內(nèi)蒙古2017-2018年高二年級下冊期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視數(shù)學試題含解析

內(nèi)蒙古重點名校2017-2018學年高二下學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視數(shù)學試題

一、選擇題：本題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.如圖所示的流程圖中，輸出d的含義是（）

A.點（％,%）到直線及+為+。=0的距離

B.點（％，%）到直線Ar+8y+C=°的距離的平方

C.點（/，%）到直線"+為+。=0的距離的倒數(shù)

D.兩條平行線間的距離

【答案】A

【解析】

【分析】

將Z”Z2代入d中，結(jié)合點到直線的距離公式可得.

【詳解】

22

因為Z1=Ax0+By0+C,z2-A+B,

\Ax+By+C\

所以d=00，故d的含義是表示點（/，%）到直線Ar+8y+C=0的距離.

7A2+B2

故選A.

【點睛】

本題考查了程序框圖以及點到直線的距離公式，屬基礎(chǔ)題.

2.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N（3,er2）,若P（X<4）=0.7,貝!）P（x<2）=

A.0.3B.0.6C.0.7D.0.85

【答案】A

【解析】

【分析】

先計算P(X>4)=0.3,再根據(jù)正態(tài)分布的對稱性得到P(x<2)=P(X>4)=0.3

【詳解】

隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,O-2)

P(X<4)=0.7=>P(X>4)=0.3

P(x<2)=P(X>4)=0.3

故答案選A

【點睛】

本題考查了正態(tài)分布的概率計算，正確利用正態(tài)分布的對稱性是解題的關(guān)鍵，屬于常考題型.

3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.y=x3B.丁=|尤|+1

C.y=—%2+1D.y=|—|

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，逐一分析四個函數(shù)在(0,+8)上的單調(diào)性和奇偶性，逐一比照后可

得答案.

【詳解】

對于A:y=x3是奇函數(shù)，對于B：y=|x|+1為偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增；對于C:y=-/+1為偶

函數(shù)，但在(0,+8)上單調(diào)遞減；對于=是減函數(shù)；

所以本題答案為B.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于中檔題.判斷函數(shù)的奇偶性首先要看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原

點對稱，如果不對稱，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，如果對稱常見方法有：(1)直接法，/(-%)=±/(X)

(正為偶函數(shù)，負為減函數(shù))；(2)和差法，/(-%)±/(%)=0(和為零奇函數(shù)，差為零偶函數(shù))；(3)作

商法，今彳=土1(1為偶函數(shù)，-1為奇函數(shù)).

/(X)

4.將3名教師，5名學生分成3個小組，分別安排到甲、乙、丙三地參加社會實踐活動，每地至少去1

名教師和1名學生，則不同的安排方法總數(shù)為()

A.1800B.1440C.300D.900

【答案】D

【解析】

【分析】

將三個教師全排列安排到三地，再利用分組、分配方法安排學生，可求出答案.

【詳解】

先將3名教師安排到甲、乙、丙三地有A；=6種分法,

然后安排5名學生，將5名學生可分為1,1,3三組，也可分為2,2,1三組，則安排到三地有

p2p2pl)

4y

?A；=150種方法;

A；>

、A2

根據(jù)分步乘法原理，可知不同的安排方法總數(shù)為6x150=900種.

故選D.

【點睛】

本題考查了分步乘法原理的應(yīng)用，考查了分配問題，考查了計算能力，屬于中檔題.

5.某錐體的正視圖和側(cè)視圖均為如圖所示的等腰三角形，則該幾何體的體積最小值為（）

1

兀1

A.—B.-C.1D.2

42

【答案】B

【解析】

【分析】

錐體高一定，底面積最小時體積最小，底面圖形可以是圓，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是

面積最小，計算得到答案.

【詳解】

錐體高一定，底面積最小時體積最小，底面圖形可以是圓，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是

面積最小

“11一C1

V=—X—xlxlx3=—

322

故答案選B

【點睛】

本題考查了錐體的體積，判斷底面是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.

6.設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx的圖象與直線y=2x+m相切，則實數(shù)m的值為（）

A.eB.-eC.-2eD.2e

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)切點為(S,t),求得f(x)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由切線方程可得s,3進而求得m.

【詳解】

設(shè)切點為(S,t),f(x)=xlnx的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=l+lnx,

可得切線的斜率為l+lns=2,解得s=e,

貝!!t=elne=e=2e+m,即m=-e.

故選：B.

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程，考查直線方程的運用，屬于基礎(chǔ)題.

7.某單位從6男4女共10名員工中，選出3男2女共5名員工，安排在周一到周五的5個夜晚值班，每

名員工值一個夜班且不重復(fù)值班，其中女員工甲不能安排在星期一、星期二值班，男員工乙不能安排在星

期二值班，其中男員工丙必須被選且必須安排在星期五值班，則這個單位安排夜晚值班的方案共有()

A.960種B.984種C.1080種D.1440種

【答案】A

【解析】

分五類：(1)甲乙都不選：CjC；A：=432；(2)選甲不選乙：4M=216；(3)選乙不選甲：

然團=216；(4)甲乙都選：囚司尺=96；故由加法計數(shù)原理可得

432+216+216+96=960,共960種，應(yīng)選答案A。

點睛：解答本題的關(guān)鍵是深刻充分理解題意，靈活運用排列數(shù)、組合數(shù)公式及分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原

理兩個基本原理。求解依據(jù)題設(shè)條件將問題分為四類，然后運用排列數(shù)、組合數(shù)公式及分步計數(shù)原理和分

類計數(shù)原理兩個基本原理求出問題的答案，使得問題獲解。

8.設(shè)加，“為兩條不同的直線，4,為兩個不同的平面，下列命題中正確的是()

A.若mlla,mHn,nl/(3,則a//尸B.若mlIa,mLn,nV/3,則。//￡

C.若mJ_a,mHn,"http://分，則a_LD.若mlIa,m±n,”//尸，則a//月

【答案】C

【解析】

【分析】

通過作圖的方法，可以逐一排除錯誤選項.

【詳解】

m

如圖，//相交，故A錯誤

如圖，/￡相交，故B錯誤

D.如圖,

故選C.

【點睛】

本題考查直線和平面之間的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

9.a,b,C三個人站成一排照相，則。不站在兩頭的概率為（）

1111

A.—B.—C.—D.—

2345

【答案】B

【解析】

分析：。，。，c三個人站成一排照相，總的基本事件為用=6種，。不站在兩頭，即。站中間，則有8=2

種情況，從而即可得到答案.

詳解：a,b,c三個人站成一排照相，總的基本事件為6種，

。不站在兩頭，即。站中間，則有&=2種情況，

21

則a不站在兩頭的概率為P=~=~.

63

故選：B.

點睛：本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.變量V與x的回歸模型中，它們對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)廠的值如下，其中擬合效果最好的模型是（）

模型1234

r0.480.150.960.30

A.模型1B.模型2C.模型3D.模型4

【答案】C

【解析】

分析：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，r最大，則其擬合效果最好，進行判斷即可.

詳解：線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)為r,N越接近于1,相關(guān)程度越大；

卜|越小，相關(guān)程度越小，

?.?模型3的相關(guān)系數(shù)r最大，.?.模擬效果最好，

故選：A.

點睛：本題主要考查線性回歸系數(shù)的性質(zhì)，在線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)為rr,W越接近于1,相關(guān)程

度越大；N越小，相關(guān)程度越小.

11.若函數(shù)/(%)=log/3x2—ax+5)在區(qū)間(—1,+8)上是減函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是()

2

A.(-8,+00)B.[-6,+oo)C.(-00,-6]D.[-8,-6]

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減，貝「=3妙—改+5,在區(qū)間(-L+8)上是增函數(shù)，再根據(jù)定義域則

f=3/—依+5>0在區(qū)間(-1,”)上恒成立求解.

【詳解】

因為函數(shù)/(力=1°8工(3尤2一。％+5)在區(qū)間(—1,”)上是減函數(shù)，

2

所以f=3/_公+5,在區(qū)間(-1,+8)上是增函數(shù)，且"3/—如+5>0在區(qū)間(-1,+8)上恒成立.

所以1且3+。+520,

6

解得-8<a<-6.

故選：D

【點睛】

本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，還考查了理解辨析和運算求解的能力，屬于中檔題.

12.命題/：％-1>0；命題4：好一%-6<0.若夕人4為假命題，為真命題，則實數(shù)x的取值范圍

是()

A.l<x<3B.-2<xWl或x?3

C.-2<x<l或x23D.-2<x<l或%>3

【答案】B

【解析】

【分析】

首先解出兩個命題的不等式，由0Aq為假命題，為真命題得命題p和命題q一真一假.

【詳解】

命題?：無一1>0=無>1,命題q:%?—1—6<0=>—2<x<3.因為"人4為假命題，Pvq為真命題.所

以命題P和命題4一真一假，所以—2<xWl或％之3,選擇B

【點睛】

本題主要考查了簡易邏輯的問題，其中涉及到了不等式以及命題真假的判斷問題，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題

13.“楊輝三角”是我國數(shù)學史上的一個偉大成就，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.如圖所示,

去除所有為1的項，依此構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…，則此數(shù)列的前46項和為.

【答案】2037

【解析】

【分析】

根據(jù)“楊輝三角”的特點可知"次二項式的二項式系數(shù)對應(yīng)“楊輝三角”中的第〃+1行，從而得到第

〃+1行去掉所有為1的項的各項之和為：2"-2；根據(jù)每一行去掉所有為1的項的數(shù)字個數(shù)成等差數(shù)列的

特點可求得至第n行結(jié)束，數(shù)列共有45項，則第46項為=11,從而加和可得結(jié)果.

【詳解】

由題意可知，"次二項式的二項式系數(shù)對應(yīng)''楊輝三角”中的第〃+1行

則“楊輝三角”第〃+1行各項之和為：2"

二第〃+1行去掉所有為1的項的各項之和為：2"-2

從第3行開始每一行去掉所有為1的項的數(shù)字個數(shù)為：1,2,3,4,…

貝！I：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,即至第11行結(jié)束，數(shù)列共有45項

,第46項為第12行第1個不為1的數(shù)，即為：Q1,=11

,前46項的和為：21-2+22-2+23-2+---+210-2+11=2037

本題正確結(jié)果：2037

【點睛】

本題考查數(shù)列求和的知識，關(guān)鍵是能夠根據(jù)“楊輝三角”的特征，結(jié)合二項式定理、等差等比數(shù)列求和的

方法來進行轉(zhuǎn)化求解，對于學生分析問題和總結(jié)歸納的能力有一定的要求，屬于較難題.

14.某等腰直角三角形的一條直角邊長為4,若將該三角形繞著直角邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積是V,

則丫=.

【解析】

分析：幾何體為圓錐，根據(jù)圓錐的體積公式求解

164萬

詳解：由題意可知三角形繞著直角邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為圓錐，體積是V=qS/i=一1

33

點睛：三角形旋轉(zhuǎn)為圓錐，體積公式為V=

15.不等式|3x-2|<1的解集為

【答案】（1,D

【解析】

【分析】

根據(jù)絕對值的定義去絕對值符號，直接求出不等式的解集即可.

【詳解】

由|3x—2|<1,得-l<3x—2<1,解得g<X<1

故答案為

【點睛】

本題考查絕對值不等式的解法，考查等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想和計算能力.

16.已知定點A（4,o）和曲線f+y2=8上的動點3,則線段A3的中點P的軌跡方程為

【答案】（X-2）2+/=2

【解析】

【分析】

通過中點坐標公式，把點P的坐標轉(zhuǎn)移到3上，把點3的坐標代入曲線方程，整理可得點P的軌跡方程。

【詳解】

4+〃

x二----

2

設(shè)點P的坐標為(羽V),氤B(a,b),因為點。是線段A5的中點，所以n7

戶亍

解得〈，。,把點3的坐標代入曲線方程可得(2x-4了+(2y)2=8,

b=2y

整理得(X-2)2+/=2,所以點P的軌跡方程為(x-2尸+丁=2

故答案為：(x-2>+黃=2

【點睛】

本題考查中點坐標公式，相關(guān)點法求軌跡方程的方法，屬于中檔題。

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知(1+xy的展開式中第4項和第8項的二項式系數(shù)相等.

(I)求”的值和這兩項的二項式系數(shù)；

(II)在(1+X)3+(1+X)4++(l+x)"+2的展開式中，求含/項的系數(shù)(結(jié)果用數(shù)字表示).

【答案】(I)?=10；120(II)285

【解析】

【分析】

(I)由題意知：屐=。：得到〃=10,代入計算得到答案.

(II)分別計算每個展開式含X2項的系數(shù)，再把系數(shù)相加得到答案.

【詳解】

解：(I)*.*C；-C；=10,

.?.C；°=C，=120；

(II)方法一：含X2項的系數(shù)為C；+

=C；3Y=285.

(l+x)l-(l+x)(l+x)，，+3-(l+x)3

方法二：(1+x)3+(]+%)4++(1+X)"+，

X

含X2的系數(shù)為C；+3-=C：3-1=285.

【點睛】

本題考查了展開式的二項式系數(shù)，特定項系數(shù)，意在考查學生的計算能力.

18.已知三點4(—2,1),5(2,1),0(0,0),曲線C上任意一點Af(羽_y)滿足

\MA+MB\=OM(OA+OB)+2.

(1)求C的方程；

(2)動點。(％，%)(—2</<2)在曲線C上，/是曲線C在。處的切線.問：是否存在定點

P(0j)(f<0)使得/與都相交，交點分別為。，石，且AABQ與APDE的面積之比為常數(shù)？若存

在，求/的值；若不存在，說明理由.

【答案】(1)x2=4>；(2)存在,-1.

【解析】

分析：(1)先求出MA、A1A+M3的坐標，由此求得I或4+AffiI和0M,(°A+°5)+2的值，兩式相

等，化簡可得所求；(2)根據(jù)直線PA,PB的方程以及曲線C在點Q(xo,yo)(-2<x0<2)處的切線方

程，D、E兩點的橫坐標，可得SAPDE和SAQAB的比值，從而求得參數(shù)值.

詳解：

(1)依題意可得G=(―2-八1一力砒=(2-傷1一力

+M^\=，(-22)2+(2-2沙)2,同x(31+彘)=(x,n)x(0,2)=2y

由已知得\/(-2%)2+(2—2.2=2g+2,化簡得曲線C的方程:—如，

(2)假設(shè)存在點。(0")(1<0)滿足條件，則直線的方程是沙=1冗+力，直線產(chǎn)區(qū)的方程是

y=Ljz+i，曲線C在點Q處的切線1的方程為：g=會一步，它與y軸的交點為尸(0,-苧)，

由于一2<x0<2,因此T<?<1

①當—1<%<()時，存在0e(-2,2),使得挈=即1與直線PA平行，故當

-1<t<0時與題意不符

②當t&—1時，?《一1(系三21>等所以1與直線/乜。3一定相交，分別聯(lián)立方程組,

解得RE的橫坐標分別是ZD=-+=3""

2(g+1—力)2(^0+t-1)

則立=又|下目=一￥—力，

#0_(1_1)4

右GI-1v(若+41產(chǎn)

有SAPDE=X\XE-XD\—X(t_1)2_

22

194a4

-N0(￡,0

%4/I^于是X

-XX(X----

2\4261t

±-vr（力0+4力2

4X一一性+（力-I）2］就+4（力一1產(chǎn)

1—t①3+8力薪+16/

-4-(i-I)2=8t

對任意；“C(―2,2),要使dQA3與△PDE的面積之比是常數(shù)，只需t滿足

4(/-I)2=1612'

解得力二一1,此時AQAB與△PDE的面積之比為2,故存在t=—1,使AQAB與△PDE的面積之比是

常數(shù)2.

點睛：本題主要考查拋物線的標準方程的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點的切線方程，求得F點的坐標，D、

E兩點的橫坐標，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某一點處的切線方程；步驟一般為：一，

對函數(shù)求導(dǎo)，代入已知點得到在這一點處的斜率；二，求出這個點的橫縱坐標；三，利用點斜式寫出直線

方程.

19.已知集合4=<>,8={y|y=%?—2尤一3,0WXW4}.

X-1

(1)求AB；

(2)若集合卜|九2—2x—3+a=O,O〈x<4}=0,求。的取值范圍；

【答案】(1)[<1)；⑵(—，-5)(4,收)

【解析】

【分析】

(1)分別求解出集合A和集合3,根據(jù)交集的定義求得結(jié)果；(2)將問題轉(zhuǎn)化為

[x\x2-2x-3=-a,O<x<4}=0,由⑴可知x2—2%—3武-4,5],從而得到關(guān)于。的不等式，解

不等式求得結(jié)果.

【詳解】

A=%]<1>=；B=^y\y=x1-2x-3,G<x<^=[-4,5]

(1)AB=[-4,l)

(2)|x|x2-2x-3+?=0,0<x<41=0,即{x|x2—2x-3=-a,OVx<4}=0

又xe[0,4]時，x2-2x-3e[-4,5]-a<4或一a>5

:,a<§或々>4

即。的取值范圍為：(-??9(4,+>

【點睛】

本題考查集合運算中的交集運算、求解集合中參數(shù)取值范圍的問題；關(guān)鍵是能夠準確求解出兩個集合；易

錯點是忽略兩個集合均為數(shù)集的特點，誤認為兩集合元素不一致，導(dǎo)致求解錯誤.

20.袋中裝有黑色球和白色球共7個，從中任取2個球都是白色球的概率為現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪

7

流摸出1個球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，，摸后均不放回，直到有一個人摸到白色球后終止，

每個球在每一次被摸出的機會都是等可能的，用X表示摸球終止時所需摸球的次數(shù).

(1)求隨機變量X的分布和均值E(x)；

(2)求甲摸到白色球的概率.

【答案】(1)分布列見解析，E(X)=2.

22

(2)P(A)=—.

35

【解析】

分析：(1)由已知先出白子個數(shù)，進而可得隨機變量X的概率分布列和數(shù)學期望;

(2)記事件A為“甲摸到白色球”，則事件A包括以下三個互斥事件：Ax="甲第1次摸球時摸出白色

球”；A2="甲第2次摸球時摸出白色球”；A3="甲第3次摸球時摸出白色球”，利用互斥事件概率加

法公式可得.

2

詳解：設(shè)袋中白色球共有X個，XCN*且X22,則依題意知㈢p=31,

C7/

*X—1)

所以m即X。X—6=0,解得X=3(x=-2舍去).

2XI

(1)袋中的7個球，3白4黑，隨機變量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.

P(X=l)=^=1；P(X=2)=f=|,P(X=3)=^=A,P(X=4)=f=A,P(X=5)=^=1

隨機變量X的分布列為

X12345

32631

P

77353535

所以E(X)=1X；Q+2XS9+3><S+4XSQ+5X^1=2.

//

(2)記事件A為“甲摸到白色球”，則事件A包括以下三個互斥事件:

4="甲第1次摸球時摸出白色球”；

A2=”甲第2次摸球時摸出白色球”；

A3=”甲第3次摸球時摸出白色球”.

依題意知，PG)*",P?)=粵=白，P(AJ=^=白，

A77A7?有卜7<6

所以甲摸到白色球的概率為P(A)=P(AJ+P(A2)+P(A3)=舁白+二=器.

7353535

點睛：本題考查的知識點是古典概型的概率計算公式，隨機變量的分布列和數(shù)學期望，互斥事件概率加法

公式.

21.已知橢圓C：—+V2=1,點P(0,1).

4-

(1)過P點作斜率為k(k>0)的直線交橢圓C于A點，求弦長|PA|(用k表示)；

(2)過點P作兩條互相垂直的直線PA,PB,分別與橢圓交于A、B兩點，試問：直線AB是否經(jīng)過一定

點？若存在，則求出定點，若不存在，則說明理由？

【答案】⑴1刑=*G；⑵直線AB過定點[。,一：

【解析】

【分析】

(1)先由題意得到直線PA的方程，聯(lián)立直線與橢圓，得到A點坐標，再由弦長公式，即可求出結(jié)果;

(2)先由題意，得到，直線的斜率必存在，設(shè)直線鉆為丁=紅+加，聯(lián)立直線A3與橢圓方程,

-8km

x.+x=-----

“21+4左2

根據(jù)韋達定理，得到)再由結(jié)合題意，求出〃[,進而可得出結(jié)果.

4m2-4

X,-X,=-----z-

121+4左2

【詳解】

解：(1)把"y=—l(左>0)代入爐+4/-4=0得:

(1+4左2)無2+8丘=0,x-----8),

'7Al+4k2

所以1pA?

(2)由題意可以，直線A3的斜率必存在，設(shè)直線A5為丁=丘+加，有

-8km

x,+=-----

x+4y4fj+4^2jx2+8kmx+4m2-4=0,A>0,"121+4左2

y=kx+m'74m2-4

石?X,=-----z-

“21+4左2

PALPB.:.PAPB=0=>（X],yi-1）每，%-1）=0

=>飛馬+（y-1）（%-1）=0=>x1x2+（g+m-l）（Ax2+m-l）=0

2

=>（1+左2）%％2+左（加_1）（F+x2）+（m-l）=0

=>4（1+左2）（加+1）—8左2加+（加_1乂1+4Z2）=0=>加=--1

所以/至：丁=履—I，即直線AB過定點[o,—I]

【點睛】

本題主要考查橢圓的弦長，以及橢圓中的定點問題，熟記橢圓的標準方程以及橢圓的簡單性質(zhì)，即可求解，

屬于?？碱}型.

22.已知AABC的內(nèi)角A的大小為120°，面積為JL

(1)若AB=20，求AABC的另外兩條邊長；

(2)設(shè)。為AABC的外心，當BC=0T時，求AO.8C的值.

【答案】(1)CA=A/2>BC=A/14；(2)3或-■—

【解析】

【分析】

(1)由三角形面積公式石=！bcsinA得到AC邊，再由余弦定理即可得出BC邊；

2

(2)由(1)可知歷=4,利用余弦定理可求匕，設(shè)5C的中點為。，則AC=AD+，結(jié)合。為ABC

的外心，可得。O.BC=0，從而可求得.

【詳解】

(1)設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

于是6==bcsinA=g~bc，所以。c=4

24

因為c=AB=2拒，所以人=。4=血.

由余弦定理得BC=a=Jz?2+。2—2Z?ccosA=[b。+/+4=J2+8+4=-\/14?

(2)由BC=向得Z^+c2+4=21,即^+提―17=0,解得人=1或4.

設(shè)5c的中點為D,則AO=AD+￡>O，

因為。為AABC的外心，所以￡>。.6。=0，

1b2-c2

于是+---.

/72_2]s

所以當b=l時，c=4,AOBC=-——；

22

*_2

當b=4時，c=l,AOBC=-——.

22

【點睛】

本題主要考查三角形的面積公式及余弦定理的應(yīng)用以及向量的基本運算和性質(zhì)的應(yīng)用.屬于中檔題.

內(nèi)蒙古重點名校2018-2019學年高二下學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視數(shù)學試題

一、選擇題：本題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

2.r2

1.已知a>0,b>—1,且a+b=l,則^--+----的最小值為（）

aZ?+l

A3+20R3+0r3-V2.3-2V2

2222

【答案】A

【解析】

分析：由oX）,b>-l,且a+Ql,變形可得

a?+2/?2271I2ICc

------1----——ci-\-b—IH-----=—I------f\ci),0〈QV2.

ab+\ab+\a2—a

利用導(dǎo)數(shù)求其最值；

詳解：aX),b>-l，且a+b=l,

:.fl±3.+工=2+a+〃—1+J_=2+^_=/(q),o<?<2..

ab+la/?+la2-a

2I一(a~-8a+8)

令…)=-/+

(2—0)24(2—4

，解得4一2垃<。<2，此時函數(shù)八。）單調(diào)遞增；令廣（。）V。，解得0<a<4—2"此時函數(shù)八。）

單調(diào)遞減.

...當且僅當a=4—20時，函數(shù)八。）取得極小值即最小值，/（4—2后）=色芋.

點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬中檔題.

2.已知回歸直線方程中斜率的估計值為L23,樣本點的中心（4,5）,則回歸直線方程為（）

A.y=l.23x+0.08B.亍=0.08x+l.23

C.$=l.23x+4D.勺=l.23x+5

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意得在線性回歸方程9=/u+a中3=1.23,然后根據(jù)回歸方程過樣本點的中心得到〃的值，進而可

得所求方程.

【詳解】

設(shè)線性回歸方程$=法+。中，由題意得5=1.23，

y=l.23x+a-

又回歸直線過樣本點的中心（4,5）,

5=L23x4+a，

a-0.08，

.?.回歸直線方程為y=1.23%+0.08.

故選A.

【點睛】

本題考查線性回歸方程的求法，其中回歸直線經(jīng)過樣本點的中心時解題的關(guān)鍵，利用這一性質(zhì)可求回歸方

程中的參數(shù)，也可求樣本數(shù)據(jù)中的未知參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

4_

3.曲線丁=一與直線y=5圍成的平面圖形的面積為（）

x

A.—B.—C.---4In2D.----8In2

2442

【答案】D

【解析】

【分析】

先作出直線與曲線圍成的平面圖形的簡圖，聯(lián)立直線與曲線方程，求出交點橫坐標，根據(jù)定積分即可求出

結(jié)果.

【詳解】

4

作出曲線y=—與直線y=5-x圍成的平面圖形如下：

x

4

所以曲線y=—與直線y=5-x圍成的平面圖形的面積為

x

S=1（5—x—公=（5x—3彳2_4/.）：=（20—8—4防4）—（5——81n2.

故選D

【點睛】

本題主要考查定積分的應(yīng)用，求圍成圖形的面積只需轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的定積分問題求解即可，屬于?？碱}型.

4.曲線〃X)=.c°sx在點M咨"件］

居為()

sinx-cosx1414J

D④

2

【答案】B

【解析】

【分析】

求導(dǎo)后代入即可得出答案。

【詳解】

,/x_cos'x?(sinx-cosx)-cos(sinx—cosx)'-1-1

(sin龍一cos%)2

“3叫-_1_1

t4J9.2/3〃712

2sm(彳—R

故選B

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求切線斜率。屬于基礎(chǔ)題。

5.已知向量〃=(2,3)/=(%,4),若〃_L(Q-/?),則x=()

1

A.1B.-C.2D.3

2

【答案】B

【解析】

【分析】

可求出a—Z?=(2—%,—1),根據(jù)a_L(a—b)即可得出心a-6)=0,進行數(shù)量積的坐標運算即可求出x.

【詳解】

?:a±ya-b^；

/.=2(2—%)—3=0；

解得X=工.

2

故選B.

【點睛】

本題考查向量垂直的充要條件，向量坐標的減法和數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題.

3

6.甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為一,

4

且各局比賽結(jié)果相互獨立.則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進行了三局的概率為()

1224

A.-B.一C.一D.一

3535

【答案】A

【解析】

【分析】

記事件A:甲獲得冠軍，事件8:比賽進行三局，計算出事件的概率和事件A的概率，然后由條件概率

公式可得所求事件的概率為P(8|A)=.

【詳解】

記事件A:甲獲得冠軍，事件比賽進行三局，

事件A3:甲獲得冠軍，且比賽進行了三局，則第三局甲勝，前三局甲勝了兩局,

313Q

由獨立事件的概率乘法公式得WA0=?:?：?'=5,

對于事件A,甲獲得冠軍，包含兩種情況：前兩局甲勝和事件

327932_1

.P(A)=i+工故選A.

41323232,27-3

【點睛】

本題考查利用條件概率公式計算事件的概率，解題時要理解所求事件的之間的關(guān)系，確定兩事件之間的相

對關(guān)系，并利用條件概率公式進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題.

7.已知曲線/(x)=xlnx的一條切線的斜率為2,則切點的橫坐標為()

A.1B.In2C.2D.e

【答案】D

【解析】

【分析】

對函數(shù)進行求導(dǎo)，然后讓導(dǎo)函數(shù)等于2,最后求出切點的橫坐標.

【詳解】

/(%)=x\nxf'(x)=In%+1,

由題意可知/'(x)=lnx+l=2=lnx=l=x=e,因此切點的橫坐標為e,故選D.

【點睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則，考查了數(shù)學運算能力.

8.已知復(fù)數(shù)z滿足z<l-2i)=5i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的虛部等于()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【解析】

由題設(shè)可得z=-^=-2+i,則復(fù)數(shù)二的虛部等于1,應(yīng)選答案A。

l-2z

9.如圖，某幾何體的三視圖是三個邊長為1的正方形，及每個正方形中的一條對角線，則該幾何體的表

面積是

A-4+v'IB.gC.9D.3+位

【答案】B

【解析】

【分析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求解幾何體的表面積即可.

【詳解】

幾何體的直觀圖如圖：

3+3x,^xlxlH■-x(v2)2=?:一

故選：B.

【點睛】

本題考查了根據(jù)三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

10.已知定義域為/?的奇函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)為了'(%),當XH0時，r(x)+/C0〉0,若

X

a==/(_2)！c=加；)/In-jj)則o,〃,c的大小關(guān)系正確的是

A.a<h<cB.h<c<aC.a<c<hD.c<a<h

【答案】C

【解析】

分析：構(gòu)造函數(shù)g(x)=V(x)，利用已知條件確定g'(x)的正負，從而得其單調(diào)性.

詳解：設(shè)8(%)=獷(幻，貝!|8'(%)=/(無)+^'(%),；/'(%)+國>0,即4")+/電=止2>0,

XXX

...當x<0時，g'(x)<o,當尤>0時,g'(x)>0,g(x)遞增.又“X)是奇函數(shù)，.?.g(x)=4(x)是偶

函數(shù)，/(—2)=g⑵，g(ln；)=g(—In2)=g(ln2),

*/0<|<ln2<2,g(；)<g(ln2)<g(2),即a<c<b.

故選C.

點睛：本題考查由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)g(%)=獷'(%),通過研究g(x)的單調(diào)

性和奇偶性，由奇偶性可以把變量值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，從而比較大小.

11.在平面直角坐標系x0y中，曲線C的參數(shù)方程為「―"C°S(。為參數(shù))，直線/的方程為x+y=4,

y=sin8

則曲線。上的點到直線/的距離的最小值是()

A.—B.J2C.1D.2

2

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)曲線C上任意一點的坐標為(Gcosasin。)，利用點到直線的距離公式結(jié)合輔助角公式可得出曲線C

上的點到直線/的距離的最小值.

【詳解】

設(shè)曲線C上任意一點的坐標為(Gcos0,sin。)，

所以，曲線C上的一點到直線/的距離為1|石cosO+sind—4|2sin[e+w]—4

底-----/-----=忑-

4—2sin(6+j

3

當。+?=^+2左乃（左eZ）時，△取最小值，且4^=甘=3,故選：B.

【點睛】

本題考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用，考查橢圓上的點到直線距離的最值問題，解題時可將橢圓上的點用參數(shù)方

程表示，利用三角恒等變換思想求解，考查運算求解能力，屬于中等題.

12.已知集合4={%|無2—4%<5},3=