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廣東省陽春一中高三第四次模擬考試新高考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,橢圓的方程,雙曲線的方程為,和的離心率之積為,則的漸近線方程為()A. B. C. D.2.已知正四面體外接球的體積為,則這個(gè)四面體的表面積為()A. B. C. D.3.已知下列命題:①“”的否定是“”;②已知為兩個(gè)命題,若“”為假命題,則“”為真命題;③“”是“”的充分不必要條件;④“若,則且”的逆否命題為真命題.其中真命題的序號(hào)為()A.③④ B.①② C.①③ D.②④4.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”意思為有一個(gè)人要走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛,每天走的路程為前一天的一半,走了六天恰好到達(dá)目的地,請(qǐng)問第二天比第四天多走了()A.96里 B.72里 C.48里 D.24里5.在中,,,,則邊上的高為()A. B.2 C. D.6.已知與函數(shù)和都相切,則不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的面積為()A. B. C. D.7.已知集合,則全集則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.8.已知,則()A. B. C. D.9.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱,登泰山的路線有四條:紅門盤道徒步線路,桃花峪登山線路,天外村汽車登山線路,天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時(shí),發(fā)現(xiàn)三人走的線路均不同,且均沒有走天外村汽車登山線路,三人向其他旅友進(jìn)行如下陳述:甲:我走紅門盤道徒步線路,乙走桃花峪登山線路;乙:甲走桃花峪登山線路,丙走紅門盤道徒步線路;丙:甲走天燭峰登山線路,乙走紅門盤道徒步線路;事實(shí)上,甲、乙、丙三人的陳述都只對(duì)一半,根據(jù)以上信息,可判斷下面說法正確的是()A.甲走桃花峪登山線路 B.乙走紅門盤道徒步線路C.丙走桃花峪登山線路 D.甲走天燭峰登山線路10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?,且,?dāng)時(shí),.若,則函數(shù)在上的最大值為()A.4 B.6 C.3 D.811.已知三棱錐中,是等邊三角形,,則三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.12.某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示,在這一年中的水、電、交通開支(單位:萬元)如圖2所示,則該單位去年的水費(fèi)開支占總開支的百分比為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的正投影,則記.如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體中,記平面為,平面為,點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn),.給出下列四個(gè)結(jié)論:①為的重心;②;③當(dāng)時(shí),平面;④當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),三棱錐外接球的表面積為.其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是________________.14.已知三棱錐中,,,則該三棱錐的外接球的表面積是________.15.已知函數(shù),則的值為____16.用數(shù)字、、、、、組成無重復(fù)數(shù)字的位自然數(shù),其中相鄰兩個(gè)數(shù)字奇偶性不同的有_____個(gè).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)已知直線:,:.若直線與關(guān)于對(duì)稱,又函數(shù)在處的切線與垂直,求實(shí)數(shù)的值;(2)若函數(shù),則當(dāng),時(shí),求證:①;②.18.(12分)已知函數(shù).(1)若在上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的最大值;(2)若,求證:.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),將曲線上各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到曲線,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程;(2)曲線上是否存在不同的兩點(diǎn),(以上兩點(diǎn)坐標(biāo)均為極坐標(biāo),,),使點(diǎn)、到的距離都為3?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),點(diǎn).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程,并指出其形狀;(2)曲線與曲線交于,兩點(diǎn),若,求的值.21.(12分)已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:()的左、右焦點(diǎn)分別為、,且點(diǎn)、與橢圓的上頂點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.(1)求橢圓的方程;(2)已知直線與橢圓相切于點(diǎn),且分別與直線和直線相交于點(diǎn)、.試判斷是否為定值,并說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)橢圓與雙曲線離心率的表示形式,結(jié)合和的離心率之積為,即可得的關(guān)系,進(jìn)而得雙曲線的離心率方程.【詳解】橢圓的方程,雙曲線的方程為,則橢圓離心率,雙曲線的離心率,由和的離心率之積為,即,解得,所以漸近線方程為,化簡(jiǎn)可得,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與雙曲線簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)應(yīng)用,橢圓與雙曲線離心率表示形式,雙曲線漸近線方程求法,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑R,將該正四面體放入一個(gè)正方體內(nèi),使得每條棱恰好為正方體的面對(duì)角線,根據(jù)正方體和正四面體的外接球?yàn)橥粋€(gè)球計(jì)算出正方體的棱長(zhǎng),從而得出正四面體的棱長(zhǎng),最后可求出正四面體的表面積.【詳解】將正四面體ABCD放在一個(gè)正方體內(nèi),設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,如圖所示,設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑為R,則,得.因?yàn)檎拿骟wABCD的外接球和正方體的外接球是同一個(gè)球,則有,∴.而正四面體ABCD的每條棱長(zhǎng)均為正方體的面對(duì)角線長(zhǎng),所以,正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為,因此,這個(gè)正四面體的表面積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查球的內(nèi)接多面體,解決這類問題就是找出合適的模型將球體的半徑與幾何體的一些幾何量聯(lián)系起來,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.3、B【解析】
由命題的否定,復(fù)合命題的真假,充分必要條件,四種命題的關(guān)系對(duì)每個(gè)命題進(jìn)行判斷.【詳解】“”的否定是“”,正確;已知為兩個(gè)命題,若“”為假命題,則“”為真命題,正確;“”是“”的必要不充分條件,錯(cuò)誤;“若,則且”是假命題,則它的逆否命題為假命題,錯(cuò)誤.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假判斷,掌握四種命題的關(guān)系,復(fù)合命題的真假判斷,充分必要條件等概念是解題基礎(chǔ).4、B【解析】
人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,設(shè)此人第一天走的路程為,計(jì)算,代入得到答案.【詳解】由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,設(shè)此人第一天走的路程為,則,解得,從而可得,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.5、C【解析】
結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,求得邊長(zhǎng),由此求得邊上的高.【詳解】過作,交的延長(zhǎng)線于.由于,所以為鈍角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即邊上的高為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,屬于中檔題.6、B【解析】
根據(jù)直線與和都相切,求得的值,由此畫出不等式組所表示的平面區(qū)域以及圓,由此求得正確選項(xiàng).【詳解】.設(shè)直線與相切于點(diǎn),斜率為,所以切線方程為,化簡(jiǎn)得①.令,解得,,所以切線方程為,化簡(jiǎn)得②.由①②對(duì)比系數(shù)得,化簡(jiǎn)得③.構(gòu)造函數(shù),,所以在上遞減,在上遞增,所以在處取得極小值也即是最小值,而,所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切線方程為.即.不等式組即,畫出其對(duì)應(yīng)的區(qū)域如下圖所示.圓可化為,圓心為.而方程組的解也是.畫出圖像如下圖所示,不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的部分如下圖陰影部分所示.直線的斜率為,直線的斜率為.所以,所以,而圓的半徑為,所以陰影部分的面積是.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)公共切線求參數(shù),考查不等式組表示區(qū)域的畫法,考查圓的方程,考查兩條直線夾角的計(jì)算,考查扇形面積公式,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,考查分析思考與解決問題的能力,屬于難題.7、D【解析】
化簡(jiǎn)集合,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),化簡(jiǎn)集合,按照集合交集、并集、補(bǔ)集定義,逐項(xiàng)判斷,即可求出結(jié)論.【詳解】由,則,故,由知,,因此,,,,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算以及集合間的關(guān)系,求解不等式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】,本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.9、D【解析】
甲乙丙三人陳述中都提到了甲的路線,由題意知這三句中一定有一個(gè)是正確另外兩個(gè)錯(cuò)誤的,再分情況討論即可.【詳解】若甲走的紅門盤道徒步線路,則乙,丙描述中的甲的去向均錯(cuò)誤,又三人的陳述都只對(duì)一半,則乙丙的另外兩句話“丙走紅門盤道徒步線路”,“乙走紅門盤道徒步線路”正確,與“三人走的線路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山線路”正確,故丙的“乙走紅門盤道徒步線路”錯(cuò)誤,“甲走天燭峰登山線路”正確.乙的話中“甲走桃花峪登山線路”錯(cuò)誤,“丙走紅門盤道徒步線路”正確.綜上所述,甲走天燭峰登山線路,乙走桃花峪登山線路,丙走紅門盤道徒步線路故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷與推理的問題,重點(diǎn)是找到三人中都提到的內(nèi)容進(jìn)行分類討論,屬于基礎(chǔ)題型.10、A【解析】
根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)冪運(yùn)算,可得;利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性,由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,且,則;任取,且,則,故,令,,則,即,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,故,令,,故,故函數(shù)在上的最大值為4.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算及化簡(jiǎn),利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性,賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用,屬于中檔題.11、D【解析】
根據(jù)底面為等邊三角形,取中點(diǎn),可證明平面,從而,即可證明三棱錐為正三棱錐.取底面等邊的重心為,可求得到平面的距離,畫出幾何關(guān)系,設(shè)球心為,即可由球的性質(zhì)和勾股定理求得球的半徑,進(jìn)而得球的表面積.【詳解】設(shè)為中點(diǎn),是等邊三角形,所以,又因?yàn)椋?,所以平面,則,由三線合一性質(zhì)可知所以三棱錐為正三棱錐,設(shè)底面等邊的重心為,可得,,所以三棱錐的外接球球心在面下方,設(shè)為,如下圖所示:由球的性質(zhì)可知,平面,且在同一直線上,設(shè)球的半徑為,在中,,即,解得,所以三棱錐的外接球表面積為,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的結(jié)構(gòu)特征和相關(guān)計(jì)算,正三棱錐的外接球半徑求法,球的表面積求法,對(duì)空間想象能力要求較高,屬于中檔題.12、A【解析】
由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例,再計(jì)算出水費(fèi)開支占水、電、交通開支的比例,相乘即可求出水費(fèi)開支占總開支的百分比.【詳解】水費(fèi)開支占總開支的百分比為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查折線圖與柱形圖,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①②③【解析】
①點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn),而正方體的體對(duì)角線與和它不相交的的面對(duì)角線垂直,所以直線垂直于平面,而為正三角形,可得為正三角形的重心,所以①是正確的;②取的中點(diǎn),連接,則點(diǎn)在平面的正投影在上,記為,而平面平面,所以,所以②正確;③若設(shè),則由可得,然后對(duì)應(yīng)邊成比例,可解,所以③正確;④由于,而的面積是定值,所以當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí),三棱錐的體積最大,而當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),點(diǎn)到平面的距離最大,此時(shí)為棱長(zhǎng)為的正四面體,其外接球半徑,則球,所以④錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)?,連接,則有平面平面為正三角形,所以為正三角形的中心,也是的重心,所以①正確;由平面,可知平面平面,記,由,可得平面平面,則,所以②正確;若平面,則,設(shè)由得,易得,由,則,由得,,解得,所以③正確;當(dāng)與重合時(shí),最大,為棱長(zhǎng)為的正四面體,其外接球半徑,則球,所以④錯(cuò)誤.故答案為:①②③【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中的垂直、平行關(guān)系,求幾何體的體積,考查空間想象能力和推理能力,屬于難題.14、【解析】
將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體,設(shè),,,設(shè)三棱錐的外接球半徑為,求得的值,然后利用球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體,設(shè),,,設(shè)三棱錐的外接球半徑為,則,由勾股定理可得,上述三個(gè)等式全部相加得,,因此,三棱錐的外接球面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計(jì)算,根據(jù)三棱錐對(duì)棱長(zhǎng)相等將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體是解答的關(guān)鍵,考查推理能力,屬于中等題.15、4【解析】
根據(jù)的正負(fù)值,代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式求解即可.【詳解】解:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解,是基礎(chǔ)題.16、【解析】
對(duì)首位數(shù)的奇偶進(jìn)行分類討論,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】①若首位為奇數(shù),則第一、三、五個(gè)數(shù)位上的數(shù)都是奇數(shù),其余三個(gè)數(shù)位上的數(shù)為偶數(shù),此時(shí),符號(hào)條件的位自然數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè);②若首位數(shù)為偶數(shù),則首位數(shù)不能為,可排在第三或第五個(gè)數(shù)位上,第二、四、六個(gè)數(shù)位上的數(shù)為奇數(shù),此時(shí),符合條件的位自然數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè).綜上所述,符合條件的位自然數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)的排列問題,要注意首位數(shù)字的分類討論,考查分步乘法計(jì)數(shù)和分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)①證明見解析②證明見解析【解析】
(1)首先根據(jù)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的求法,求得的方程及其斜率.根據(jù)函數(shù)在處的切線與垂直列方程,解方程求得的值.(2)①構(gòu)造函數(shù),利用的導(dǎo)函數(shù)證得當(dāng)時(shí),,由此證得.②由①知成立,整理得成立.利用構(gòu)造函數(shù)法證得,由此得到,即,化簡(jiǎn)后得到.【詳解】(1)由解得必過與的交點(diǎn).在上取點(diǎn),易得點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為,即為直線,所以的方程為,即,其斜率為.又因?yàn)?,所以,,由題意,解得.(2)因?yàn)椋?①令,則,則,且,,時(shí),,單調(diào)遞減;時(shí),,單調(diào)遞增.因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以存在,使時(shí),,單調(diào)遞增;時(shí),,單調(diào)遞減;時(shí),,單調(diào)遞增.又,所以時(shí),,即,所以,即成立.②由①知成立,即有成立.令,即.所以時(shí),,單調(diào)遞增;時(shí),,單調(diào)遞減,所以,即,因?yàn)?,所以,所以時(shí),,即時(shí),.【點(diǎn)睛】本小題考查函數(shù)圖象的對(duì)稱性,利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等基礎(chǔ)知識(shí);考查學(xué)生分析問題,解決問題的能力,推理與運(yùn)算求解能力,轉(zhuǎn)化與化歸思想,數(shù)形結(jié)合思想和應(yīng)用意識(shí).18、(1)(2)詳見解析【解析】
(1),在上,因?yàn)槭菧p函數(shù),所以恒成立,即恒成立,只需.令,,則,因?yàn)椋?所以在上是增函數(shù),所以,所以,解得.所以實(shí)數(shù)的最大值為.(2),.令,則,根據(jù)題意知,所以在上是增函數(shù).又因?yàn)?,?dāng)從正方向趨近于0時(shí),趨近于,趨近于1,所以,所以存在,使,即,,所以對(duì)任意,,即,所以在上是減函數(shù);對(duì)任意,,即,所以在上是增函數(shù),所以當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為.由于,,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以當(dāng)時(shí),.19、(1),(2)存在,【解析】
(1)先求得曲線的普通方程,利用伸縮變換的知識(shí)求得曲線的直角坐標(biāo)方程,再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式,求得直線的直角坐標(biāo)方程.(2)求得曲線的圓心和半徑,計(jì)算出圓心到直線的距離,結(jié)合圖像判斷出存在符合題意,并求得的值.【詳解】(1)曲線的普通方程為,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍,得到曲線的直角坐標(biāo)方程為,其極坐標(biāo)方程為,直線的直角坐標(biāo)方程為.(2)曲線是以為圓心,為半徑的圓,圓心到直線的距離.∴由圖像可知,存在這樣的點(diǎn),,則,且點(diǎn)到直線的距離,∴,∴.【點(diǎn)睛】本小題主要考查坐標(biāo)變換,考查直線和圓的位置關(guān)系,考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程相互轉(zhuǎn)化,考查參數(shù)方程化為普通方程,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.20、(1),以為圓心,為半徑的圓;(2)【解析】
(1)根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式,直接得到的直角坐標(biāo)方程并判斷形狀;(2)聯(lián)立直線參數(shù)方程
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