2022-2023學年云南省玉溪第二中學數(shù)學高三上期末達標測試試題含解析

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．蒙特卡洛算法是以概率和統(tǒng)計的理論、方法為基礎的一種計算方法，將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系；用均勻投點實現(xiàn)統(tǒng)計模擬和抽樣，以獲得問題的近似解，故又稱統(tǒng)計模擬法或統(tǒng)計實驗法.現(xiàn)向一邊長為的正方形模型內(nèi)均勻投點，落入陰影部分的概率為，則圓周率（）A． B．C． D．2．復數(shù)（）．A． B． C． D．3．已知函數(shù)，其中，記函數(shù)滿足條件：為事件，則事件發(fā)生的概率為A． B．C． D．4．已知將函數(shù)（，）的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若和的圖象都關(guān)于對稱，則下述四個結(jié)論：①②③④點為函數(shù)的一個對稱中心其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④5．一個盒子里有4個分別標有號碼為1，2，3，4的小球，每次取出一個，記下它的標號后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標號最大值是4的取法有（）A．17種 B．27種 C．37種 D．47種6．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作一條直線與雙曲線右支交于兩點，坐標原點為，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．是平面上的一定點，是平面上不共線的三點，動點滿足，，則動點的軌跡一定經(jīng)過的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心9．已知函數(shù)（表示不超過x的最大整數(shù)），若有且僅有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．10．設為銳角，若，則的值為（）A． B． C． D．11．已知正三角形的邊長為2，為邊的中點，、分別為邊、上的動點，并滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)（）的最小值為0，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，若，則實數(shù)______.14．設函數(shù)，則______.15．在平行四邊形中，已知，，，若，，則____________．16．《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學名著，其中《方田》一章給出了弧田面積的計算公式．如圖所示，弧田是由圓弧AB和其所對弦AB圍成的圖形，若弧田的弧AB長為4π，弧所在的圓的半徑為6，則弧田的弦AB長是__________，弧田的面積是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，．（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求的值；（2）若，問函數(shù)有無極值點？若有，請求出極值點的個數(shù)；若沒有，請說明理由．18．（12分）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且（1）求；（2）若，且面積的最大值為，求周長的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)（1）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若方程有兩個不同實根，，證明：．20．（12分）設點，動圓經(jīng)過點且和直線相切.記動圓的圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點的直線與曲線交于、兩點，且直線與軸交于點，設，，求證：為定值.21．（12分）正項數(shù)列的前n項和Sn滿足：(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明：對于任意的n∈N*，都有Tn＜.22．（10分）已知函數(shù)（1）已知直線：，：.若直線與關(guān)于對稱，又函數(shù)在處的切線與垂直，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)，則當，時，求證：①；②.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

計算出黑色部分的面積與總面積的比，即可得解.【詳解】由，∴.故選：A【點睛】本題考查了面積型幾何概型的概率的計算，屬于基礎題.2、A【解析】試題分析：，故選A.【考點】復數(shù)運算【名師點睛】復數(shù)代數(shù)形式的四則運算的法則是進行復數(shù)運算的理論依據(jù)，加減運算類似于多項式的合并同類項，乘法法則類似于多項式的乘法法則，除法運算則先將除式寫成分式的形式，再將分母實數(shù)化.3、D【解析】

由得，分別以為橫縱坐標建立如圖所示平面直角坐標系，由圖可知，.4、B【解析】

首先根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則表示出，再根據(jù)對稱性求出、，即可求出的解析式，從而驗證可得；【詳解】解：由題意可得，又∵和的圖象都關(guān)于對稱，∴，∴解得，即，又∵，∴，，∴，∴，，∴①③④正確，②錯誤.故選：B【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應用，三角函數(shù)的變換規(guī)則，屬于基礎題.5、C【解析】

由于是放回抽取,故每次的情況有4種,共有64種；先找到最大值不是4的情況,即三次取出標號均不為4的球的情況,進而求解.【詳解】所有可能的情況有種,其中最大值不是4的情況有種,所以取得小球標號最大值是4的取法有種,故選:C【點睛】本題考查古典概型,考查補集思想的應用,屬于基礎題.6、B【解析】

求出復數(shù)，得出其對應點的坐標，確定所在象限．【詳解】由題意,對應點坐標為，在第二象限．故選：B．【點睛】本題考查復數(shù)的幾何意義，考查復數(shù)的除法運算，屬于基礎題．7、B【解析】

由題可知，，再結(jié)合雙曲線第一定義，可得，對有，即，解得，再對，由勾股定理可得，化簡即可求解【詳解】如圖，因為，所以.因為所以.在中，，即，得，則.在中，由得.故選：B【點睛】本題考查雙曲線的離心率求法，幾何性質(zhì)的應用，屬于中檔題8、B【解析】

解出，計算并化簡可得出結(jié)論．【詳解】λ（），∴，∴，即點P在BC邊的高上，即點P的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心．故選B．【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算在幾何中的應用，根據(jù)條件中的角計算是關(guān)鍵．9、A【解析】

根據(jù)[x]的定義先作出函數(shù)f（x）的圖象，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f（x）與g（x）=ax有三個不同的交點，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．【詳解】當時，，當時，，當時，，當時，，若有且僅有3個零點，則等價為有且僅有3個根，即與有三個不同的交點，作出函數(shù)和的圖象如圖，當a=1時，與有無數(shù)多個交點，當直線經(jīng)過點時，即，時，與有兩個交點，當直線經(jīng)過點時，即時，與有三個交點，要使與有三個不同的交點，則直線處在過和之間，即，故選：A．【點睛】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域(最值)問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.10、D【解析】

用誘導公式和二倍角公式計算．【詳解】．故選：D．【點睛】本題考查誘導公式、余弦的二倍角公式，解題關(guān)鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系．11、A【解析】

建立平面直角坐標系，求出直線，設出點，通過，找出與的關(guān)系．通過數(shù)量積的坐標表示，將表示成與的關(guān)系式，消元，轉(zhuǎn)化成或的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的相關(guān)知識，求出其值域，即為的取值范圍．【詳解】以D為原點，BC所在直線為軸，AD所在直線為軸建系，設，則直線，設點，所以由得，即，所以，由及，解得，由二次函數(shù)的圖像知，，所以的取值范圍是．故選A．【點睛】本題主要考查解析法在向量中的應用，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用．12、C【解析】

設，計算可得，再結(jié)合圖像即可求出答案.【詳解】設，則，則，由于函數(shù)的最小值為0，作出函數(shù)的大致圖像，結(jié)合圖像，，得，所以.故選：C【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-2【解析】

根據(jù)向量坐標運算可求得，根據(jù)平行關(guān)系可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，解得：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查向量的坐標運算，關(guān)鍵是能夠利用平行關(guān)系構(gòu)造出方程.14、【解析】

由自變量所在定義域范圍，代入對應解析式，再由對數(shù)加減法運算法則與對數(shù)恒等式關(guān)系分別求值再相加，即為答案.【詳解】因為函數(shù)，則因為，則故故答案為：【點睛】本題考查分段函數(shù)求值，屬于簡單題.15、【解析】

設，則，得到，，利用向量的數(shù)量積的運算，即可求解．【詳解】由題意，如圖所示，設，則，又由，，所以為的中點，為的三等分點，則，，所以．【點睛】本題主要考查了向量的共線定理以及向量的數(shù)量積的運算，其中解答中熟記向量的線性運算法則，以及向量的共線定理和向量的數(shù)量積的運算公式，準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．16、612π﹣9【解析】

過作，交于，先求得圓心角的弧度數(shù)，然后解解三角形求得的長.利用扇形面積減去三角形的面積，求得弧田的面積.【詳解】∵如圖，弧田的弧AB長為4π，弧所在的圓的半徑為6，過作，交于，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，垂直平分.∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6，∴AB＝2AD＝2OAsin＝2×＝6，∴弧田的面積S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9．故答案為：6，12π﹣9．【點睛】本小題主要考查弓形弦長和弓形面積的計算，考查中國古代數(shù)學文化，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）沒有，理由見解析【解析】

（1）求導，研究函數(shù)在x=0處的導數(shù)，等于切線斜率，即得解；（2）對f(x)求導，構(gòu)造，可證得，得到，即得解【詳解】（1）由題意得，∵曲線在點處的切線與直線平行，∴切線的斜率為，解得．（2）當時，，，設，則，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又函數(shù)，故恒成立，∴函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)不存在極值點．【點睛】本題考查了導數(shù)在切線問題和函數(shù)極值問題中的應用，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】

（1）利用二倍角公式及三角形內(nèi)角和定理，將化簡為，求出的值，結(jié)合，求出A的值；（2）寫出三角形的面積公式，由其最大值為求出.由余弦定理，結(jié)合，，求出的范圍，注意.進而求出周長的范圍.【詳解】解：（1）整理得解得或(舍去)又；（2）由題意知，又，，又周長的取值范圍是【點睛】本題考查了二倍角余弦公式，三角形面積公式，余弦定理的應用，求三角形的周長的范圍問題.屬于中檔題.19、（1）（2）詳見解析【解析】

（1）將原不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求得的最大值即可；

（2）首先通過求導判斷的單調(diào)區(qū)間，考查兩根的取值范圍，再構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為證明，探究在區(qū)間內(nèi)的最大值即可得證．【詳解】解：（1）由，即，即，令，則只需，，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，的取值范圍是；（2）證明：不妨設，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，，當時，，，要證，即證，由在上單調(diào)遞增，只需證明，由，只需證明，令，，只需證明，易知，由，故，，從而在上單調(diào)遞增，由，故當時，，故，證畢．【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，最值等，關(guān)鍵是要對問題進行轉(zhuǎn)化，比如把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，把根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖像的交點個數(shù)，進而轉(zhuǎn)化為證明不等式的問題，屬難題．20、（1）；（2）見解析．【解析】

（1）已知點軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，由此可得曲線的方程；（2）設直線方程為，，則，設，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元應用韋達定理得，，由，，用橫坐標表示出，然后計算，并代入，可得結(jié)論．【詳解】（1）設動圓圓心，由拋物線定義知：點軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，設其方程為，則，解得．∴曲線的方程為；（2）證明：設直線方程為，，則，設，由得，①，則，，②，由，，得，，整理得，，∴，代入②得：．【點睛】本題考查求曲線方程，考查拋物線的定義，考查直線與拋物線相交問題中的定值問題．解題方法是設而不求的思想方法，即設交點坐標，設直線方程，直線方程代入拋物線（或圓錐曲線）方程得一元二次方程，應用韋達定理得，，代入題中其他條件所求式子中化簡變形．21、（1）（2）見解析【解析】

（1）因為數(shù)列的前項和滿足：，所以當時，，即解得或，因為數(shù)列都是正項，所以，因為，所以，解得或，因為數(shù)列都是正項，所以，當時，有，所以，解得，當時，，符合所以數(shù)列的通項公式，;（2）因為，所以，所以數(shù)列的前項和為：，當時，有，所以，所以對于任意，數(shù)列的前項和.22、（1）（2）①證明見解析②證明見解析【解析】

（1）首先根據(jù)直線關(guān)于直線對稱的直線的求法，求得的方程及其斜率.根據(jù)函數(shù)在處的切線與垂直列方程，解方程求得的值.（2）①構(gòu)造函數(shù)，利用的導函數(shù)證得當時，，由此證得.②由①知成立，整理得成立.利用構(gòu)造函數(shù)法證得，由此得到，即，化簡后得到.【詳解】（1）由解得必過與的交點