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浙江省余姚八中高三第一次診斷性檢測試題新高考數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.三國時代吳國數(shù)學家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形,分別涂成紅(朱)色及黃色,其面積稱為朱實、黃實,利用,化簡,得.設(shè)勾股形中勾股比為,若向弦圖內(nèi)隨機拋擲顆圖釘(大小忽略不計),則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為()A. B. C. D.2.若函數(shù),在區(qū)間上任取三個實數(shù),,均存在以,,為邊長的三角形,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.3.已知是球的球面上兩點,,為該球面上的動點.若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為()A. B. C. D.4.下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是()A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+π(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)5.已知,,則()A. B. C.3 D.46.過雙曲線左焦點的直線交的左支于兩點,直線(是坐標原點)交的右支于點,若,且,則的離心率是()A. B. C. D.7.已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過圓的圓心,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.28.如圖,這是某校高三年級甲、乙兩班在上學期的5次數(shù)學測試的班級平均分的莖葉圖,則下列說法不正確的是()A.甲班的數(shù)學成績平均分的平均水平高于乙班B.甲班的數(shù)學成績的平均分比乙班穩(wěn)定C.甲班的數(shù)學成績平均分的中位數(shù)高于乙班D.甲、乙兩班這5次數(shù)學測試的總平均分是1039.函數(shù)在上的圖象大致為()A. B. C. D.10.若滿足,且目標函數(shù)的最大值為2,則的最小值為()A.8 B.4 C. D.611.若,則,,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.12.若,則的虛部是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.雙曲線的焦距為__________,漸近線方程為________.14.棱長為的正四面體與正三棱錐的底面重合,若由它們構(gòu)成的多面體的頂點均在一球的球面上,則正三棱錐的內(nèi)切球半徑為______.15.已知正實數(shù)滿足,則的最小值為.16.在棱長為的正方體中,是正方形的中心,為的中點,過的平面與直線垂直,則平面截正方體所得的截面面積為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱錐中,,,,平面平面,、分別為、中點.(1)求證:;(2)求二面角的大?。?8.(12分)已知直線的參數(shù)方程:(為參數(shù))和圓的極坐標方程:(1)將直線的參數(shù)方程化為普通方程,圓的極坐標方程化為直角坐標方程;(2)已知點,直線與圓相交于、兩點,求的值.19.(12分)如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形,底面,是的中點.(1).求證:平面平面;(2).若二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)過點P(-4,0)的動直線l與拋物線相交于D、E兩點,已知當l的斜率為時,.(1)求拋物線C的方程;(2)設(shè)的中垂線在軸上的截距為,求的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù).(1)解關(guān)于的不等式;(2)若函數(shù)的圖象恒在直線的上方,求實數(shù)的取值范圍22.(10分)橢圓:()的離心率為,它的四個頂點構(gòu)成的四邊形面積為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)是直線上任意一點,過點作圓的兩條切線,切點分別為,,求證:直線恒過一個定點.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分析:設(shè)三角形的直角邊分別為1,,利用幾何概型得出圖釘落在小正方形內(nèi)的概率即可得出結(jié)論.解析:設(shè)三角形的直角邊分別為1,,則弦為2,故而大正方形的面積為4,小正方形的面積為.圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為.落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為.故選:A.點睛:應用幾何概型求概率的方法建立相應的幾何概型,將試驗構(gòu)成的總區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形,并加以度量.(1)一般地,一個連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型,只需把這個變量放在數(shù)軸上即可;(2)若一個隨機事件需要用兩個變量來描述,則可用這兩個變量的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件,然后利用平面直角坐標系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型;(3)若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述,則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件,利用空間直角坐標系即可建立與體積有關(guān)的幾何概型.2、D【解析】
利用導數(shù)求得在區(qū)間上的最大值和最小,根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式,由此求得的取值范圍.【詳解】的定義域為,,所以在上遞減,在上遞增,在處取得極小值也即是最小值,,,,,所以在區(qū)間上的最大值為.要使在區(qū)間上任取三個實數(shù),,均存在以,,為邊長的三角形,則需恒成立,且,也即,也即當、時,成立,即,且,解得.所以的取值范圍是.故選:D【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值,考查恒成立問題的求解,屬于中檔題.3、C【解析】
如圖所示,當點C位于垂直于面的直徑端點時,三棱錐的體積最大,設(shè)球的半徑為,此時,故,則球的表面積為,故選C.考點:外接球表面積和椎體的體積.4、C【解析】
利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.【詳解】與的終邊相同的角可以寫成2kπ+(k∈Z),但是角度制與弧度制不能混用,所以只有答案C正確.故答案為C【點睛】(1)本題主要考查終邊相同的角的公式,意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)與終邊相同的角=+其中.5、A【解析】
根據(jù)復數(shù)相等的特征,求出和,再利用復數(shù)的模公式,即可得出結(jié)果.【詳解】因為,所以,解得則.故選:A.【點睛】本題考查相等復數(shù)的特征和復數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
如圖,設(shè)雙曲線的右焦點為,連接并延長交右支于,連接,設(shè),利用雙曲線的幾何性質(zhì)可以得到,,結(jié)合、可求離心率.【詳解】如圖,設(shè)雙曲線的右焦點為,連接,連接并延長交右支于.因為,故四邊形為平行四邊形,故.又雙曲線為中心對稱圖形,故.設(shè),則,故,故.因為為直角三角形,故,解得.在中,有,所以.故選:D.【點睛】本題考查雙曲線離心率,注意利用雙曲線的對稱性(中心對稱、軸對稱)以及雙曲線的定義來構(gòu)造關(guān)于的方程,本題屬于難題.7、B【解析】
求出圓心,代入漸近線方程,找到的關(guān)系,即可求解.【詳解】解:,一條漸近線,故選:B【點睛】利用的關(guān)系求雙曲線的離心率,是基礎(chǔ)題.8、D【解析】
計算兩班的平均值,中位數(shù),方差得到正確,兩班人數(shù)不知道,所以兩班的總平均分無法計算,錯誤,得到答案.【詳解】由題意可得甲班的平均分是104,中位數(shù)是103,方差是26.4;乙班的平均分是102,中位數(shù)是101,方差是37.6,則A,B,C正確.因為甲、乙兩班的人數(shù)不知道,所以兩班的總平均分無法計算,故D錯誤.故選:.【點睛】本題考查了莖葉圖,平均值,中位數(shù),方差,意在考查學生的計算能力和應用能力.9、C【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時的符號,即可求解.【詳解】由可知函數(shù)為奇函數(shù).所以函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱,排除選項A,B;當時,,,排除選項D,故選:C.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對稱性,屬于中檔題.10、A【解析】
作出可行域,由,可得.當直線過可行域內(nèi)的點時,最大,可得.再由基本不等式可求的最小值.【詳解】作出可行域,如圖所示由,可得.平移直線,當直線過可行域內(nèi)的點時,最大,即最大,最大值為2.解方程組,得..,當且僅當,即時,等號成立.的最小值為8.故選:.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃,考查基本不等式,屬于中檔題.11、D【解析】因為,所以,因為,,所以,.綜上;故選D.12、D【解析】
通過復數(shù)的乘除運算法則化簡求解復數(shù)為:的形式,即可得到復數(shù)的虛部.【詳解】由題可知,所以的虛部是1.故選:D.【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的混合運算,復數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、6【解析】由題得所以焦距,故第一個空填6.由題得漸近線方程為.故第二個空填.14、【解析】
由棱長為的正四面體求出外接球的半徑,進而求出正三棱錐的高及側(cè)棱長,可得正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直,進而求出體積與表面積,設(shè)內(nèi)切圓的半徑,由等體積,求出內(nèi)切圓的半徑.【詳解】由題意可知:多面體的外接球即正四面體的外接球作面交于,連接,如圖則,且為外接球的直徑,可得,設(shè)三角形的外接圓的半徑為,則,解得,設(shè)外接球的半徑為,則可得,即,解得,設(shè)正三棱錐的高為,因為,所以,所以,而,所以正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直,所以,設(shè)內(nèi)切球的半徑為,,即解得:.故答案為:.【點睛】本題考查多面體與球的內(nèi)切和外接問題,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查空間想象能力、運算求解能力,求解時注意借助幾何體的直觀圖進行分析.15、4【解析】
由題意結(jié)合代數(shù)式的特點和均值不等式的結(jié)論整理計算即可求得最終結(jié)果.【詳解】.當且僅當時等號成立.據(jù)此可知:的最小值為4.【點睛】條件最值的求解通常有兩種方法:一是消元法,即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系,然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解;二是將條件靈活變形,利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子,然后利用基本不等式求解最值.16、【解析】
確定平面即為平面,四邊形是菱形,計算面積得到答案.【詳解】如圖,在正方體中,記的中點為,連接,則平面即為平面.證明如下:由正方體的性質(zhì)可知,,則,四點共面,記的中點為,連接,易證.連接,則,所以平面,則.同理可證,,,則平面,所以平面即平面,且四邊形即平面截正方體所得的截面.因為正方體的棱長為,易知四邊形是菱形,其對角線,,所以其面積.故答案為:【點睛】本題考查了正方體的截面面積,意在考查學生的空間想象能力和計算能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)60°.【解析】試題分析:(1)連結(jié)PD,由題意可得,則AB⊥平面PDE,;(2)法一:結(jié)合幾何關(guān)系做出二面角的平面角,計算可得其正切值為,故二面角的大小為;法二:以D為原點建立空間直角坐標系,計算可得平面PBE的法向量.平面PAB的法向量為.據(jù)此計算可得二面角的大小為.試題解析:(1)連結(jié)PD,PA=PB,PDAB.,BCAB,DEAB.又,AB平面PDE,PE平面PDE,∴ABPE.(2)法一:平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PDAB,PD平面ABC.則DEPD,又EDAB,PD平面AB=D,DE平面PAB,過D做DF垂直PB與F,連接EF,則EFPB,∠DFE為所求二面角的平面角,則:DE=,DF=,則,故二面角的大小為法二:平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PDAB,PD平面ABC.如圖,以D為原點建立空間直角坐標系,B(1,0,0),P(0,0,),E(0,,0),=(1,0,),=(0,,).設(shè)平面PBE的法向量,令,得.DE平面PAB,平面PAB的法向量為.設(shè)二面角的大小為,由圖知,,所以即二面角的大小為.18、(1):,:;(2)【解析】
(1)消去參數(shù)求得直線的普通方程,將兩邊同乘以,化簡求得圓的直角坐標方程.(2)求得直線的標準參數(shù)方程,代入圓的直角坐標方程,化簡后寫出韋達定理,根據(jù)直線參數(shù)的幾何意義,求得的值.【詳解】(1)消去參數(shù),得直線的普通方程為,將兩邊同乘以得,,∴圓的直角坐標方程為;(2)經(jīng)檢驗點在直線上,可轉(zhuǎn)化為①,將①式代入圓的直角坐標方程為得,化簡得,設(shè)是方程的兩根,則,,∵,∴與同號,由的幾何意義得.【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程,考查利用直線參數(shù)的幾何意義求解距離問題,屬于中檔題.19、(1)見解析;(2).【解析】試題分析:(1)根據(jù)平面有,利用勾股定理可證明,故平面,再由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論;(2)在點建立空間直角坐標系,利用二面角的余弦值為建立方程求得,在利用法向量求得和平面所成角的正弦值.試題解析:(Ⅰ)平面平面因為,所以,所以,所以,又,所以平面.因為平面,所以平面平面.(Ⅱ)如圖,以點為原點,分別為軸、軸、軸正方向,建立空間直角坐標系,則.設(shè),則取,則為面法向量.設(shè)為面的法向量,則,即,取,則依題意,則.于是.設(shè)直線與平面所成角為,則即直線與平面所成角的正弦值為.20、;【解析】
根據(jù)題意,求出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達定理,結(jié)合,即可求出拋物線C的方程;設(shè),的中
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