第十八章平行四邊形單元測(cè)試卷2023-2024學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第十八章平行四邊形單元測(cè)試卷一、單選題1．如圖，正方形的對(duì)角線是菱形的一邊，則等于（）A． B． C． D．2．化簡(jiǎn)二次根式除了利用二次根式的運(yùn)算法則外，還可以借助圖形解譯和驗(yàn)證．如化簡(jiǎn)，我們可以構(gòu)造如圖所示的圖形，其中圖1是一個(gè)面積為8的正方形，圖2是一個(gè)面積為2的正方形，根據(jù)兩圖的關(guān)系我們可以得到．這種分析問題的方法所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）A．分類討論思想 B．從一般到特殊思想C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 D．類比思想3．下列命題是假命題的是（）A．有一組鄰邊相等的矩形是正方形B．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形C．有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形D．有一組鄰邊相等的四邊形是菱形4．如圖，在ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，則△AOD的周長(zhǎng)是（）A．18 B．19 C．20 D．215．已知下列命題中：（1）矩形是軸對(duì)稱圖形，且有兩條對(duì)稱軸；（2）兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形；（3）有兩個(gè)角相等的平行四邊形是矩形；（4）兩條對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形．其中正確的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)6．如圖，△ABC中，E為BC邊的中點(diǎn)，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE=，則∠CDE+∠ACD=（）A．60° B．75° C．90° D．105°7．如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，如果，那么的度數(shù)為（）A． B． C． D．8．已知，四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O．設(shè)有以下條件：①AB＝AD；②AC＝BD；③AO＝CO，BO＝DO；④四邊形ABCD是矩形；⑤四邊形ABCD是菱形；⑥四邊形ABCD是正方形．那么，下列推理不成立的是（）A．①④?⑥ B．①③?⑤ C．①②?⑥ D．②③?④9．如圖，，是四邊形的對(duì)角線，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，，，，要使四邊形為正方形，則需添加的條件是（）A．， B．，C．， D．，10．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形中，連接，平分交于點(diǎn)E，F(xiàn)是邊上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)G，，連接交于點(diǎn)H.在下列結(jié)論中：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論是（）

A．①②③ B．①④ C．①②③④ D．②③④二、填空題11．如圖，為測(cè)量池塘邊A，B兩點(diǎn)的距離，小軍在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)P，測(cè)得PA，PB的中點(diǎn)分別是D、E，且DE的長(zhǎng)為16米，則A，B間的距離為米．12．如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，若重合部分構(gòu)成的四邊形中，，，則的長(zhǎng)為．13．如圖，在?ABCD中，AB＝9，AD＝6，∠DAB，∠ABC的平分線AE，BF分別與直線CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）EF的長(zhǎng)為．（2）把“問題”中的條件“AB＝9，AD＝6”去掉，其余條件不變，當(dāng)點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等時(shí)，求的值為．14．如圖，菱形的對(duì)角線長(zhǎng)度為6，邊長(zhǎng)，M為菱形外一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，N為中點(diǎn)，連接．則當(dāng)M運(yùn)動(dòng)的過程中，長(zhǎng)度的最大值為.三、解答題15．探究：如圖，分別以△ABC的兩邊AB和AC為邊向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于點(diǎn)P．（1）求證：∠ANC=∠ABE．（2）應(yīng)用：Q是線段BC的中點(diǎn)，若BC=6，則PQ=．16．如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊部分ABCD是菱形，為什么？17．如圖，矩形ABCD中，過對(duì)角線BD中點(diǎn)O的直線分別交AB，CD邊于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：四邊形BEDF是平行四邊形．18．在△ABC中，為AC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作交ED延長(zhǎng)線于點(diǎn).（1）求證：.（2）連結(jié)BE，若是AC中點(diǎn)，，求BE的長(zhǎng).四、綜合題19．如圖，在?ABCD中，DC＞AD，四個(gè)角的平分線AE，DE，BF，CF的交點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作DC與AB間的垂線MM'與NN'，在DC與AB上的垂足分別是M，N與M′，N′，連接EF．（1）求證：四邊形EFNM是矩形；（2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求EF的長(zhǎng)．20．如圖，已知平行四邊形中，.（1）求平行四邊形的面積；（2）求證：.21．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.（1）若AB＝4，BC＝6，求EC的長(zhǎng)；（2）若∠EAD＝50°，求∠BAE和∠D的度數(shù).22．已知：如圖，四邊形ABCD和四邊形AECF都是矩形，AE與BC交于點(diǎn)M，CF與AD交于點(diǎn)N．（1）求證：△ABM≌△CDN；（2）矩形ABCD和矩形AECF滿足何種關(guān)系時(shí)，四邊形AMCN是菱形，證明你的結(jié)論．23．如圖，是一個(gè)長(zhǎng)為2m，寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖b的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）你認(rèn)為圖b中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于多少？答：（2）請(qǐng)用兩種不同的方法求圖b中陰影部分的面積．方法1：方法2：（3）仔細(xì)觀察圖b，寫出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系．代數(shù)式：(m+n)2，(m－n)2，4mn答：（4）根據(jù)（3）題中所寫的等量關(guān)系，解決如下問題．若a+b=8，ab=5，則(a－b)2=．

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】C【解析】【解答】由圖可知：

面積為8的正方形的邊長(zhǎng)等于面積為2的正方形邊長(zhǎng)的2倍，

即

顯然，在題目描述過程中，構(gòu)造了相應(yīng)邊長(zhǎng)的正方形，將數(shù)字變化為圖像來研究，這樣的方法體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。

故答案為：C。【分析】理解并熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想3．【答案】D【解析】【解答】解：A、有一組鄰邊相等的矩形是正方形，正確，此命題是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，正確，此命題是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，正確，此命題是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，原命題錯(cuò)誤，是假命題，故此選項(xiàng)符合題意.故答案為：D.【分析】根據(jù)正方形、平行四邊形、矩形及菱形的判定方法逐項(xiàng)判斷可得答案.4．【答案】D【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，，，∴的周長(zhǎng)是：．故答案為：D．

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可得，，，再利用三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可。5．【答案】C【解析】【解答】解：已知如圖：（1）矩形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線是它的對(duì)稱軸，并且有兩條，故該不符合題意；（2）只有兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；故該不符合題意；（3）所有的平行四邊形對(duì)角都相等，但不一定是矩形，故該不符合題意；（4）兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，再加對(duì)角線相等則為矩形，故該不符合題意；所以其中正確的有（1）和（4）．故答案為：C．

【分析】矩形的判定定理：①三個(gè)角為90°的四邊形四矩形；②有一個(gè)角為90°的平行四邊形是矩形；③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；且矩形既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形.6．【答案】C【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，E為BC邊的中點(diǎn)，∴BC=2CE=，∵AB=2，AC=1，∴AC2+BC2=12+（）2=4=22=AB2，∴∠ACB=90°，∵tan∠A==，∴∠A=60°，∴∠ACD=∠B=30°，∴∠DCE=60°，∵DE=CE，∴∠CDE=60°，∴∠CDE+∠ACD=90°，故選C．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BC=2CE=，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到∠A=60°，求得∠ACD=∠B=30°，得到∠DCE=60°，于是得到結(jié)論．7．【答案】A【解析】【解答】解：矩形ABCD中

且互相平分

(三角形的一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和)故答案為：A

【分析】根據(jù)矩形對(duì)角線相等且互相平分的性質(zhì)，得到等邊，再根據(jù)等邊對(duì)等角、外角定理可求。8．【答案】C【解析】【解答】解：A、①④可以說明，一組鄰邊相等的矩形是正方形，故A正確．B、③可以說明四邊形是平行四邊形，再由①，一組臨邊相等的平行四邊形是菱形，故B正確．C、①②，只能說明兩組鄰邊分別相等，可能是菱形，但菱形不一定是正方形，故C錯(cuò)誤．D、③可以說明四邊形是平行四邊形，再由②可得：對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形，故D正確．故答案為：C.【分析】根據(jù)正方形的判定定理可判斷A；根據(jù)菱形的判定定理可判斷B；根據(jù)矩形的判定定理可判斷D.9．【答案】A【解析】【解答】點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，、、、分別是、、、的中位線，，，，，四邊形為平行四邊形，當(dāng)時(shí)，，平行四邊形是菱形；當(dāng)時(shí)，，即，菱形是正方形；故答案為：.【分析】根據(jù)三角形中位線定理得出，，，，進(jìn)而根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形為平行四邊形，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形得出：平行四邊形是菱形，當(dāng)時(shí)，，即，根據(jù)有一個(gè)角的直角的菱形是正方形得出結(jié)論.10．【答案】C【解析】【解答】解：①四邊形是正方形，，，，在和中，，，①正確；②在和中，，，，②正確；③由①得，，由②得，，，，，③正確；④，，平分，，在和中，，，，又，，，，，，，，④正確；∴正確的有①②③④，故答案為：C．【分析】①根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定可證；②根據(jù)全等三角形的判定SAS可證出；③根據(jù)全等三角形性質(zhì)和角的關(guān)系證出；④先根據(jù)全等三角形的判定證明，進(jìn)而得到，，再證得，得到DF=DG即可．11．【答案】12．【答案】【解析】【解答】解：連接AC，BD由題意得，四邊形ABCD是菱形，∴AO=1，AC⊥BD.由勾股定理得，，.【分析】連接AC，BD。由題意易證得四邊形ABCD是菱形，由菱形的性質(zhì)用勾股定理可求得OB的長(zhǎng)，則BD=2OB即可求解。13．【答案】（1）3（2）2或或【解析】【解答】解：（1）∵在?ABCD中，AB＝9，AD＝6∴BC=AD=6，CD=AB=9，AB//CD∵∠DAB的平分線AE∴∠DAE=∠EAB∵AB//CD∴∠DEA=∠DAB∴∠DEA=∠DAE∴DE=AD=6同理：CF=BC=6∴EF=CF+DE-CD=6+6-9=3故答案為3．（2）分兩種情況：①當(dāng)E、F在CD上時(shí)a.如圖3：當(dāng)E在F的左側(cè)時(shí)同（1）得：AD＝DE，∵點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等，∴AD＝DE＝EF＝CF，∴AB=3DE∴；b.如圖4：當(dāng)E在F的右側(cè)時(shí)同（1）得：AD＝DE＝CF，∵DF＝FE＝CE，∴AD=2DF，AB=3DF∴；②如圖5所示：點(diǎn)E、F在線段CD延長(zhǎng)線上時(shí)同（1）得：AD＝DE＝CF，∵DF＝DC＝CE∴AB=CD∴＝2．綜上所述，的值為2或或．【分析】（1）先求出∠DAE=∠EAB，再利用平行線的性質(zhì)求解即可；

（2）分類討論，結(jié)合圖形求解即可。14．【答案】【解析】【解答】解：如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接ON，由題意可知：

，，，

∴，

∵N為MD中點(diǎn)，O為AC中點(diǎn)，

∴ON∥BM，

∵BM⊥DM，

∴∠OND=90°，

取OD的中點(diǎn)E，連接CE、NE，

則，

，，

∵CN≤CE+NE，

∴當(dāng)N、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，CN長(zhǎng)度最長(zhǎng)為：，

故答案為：.

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、中位線定理，首先根據(jù)中位線定理以及菱形的性質(zhì)可以得出∠DNO=90°，再取OD的中點(diǎn)E，分別連接CE、NE可得出OE、CE、NE的值，當(dāng)N、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，CN長(zhǎng)度最大為.15．【答案】（1）證明：∵四邊形ANMB和ACDE是正方形，∴AN=AB，AC=AE，∠NAB=∠CAE=90°，∵∠NAC=∠NAB+∠BAC，∠BAE=∠BAC+∠CAE，∴∠NAC=∠BAE，在△ANC和△ABE中∴△ANC≌△ABE（SAS），∴∠ANC=∠ABE．（2）3【解析】（2）解：應(yīng)用：∵四邊形NABM是正方形，∴∠NAB=90°，∴∠ANC+∠AON=90°，∵∠BOP=∠AON，∠ANC=∠ABE，∴∠ABP+∠BOP=90°，∴∠BPC=∠ABP+∠BOP=90°，∵Q為BC中點(diǎn)，BC=6，∴PQ=BC=3，故答案為：3．【分析】（1）根據(jù)正方形的四條邊相等和四個(gè)角是直角得出△ANC和△ABE全等的條件，根據(jù)SAS判定△ANC≌△ABE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可求解.

（2）根據(jù)第一問的結(jié)論和正方形的四個(gè)角是直角得出∠BPC=90°，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求解.16．【答案】解：過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E

∴∠AFB=∠AED=90°

∵兩張等寬的紙條交叉重疊在一起

∴AE=AF

AB∥CD，AD∥BC

∴四邊形ABCD是平行時(shí)四邊形，

∴∠ABF=∠ADE

在△ABF和△ADE中

∠ABF=∠ADE∠AFB=∠AEDAF=AE

∴△ABF≌△ADE（AAS）

∴AB=AD

∴【解析】【分析】根據(jù)已知條件：兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，可證得四邊形ABCD是平行四邊形及AF=AE，再利用AAS證明△ABF≌△ADE，可證AB=AD，然后利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可證得結(jié)論。17．【答案】證明：∵四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點(diǎn)，

∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，

∴∠OBE=∠ODF．

在△BOE和△DOF中，

∵，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴EO=FO，

∴四邊形BEDF是平行四邊形．【解析】【分析】根據(jù)ASA先證明△BOE≌△DOF，從而得出OE=OF，然后根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可證得結(jié)論。18．【答案】（1）證明：(等腰三角形三線合一)又(對(duì)頂角相等)；（2）解：過點(diǎn)E作EM⊥BC于M，.又，點(diǎn)是AC中點(diǎn)

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD=8，又，EM⊥CD

∴BM=8+4=12，【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一可得BD=CD，由二直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得∠DBF=∠DCE，結(jié)合對(duì)頂角相等，用角邊角可證△BDF≌△CDE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可求解；

（2）過點(diǎn)E作EM⊥BC于M，由（1）中的全等三角形可得CE=BF=5，在Rt△ACD中，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DE=CE=5，用勾股定理可求得DC的值，根據(jù)等腰三角形的三線合一可得DM=DC=4，BD=CD=8，于是在Rt△DEM中，用勾股定理可求得EM，再在Rt△BEM中，利用勾股定理算出BE即可.19．【答案】（1）證明：過點(diǎn)E、F分別作AD、BC的垂線，垂足分別是G、H．∵∠3=∠4，∠1=∠2，EG⊥AD，EM⊥CD，EM′⊥AB∴EG=ME，EG=EM′∴EG=ME=ME′=MM′同理可證：FH=NF=N′F=NN′∵CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD，∴MM′=NN′∴ME=NF=EG=FH又∵M(jìn)M′∥NN′，MM′⊥CD∴四邊形EFNM是矩形（2）解：∵DC∥AB，∴∠CDA+∠DAB=180°，∵，∠2=∠DAB∴∠3+∠2=90°在Rt△DEA，∵AE=4，DE=3，∴AD==5．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠DAB=∠DCB，又∵∠2=∠DAB，∠5=∠DCB，∴∠2=∠5由（1）知GE=NF在Rt△GEA和Rt△CNF中∴△GEA≌△CNF∴AG=CN在Rt△DME和Rt△DGE中∵DE=DE，ME=EG∴△DME≌△DGE∴DG=DM∴DM+CN=DG+AG=AD=5∴MN=CD﹣DM﹣CN=9﹣5=4．∵四邊形EFNM是矩形．∴EF=MN=4【解析】【分析】（1）過點(diǎn)E、F分別作AD、BC的垂線，垂足分別是G、H，先利用角平分線的性質(zhì)可證得EG=ME=ME′=MM′，F(xiàn)H=NF=N′F=NN′，就可得出ME=NF=EG=FH，再由MM′∥NN′，MM′⊥CD，可證得結(jié)論。

（2）根據(jù)已知條件先證明△DEA是直角三角形，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，證明△GEA≌△CNF，可得出AG=CN，再證明△DME≌△DGE，得出DG=DM，就可證得DM+CN=DG+AG=AD=5，由MN=CD﹣DM﹣CN，求出MN的長(zhǎng)，然后利用矩形的性質(zhì)，可求得結(jié)果。20．【答案】（1）解：作，交的延長(zhǎng)線于，設(shè)，在中：……①在中：……②聯(lián)立①②解得：，平行四邊形的面積為（2）證明：如圖：作，垂足為，≌，，在中：，，又，【解析】【分析】（1）平行四邊形面積等于底乘以高，把AB看做底，若能求出其邊上的高則面積可求。過C作AB邊上的高，分別在Rt△CEB和Rt△CEA中，利用勾股定理列關(guān)系式，兩式聯(lián)立則高可求。代入面積公式即可。

（2）若求BD⊥BC，本題給出了有關(guān)線段的長(zhǎng)度，運(yùn)用勾股定理驗(yàn)證即可。BC、DC邊已知，只要求出BD的長(zhǎng)度，作DF垂直AB，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理。易求△ADF和△BCE全等，則DF和BF的長(zhǎng)度可求。從而BD長(zhǎng)度也可求。最后用勾股定理驗(yàn)證即可。21．【答案】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠AEB，又∵AE平分∠BAD，∴∠DAF＝∠BAE，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE＝4，∴EC＝BC﹣BE＝6﹣4＝2；（2）解：∵∠EAD＝50°，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝50°，∴∠BAD＝100°，∵AB∥CD，∴∠D+∠BAD＝180°，∴∠D＝180°﹣100°＝80°.【解析】【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出∠AEB＝∠BAE，進(jìn)而得出AB＝BE，由此即可求得EC的長(zhǎng)；（2）利用角平分線定義和平行線的性質(zhì)即可解答.22．