\f(3,5)，在刮臺(tái)風(fēng)的條件下，下大雨的概率為eq\f(9,10)，則該地區(qū)七月份既刮臺(tái)風(fēng)又下大雨的概率為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(27,50)C.eq\f(9,10)D.eq\f(3,10)2.甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總量的25%,35%,40%，次品率分別為5%,4%,2%.從這批產(chǎn)品中任取一件，則它是次品的概率為()A.0.0123B.0.0234C.0.0345D.0.04563.設(shè)隨機(jī)變量X的分布如下表，則P(|X－3|＝1)＝()X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)A.eq\f(7,12)B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)4.船隊(duì)若出海后天氣好，可獲利5000元；若出海后天氣壞，將損失2000元；若不出海也要損失1000元．根據(jù)預(yù)測(cè)知天氣好的概率為0.6，則出海效益的均值是()A.2000元B.2200元C.2400元D.2600元5.某市公租房的房源位于A，B，C三個(gè)片區(qū)，設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的，該市的4位申請(qǐng)人中恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率為()A.eq\f(4,27)B.eq\f(8,27)C.eq\f(12,27)D.eq\f(16,27)6.一個(gè)班級(jí)共有30名學(xué)生，其中有10名女生，現(xiàn)從中任選三人代表班級(jí)參加學(xué)校開展的某項(xiàng)活動(dòng)，假設(shè)選出的3名代表中的女生人數(shù)為X，男生的人數(shù)為Y，則P(X＝2)＋P(Y＝2)等于()A.eq\f(C\o\al(2,10)C\o\al(2,20),C\o\al(3,30))B.eq\f(C\o\al(2,10)＋C\o\al(2,20),C\o\al(3,30))C.eq\f(C\o\al(2,10)C\o\al(1,20)＋C\o\al(1,10)C\o\al(2,20),C\o\al(3,30))D.eq\f(C\o\al(2,10)＋C\o\al(1,20)·C\o\al(1,10)＋C\o\al(2,20),C\o\al(3,30))7.為了加強(qiáng)學(xué)生實(shí)踐、創(chuàng)新能力和團(tuán)隊(duì)精神的培養(yǎng)，教育部門舉辦了全國(guó)學(xué)生智能汽車競(jìng)賽．某校的智能汽車愛(ài)好小組共有15人，其中女生7人．現(xiàn)從中任意選10人參加競(jìng)賽，用X表示這10人中女生的人數(shù)，則下列概率中等于eq\f(C\o\al(4,7)C\o\al(6,8),C\o\al(10,15))的是()A.P(X＝2)B.P(X≤2)C.P(X＝4)D.P(X≤4)8.小明早上步行從家到學(xué)校要經(jīng)過(guò)有紅綠燈的兩個(gè)路口，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，在第一個(gè)路口遇到紅燈的概率為0.4，在第二個(gè)路口遇到紅燈的概率為0.5，在兩個(gè)路口連續(xù)遇到紅燈的概率是0.2．某天早上小明在第一個(gè)路口遇到了紅燈，則他在第二個(gè)路口也遇到紅燈的概率是()A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若0<P(A)<1,0<P(B)<1，則下列式子中成立的為()A.P(A|B)＝eq\f(PAB,PA)B.P(AB)＝P(A)P(B|A)C.P(B)＝P(A)P(B|A)＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up6(－))))Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up6(－))))))D.P(A|B)＝eq\f(PBPA|B,PAPB|A＋P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up6(－))))P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up6(－)))))))10.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(100，102)，則下列選項(xiàng)正確的是()(參考數(shù)值：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)≈0.9973)A.E(X)＝100B.D(X)＝100C.P(X≥90)＝0.84135D.P(X≤120)＝0.998711.有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件．第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來(lái)的零件混放在一起．已知第1，2，3臺(tái)車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，則下列選項(xiàng)正確的有()A.任取一個(gè)零件是第1臺(tái)生產(chǎn)出來(lái)的次品概率為0.06B.任取一個(gè)零件是次品的概率為0.0525C.如果取到的零件是次品，且是第2臺(tái)車床加工的概率為eq\f(3,7)D.如果取到的零件是次品，且是第3臺(tái)車床加工的概率為eq\f(3,7)三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.從編號(hào)為1,2，…，10的10個(gè)大小、顏色、材質(zhì)均相同的球中任取4個(gè)，在選出4號(hào)球的條件下，選出球的最大號(hào)碼為6的概率為________13.某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，則y的值為________14.一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)由25道選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，每個(gè)答案選擇正確得4分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分，某學(xué)生選對(duì)任一題的概率為0.6，則此學(xué)生在這一次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的均值為________，方差為________四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.（14分）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)．(1)若小明先回答A類問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由．16.（15分）已知X的分布列如下：X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,4)a(1)求X2的分布列；(2)計(jì)算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．17.（16分）《福建省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：從2018年秋季高中入學(xué)的新生開始，不分文理科；2021年開始，高考總成績(jī)由語(yǔ)數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門選考科目構(gòu)成，將每門選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8個(gè)等級(jí)，參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%，7%，18%，22%，22%，18%，7%，3%，選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到[91，100]，[81，90]，[71，80]，[61，70]，[51，60]，[41，50]，[31，40]，[21，30]八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī)．某校高一年級(jí)共2000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對(duì)六門選考科目進(jìn)行測(cè)試，其中化學(xué)考試原始成績(jī)?chǔ)位痉恼龖B(tài)分布N(70，169)．(1)求化學(xué)原始成績(jī)?cè)趨^(qū)間(57，96)的人數(shù)；(2)以各等級(jí)人數(shù)所占比例作為各分?jǐn)?shù)區(qū)間發(fā)生的概率，按高考改革方案，若從全省考生中隨機(jī)抽取3人，記X表示這3人中等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間[71，90]的人數(shù)，求事件X≥2的概率．(附：若隨機(jī)變量ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)≈0.9973)18.（16分）現(xiàn)有6個(gè)節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)語(yǔ)言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個(gè)節(jié)目，求(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率．19.（16分）由于新型冠狀病毒的影響，某地對(duì)可能遭受污染的某海產(chǎn)品在進(jìn)入餐飲區(qū)前必須進(jìn)行兩輪檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷售，否則不能銷售．已知該海產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合格的概率為eq\f(1,6)，第二輪檢測(cè)不合格的概率為eq\f(1,10)，兩輪檢測(cè)是否合格相互沒(méi)有影響．(1)求該海產(chǎn)品不能銷售的概率；(2)如果該海產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品可獲利40元；如果該海產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元(即獲利－80元)．已知一箱中有該海產(chǎn)品4件，記一箱該海產(chǎn)品獲利ξ元，求ξ的分布列，并求出數(shù)學(xué)期望E(ξ)．參考答案及解析：一、單項(xiàng)選擇題1.B解析：設(shè)“某地區(qū)每年七月份刮臺(tái)風(fēng)”為事件A，設(shè)“某地區(qū)每年七月份下大雨”為事件B，則“該地區(qū)七月份既刮臺(tái)風(fēng)又下大雨”為事件AB．由題得P(A)＝eq\f(3,5)，P(B|A)＝eq\f(9,10)，由概率的乘法公式得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝eq\f(9,10)×eq\f(3,5)＝eq\f(27,50)．2.C解析：本題為簡(jiǎn)單的全概率公式的應(yīng)用，從這批產(chǎn)品中任取一件，則它是次品的概率為0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.0345.3.B解析：因?yàn)閨X－3|＝1，所以X＝2或X＝4，所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝1－eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,12).4.B解析：出海效益的均值為E(X)＝5000×0.6＋(1－0.6)×(－2000)＝3000－800＝2200(元)．5.B解析：每位申請(qǐng)人申請(qǐng)房源為一次試驗(yàn)，這是4重伯努利試驗(yàn)，設(shè)“申請(qǐng)A片區(qū)房源”記為事件A，則P(A)＝eq\f(1,3)，所以“恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)”的概率為Ceq\o\al(2,4)··＝eq\f(8,27)6.C解析：由題意可知X，Y服從超幾何分布，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,10)C\o\al(1,20),C\o\al(3,30))，P(Y＝2)＝eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(2,20),C\o\al(3,30))，所以P(X＝2)＋P(Y＝2)＝eq\f(C\o\al(2,10)C\o\al(1,20)＋C\o\al(1,10)C\o\al(2,20),C\o\al(3,30))．故選C．7.C解析：15人中，有7名女生，8名男生，表示選出的10人中有4名女生，6名男生，所以P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,7)C\o\al(6,8),C\o\al(10,15)).8.D解析：記“小明在第一個(gè)路口遇到紅燈”為事件A，“小明在第二個(gè)路口遇到紅燈”為事件B，則P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(AB)＝0.2，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(0.2,0.4)＝0.5．二、多項(xiàng)選擇題9.BCD解析：由條件概率公式知A錯(cuò)誤；由概率的乘法公式知B正確；由全概率公式知C正確；D選項(xiàng)中，因?yàn)镻(B)＝P(A)P(B|A)＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up6(－))))Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up6(－))))))，所以P(A|B)＝eq\f(PBPA|B,PB)＝eq\f(PBPA|B,PAPB|A＋P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up6(－))))P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up6(－)))))))，故D正確．故選BCD．10.ABC解析：∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(100，102)，∴曲線關(guān)于x＝100對(duì)稱，根據(jù)題意，可得P(90＜X＜110)≈0.6827，P(80＜X＜120)≈0.9545，∴P(X≥90)≈0.5＋eq\f(1,2)×0.6827＝0.84135，故C正確；P(X≤120)≈0.5＋eq\f(1,2)×0.9545＝0.97725，故D錯(cuò)誤．而A，B都正確．故選ABC．11.BD解析：記事件A：車床加工的零件為次品，記事件Bi：第i臺(tái)車床加工的零件，則P(A|B1)＝6%，P(A|B2)＝P(A|B3)＝5%，又P(B1)＝25%，P(B2)＝30%，P(B3)＝45%，A：任取一個(gè)零件是第1臺(tái)生產(chǎn)出來(lái)的次品概率為P(AB1)＝6%×25%＝1.5%，故錯(cuò)誤；B：任取一個(gè)零件是次品的概率為P(A)＝P(AB1)＋P(AB2)＋P(AB3)＝6%×25%＋5%×75%＝5.25%，故正確；C：如果取到的零件是次品，且是第2臺(tái)車床加工的概率為P(B2|A)＝eq\f(PAB2,PA)＝eq\f(5%×30%,5.25%)＝eq\f(2,7)，故錯(cuò)誤；D：如果取到的零件是次品，且是第3臺(tái)車床加工的概率為P(B3|A)＝eq\f(PAB3,PA)＝eq\f(5%×45%,5.25%)＝eq\f(3,7)，故正確．三、填空題12.答案：eq\f(1,14)解析：令事件A＝{選出的4個(gè)球中含4號(hào)球}，B＝{選出的4個(gè)球中最大號(hào)碼為6}．依題意，知P(A)＝eq\f(C\o\al(3,9),C\o\al(4,10))，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(4,10))，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,14).13.答案：0.4解析：依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋0.1＋0.3＋y＝1，,7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0.6，,7x＋10y＝5.4，))解得y＝0.4．14.答案：60，96解析：設(shè)該學(xué)生在這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中選對(duì)答案的題目的個(gè)數(shù)為X，所得的分?jǐn)?shù)(成績(jī))為Y，則Y＝4X．由題知X～B(25，0.6)，所以E(X)＝25×0.6＝15，D(X)＝25×0.6×0.4＝6，E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，D(Y)＝D(4X)＝42×D(X)＝16×6＝96，所以該學(xué)生在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的均值與方差分別是60與96．四、解答題15.解：(1)由題意得，X的所有可能取值為0，20，100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)當(dāng)小明先回答A類問(wèn)題時(shí)，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4．當(dāng)小明先回答B(yǎng)類問(wèn)題時(shí)，記Y為小明的累計(jì)得分，則Y的所有可能取值為0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列為Y080100P0.40.120.48E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6．因?yàn)?7.6＞54.4，即E(Y)＞E(X)，所以為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問(wèn)題．16.解：(1)由分布列的性質(zhì)，知eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋a＝1，故a＝eq\f(1,4)，從而X2的分布列為X201Peq\f(1,4)eq\f(3,4)(2)法一(直接法)：由(1)知a＝eq\f(1,4)，所以X的均值E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4)．故X的方差D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,16)．法二(公式法)：由(1)知a＝eq\f(1,4)，所以X的均值E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4)，X2的均值E(X2)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝eq\f(11,16)．(3)因?yàn)閅＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11．17.解：(1)∵化學(xué)原始成績(jī)?chǔ)巍玁(70，132)，∴P(57<ξ<96)＝P(57<ξ<70)＋P(70≤ξ<96)＝eq\f(1,2)P(70－13<ξ<70＋13)＋eq\f(1,2)P(70－2×13≤ξ<70＋2×13)≈eq\f(0.6827,2)＋eq\f(0.9545,2)＝0.8186．∴化學(xué)原始成績(jī)?cè)?57，96)的人數(shù)為2000×0.8186≈1637(人)．(2)∵以各等級(jí)人數(shù)所占比例作為各分?jǐn)?shù)區(qū)間發(fā)生的概率，且等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間[71，80]、[81，90]的人數(shù)所占比例分別為18%、7%，則隨機(jī)抽取1人，其等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間[71，90]內(nèi)的概率為eq\f(1,4)．∴從全省考生中隨機(jī)抽取3人，則X的所有可能取值為0，1，2，3，且X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,4)＋Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(5,32)．18.解：設(shè)