九年級數(shù)學(xué)下冊專題02 反比例函數(shù)與特殊三角形存在性問題（解析版）（人教版）

專題02反比例函數(shù)與特殊三角形存在性問題類型一、等腰三角形存在性問題例．如圖，雙曲線的圖像經(jīng)過矩形的邊的中點，若且四邊形的面積為．

(1)求雙曲線的解析式；(2)求點的坐標(biāo)：(3)若點為軸上一動點，使得為以為底邊的等腰三角形，請直接寫出點的坐標(biāo)【答案】(1)(2)當(dāng)時，；當(dāng)時，(3)點的坐標(biāo)為或【分析】（1）如圖所示，連接，設(shè)矩形的長，寬，可得的坐標(biāo)，分別表示出的面積，根據(jù)，，可求出點橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)的關(guān)系，代入反比例函數(shù)解析式即可求解；（2）設(shè)，可得，在中，根據(jù)勾股定理可的的關(guān)系，聯(lián)立方程即可求解；（3）根據(jù)題意，分類討論，以為底，作的垂直平分線，運用相似三角形求出與軸的交點，由此即求出的直線解析式，再根據(jù)與軸的交點，圖形結(jié)合即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，設(shè)矩形的長，寬，

∴，，，∵分別是邊中點，∴，，∴，，，∴，∵，∴，即，則∵點在反比例函數(shù)圖像上，且反比例函數(shù)圖像在第一象限，∴，∴，∴，∴雙曲線的解析式為．（2）解：設(shè)，∵，∴∴①，在中，根據(jù)勾股定理得：，即②，聯(lián)立①②解得：或，當(dāng)時，；當(dāng)時，．（3）解：①當(dāng)時，以為底邊的等腰三角形，∴作的垂直平分線，交軸于點，交于點，交軸于點，如圖所示，

∵，，∴點的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即，且，在中，∵，，∴，∴，，，∴，∴，設(shè)所在直線的解析式為，，，∴，解得，，∴直線的解析式是為，∵直線與軸交于點，∴令，得，∴點的坐標(biāo)為；②當(dāng)時，以為底邊的等腰三角形，∴作的垂直平分線，交軸于點，交于點，交軸于點，如圖所示，

∴，，，，，∴，在中，∵，，∴，∴，，，∴，∴，設(shè)所在直線的解析式為，，，∴，解得，，∴直線的解析式是為，∵直線與軸交于點，∴令，得，∴點的坐標(biāo)為；綜上所述，點的坐標(biāo)為或．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何的綜合，掌握坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，反比例函數(shù)與幾何圖形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，正方形的頂點，點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點．

(1)試說明反比例函數(shù)的圖象也經(jīng)過點；(2)如圖，正方形向下平移得到正方形，邊在軸上，反比例函數(shù)的圖象分別交正方形的邊、于點、．①求的面積；②在軸上是否存在一點，使得是等腰三角形，若存在，直接寫出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)①；②存在，或【分析】（1）將點的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達式求得值，再驗證點即可；（2），即可求解；分、、三種情況，分別求解即可．【詳解】（1）解：（1）點，點，四邊形是正方形，點，，將點的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達式得：，反比例函數(shù)表達式為：，當(dāng)時，得，反比例函數(shù)的圖象也經(jīng)過點；（2）解：平移后點、、、的坐標(biāo)分別為：、，、，則平移后點橫坐標(biāo)為，則點，同理點，；

點、的坐標(biāo)分別為：、，設(shè)點，則，，，當(dāng)時，即，解得：或，當(dāng)時，點、、三點共線，故舍去，，當(dāng)時，同理可得：方程無實數(shù)根，舍去，當(dāng)時，同理可得：，故點的坐標(biāo)為：或，使得是等腰三角形．【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合運用，涉及到勾股定理的運用、等腰三角形的性質(zhì)、面積的計算等，要注意分類求解，避免遺漏．【變式訓(xùn)練2】．如圖，四邊形是面積為4的正方形，函數(shù)的圖象經(jīng)過點B．

(1)求k的值．(2)將正方形分別沿直線翻折，得到正方形，正方形．設(shè)線段，分別與函數(shù)的圖象交于點E，F(xiàn)，求線段所在直線的解析式．(3)在x軸上是否存在點P，使為等腰三角形，若存在，直按寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)4(2)(3)存在，【分析】（1）由正方形面積求得點B的坐標(biāo)為，即可得解；（2）由翻折可得點E的橫坐標(biāo)為4，點F的縱坐標(biāo)為4，由解析式得，設(shè)直線的解析式為，將兩點坐標(biāo)代入求解；（3）設(shè)點，由得，，，分情況討論：①若，②若，③若，分別列方程求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是面積為4的正方形，∴.∴點B的坐標(biāo)為．∴．（2）解：∵正方形，正方形是由正方形翻折得到，∴．∴點E的橫坐標(biāo)為4，點F的縱坐標(biāo)為4．∵點E，點F在函數(shù)的圖象上，∴．設(shè)直線的解析式為，將兩點坐標(biāo)代入，得解得∴直線的解析式為．（3）解：存在．如圖，設(shè)點，由得，，，①若，則，解得或；②若，，解得或；③若，，解得；∴點P的坐標(biāo)為．

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，等腰三角形性質(zhì)，兩點距離求解；坐標(biāo)系內(nèi)靈活運用軸對稱性質(zhì)求解點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，與軸交于點，與軸交于點，已知點坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為(1)求反比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式；(2)連接、，求的面積；(3)觀察圖象直接寫出時x的取值范圍是；(4)直接寫出：P為x軸上一動點，當(dāng)三角形為等腰三角形時點P的坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)(3)或(4)或，或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)兩三角形面積和可得結(jié)論；（3）直接由圖象一次函數(shù)在反比例函數(shù)上邊時對應(yīng)的取值；（4）存在三種情況：，，，根據(jù)點的坐標(biāo)綜合圖形可得點的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：點坐標(biāo)為把點的坐標(biāo)代入中得：反比例函數(shù)的解析式是：把點的坐標(biāo)為代入中，得：，把、兩點的坐標(biāo)代入中得：，解得：一次函數(shù)的解析式為：；（2）解：如圖1，當(dāng)時，，，，；（3）解：由圖象得：時的取值范圍是：或；（4）解：當(dāng)是等腰三角形時，存在以下三種情況：①當(dāng)時，如圖2，，，，或，；②當(dāng)時，如圖3，；③當(dāng)時，如圖4，過作軸于，設(shè)，則，，，，，，；綜上，的坐標(biāo)為或，或或．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，考查了利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定，三角形面積公式，本題難度適中，并運用了分類討論的思想解決問題．類型二、直角三角形存在性問題例．如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點，過點A作AC垂直x軸于點C，連接BC，點．(1)求m和k的值；(2)x軸上是否存在一點D，使為直角三角形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)存在，或或或【分析】（1）先把點A坐標(biāo)代入直線解析式中求出m的值即可求出點A的坐標(biāo)，再把點A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出k的值即可；（2）先由對稱性求出點B的坐標(biāo)，設(shè)點D的坐標(biāo)為，利用勾股定理求出，；再分當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，三種情況利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】（1）解：把將代入中得：，∴，將代入中得：，∴，；（2）解：∵直線和交于點A、B，∴A和B關(guān)于原點成中心對稱，∴，設(shè)點D的坐標(biāo)為，∴，；當(dāng)時，則，∴，解得，∴點D的坐標(biāo)為；當(dāng)時，則，∴，∴，解得，∴點D的坐標(biāo)為或，當(dāng)時，則，∴，解得，∴點D的坐標(biāo)為；綜上所述，x軸上是否存在一點D或或或使得為直角三角形．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，反比例函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形是矩形，且，，．反比例函數(shù)（）的圖象分別交、于點E、點F．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)連接、、，求的面積；(3)是否存在x軸上的一點P，使得是不以點P為直角頂點的直角三角形？若存在，請求出符合題意的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)(3)，【分析】（1）根據(jù)題意得到點的坐標(biāo)為，根據(jù)待定系數(shù)法可得的值，即可；（2）求出點與點的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式即可求出；（3）設(shè)點坐標(biāo)為，求出點與點的坐標(biāo)，運用分類討論思想結(jié)合勾股定理解決問題．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，，，，，所以點的坐標(biāo)為，點在反比例函數(shù)上，代入，得到，故反比例函數(shù)解析式為；（2）如圖，，，時，，，即，，，，；（3）如圖，

，設(shè)所求點坐標(biāo)為，，，，，，當(dāng)時，，即，，解得，，故；當(dāng)時，，即，，解得，，故，綜上所述；存在點，坐標(biāo)為，．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與矩形的綜合性問題，涉及到反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、坐標(biāo)表與圖形的關(guān)系、勾股定理等知識，分類討論思想的運用是解決最后一問的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，B、C兩點在軸的正半軸上，以線段為邊向上作正方形，頂點A在正比例函數(shù)的圖像上，反比例函數(shù)，且，，的圖像經(jīng)過點A，且與邊相交于點E．

(1)若，求點的坐標(biāo)；(2)連接，．①若的面積為24，求的值；②是否存在某一位置使得，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①18；②不存在，理由見解析【分析】(1)根據(jù)，設(shè)，代入解析式確定A的坐標(biāo)，確定反比例函數(shù)解析式，根據(jù)，代入反比例函數(shù)解析式計算即可；(2)①設(shè)，則，，，根據(jù)題意，得，列出等式計算即可；②假設(shè)，證明，利用反比例函數(shù)解析式建立等式證明即可．【詳解】（1）∵正方形，，，∴，，設(shè)，則，，代入，得，解得，故，即，∴，∴；（2）①∵點A在直線上，∴設(shè)，∵正方形，，∴，，，∴，，根據(jù)題意，得，∴，解得，（舍去），故，故；②∵，∴，∵正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵點A在直線上，∴設(shè)，此時：，則，，∴，即：，∴，∴，∵B、C兩點在x軸的正半軸上，∴，∴，這是不可能的，故不存在某一位置使得．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)解析式，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形面積的分割法計算，熟練掌握正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)解析式，三角形全等的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖，矩形的邊分別在軸、軸的正半軸上，．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的中點，交邊于點，連接．(1)求的值與點的坐標(biāo)；(2)軸上是否存在一點，使為等腰三角形，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)點是軸上的一點，以點為頂點的三角形是直角三角形，請求出點的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)存在，或(3)或【分析】（1）根據(jù)題意，求得點的坐標(biāo)，進而求得的值，根據(jù)點在反比例函數(shù)圖象上，將的橫坐標(biāo)代入解析式即可求解；（2）設(shè)，根據(jù)勾股定理求得的長，根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論即可求解；（3）根據(jù)是軸上的一點，設(shè)，則，，，根據(jù)勾股定理建立方程，分類列出方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵，四邊形是矩形，∴，∴，∵是的中點，∴，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，∴反比例數(shù)解析式為，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，的橫坐標(biāo)為，∴，∴；（2）解：存在，設(shè)，∵，，∴，，，設(shè)直線的解析式為，則，，解得，∴，①當(dāng)時，，解得：，∴，②當(dāng)時，，此方程無解，③當(dāng)時，，解得或，∵線的解析式為，當(dāng)時，，∴,在直線上，綜上所述，或，（3）是軸上的一點，設(shè)，則，，，①當(dāng)為直角頂點時，，解得：，則，②當(dāng)為直角頂點時，，解得：，則③當(dāng)為直角頂點時，，此方程無解，綜上所述，或．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形，勾股定理求兩點距離，等腰三角形的定義，掌握以上知識，分類討論是解題的關(guān)鍵．類型三、等腰直角三角形存在性問題例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點和點，點，分別是軸和軸的正半軸上的動點，且滿足．

(1)求，的值及反比例函數(shù)的解析式；(2)若，求點的坐標(biāo)，判斷四邊形的形狀并說明理由；(3)若點是反比例函數(shù)圖象上的一個動點，當(dāng)是以為直角邊的等腰直角三角形時，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)矩形，理由見解析(3)，，【分析】（1）把和分別代入得：；進而把代入得，即可求解；（2）根據(jù)，設(shè)的解析式為，依題意得出的坐標(biāo)為，進而可得解析式為，進而得出，過點作軸于點，則，故和都等腰直角三角形，得出，即可得出結(jié)論；（3）①當(dāng)時，根據(jù)圖形可得，②當(dāng)時，由圖得，代入反比例數(shù)解析式，解一元二次方程，即可求解．【詳解】（1）解：把和分別代入得：；把代入得，所求反比例函數(shù)解析式為，（2），設(shè)的解析式為，又，在軸的正半軸上，的坐標(biāo)為，以點、、、構(gòu)成的四邊形是矩形，理由如下：解析式為，，，，，，又四邊形是平行四邊形過點作軸于點，則，故和都等腰直角三角形，，，是矩形

（3）①當(dāng)時，由圖得：，，則，，

②當(dāng)時，由圖得，解得：舍去，綜上所述：的坐標(biāo)為，，．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解一元二次方程，分類討論，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，分別在反比例函數(shù)和的圖象上，軸于點，軸于點，是線段的中點，，．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)連接，，，求的面積；(3)是線段上的一個動點，是線段上的一個動點，試探究是否存在點，使得是等腰直角三角形？若存在，求所有符合條件點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)5(3)存在，或或【分析】（1）先求出點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求反比例函數(shù)的表達式；（2）分別算出，，的面積，利用即可得到答案；（3）分三種情況，當(dāng)，時；當(dāng)，時；當(dāng)，時，利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意可知，∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∵是線段的中點，∴，∵，∴點的坐標(biāo)為，∴，∴反比例函數(shù)的表達式為；（2）解：∵，，，∴；（3）解：存在分三種情況，∵，∴直線的表達式為．①如圖1，當(dāng)，時，設(shè)點，則∵∴平分．∴，解得∴∴；②如圖2，當(dāng)，時，設(shè)點．∵平分，∴，∴∴∴∴；③如圖3，當(dāng)，時，點與點重合，∴，∴，∴，綜上所述，存在點使得是等腰直角三角形，其坐標(biāo)為或或．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，三角形的面積以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分三種情況求出點的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練2】．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點C、A分別在x軸和y軸的正半軸上，反比例函數(shù)的圖象與、分別交于點D、E，且頂點B的坐標(biāo)為，．(1)求反比例函數(shù)的表達式及E點坐標(biāo)；(2)如圖2，連接，，試判斷與的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，連接，在反比例函數(shù)的圖象上是否存在點F，使得，若存在，請求出點F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)反比例函數(shù)的表達式為，點E坐標(biāo)為(2)與的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為，理由見詳解(3)存在，點F的坐標(biāo)為或【分析】（1）由B點坐標(biāo)和可求得D點橫坐標(biāo)，再由軸可得D點縱坐標(biāo)，由D點坐標(biāo)可得反比例函數(shù)解析式，再把E點的橫坐標(biāo)代入解析式求出E點縱坐標(biāo)；（2）根據(jù)已知的點的坐標(biāo)求出，，，，再計算出對應(yīng)線段的比值證得，再利用相似三角形的性質(zhì)求得最終結(jié)論；（3）分類討論F點在第一象限和第三象限的兩種情況，作等腰直角三角形構(gòu)造角，再利用三垂直模型得到全等的三角形，從而求得直線上的點的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出點F所在的一次函數(shù)的解析式，聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)即可求得F點坐標(biāo)．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，由點B的坐標(biāo)為得，，點D的坐標(biāo)為，代入中得，得，反比例函數(shù)的表達式為由題意知，點E的橫坐標(biāo)為6代入中得點E縱坐標(biāo)為點E坐標(biāo)為（2）解：DE與AC的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為，理由如下：，，，，，，，，，（3）解：存在①當(dāng)點F在第一象限的反比例函數(shù)圖象上時，如圖4作，且使，連接，則，過點G作軸于點M，過點E作軸于點N，易得（三垂直模型）∴，∴點G坐標(biāo)為將和代入直線的表達式中，得解得所以，直線的表達式為：聯(lián)立反比例函數(shù)之和直線得解得或所以，點F的坐標(biāo)為②當(dāng)點F在第三象限的反比例函數(shù)圖象上時如圖5，作，且使，連接，則，過點S作軸于點T∴易得，（三垂直模型）∴，∴點S坐標(biāo)為將和代入直線的表達式中，得解得所以，直線的表達式為：.聯(lián)立反比例函數(shù)和直線得，解得，或所以，點F的坐標(biāo)為綜上所述，使得時，點F的坐標(biāo)為或【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，不僅涉及到反比例函數(shù)