黑龍江省哈爾濱市師范大學(xué)附中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

黑龍江省哈爾濱市師范大學(xué)附中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，線段的垂直平分線過，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（）A． B．3 C．6 D．2．經(jīng)過平面外一點和平面內(nèi)一點與平面垂直的平面有()A．1個 B．2個 C．無數(shù)個 D．1個或無數(shù)個3．在學(xué)習等差數(shù)列時，我們由，，，，得到等差數(shù)列的通項公式是，象這樣由特殊到一般的推理方法叫做（）A．不完全歸納法 B．數(shù)學(xué)歸納法 C．綜合法 D．分析法4．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，使得的概率為（）A． B． C． D．5．在區(qū)間上隨機選取一個數(shù)，則滿足的概率為()A． B． C． D．6．函數(shù)的定義域為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則可能取值是().A． B． C． D．8．的直觀圖如圖所示，其中，則在原圖中邊的長為（）A． B． C．2 D．9．集合，，則=()A． B． C． D．10．在中，若，則是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，，則的最小值為__________.12．數(shù)列滿足，則數(shù)列的前6項和為_______．13．在中，為邊中點，且，，則______.14．已知等差數(shù)列，若，則______.15．在中，角的對邊分別為，且面積為，則面積的最大值為_____．16．如圖，在直角梯形中，//是線段上一動點，是線段上一動點，則的最大值為________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，一個半圓和長方形組成的鐵皮，長方形的邊為半圓的直徑，為半圓的圓心，，，現(xiàn)要將此鐵皮剪出一個三角形，使得，.(1)設(shè)，求三角形鐵皮的面積；(2)求剪下的鐵皮三角形的面積的最大值.18．如圖是我國2011年至2017年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖(年份代碼1-7分別對應(yīng)年份)（1）建立關(guān)于的回歸方程(系數(shù)精確到0.001);（2）預(yù)測2020年我國生活垃圾無害化處理量.附注:參考數(shù)據(jù):,,回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,.19．設(shè)等比數(shù)列{}的首項為，公比為q(q為正整數(shù)),且滿足是與的等差中項；數(shù)列{}滿足.(1)求數(shù)列{}的通項公式;(2)試確定的值，使得數(shù)列{}為等差數(shù)列：(3)當{}為等差數(shù)列時，對每個正整數(shù)是，在與之間插入個2,得到一個新數(shù)列{}，設(shè)是數(shù)列{}的前項和，試求滿足的所有正整數(shù).20．已知數(shù)列和中，數(shù)列的前n項和為,若點在函數(shù)的圖象上，點在函數(shù)的圖象上．設(shè)數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和；（3）求數(shù)列的最大值.21．在物理中，簡諧運動中單擺對平衡位置的位移與時間的關(guān)系，交流電與時間的關(guān)系都是形如的函數(shù).已知電流（單位：）隨時間（單位：）變化的函數(shù)關(guān)系是：，（1）求電流變化的周期、頻率、振幅及其初相；（2）當，，，，（單位：）時，求電流.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

利用橢圓和雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長軸長表示，再利用均值不等式得到答案.【詳解】設(shè)橢圓長軸，雙曲線實軸，由題意可知：，又，，兩式相減，可得：，，.，，當且僅當時等立，的最小值為6，故選:C．【點睛】本題考查了橢圓雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長軸長表示是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計算能力.2、D【解析】

討論平面外一點和平面內(nèi)一點連線，與平面垂直和不垂直兩種情況.【詳解】（1）設(shè)平面為平面，點為平面外一點，點為平面內(nèi)一點，此時，直線垂直底面，過直線的平面有無數(shù)多個與底面垂直；（2）設(shè)平面為平面，點為平面外一點，點為平面內(nèi)一點，此時，直線與底面不垂直，過直線的平面，只有平面垂直底面.綜上，過平面外一點和平面內(nèi)一點與平面垂直的平面有1個或無數(shù)個，故選D.【點睛】借助長方體研究空間中線、面位置關(guān)系問題，能使問題直觀化，降低問題的抽象性.3、A【解析】

根據(jù)題干中的推理由特殊到一般的推理屬于歸納推理，但又不是數(shù)學(xué)歸納法，從而可得出結(jié)果.【詳解】本題由前三項的規(guī)律猜想出一般項的特點屬于歸納法，但本題并不是數(shù)學(xué)歸納法，因此，本題中的推理方法是不完全歸納法，故選：A.【點睛】本題考查歸納法的特點，判斷時要區(qū)別數(shù)學(xué)歸納法與不完全歸納法，考查對概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】則，故概率為.5、D【解析】

在區(qū)間上，且滿足所得區(qū)間為，利用區(qū)間的長度比，即可求解．【詳解】由題意，在區(qū)間上，且滿足所得區(qū)間為，由長度比的幾何概型，可得概率為，故選D．【點睛】本題主要考查了長度比的幾何概型的概率的計算，其中解答中認真審題，合理利用長度比求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解析】要使函數(shù)有意義，需使，即，所以故選C7、D【解析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱性，可以得到一個等式，結(jié)合四個選項選出正確答案.【詳解】因為函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，所以有，當時，，故本題選D.【點睛】本題考查了正弦型函數(shù)的對稱性，考查了數(shù)學(xué)運算能力.8、D【解析】

由直觀圖確定原圖形中三角形邊的關(guān)系及長度，然后計算．【詳解】在原圖形中，，，∴．故選：D.【點睛】本題考查直觀圖，考查由直觀圖還原原平面圖形.掌握斜二測畫法的規(guī)則是解題關(guān)鍵.9、C【解析】

根據(jù)交集定義直接求解可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)交集定義知：故選：【點睛】本題考查集合運算中的交集運算，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

首先根據(jù)降冪公式把等式右邊降冪你，再根據(jù)把換成與的關(guān)系，進一步化簡即可．【詳解】，，,選A.【點睛】本題主要考查了二倍角，兩角和與差的余弦等，需熟記兩角和與差的正弦余弦等相關(guān)公式，以及特殊三角函數(shù)的值是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、25【解析】

變形后，利用基本不等式可得.【詳解】當且僅當，即，時取等號.故答案為：25【點睛】本題考查了利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.12、84【解析】

根據(jù)分組求和法以及等差數(shù)列與等比數(shù)列前n項和公式求解.【詳解】因為，所以.【點睛】本題考查分組求和法以及等差數(shù)列與等比數(shù)列前n項和公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.13、0【解析】

根據(jù)向量，，取模平方相減得到答案.【詳解】兩個等式平方相減得到：故答案為0【點睛】本題考查了向量的加減，模長，意在考查學(xué)生的計算能力.14、【解析】

利用等差數(shù)列的通項公式直接求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，由，得，解得.故答案：.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

利用三角形面積構(gòu)造方程可求得，可知，從而得到；根據(jù)余弦定理，結(jié)合基本不等式可求得，代入三角形面積公式可求得最大值.【詳解】，由余弦定理得：（當且僅當時取等號）本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查解三角形問題中的三角形面積的最值問題的求解；求解最值問題的關(guān)鍵是能夠通過余弦定理構(gòu)造等量關(guān)系，進而利用基本不等式求得邊長之積的最值，屬于?？碱}型.16、2【解析】

建立平面直角坐標系，得到相應(yīng)點的坐標及向量的坐標，把，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，即可求解．【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，因為，，所以,因為，，所以,因為，所以當時，取得最大值，最大值為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平面向量的線性運算，以及向量的數(shù)量積的運算的應(yīng)用，其中解答中建立平面直角坐標系，結(jié)合向量的線性運算和數(shù)量積的運算，得到的函數(shù)關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）三角形鐵皮的面積為；（2）剪下的鐵皮三角形的面積的最大值為.【解析】試題分析：（1）利用銳角三角函數(shù)求出和的長度，然后以為底邊、以為高，利用三角形面積公式求出三角形的面積；（2）設(shè)，以銳角為自變量將和的長度表示出來，并利用面積公式求出三角形的面積的表達式，利用與之間的關(guān)系，令將三角形的面積的表達式表示為以為自變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出三角形的面積的最大值，但是要注意自變量的取值范圍作為新函數(shù)的定義域.試題解析：（1）由題意知，，，，即三角形鐵皮的面積為；（2）設(shè)，則，，，，令，由于，所以，則有，所以，且，所以，故，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當時，取最大值，即，即剪下的鐵皮三角形的面積的最大值為.考點：1.三角形的面積；2.三角函數(shù)的最值；3.二次函數(shù)的最值18、（1）（2）億噸【解析】

（1）由題意計算平均數(shù)與回歸系數(shù),寫出回歸方程,即可求得答案;（2）計算2020年對應(yīng)的值以及的值,即可求得答案.【詳解】（1）由折線圖可得:關(guān)于的回歸方程:.（2）年對應(yīng)的值為當時,預(yù)測年我國生活垃圾無害化處理量為億噸.【點睛】本題主要考查了求數(shù)據(jù)的回歸直線方程和根據(jù)回歸直線方程進行預(yù)測,解題關(guān)鍵是掌握回歸直線的求法,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）由已知可求出的值，從而可求數(shù)列的通項公式；（2）由已知可求，從而可依次寫出，，若數(shù)列為等差數(shù)列，則有，從而可確定的值；（3）因為，，，檢驗知，3，4不合題意，適合題意．當時，若后添入的數(shù)則一定不適合題意，從而必定是數(shù)列中的某一項，設(shè)則誤解，即有都不合題意．故滿足題意的正整數(shù)只有．【詳解】解（1）因為，所以，解得或（舍），則又，所以（2）由，得，所以，，，則由，得而當時，，由（常數(shù)）知此時數(shù)列為等差數(shù)列（3）因為，易知不合題意，適合題意當時，若后添入的數(shù)，則一定不適合題意，從而必是數(shù)列中的某一項，則.整理得，等式左邊為偶數(shù)，等式右邊為奇數(shù)，所以無解。綜上：符合題意的正整數(shù).【點睛】本題主要考察了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考察了函數(shù)單調(diào)性的證明，屬于中檔題．20、（1）（2）（3）【解析】

（1）先根據(jù)題設(shè)知，再利用求得，驗證符合，最后答案可得．

（2）由題設(shè)可知，把代入，然后用錯位相減法求和；（3）計算，判斷其大于零時的范圍，可得數(shù)列取最大值時的項數(shù)，進而可得最大值..【詳解】解：（1）由已知得：，∵當時，，又當時，符合上式．（2）由已知得：①②②-①可得：（3）令，得：，又且，即為最