線性代數(shù)及應(yīng)用（高淑萍第2版） 課件 第1章 矩陣及應(yīng)用

第1章矩陣及應(yīng)用回顧我們從小學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，就是在重復(fù)數(shù)學(xué)發(fā)展的過程．一些數(shù)學(xué)后來被更有力的工具和更簡單的方法所產(chǎn)生的新的數(shù)學(xué)所替代了，即“初等”的被“高等”的所替代了.

什么是線性代數(shù)？雞兔同籠問題線性(linear)指量與量之間按比例、成直線的關(guān)系，可以理解為一階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)的函數(shù)．線性關(guān)系非線性關(guān)系非線性(non-linear)指不按比例、不成直線的關(guān)系，一階導(dǎo)數(shù)不為常數(shù)．什么是線性代數(shù)？線性代數(shù)研究多個變量之間的關(guān)系，各種實際問題在大多數(shù)情況下可以線性化，線性代數(shù)正是解決這些問題的有力工具．行列式矩陣向量線性空間線性變換線性方程組什么是線性代數(shù)？1.1高斯消元法1.1高斯消元法線性方程組的一般形式1.1高斯消元法非齊次線性方程組；否則稱為齊次線性方程組．齊次線性方程組總是有解的，因為至少有零解．例如1.1高斯消元法例解依次解出

，即得

解線性方程組1.1高斯消元法其基本思想是通過消元變形，把方程組化成容易求解的同解方程組．即得到能直接求出解或者能夠直接判斷其無解的同解方程組．以上求解線性方程組的方法稱為高斯消元法．自上而下未知量個數(shù)依次減少成為階梯形狀．階梯形方程組第1章矩陣及應(yīng)用1.2矩陣的定義與運(yùn)算矩陣的定義由

m×n

個數(shù)

排成的數(shù)稱為矩陣的第

i

行第

j列元素，簡稱為元．矩陣簡記為定義1m行

n列的矩形數(shù)表稱為

m行

n列矩陣，簡稱

m×n

矩陣．矩陣的定義只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量)．只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量)．可記作可記作元是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，是復(fù)數(shù)的稱為復(fù)矩陣．幾種特殊矩陣主對角線次對角線主對角線上的元稱為矩陣的主對角線元．次對角線上的元素稱為矩陣的次對角線元．行數(shù)與列數(shù)都等于

n的矩陣，稱為

n階方陣．可記作幾種特殊矩陣上三角形矩陣下三角形矩陣對角矩陣n階單位矩陣記作或零矩陣記作兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時，稱為同型矩陣．兩個矩陣與為同型矩陣，并且對應(yīng)元素相等，即A與

B相等，記作

A=B．則稱矩陣定義2設(shè)有兩個矩陣矩陣

A與

B的和記作，規(guī)定為只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運(yùn)算．矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算定義3注矩陣的加法與數(shù)乘統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算．設(shè)

A=(aij)，稱矩陣(-aij)為

A的負(fù)矩陣，記作-A．矩陣的線性運(yùn)算規(guī)律（其中為數(shù)）矩陣的運(yùn)算例1解矩陣的運(yùn)算其中

aij

表示工廠向第

i

家商店發(fā)送第

j種貨物的數(shù)量；貨物的單價及單件重量為的單價，bi2

表示第

i

種貨物的單件重量．某工廠向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量為試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量．例2這四種其中

bi1

表示第

i

種貨物解矩陣的運(yùn)算注意只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的定義4例如

行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘．矩陣的運(yùn)算解例3矩陣的運(yùn)算注意(1)矩陣乘法不滿足交換律；若

AB=BA，則稱

A與

B可交換．可交換的一定是方陣．n階單位陣與任何

n階矩陣乘法可交換．注意(2)注意(3)例如矩陣的運(yùn)算矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律(1)

乘法結(jié)合律

(2)

乘法對加法的分配律(3)

數(shù)乘和乘法的結(jié)合律（其中l(wèi)是數(shù)）(4)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即矩陣的運(yùn)算方陣冪的運(yùn)算規(guī)律思考A，B可交換時成立下列等式是否成立？矩陣的運(yùn)算例4解于是矩陣的運(yùn)算把矩陣

A的行換成同序數(shù)的列而得到的新矩陣，轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算規(guī)律定義5稱為矩陣

A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作例如矩陣的運(yùn)算已知解法1解法2例5矩陣的運(yùn)算如果滿足

AT

=-A，那么稱

A為反對稱矩陣．對稱陣反對稱陣設(shè)

A

為

n

階方陣，如果滿足，即對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等，反對稱陣的主對角線元為零．定義6那么稱

A為對稱矩陣．說明矩陣的運(yùn)算設(shè)列矩陣滿足證明例6矩陣的運(yùn)算證明任一

n

階矩陣都可表示成對稱陣與反對稱陣之和．證明所以

C為對稱矩陣，所以

B為反對稱矩陣，證畢．所以

C/2也是對稱矩陣．所以

B/2

也是反對稱矩陣．例7第1章矩陣及應(yīng)用1.3可逆矩陣可逆矩陣的定義在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)時，有其中為的倒數(shù)（或稱的逆)．矩陣的乘法是否也和數(shù)的乘法一樣有逆運(yùn)算呢？從乘法的角度來看，n階單位矩陣

E在同階方陣中的地位類似于

1在復(fù)數(shù)中的地位．本節(jié)討論的矩陣，如不特別說明，都是

n階方陣．可逆矩陣的定義對于任意的

n階方陣

A，若

A

可逆，則逆矩陣單位矩陣

E是可逆的，且是唯一的．定義說明可逆矩陣的定義解設(shè)是的逆矩陣，則所以例1可逆矩陣的定義證明設(shè)為任意二階矩陣，則若矩陣有全零行(全零列)，那么矩陣一定不可逆．例2說明可逆矩陣的定義結(jié)論可逆矩陣的性質(zhì)逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)證明123可逆矩陣的性質(zhì)證明4規(guī)定說明可逆矩陣的性質(zhì)證明所以可逆，且同理例3第1章矩陣及應(yīng)用1.4分塊矩陣分塊矩陣矩陣的按列分塊分塊矩陣分塊矩陣按列分塊按列分塊對于線性方程組系數(shù)矩陣增廣矩陣其中表示A的第

j列，分塊矩陣（1）分塊矩陣加（減）運(yùn)算：

分塊矩陣?yán)?解求矩陣

與的和．于是，所以分塊矩陣注分塊矩陣的加法與數(shù)乘運(yùn)算形式上與普通的矩陣運(yùn)算相同．矩陣的分塊方式?jīng)]有特別規(guī)定，對任意的分塊（2）分塊矩陣的數(shù)乘運(yùn)算：

都有在矩陣的運(yùn)算中，對矩陣的分塊要根據(jù)矩陣本身的特點而定.分塊矩陣（3）分塊矩陣的乘法：

則分塊矩陣?yán)?設(shè)，，求

AB．解而所以分塊矩陣注不僅形式上取轉(zhuǎn)置，而且每個子塊也取轉(zhuǎn)置．例如（4）分塊矩陣的轉(zhuǎn)置：設(shè)，則分塊矩陣?yán)纾?）分塊對角陣

即記為其中都是方陣，這樣的分塊陣稱為分塊對角陣.分塊矩陣分塊對角矩陣的性質(zhì)分塊矩陣?yán)?解設(shè)，求．分塊矩陣證明例4必要性顯然，下面證明充分性把

A按列分塊，有于是那么所以即第1章矩陣及應(yīng)用1.5初等變換與初等矩陣初等變換求解線性方程組引例對應(yīng)的增廣矩陣

后一個方程組有唯一解，它和原方程組是同解方程組，所以原方程組有唯一解：

對方程組反復(fù)進(jìn)行了三種變換，即：（1）互換兩個方程的位置；（2）用一個非零數(shù)

k乘某個方程；（3）把一個方程的

k倍加到另一個方程上．這三種變換稱為線性方程組的初等變換．初等變換下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：對調(diào)兩行，記作；以非零常數(shù)

k乘某一行的所有元素，記作；某一行加上另一行的

k倍，記作．把定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變換的定義．矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換．定義1初等變換若矩陣

A經(jīng)過一系列初等行(列)變換化為矩陣

B，若矩陣

A經(jīng)過一系列初等變換化為矩陣

B，則稱

A與

B123定義2則稱

A與

B行(列)等價，記作等價，記作自反性：任意矩陣

A

與自身等價；對稱性：若矩陣A與矩陣

B等價,則矩陣B與矩陣A等價；傳遞性：若矩陣A與矩陣B等價，矩陣B與矩陣

C等價，則矩陣A與矩陣C等價.初等變換求解線性方程組解對應(yīng)方程組為例1初等變換行階梯形矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全為零；每個臺階只有一行；階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素．行最簡形矩陣：非零行的第一個非零元為1；這些非零元所在的列的其它元素都為零．初等變換滿足下列兩個條件的矩陣稱為行階梯形矩陣

(簡稱階梯形)（1）若有零行，則零行位于非零行的下方；（2）每個首非零元（非零行從左邊數(shù)起第一個不為零的元）前面零的個數(shù)逐行增加．例如初等變換首非零元為

1，且首非零元所在列的其它元都為零的行階梯形矩陣稱為行最簡形矩陣，簡稱最簡形．例如定理1推論初等變換用初等行變換將矩陣

A化成階梯形和最簡形．解階梯形最簡形練習(xí)初等變換左上角為單位矩陣，其它元素均為零的矩陣稱為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣，簡稱標(biāo)準(zhǔn)形．注初等矩陣三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣．定義3由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換而得到的方陣稱為初等矩陣．

初等矩陣（1）交換單位陣

的第

行和第

行，或交換

第

列和第

列，得到的初等矩陣記為（2）用非零的數(shù)

乘單位陣的第

行或第

列得到的

初等矩陣記為初等矩陣（3）以

k

乘單位陣第

j行加到第

i

行，記作

Em(i,j(k))．以

k

乘單位陣第

i

列加到第

j列．

兩種理解！初等矩陣初等矩陣結(jié)論把矩陣

A的第

i

行與第

j行對調(diào)，即.把矩陣

A的第

i

列與第

j列對調(diào)，即.以非零常數(shù)

k乘矩陣

A的第

i

行，即

.以非零常數(shù)

k乘矩陣

A的第

i

列，即

.把

A第

j行的

k倍加到第

i

行，即

.把

A第

i

列的

k倍加到第

j列，即

.初等矩陣設(shè)

A是一個

m×n

矩陣，——左行右列定理2

對

A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在左邊乘以相應(yīng)的

m階初等矩陣；

對

A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在右邊乘以相應(yīng)的

n階初等矩陣．初等矩陣均是可逆矩陣，且其逆矩陣還是初等矩陣．說明初等矩陣?yán)?解可看成是先對矩陣

A實施一次交換第

2

行和第

3行的變換，再實施一次第

1行乘以數(shù)

k加到第

2行的變換所得到的.這相當(dāng)于先后用初等矩陣左乘矩陣，初等矩陣由定理1和定理2可知，以下結(jié)論成立設(shè)

A是任意

m×n

矩陣，必存在行最簡矩陣

U和設(shè)

A是任意

m×n

矩陣，必存在

m階可逆矩陣

P定理m階初等矩陣定理和

n階可逆矩陣

Q，使得其中初等矩陣n階方陣可逆的充要條件是它能表示成一些初等矩陣的乘積．(必要性)可見A

表示成了一些初等矩陣的乘積．因為可逆矩陣的乘積仍是可逆矩陣，故

A可逆．證明

(充分性)定理3初等矩陣123m×n

階矩陣

A與

B等價的充要條件是存在m階定理下面命題互相等價：n階方陣

A

可逆；方陣A可表為有限個初等矩陣的乘積.方陣A行等價于n階單位矩陣；推論可逆矩陣

P與

n階可逆矩陣

Q，使初等矩陣首先構(gòu)造分塊矩陣

；01OPTION02OPTION對矩陣

實施初等行變換，將

化為行最簡形矩陣；03OPTION

如果

不能行等價于

，則矩陣

不可逆；若

能行等價于

，

則

可逆，且

就行等價于

.判別矩陣是否可逆，并在可逆時求的具體步驟為：初等變換法初等矩陣解例3初等矩陣?yán)媚婢仃嚱饩€性方程組解例4初等矩陣說明解線性方程組思考初等矩陣解例5矩陣的秩例6解定義4第1章矩陣及應(yīng)用1.6線性方程組的解線性方程組的解例如齊次線性方程組總是有解的，因為至少有零解．高斯消元法解線性方程組線性方程組的解線性方程組的矩陣形式問題1：方程組是否有解？問題2：若方程組有解，則解是否唯一？問題3：若方程組有解，如何求出全部解？齊次線性方程組一定有解，這個解稱為齊次線性方程組的零解.如果齊次線性方程組有唯一解，則這個唯一解必定是零解.當(dāng)齊次線性方程組有無窮多解時，我們稱齊次線性方程組有非零解.非齊次線性方程組可能有無窮多解，唯一解，無解.線性方程組的解求解線性方程組解對應(yīng)方程組為回顧線性方程組的解解例1解方程組對該線性方程組的增廣矩陣實施初等行變換，得：原方程組等價于最后一個方程為矛盾方程，所以原方程組無解.線性方程組的解01OPTION02OPTION03OPTION對于

n元非齊次線性方程組，下列命題成立：該線性方程組有解的充要條件是首元不出現(xiàn)在的最后一列；該線性方程組有唯一解的充分必要條件是首元不出現(xiàn)在的最后一列，且首元的個數(shù)等于未知量的個數(shù)；該線性方程組有無窮多解的充分必要條件是首元不出現(xiàn)在的最后一列，且首元的個數(shù)小于未知量的個數(shù).線性方程組的解定義123定理矩陣的初等變換不改變矩陣的秩．證明思路（1）證明

A

經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)?/p>

B，則

R(B)≤R(A)；（2）B

也可經(jīng)由一次初等行變換變?yōu)?/p>

A，則

R(A)≤R(B)，

于是

R(A)=R(B)；

（3）經(jīng)過一次初等行變換的矩陣的秩不變，經(jīng)過有限次初等行變換的矩陣的秩仍然不變；（4）設(shè)

A

經(jīng)過初等列變換變?yōu)?/p>

B，則

AT

經(jīng)過初等行變換

變?yōu)?/p>

BT

，從而

R(AT)=R(BT)，于是

R(A)=R(B)．線性方程組的解推論