上海市上海理工大附中2025屆數(shù)學(xué)高一下期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

上海市上海理工大附中2025屆數(shù)學(xué)高一下期末監(jiān)測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的值為（）A． B．0 C． D．1822．已知正數(shù)滿足，則的最小值是（）A．9 B．10 C．11 D．123．一個(gè)盒子內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球若干個(gè)，從中摸出1個(gè)球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或紅球的概率是（）A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.754．已知某幾何體的三視圖是如圖所示的三個(gè)直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為（）A．17π B．34π C．51π D．68π5．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則6．已知直線a2x＋y＋2＝0與直線bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，則|ab|的最小值為A．5 B．4 C．2 D．17．若直線始終平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為（）A． B．5 C．2 D．108．某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)9．正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為（）A． B． C． D．10．公元263年左右，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值，這就是著名的“徽率”。如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖，則輸出的值為（）（參考數(shù)據(jù)：）A．48 B．36 C．24 D．12二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．計(jì)算：__________．12．已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，且，若單調(diào)遞增，則的取值范圍是__________．13．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是等腰直角三角形，則該幾何體的體積為__________．14．如圖，已知扇形和，為的中點(diǎn).若扇形的面積為1，則扇形的面積為______.15．計(jì)算：________16．已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求；（2）若，點(diǎn)在邊上，，，求的面積．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊做兩個(gè)銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，已知A，B的橫坐標(biāo)分別為（1）求的值；（2）求的值．19．已知向量，，且（1）求·及；（2）若，求的最小值20．如圖，正三棱柱的各棱長(zhǎng)均為，為棱的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值．21．等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

由，可得，可得的值.【詳解】解：已知等差數(shù)列中，可得，即：，，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，從數(shù)列自身的特點(diǎn)入手是解決問題的關(guān)鍵.2、A【解析】

利用基本不等式可得，然后解出即可．【詳解】解：正數(shù)，滿足，∴，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值為9，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用和一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

由題意可知摸出黑球的概率，再根據(jù)摸出黑球，摸出紅球?yàn)榛コ馐录?，根?jù)互斥事件的和即可求解.【詳解】因?yàn)閺闹忻?個(gè)球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，所以摸出黑球的概率是，因?yàn)閺暮凶又忻?個(gè)球?yàn)楹谇蚧蚣t球?yàn)榛コ馐录?，所以摸出黑球或紅球的概率，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩個(gè)互斥事件的和事件，其概率公式，屬于中檔題.4、B【解析】

由三視圖還原出原幾何體，得幾何體的結(jié)構(gòu)（特別是垂直關(guān)系），從而確定其外接球球心位置，得球半徑．【詳解】由三視圖知原幾何體是三棱錐，如圖，平面，平面．由這兩個(gè)線面垂直，得，因此的中點(diǎn)到四頂點(diǎn)的距離相等，即為外接球球心．由三視圖得，，∴．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積，考查三視圖．解題關(guān)鍵是由三視圖還原出原幾何體，確定幾何體的結(jié)構(gòu)，找到外接球球心．5、D【解析】試題分析：，,故選D.考點(diǎn)：點(diǎn)線面的位置關(guān)系.6、C【解析】試題分析：由已知有，∴，∴.考點(diǎn)：1.兩直線垂直的充要條件；2.均值定理的應(yīng)用.7、B【解析】試題分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以圓心坐標(biāo)為半徑，因?yàn)橹本€始終平分圓的周長(zhǎng)，所以直線過圓的圓心，把代入直線得；即，在直線上，是點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方，因?yàn)榈街本€的距離，所以的最小值為，故選B.考點(diǎn)：1、圓的方程及幾何性質(zhì)；2、點(diǎn)到直線的距離公式及最值問題的應(yīng)用.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查圓的方程及幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式及最值問題的應(yīng)用，屬于難題.解決解析幾何的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將解析幾何中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題就是利用幾何意義，將的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離解答的.8、A【解析】

觀察折線圖可知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，且折線圖呈現(xiàn)增長(zhǎng)趨勢(shì)，高峰都出現(xiàn)在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月波動(dòng)性更小.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由圖易知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，故A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B，觀察折線圖的變化趨勢(shì)可知年接待游客量逐年增加，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，D，由圖可知顯然正確.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查折線圖，考查考生的識(shí)圖能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高上，記為O，PO=AO=R，，=4-R，在Rt△中，，由勾股定理得，∴球的表面積，故選A.考點(diǎn)：球的體積和表面積10、C【解析】

由開始，按照框圖，依次求出s，進(jìn)行判斷?！驹斀狻浚蔬xC.【點(diǎn)睛】框圖問題，依據(jù)框圖結(jié)構(gòu)，依次準(zhǔn)確求出數(shù)值，進(jìn)行判斷，是解題關(guān)鍵。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

分子分母同除以，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查“”型的極限計(jì)算，熟記常用做法即可，屬于基礎(chǔ)題型.12、【解析】由可得：兩式相減得：兩式相減可得：數(shù)列，，...是以為公差的等差數(shù)列，數(shù)列，，...是以為公差的等差數(shù)列將代入及可得：將代入可得要使得，恒成立只需要即可解得則的取值范圍是點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)，在含有的條件中，利用來求通項(xiàng)，本題利用減法運(yùn)算求出數(shù)列隔一項(xiàng)為等差數(shù)列，結(jié)合和數(shù)列為增數(shù)列求出結(jié)果，本題需要利用條件遞推，有一點(diǎn)難度．13、【解析】

首先根據(jù)三視圖還原幾何體，再計(jì)算體積即可.【詳解】由三視圖知：該幾何體是以底面是直角三角形，高為的三棱錐，直觀圖如圖所示：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖還原直觀圖，同時(shí)考查了錐體的體積計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.14、1【解析】

設(shè)，在扇形中，利用扇形的面積公式可求，根據(jù)已知，在扇形中，利用扇形的面積公式即可計(jì)算得解．【詳解】解：設(shè)，扇形的面積為1，即：，解得：，為的中點(diǎn)，，在扇形中，．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的面積公式的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

用正弦、正切的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦、正切的誘導(dǎo)公式，考查了特殊角的正弦值和正切值.16、（-4，2）【解析】試題分析：因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以考點(diǎn)：基本不等式求最值三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）由正弦定理、三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知可得：，結(jié)合范圍，可得，進(jìn)而可求A的值．（2）在△ADC中，由正弦定理可得，可得，利用三角形內(nèi)角和定理可求，即可求得，再利用三角形的面積公式即可計(jì)算得解．【詳解】（1）∵，∴由正弦定理可得：，∴可得：，可得：，∵，∴，可得：，∵，∴，∴，可得：．（2）∵，點(diǎn)D在邊上，，∴在中，由正弦定理，可得：，可得：，∴，可得：，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理及三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．18、（1）（2）【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，由三角函數(shù)的定義可得與的值，進(jìn)而可得出與的值，從而可求與的值就，結(jié)合兩角和正切公式可得答案；（2）由兩角和的正切公式，可得出的值，再根據(jù)的取值范圍，可得出的取值范圍，進(jìn)而可得出的值.由條件得cosα＝，cosβ＝.∵α，β為銳角，∴sinα＝＝，sinβ＝＝.因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.(2)∵tan2β＝＝＝，∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.∵α，β為銳角，∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝19、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求出·；運(yùn)用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式求出，然后求出模．（2）根據(jù)上（1）求出函數(shù)的解析式，配方，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值．【詳解】（1）∵∴∴（2）∵∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及平面向量的坐標(biāo)加法運(yùn)算公式．重點(diǎn)是二次函數(shù)求最小值問題．20、【解析】

作交于，則為異面