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華中師大新高三下第一次測(cè)試新高考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若函數(shù),在區(qū)間上任取三個(gè)實(shí)數(shù),,均存在以,,為邊長(zhǎng)的三角形,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形及正方形內(nèi)一段圓弧組成,則這個(gè)幾何體的表面積是()A. B. C. D.3.《易·系辭上》有“河出圖,洛出書(shū)”之說(shuō),河圖、洛書(shū)是中華文化,陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源,其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中.如圖,白圈為陽(yáng)數(shù),黑點(diǎn)為陰數(shù).若從這10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù),則這3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為()A. B. C. D.4.設(shè)直線(xiàn)的方程為,圓的方程為,若直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為,則實(shí)數(shù)的取值為A.或11 B.或11 C. D.5.如圖,四邊形為正方形,延長(zhǎng)至,使得,點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng).設(shè),則的取值范圍是()A. B. C. D.6.函數(shù)fxA. B.C. D.7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)利用暑假游玩某風(fēng)景名勝大峽谷,四人各自去景區(qū)的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠(yuǎn)古村寨四大景點(diǎn)中的一個(gè),每個(gè)景點(diǎn)去一人.已知:①甲不在遠(yuǎn)古村寨,也不在百里絕壁;②乙不在原始森林,也不在遠(yuǎn)古村寨;③“丙在遠(yuǎn)古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件;④丁不在百里絕壁,也不在遠(yuǎn)古村寨.若以上語(yǔ)句都正確,則游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁8.祖暅原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.意思是說(shuō):兩個(gè)同高的幾何體,如在等高處的截面積恒相等,則體積相等.設(shè)、為兩個(gè)同高的幾何體,、的體積不相等,、在等高處的截面積不恒相等.根據(jù)祖暅原理可知,是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.如圖所示是某年第一季度五省GDP情況圖,則下列說(shuō)法中不正確的是()A.該年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山東省B.與去年同期相比,該年第一季度的GDP總量實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng)C.該年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2個(gè)D.去年同期浙江省的GDP總量超過(guò)了4500億元10.已知非零向量、,若且,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.11.已知直線(xiàn):與圓:交于,兩點(diǎn),與平行的直線(xiàn)與圓交于,兩點(diǎn),且與的面積相等,給出下列直線(xiàn):①,②,③,④.其中滿(mǎn)足條件的所有直線(xiàn)的編號(hào)有()A.①② B.①④ C.②③ D.①②④12.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則()A.21 B.22 C.11 D.12二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在四面體中,與都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,且平面平面,則該四面體外接球的體積為_(kāi)______.14.正方形的邊長(zhǎng)為2,圓內(nèi)切于正方形,為圓的一條動(dòng)直徑,點(diǎn)為正方形邊界上任一點(diǎn),則的取值范圍是______.15.已知隨機(jī)變量,且,則______16.復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)的虛部為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在平面四邊形中,已知,.(1)若,求的面積;(2)若求的長(zhǎng).18.(12分)設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線(xiàn)為,為過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的拋物線(xiàn)的弦,已知以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求的值及該圓的方程;(2)設(shè)為上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn),切點(diǎn)為,證明:.19.(12分)隨著電子閱讀的普及,傳統(tǒng)紙質(zhì)媒體遭受到了強(qiáng)烈的沖擊.某雜志社近9年來(lái)的紙質(zhì)廣告收入如下表所示:根據(jù)這9年的數(shù)據(jù),對(duì)和作線(xiàn)性相關(guān)性檢驗(yàn),求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.243;根據(jù)后5年的數(shù)據(jù),對(duì)和作線(xiàn)性相關(guān)性檢驗(yàn),求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.984.(1)如果要用線(xiàn)性回歸方程預(yù)測(cè)該雜志社2019年的紙質(zhì)廣告收入,現(xiàn)在有兩個(gè)方案,方案一:選取這9年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè),方案二:選取后5年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè).從實(shí)際生活背景以及線(xiàn)性相關(guān)性檢驗(yàn)的角度分析,你覺(jué)得哪個(gè)方案更合適?附:相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表:(2)某購(gòu)物網(wǎng)站同時(shí)銷(xiāo)售某本暢銷(xiāo)書(shū)籍的紙質(zhì)版本和電子書(shū),據(jù)統(tǒng)計(jì),在該網(wǎng)站購(gòu)買(mǎi)該書(shū)籍的大量讀者中,只購(gòu)買(mǎi)電子書(shū)的讀者比例為,紙質(zhì)版本和電子書(shū)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的讀者比例為,現(xiàn)用此統(tǒng)計(jì)結(jié)果作為概率,若從上述讀者中隨機(jī)調(diào)查了3位,求購(gòu)買(mǎi)電子書(shū)人數(shù)多于只購(gòu)買(mǎi)紙質(zhì)版本人數(shù)的概率.20.(12分)2018年9月,臺(tái)風(fēng)“山竹”在我國(guó)多個(gè)省市登陸,造成直接經(jīng)濟(jì)損失達(dá)52億元.某青年志愿者組織調(diào)查了某地區(qū)的50個(gè)農(nóng)戶(hù)在該次臺(tái)風(fēng)中造成的直接經(jīng)濟(jì)損失,將收集的數(shù)據(jù)分成五組:,,,,(單位:元),得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該地區(qū)每個(gè)農(nóng)戶(hù)的平均損失(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);(2)臺(tái)風(fēng)后該青年志愿者與當(dāng)?shù)卣蛏鐣?huì)發(fā)出倡議,為該地區(qū)的農(nóng)戶(hù)捐款幫扶,現(xiàn)從這50戶(hù)并且損失超過(guò)4000元的農(nóng)戶(hù)中隨機(jī)抽取2戶(hù)進(jìn)行重點(diǎn)幫扶,設(shè)抽出損失超過(guò)8000元的農(nóng)戶(hù)數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.21.(12分)在中,角的對(duì)邊分別為,且.(1)求角的大??;(2)已知外接圓半徑,求的周長(zhǎng).22.(10分)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于,兩點(diǎn),且,若,到軸距離的乘積為.(1)求的方程;(2)設(shè)點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),當(dāng)面積最小時(shí),求直線(xiàn)的方程.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
利用導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間上的最大值和最小,根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式,由此求得的取值范圍.【詳解】的定義域?yàn)?,,所以在上遞減,在上遞增,在處取得極小值也即是最小值,,,,,所以在區(qū)間上的最大值為.要使在區(qū)間上任取三個(gè)實(shí)數(shù),,均存在以,,為邊長(zhǎng)的三角形,則需恒成立,且,也即,也即當(dāng)、時(shí),成立,即,且,解得.所以的取值范圍是.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,考查恒成立問(wèn)題的求解,屬于中檔題.2、C【解析】
畫(huà)出直觀圖,由球的表面積公式求解即可【詳解】這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示,它是由一個(gè)正方體中挖掉個(gè)球而形成的,所以它的表面積為.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計(jì)算,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.3、C【解析】
先根據(jù)組合數(shù)計(jì)算出所有的情況數(shù),再根據(jù)“3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列”列舉得到滿(mǎn)足條件的情況,由此可求解出對(duì)應(yīng)的概率.【詳解】所有的情況數(shù)有:種,3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有:,共種,所以目標(biāo)事件的概率.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查概率與等差數(shù)列的綜合,涉及到背景文化知識(shí),難度一般.求解該類(lèi)問(wèn)題可通過(guò)古典概型的概率求解方法進(jìn)行分析;當(dāng)情況數(shù)較多時(shí),可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計(jì)算.4、A【解析】
圓的圓心坐標(biāo)為(1,1),該圓心到直線(xiàn)的距離,結(jié)合弦長(zhǎng)公式得,解得或,故選A.5、C【解析】
以為坐標(biāo)原點(diǎn),以分別為x軸,y軸建立直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可解決.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,則,,設(shè),則,所以,且,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求變量的取值范圍,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,本題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,是一道基礎(chǔ)題.6、A【解析】
由f12=e-14>0排除選項(xiàng)D;【詳解】由f12=e-14>0,可排除選項(xiàng)D,f-1=-e【點(diǎn)睛】本題通過(guò)對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.這類(lèi)題型也是近年高考常見(jiàn)的命題方向,該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多,但是并不是無(wú)路可循.解答這類(lèi)題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及x→07、D【解析】
根據(jù)演繹推理進(jìn)行判斷.【詳解】由①②④可知甲乙丁都不在遠(yuǎn)古村寨,必有丙同學(xué)去了遠(yuǎn)古村寨,由③可知必有甲去了原始森林,由④可知丁去了千丈瀑布,因此游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是?。蔬x:D.【點(diǎn)睛】本題考查演繹推理,掌握演繹推理的定義是解題基礎(chǔ).8、A【解析】
由題意分別判斷命題的充分性與必要性,可得答案.【詳解】解:由題意,若、的體積不相等,則、在等高處的截面積不恒相等,充分性成立;反之,、在等高處的截面積不恒相等,但、的體積可能相等,例如是一個(gè)正放的正四面體,一個(gè)倒放的正四面體,必要性不成立,所以是的充分不必要條件,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判定,意在考查學(xué)生的邏輯推理能力.9、D【解析】
根據(jù)折線(xiàn)圖、柱形圖的性質(zhì),對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】由折線(xiàn)圖可知A、B項(xiàng)均正確,該年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江蘇均第一.河南均第四.共2個(gè).故C項(xiàng)正確;.故D項(xiàng)不正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查折線(xiàn)圖、柱形圖的識(shí)別,考查學(xué)生的閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力,屬于中檔題.10、D【解析】
設(shè)非零向量與的夾角為,在等式兩邊平方,求出的值,進(jìn)而可求得向量在向量方向上的投影為,即可得解.【詳解】,由得,整理得,,解得,因此,向量在向量方向上的投影為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的計(jì)算,同時(shí)也考查利用向量的模計(jì)算向量的夾角,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
求出圓心到直線(xiàn)的距離為:,得出,根據(jù)條件得出到直線(xiàn)的距離或時(shí)滿(mǎn)足條件,即可得出答案.【詳解】解:由已知可得:圓:的圓心為(0,0),半徑為2,則圓心到直線(xiàn)的距離為:,∴,而,與的面積相等,∴或,即到直線(xiàn)的距離或時(shí)滿(mǎn)足條件,根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離可知,①②④滿(mǎn)足條件.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,涉及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式.12、A【解析】
由題意知成等差數(shù)列,結(jié)合等差中項(xiàng),列出方程,即可求出的值.【詳解】解:由為等差數(shù)列,可知也成等差數(shù)列,所以,即,解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了等差中項(xiàng).對(duì)于等差數(shù)列,一般用首項(xiàng)和公差將已知量表示出來(lái),繼而求出首項(xiàng)和公差.但是這種基本量法計(jì)算量相對(duì)比較大,如果能結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì),可使得計(jì)算量大大減少.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先確定球心的位置,結(jié)合勾股定理可求球的半徑,進(jìn)而可得球的面積.【詳解】取的外心為,設(shè)為球心,連接,則平面,取的中點(diǎn),連接,,過(guò)做于點(diǎn),易知四邊形為矩形,連接,,設(shè),.連接,則,,三點(diǎn)共線(xiàn),易知,所以,.在和中,,,即,,所以,,得.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的外接球問(wèn)題,外接球的半徑的求解一般有兩個(gè)思路:一是確定球心位置,利用勾股定理求解半徑;二是利用熟悉的模型求解半徑,比如長(zhǎng)方體外接球半徑是其對(duì)角線(xiàn)的一半.14、【解析】
根據(jù)向量關(guān)系表示,只需求出的取值范圍即可得解.【詳解】由題可得:,故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查求平面向量數(shù)量積的取值范圍,涉及基本運(yùn)算,關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)貙?duì)向量進(jìn)行轉(zhuǎn)換,便于計(jì)算解題.15、0.1【解析】
根據(jù)原則,可得,簡(jiǎn)單計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:隨機(jī)變量,則期望為所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的計(jì)算,掌握正態(tài)曲線(xiàn)的圖形以及計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.16、1【解析】試題分析:,即虛部為1,故填:1.考點(diǎn):復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)在三角形中,利用余弦定理列方程,解方程求得的長(zhǎng),進(jìn)而由三角形的面積公式求得三角形的面積.(2)利用誘導(dǎo)公式求得,進(jìn)而求得,利用兩角差的正弦公式,求得,在三角形中利用正弦定理求得,在三角形中利用余弦定理求得的長(zhǎng).【詳解】(1)在中,,解得,.(2)在中,,..【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形的面積公式,屬于中檔題.18、(1),圓的方程為:.(2)答案見(jiàn)解析【解析】
(1)根據(jù)題意,可知點(diǎn)的坐標(biāo)為,即可求出的值,即可求出該圓的方程;(2)由題易知,直線(xiàn)的斜率存在且不為0,設(shè)的方程為,與拋物線(xiàn)聯(lián)立方程組,根據(jù),求得,化簡(jiǎn)解得,進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)為,分別求出,,利用向量的數(shù)量積為0,即可證出.【詳解】解:(1)易知點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,解得.又圓的圓心為,所以圓的方程為.(2)證明易知,直線(xiàn)的斜率存在且不為0,設(shè)的方程為,代入的方程,得.令,得,所以,解得.將代入的方程,得,即點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以,,.故.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的方程,考查直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的位置關(guān)系,利用聯(lián)立方程組、求交點(diǎn)坐標(biāo)以及向量的數(shù)量積,考查解題能力和計(jì)算能力.19、(1)選取方案二更合適;(2)【解析】
(1)可以預(yù)見(jiàn),2019年的紙質(zhì)廣告收入會(huì)接著下跌,前四年的增長(zhǎng)趨勢(shì)已經(jīng)不能作為預(yù)測(cè)后續(xù)數(shù)據(jù)的依據(jù),而后5年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值,所以有的把握認(rèn)為與具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,從而可得結(jié)論;(2)求得購(gòu)買(mǎi)電子書(shū)的概率為,只購(gòu)買(mǎi)紙質(zhì)書(shū)的概率為,購(gòu)買(mǎi)電子書(shū)人數(shù)多于只購(gòu)買(mǎi)紙質(zhì)書(shū)人數(shù)有兩種情況:3人購(gòu)買(mǎi)電子書(shū),2人購(gòu)買(mǎi)電子書(shū)一人只購(gòu)買(mǎi)紙質(zhì)書(shū),由此能求出購(gòu)買(mǎi)電子書(shū)人數(shù)多于只購(gòu)買(mǎi)紙質(zhì)版本人數(shù)的概率.【詳解】(1)選取方案二更合適,理由如下:①題中介紹了,隨著電子閱讀的普及,傳統(tǒng)紙媒受到了強(qiáng)烈的沖擊,從表格中的數(shù)據(jù)中可以看出從2014年開(kāi)始,廣告收入呈現(xiàn)逐年下降的趨勢(shì),可以預(yù)見(jiàn),2019年的紙質(zhì)廣告收入會(huì)接著下跌,前四年的增長(zhǎng)趨勢(shì)已經(jīng)不能作為預(yù)測(cè)后續(xù)數(shù)據(jù)的依據(jù).②相關(guān)系數(shù)越接近1,線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng),因?yàn)楦鶕?jù)9年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值,我們沒(méi)有理由認(rèn)為與具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系;而后5年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值,所以有的把握認(rèn)為與具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系.(2)因?yàn)樵谠摼W(wǎng)站購(gòu)買(mǎi)該書(shū)籍的大量讀者中,只購(gòu)買(mǎi)電子書(shū)的讀者比例為,紙質(zhì)版本和電子書(shū)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的讀者比例為,所以從該網(wǎng)站購(gòu)買(mǎi)該書(shū)籍的大量讀者中任取一位,購(gòu)買(mǎi)電子書(shū)的概率為,只購(gòu)買(mǎi)紙質(zhì)書(shū)的概率為,購(gòu)買(mǎi)電子書(shū)人數(shù)多于只購(gòu)買(mǎi)紙質(zhì)書(shū)人數(shù)有兩種情況:3人購(gòu)買(mǎi)電子書(shū),2人購(gòu)買(mǎi)電子書(shū)一人只購(gòu)買(mǎi)紙質(zhì)書(shū).概率為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查最優(yōu)方案的選擇,考查了相關(guān)關(guān)系的定義以及互斥事件的概率與獨(dú)立事件概率公式的應(yīng)用,考查閱讀能力與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向,這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書(shū)本知識(shí),解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題,只有吃透題意,才能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.20、(1)3360元;(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算每個(gè)農(nóng)戶(hù)的平均損失;(2)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算隨機(jī)變量X的可能取值,再求X的分布列和數(shù)學(xué)期望值.【詳解】(1)記每個(gè)農(nóng)戶(hù)的平均損失為元,則;(2)由頻率分布直方圖,可得損失超過(guò)1000元的農(nóng)戶(hù)共有(0.00009+0.00003+0.00003)×2000×50=15(戶(hù)),損失超過(guò)8000元的農(nóng)戶(hù)
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