六年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材

六年級(jí)拔尖數(shù)學(xué)

目錄

第1講定義新運(yùn)算

第2講簡(jiǎn)單的二元一次不定方程

第3講分?jǐn)?shù)乘除法計(jì)算

第4講分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算

第5講估算

第6講分?jǐn)?shù)乘除法的計(jì)算技巧

第7講簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（1）

第8講較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（2）

第9講階段復(fù)習(xí)與測(cè)試（略）

第10講簡(jiǎn)單的工程問題

第11講圓和扇形

第12講簡(jiǎn)單的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題

第13講分?jǐn)?shù)應(yīng)用題復(fù)習(xí)

第14講綜合復(fù)習(xí)（略）

第15講測(cè)試（略）

第16講復(fù)雜的利潤問題（2）

第一講定義新運(yùn)算

在加?減.乘.除四則運(yùn)算之外，還有其它許多種法則的運(yùn)算。在這一講里，我們學(xué)習(xí)的

新運(yùn)算就是用“A”等多種符號(hào)按照一定的關(guān)系“臨時(shí)”規(guī)定的一種運(yùn)算法則

進(jìn)行的運(yùn)算。

例1：如果A*B=3A+2B,那么7*5的值是多少？

4+R

例2：如果A#B表示-----照這樣的規(guī)定，6#(8#5)的結(jié)果是多少？

3

VV

例3：規(guī)定XAV=---------求2A10A10的值。

X+Y

例4：設(shè)M*N表示M的3倍減去N的2倍，即M*N=3M-2N

(1)計(jì)算(14*10)*6

Q31

(2)計(jì)算(―*-)*(1*-)

542

例5：如果任何數(shù)A和B有ACSB=AXB-(A+B)

求⑴1007

(2)(5Q3)04

(3)假設(shè)2CSX=1求X

例6：設(shè)PSQ=5P+4Q,當(dāng)X89=91時(shí)，1/58(X81/4)的值是多少？

AX+Y

例7：規(guī)定X*Y=-------,且5*6=6*5則(3*2)*(1*10)的值是多少？

XY

11

例8：▽表示一種運(yùn)算符號(hào),它的意義是xvy=-------1---------------------------------

XY(X+A)(y+A)

己知2Vl=工+1___2___

那么20088^2009=?

2(2+1)(1+A)3

鞏固練習(xí)

1、已知2V3=2+22+222=246；3V4=3+33+333+3333=3702；按此規(guī)則類推

(1)3V2(2)5V3

(3)1VX=123,求X的值

2、己知1△4=1X2義3義4；5A3=5X6X7

計(jì)算Ci)(4A2)+(5A3)(2)(3A5)+(4A4)

3、如果A*B=3A+2B,那么

(1)7*5的值是多少？(2)(4*5)*6(3)(1*5)*(2*4)

4、如果A>B,那么{A,B)=A；如果A<B,那么{A,B}=B；

試求(1){8,0.8}(2){{1.9,1.901)1.19]

5、N為自然數(shù)，規(guī)定F(N)=3N-2例如F(4)=3X4-2=10

試求：F(1)+F(2)+F(3)+F(4)+F(5)+........+F(100)的值

6、如果1=1!

1X2=2!

1X2X3=31

1X2X3X4X.......X100=100!

那么1!+2!+3!+.......+100!的個(gè)位數(shù)字是幾？

(第四屆小學(xué)生“迎春杯”數(shù)學(xué)決賽試題)

7、若“+、-、X、+、=、()”的意義是通常情況，而式子中的“5”卻相當(dāng)于“4”。

下面四個(gè)算式(1)8X7=8

(2)7X7X7=6

(3)(7+8+3)X9=39

(4)3X3=3

那么應(yīng)該是我們通常的哪四個(gè)算式？

8、如果2*4=2X3X4X55*3=5X6X7,請(qǐng)按此規(guī)定計(jì)算

(1)(3*4)-(5*3)(2)(4*4)+(3*3)

9、規(guī)定(25)=2+5=7(123)=1+2+3=6(65)=6+5=(11)=1+1=2

則計(jì)算(1)(56489)(2)(92045)+(904-5)4-(12)

10、規(guī)定64=2X2X2X2X2X2表示成F(64)=6；

243=3X3X3X3X3表示成G(243)=5；試求下面各題的值

(1)F(128)=()

(2)F(16)=G()

(3)F()+G(27)=6

11、如果1=1!

1X2=2!

1X2X3=31

試計(jì)算(1)5!(2)X!=5040,求X

12、有一種運(yùn)算符號(hào)“&”使下列算式成立

2&3=75&3=134&5=139&7=25求995&9=?

A+B

13、A*B=-----在X*(5*1)=6中，X的值是多少？

A^B

Avy

14、對(duì)于任意的整數(shù)X、丫定義新運(yùn)算“￥”X￥Y=--------（其中M是一個(gè)固定的

MX+2Y

值）如果1￥2=2,那么2￥9=?

第二講二元一次不定方程

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握用奇偶性、最值和尾數(shù)特點(diǎn)來解答不定方程。

二、基礎(chǔ)知識(shí)：我們知道，一般的一個(gè)方程只能解答一個(gè)未知數(shù)，而有的

題目卻必須設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，且列不出兩個(gè)方程，類似這樣的方程我們稱之為二

元一次不定方程。

在我們研究不定方程的解時(shí)，常常會(huì)附有其他一些限制條件，有的條件是

明顯的，也有隱蔽的，但它們對(duì)解題至關(guān)重要，這就需要我們?cè)诮忸}過程中酌

情進(jìn)行討論。

三、例題解析：

（一）基本方法

例1、小明要買一只4元9角的鋼筆，他手上有貳角和伍角的硬幣各10

枚，請(qǐng)問他可以怎樣付錢？

分析：本題可以用多種方法解答，這里用不定方程來解。

設(shè)小明付了X枚貳角和丫枚伍角

列方程，得2X+5丫=49

方法一

1、利用奇偶性。49是奇數(shù)，2X是偶數(shù)，那么5Y必定是奇數(shù)。這樣，丫只

能取1,3,5,7,9這五個(gè)數(shù)。

2、利用最值：所付錢中貳角和伍角的都有，而X至多為10,那么5丫不

小于49—2X19=29,這樣，可得丫大于6。

方法二觀察系數(shù)的特點(diǎn)，利用尾數(shù)（個(gè)位數(shù)）解答。

由例1可以看出，對(duì)于二元一次不定方程，盡量縮小未知數(shù)的取值范圍,

再求解。

不定方程常常利用奇偶性，最值和尾數(shù)來幫助解決

例2、大汽車能容納54人，小汽車能容納36人，現(xiàn)有378人要乘車，問

要大、小汽車各幾輛才能使每個(gè)人都能上車且各車都正好坐滿。為了便于管理,

要求車輛數(shù)最少，應(yīng)該選擇哪個(gè)方案？

分析：解答不定方程時(shí)，能夠把方程化簡(jiǎn)就盡量化簡(jiǎn)。注意加了限制條件

以后，答案的變化。

試一試：一個(gè)同學(xué)把他生日的月份乘以31,日期乘以12,然后加起來的和是

170,你知道他出生于幾月幾日？

例3、現(xiàn)有鐵礦石73噸，計(jì)劃用載重量分別為7噸和5噸的兩種卡車一次

運(yùn)走，且每輛車都要裝滿，已知載重量7噸的卡車每臺(tái)車運(yùn)費(fèi)65元，載重量

5噸的卡車每臺(tái)車運(yùn)費(fèi)50元，問需用兩種卡車各多少臺(tái)運(yùn)費(fèi)最??？

分析：根據(jù)條件用不定方程可以求出卡車的臺(tái)數(shù)，但是要注意問題求運(yùn)費(fèi)

最省。

例4、一個(gè)同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己1991年的年齡正好等于他出生那一年的年份的各

位數(shù)字之和，請(qǐng)問這個(gè)學(xué)生1991年時(shí)多少歲?

分析與解：設(shè)他出生于1旃岸,那么

1991—19XY=l+9+X+Y

1991—(1900+10X+Y)=10+X+Y

91—10X—Y=10+X+Y

(二)能力拓展____

例5、一輛勻速行駛的汽車,起初看路標(biāo)上的數(shù)字是一個(gè)兩位藪片運(yùn)工二小

時(shí)路標(biāo)上的數(shù)字變?yōu)閥x,又行駛了一小時(shí)路標(biāo)上的數(shù)字是一個(gè)三位數(shù)xOy,求

每次看到的數(shù)字和汽車的速度。

分析：路標(biāo)上的數(shù)字是累計(jì)數(shù)。由于汽車是勻速行駛，因此汽車在單位時(shí)

間里行駛的路程是相等的，根據(jù)這個(gè)關(guān)系可以列出方程。

試一試：一個(gè)兩位數(shù)，如果把數(shù)字1放在它前面可得一個(gè)三位數(shù)，放在它后面

也可得一個(gè)三位數(shù)。已知這兩個(gè)三位數(shù)之差為414,求原來的兩位數(shù)。

例6、如下圖，一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)度都是質(zhì)數(shù)，且長(zhǎng)＞寬＞高，將

這個(gè)長(zhǎng)方體橫切兩刀，豎切兩刀，得到9個(gè)長(zhǎng)方體，這9個(gè)長(zhǎng)方體表面積之和

比原來長(zhǎng)方體表面積之和多624平方厘米，求原來長(zhǎng)方體的體積。

分析與解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c,分析可得，橫切兩刀,

增加了4ab的面積，豎切兩刀增加了4ac的面積，所以可列方程：4ab+4ac=624。

三個(gè)未知數(shù)的不定方程一般采用分解質(zhì)因數(shù)的方法解答。

練習(xí)

、基本題

1、求方程6x+9y=87的自然數(shù)解。

2、求方程2x+5y=24的自然數(shù)解

3、大客車有48個(gè)座位，小客車有30個(gè)座位。現(xiàn)在有306名旅客，要使每

位旅客都有座位而且不空出座位來，需要大、小客車各幾輛？

4、裝餅干的盒子有大、小兩種，大盒每盒要H元，小盒每盒要8元，媽媽

用了89元，問大小盒子各買了多少個(gè)？

5、一個(gè)兩位數(shù)，交換個(gè)位和十位上的數(shù)字，就得到一個(gè)新的兩位數(shù)，已知新

兩位數(shù)比原兩位數(shù)多54,求原來的兩位數(shù)。

6、一個(gè)兩位數(shù)，各位數(shù)字之和的6倍比原數(shù)大3,求這個(gè)兩位數(shù)。

7、一個(gè)商人將彈子放進(jìn)兩種盒子里，每個(gè)大盒子裝12個(gè)，每個(gè)小盒子裝5

個(gè)，恰好裝完。如果彈子數(shù)為99,盒子數(shù)大于10,問兩種盒子各有多少個(gè)？

二、綜合題

8、在一個(gè)兩位質(zhì)數(shù)的兩個(gè)數(shù)字之間，添上數(shù)字6以后，所得的三位數(shù)比原數(shù)

大870,那么原數(shù)是多少？

9、會(huì)場(chǎng)里有兩座和四座的兩種長(zhǎng)椅若干把?，F(xiàn)有一個(gè)班的學(xué)生（不足70人）

來開會(huì)。一部分學(xué)生一人坐一把兩座的長(zhǎng)椅，其余的同學(xué)每三人坐一把四座的

長(zhǎng)椅。結(jié)果平均每個(gè)學(xué)生坐1.35個(gè)座位。求有多少個(gè)學(xué)生？

思考題

10、有一個(gè)長(zhǎng)方體，它的正面和上面的面積之和是209,如果它的長(zhǎng)、寬、高

都是質(zhì)數(shù)，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？

第三講分?jǐn)?shù)乘除法計(jì)算

分?jǐn)?shù)乘除法的計(jì)算方法用字母表示為:

bdbd

—x—=——（a,c都不等于0）；

acac

bd_b^c_be

（a,c都不等于0）。

acadad

一、課前準(zhǔn)備：

1、計(jì)算下列各題：

3375927

(1)-4-104--(2)-+-4-—(3)—4--X—

336751518735

217555213

(3)——4-94--(4)(6)-4-(1+-)

812243545

2、在口或O里填上合適的數(shù)字或符號(hào)，并說明使用了什么運(yùn)算定律?

、167/、

(1)25X—X-=X(X)

(O

/、528/、

(2)-X-X—=(X)X

8315--------------

,、2/29、/、

(3)—X(15X—)=___X(___X____)

zyoi

(4)25|X4=X+X

7

(5)7X-=XOX

o

4

(6)1-X25=XOX

85

(7)54X1”—X—。―X

二、例題講解

4415

例1：計(jì)算：⑴一x37；(2)27x—o

4526

441

【分析】認(rèn)真觀察這兩道題的數(shù)學(xué)特點(diǎn)：第(1)題中的一與1只相差一，如果把寫

4545

成(1-白)的差與37相乘，再運(yùn)用乘法分配律就能簡(jiǎn)化運(yùn)算了。同樣，第(2)題中的

27可以寫成(26+1)o

練習(xí)：“挑戰(zhàn)自己！”比一比，看一看，誰的方法最巧妙？

25

32M><6

13

例2：計(jì)算：一義27+—><41

55

_13

分析仔細(xì)觀察因數(shù)的特點(diǎn)可知，-x27可轉(zhuǎn)化為一x9,這樣就可以利用乘法的分配

55

律進(jìn)行簡(jiǎn)算了。

?Aty412114

^^習(xí)：vh算—x23----1-16x—I—x—

7137713

例3：計(jì)算：++

【分析】把幾個(gè)分?jǐn)?shù)的和作為一個(gè)整體去處理，往往會(huì)使計(jì)算簡(jiǎn)便得多。在本題中,

把L與J.的和作為一個(gè)數(shù)來參與運(yùn)算，使計(jì)算中只含有乘除法。再利用乘法的交換律、

79

結(jié)合律就可以很快算出結(jié)果。

I2003

例4：計(jì)算：⑴166—+41；⑵2003+2003------。

202004

【分析】同學(xué)們都會(huì)計(jì)算帶分?jǐn)?shù)除法。不過，看了這兩題，你一定感到把帶分?jǐn)?shù)化成

假分?jǐn)?shù)太繁了。如果我們動(dòng)一下腦筋，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：可以把題(1)中的166卷分成一個(gè)41

的倍數(shù)與另一個(gè)較小的數(shù)相加，再利用除法性質(zhì)就可以使運(yùn)算簡(jiǎn)便。把題(2)中的

2003

2003——化為假分?jǐn)?shù)時(shí)，把分子用兩個(gè)數(shù)相乘的形式表示，便于約分和計(jì)算。

2004

91

例5：計(jì)算：777x—+37x11—

1010

例6：計(jì)算：17x(3n-1H)X0-7X28T

一、基本練習(xí)

1、下面各題，怎樣簡(jiǎn)便就怎樣算。

81115J15123

—X——X1————X—15x(-+-)

91216416435

4

—x(25x68)4-x3

179

2.“考考你”下面各題怎么算簡(jiǎn)便就怎么算?

/48、21531033

(7+9)X2521X4+21X4-4

4.分?jǐn)?shù)四則混合計(jì)算:

(2)—X[(---)4--]

(4)(0.19X6-+0.19X3-)4-0.05

二.能力提高

911

1.計(jì)算；(1)⑵表X126(3)35X—

43OO

74

(4)73X笑⑸2008X黑

2.計(jì)算：償+號(hào)+4)+由A丁+71+f

9

3.計(jì)算：238+238簫54---T-17?163=+4焉

o

4.計(jì)算：333m+37嘲

11.6O1

第四講分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算

一、課前準(zhǔn)備:

27

999—4-962^x1+物義”

35899516

37.3.534

————十—X—X24

104103

二、例題講解

例1：計(jì)算：^888+|^]xl.125-360^1+23%

2237

練習(xí)：9--1-+5.46-2-X(4.875-2-)

3358

21317

例2：計(jì)算：(598.1X37-+5981X6.26)4-1—+190X—

51730

i23J45r,16

例3^31—x—+41—x—+51—x—+61—x—+71—x—

2334455667

江笛…”5312536,11

例4；計(jì)算；4.44+4—+—+-----1--x4—

8371113725

練習(xí):

1.下面各題怎樣算簡(jiǎn)便就怎樣算。

24I

(-+-)4--

3515

3443232332

25-X424-4-5--ZX-1/\-----

4571313713

2.用簡(jiǎn)便方法計(jì)算。

912129

14-13X100---91X—1.1X4—+40.94-5--4.09X—

1313971997

3、計(jì)算下面各題。

“177c5

55x—56*15—+—+2—

565520812

43317

1-1-(二-3++—

325654458

41-x-+51-x-+61-x-

34455636918

2233

4x1—+4+1—(―x0.87+0.23x—)-3%

751111

355

5.6x0.375+-x5.4-3.75xl0nio+iixxl3

81113

枚-6*"5%2129

1.1x4—+40.9-5——4.09x—

971997

5--0.8+2-jxf7.6-?-+2-xl.25

99八55

第五講估算

取近似值的方法除了常用的四舍五入法外，還有去尾法和收尾法（進(jìn)一

法）。其方法一般是計(jì)算出準(zhǔn)確值再按要求取近似值。還有兩種：（1）省略尾

數(shù)取近似值，即觀其“大概”；（2）用放大或縮小的方法來確定某個(gè)數(shù)或整

個(gè)算式的取值范圍，即估計(jì)范圍。這就是估計(jì)與估算，估計(jì)與估算，是一種十

分重要的算法，在生活實(shí)踐和數(shù)學(xué)解題中有廣泛的應(yīng)用。

一、去尾法和收尾法（進(jìn)一法）

例1、某飛機(jī)所載油料最多只能在空中連續(xù)飛行4時(shí)，飛去時(shí)速度為900

千米/時(shí)，飛回時(shí)速度為850千米/時(shí)。問：該飛機(jī)最遠(yuǎn)飛出多少千米就應(yīng)返回？

（精確到1千米）

解：設(shè)該飛機(jī)最遠(yuǎn)能飛出x小時(shí)，依題意有

此題采用去尾法。如果按照四舍五入的原則，那么得到X^1749,當(dāng)飛機(jī)

真的飛出1749千米再返回時(shí)，恐怕在快著陸的瞬間就要機(jī)毀人亡了。

例2、某人執(zhí)行爆破任務(wù)時(shí)，點(diǎn)燃導(dǎo)火線后往70米開外的安全地帶奔跑，其

奔跑的速度為7米/秒。已知導(dǎo)火線燃燒的速度是0.112米/秒。問：導(dǎo)火線的

長(zhǎng)度至少多長(zhǎng)才能確保安全？（精確到0」米）

此題采用收尾法。如果你的答案是1.1米，執(zhí)行任務(wù)的人還沒跑到安全地

帶，炸藥就被引爆，那可就太危險(xiǎn)了。

二、放縮法與省略尾數(shù)法

122829

例3、有三十個(gè)數(shù)：1.64,1.64+—,1.64+—,...1.64+—1.64+—,如

30303030

果取每個(gè)數(shù)的整數(shù)部分（例如：1.64的整數(shù)部分是1,1.64+口的整數(shù)部分是

30

2）,并將這些整數(shù)相加，那么其和是多少？

分析：關(guān)鍵是判斷從哪個(gè)數(shù)開始整數(shù)部分是2

例4、A=123456789101112134-31211101987654321,求A的小數(shù)點(diǎn)后前3位

數(shù)字。

分析：本題可以采用取近似值的辦法求解，還可采用放縮法估計(jì)范圍解答的。

方法一：放縮法：A>12344-3122=0.3952-

A<12354-3121=0.3957-

所以0.3952<A<0.3957

方法二：省略尾數(shù)法：近似值：將被除數(shù)、除數(shù)同時(shí)舍去13位，各保留4

位，則有

12344-3121^

例5、老師在黑板上寫了十三個(gè)自然數(shù)，讓小明計(jì)算平均數(shù)（保留兩位小數(shù)）,

小明計(jì)算出的答數(shù)是12.43。老師說最后一位數(shù)字錯(cuò)了，其它的數(shù)字都對(duì)。正

確的答案應(yīng)是什么？

分析：小明的答案僅僅是最后一位數(shù)字錯(cuò)了，那么正確答案應(yīng)該在12.40

與12.50之間。原來13個(gè)數(shù)的總和最小應(yīng)該是12.40X13=161.2,最大應(yīng)該

是12.50X13=162.5之間，從而可求出這13個(gè)自然數(shù)的總和，從而知道正確

答案

例6、已知：S=----------------------廣，求S的整數(shù)部分。

----------1------------1------------F.........H-----------

1980198119821991

分析與解：如果我們能知道分母部分最小不小于幾、最大不大于幾，就能

知道它的值在某個(gè)范圍內(nèi)。當(dāng)這個(gè)范圍很小時(shí)，就容易判斷出s的整數(shù)部分了。

設(shè)A=

說明：本題如果直接計(jì)算，不但非常麻煩，而且容易出錯(cuò)。上面的“分析”

中，我們采用了“放大一一縮小”的方法，就是先把s的倒數(shù)（分母部分）的

每一個(gè)加數(shù)都看成最大的一個(gè)（放大），再都看成最小的一個(gè)（縮小）。

A=1+(------+------+------+------+-------)

練一練：求19961997199819992000的整數(shù)部分。

練習(xí)

一、基本題

1919191919

1、(1+—)+(1+—X2)+(1+—X3)+.......(1+—X10)+(1+—XII)

9292929292

的結(jié)果是x,那么，與x最接近的整數(shù)是多少？

2、求算式0.1234……50514-0.5150……4321的小數(shù)點(diǎn)后前二位數(shù)字是多少？

3、為了修水電站，需要在極短的時(shí)間內(nèi)向河道中投入300米3石料，以截?cái)?/p>

河流。如果每臺(tái)大型運(yùn)輸車一次可運(yùn)石料17.5米3,那么為保障一次截流成功,

至少需多少臺(tái)運(yùn)輸車？

4、用5米長(zhǎng)的花布做上衣，已知每件上衣需用布2米，求這塊布料可以做幾

件上衣？

5、小華在計(jì)算一道求七個(gè)自然數(shù)平均數(shù)（得數(shù)保留兩位小數(shù)）的題目時(shí)，將

得數(shù)最后一位算錯(cuò)了。他的錯(cuò)誤答案是21.83,正確答案應(yīng)是多少？

6、求下式中S的整數(shù)部分：S=^————

二、綜合題ill111

7、計(jì)算：@+99＞吊存＞＜385,它的整數(shù)部分是多少?

（提示：注意385=5X7X11,可以先用乘法分配律化簡(jiǎn)，再估算。）

1111

三、思考題：8、在1,……，—,―匚中選出若干個(gè)數(shù)，使得它們

2399100

的和大于3,至少要選幾個(gè)數(shù)？

第六講分?jǐn)?shù)運(yùn)算的技巧

對(duì)于分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，除了掌握常規(guī)的四則運(yùn)算法則外，還應(yīng)該掌握一些

特殊的運(yùn)算技巧，才能提高運(yùn)算速度，解答較難的問題。下面我們著重介紹五

種常用的簡(jiǎn)算技巧。

（-）一般分?jǐn)?shù)乘除法的計(jì)算：

7-x2

52578

（二）分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算

1.湊整法

與整數(shù)運(yùn)算中的“湊整法”相同，在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中，充分利用四則運(yùn)算法則和運(yùn)

算律（如交換律、結(jié)合律、分配律），使部分的和、差、積、商成為整數(shù)、整

十?dāng)?shù)……從而使運(yùn)算得到簡(jiǎn)化。

1113

例1、6.X0.16+264X優(yōu)+5yX6.25-20+

14

例24-X25+32--4+0.25X125

例3、計(jì)算:1991x1+599lx11.20Gx月-6011x2

2.約分法:

例4、計(jì)算:1X2X3+2X4X6+7X14X21

1X3X5+2X6X10+7X21X35

分析：仔細(xì)觀察可知，分子的每一項(xiàng)(每一個(gè)加數(shù))都可以分解出1X2X3,

分母的每一項(xiàng)都可以分解出1X3X5。把它們作為公因數(shù)提出來后，括號(hào)內(nèi)的

和是相等的。

362+548x361

例5、計(jì)算:

362x548-186

分析：仔細(xì)觀察分子、分母中各數(shù)的特點(diǎn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)分毋中的被減數(shù)362X548可以變形

為：(361+1)X548=361X548+548,同時(shí)發(fā)現(xiàn)548—186=362。這樣就可以把分母轉(zhuǎn)化成

與分子完全相同的式子，簡(jiǎn)化運(yùn)算。

例6、計(jì)算:

（1+；）（1。）xQ+；）x（1-；）x1■?x（1+1）x（1-2）

例7、計(jì)算：

929292

2、分組法

例8、計(jì)算:

+???+/)+—噴+喘)

分析：利用加法交換律和結(jié)合律，先將同分母的分?jǐn)?shù)相加。

4、代數(shù)法

例9、

("+L1)x(1111).(llll)x(lll)

234，2+3+4+51+2+3+4+5，,2+3+4’

分析與解：通分計(jì)算太麻煩，不可取。注意到每個(gè)括號(hào)中都有

不妨設(shè)$+；+9=A,則

練習(xí):

4444

ilx2l-2+ily+9y+99y+999y+1

5377

[7-(0x|+0x3]+1.75。((15*21)xl6]+2

20031999

X20051999+1999

20042000

79696969x696696

49-5-+7+99---+9

O11969969x969696

91113，791113，

12101

+----F---1■…+—+…H-----

10101010

987X655-3212004+2005X2003

666+987X6542004X2005—1

(1+白X(1+1)X(1+1)X……(1+一)

第七講簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（一）

一、基礎(chǔ)知識(shí)：

1、分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的一般關(guān)系式是：

表示單位“1”的量（標(biāo)準(zhǔn)量）X分率=分率的對(duì)應(yīng)量。

2、解題思路：

①一道分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，先根據(jù)分率所在的哪個(gè)條件，找出并判斷“1”。

分率是“誰的”幾分之幾，誰就是單位“1”（分率是一個(gè)不帶單位的、不具

體的分?jǐn)?shù)，反映的是兩個(gè)數(shù)之間的一種倍數(shù)關(guān)系。）

單位“1”的量的判斷：根據(jù)分率來判斷把哪個(gè)數(shù)量平均分成多少份，哪個(gè)

數(shù)量就是單位T。

②表示單位“1”的量是已知的，則該題用“X”。

表示單位“1”的量是未知的，則該題用或方程。

③解題的關(guān)鍵是：尋找“與數(shù)量對(duì)應(yīng)的分率”，“與分率對(duì)應(yīng)的數(shù)量”。

二、例題解析：

（一）基本方法

例1、指出下面每組中單位“1”和對(duì)應(yīng)分率。

2

①一只雞的重量是鴨的可。把（）平均分為3份，把（）看作單位

“1”，（）相當(dāng)于這樣的2份，2/3對(duì)應(yīng)的數(shù)量是（）。

3_

②甲的手相當(dāng)于乙。把（）平均分為5份，把（）看作單位“1”，（

相當(dāng)于這樣的3份，3/5對(duì)應(yīng)的數(shù)量是（）。

3

③現(xiàn)價(jià)是原價(jià)的?！?。把（）平均分為40份，把（）看作單位

“1”，（）相當(dāng)于這樣的3份，3/40對(duì)應(yīng)的數(shù)量是（）?，F(xiàn)價(jià)比原價(jià)

少的部分對(duì)應(yīng)的分率是（）o

2

④小紅的書比小明少百。把（）平均分為8份，把（）看作單位

“1”，（）相當(dāng)于這樣的7份，7/8對(duì)應(yīng)的數(shù)量是（）。小明的書

對(duì)應(yīng)的分率是（)o

例2、根據(jù)已知條件用“一一”線標(biāo)出單位“1”的量，再寫出數(shù)量關(guān)系式。

白兔只數(shù)嗚是黑兔的只數(shù)。已經(jīng)修了公路全長(zhǎng)的小

(1)(2)

二班植樹棵數(shù)相當(dāng)于一班的？今年棉花產(chǎn)量比去年增加*。

(3)(4)

8

77

(4)第三季度冰箱價(jià)格比第二季度便宜(。(6)還剩這堆煤的

2

例3、小王買了一個(gè)本子和一支鋼筆。本子的價(jià)格是15元，鋼筆的價(jià)格比本

3_

子的價(jià)格多弓，鋼筆的價(jià)格是多少元?

例4、一條褲子比一件上衣便宜25元。一條褲子是一件上衣價(jià)格的2/3,一件

上衣多少元？

例5、商店運(yùn)來一批水果，運(yùn)來蘋果20筐，梨的筐數(shù)是蘋果的3/4,梨的筐數(shù)

同時(shí)又是桔子的3/5。運(yùn)來桔子多少筐？

例6、學(xué)校買來54本新書，其中科技書占1/6,文藝書占1/3,文藝書比科技

書多多少本？

（二）能力拓展

例7、小強(qiáng)看一本故事書，每天看16頁,看了5天后，還剩全書的3/5沒有看,

這本故事書有多少頁？

分析：把全書看作單位“1”，是未知的，可以用除法或方程解答。3/5與

沒有看的頁數(shù)相對(duì)應(yīng)，看了的已知量16X5與1—3/5相對(duì)應(yīng)。

例8、客車由甲城開往乙城要10小時(shí)，貨車由乙城開往甲城要15小時(shí)，兩車

同時(shí)從兩城相向開出，多少小時(shí)兩車相遇？如果相遇時(shí)客車走了600千米，甲

乙兩城之間的公路長(zhǎng)多少千米？

分析：本題的關(guān)鍵是要求相遇時(shí)間，我們知道相遇時(shí)間=相遇距離+速度和,

而本題要求的就是相遇距離，怎么辦？可以假設(shè)全程為單位“1”。

練一練：一項(xiàng)工作，由甲單獨(dú)做需要10天；由乙單獨(dú)做需要12天.如果兩

人合做,幾天才能完成？

練習(xí)：

一、基本題

1、指出下面每組中單位“1”和對(duì)應(yīng)分率。

2

①白兔是黑兔的石。把（）平均分為6份，把（）看作單位“1”，（

2

相當(dāng)于這樣的5份，石對(duì)應(yīng)的數(shù)量是（）。

②一種毛衣現(xiàn)價(jià)是原價(jià)的4/7。把（）平均分為7份，把（）看作單位

“1”，（）相當(dāng)于這樣的4份,4/7對(duì)應(yīng)的數(shù)量是（）o現(xiàn)價(jià)比原價(jià)少

的部分對(duì)應(yīng)的分率是（）。

3

③九月份的產(chǎn)量比八月份增加了否。

單位“1”：（）。九月份的產(chǎn)量對(duì)應(yīng)分率（）o

2、根據(jù)已知條件用“一一”線標(biāo)出單位“1”的量，再寫出數(shù)量關(guān)系式。

Q

(1)媽媽年齡的《是女兒的年齡。（2）已經(jīng)用這根繩子的三。

(3)男生人數(shù)占總數(shù)的事。（4）今年車禍比去年減少2。

8

77

(4)現(xiàn)價(jià)比原價(jià)增加（6）沒有看的占這本書的

10

3、六年級(jí)有男生100人，女生有80人。

（1）男生人數(shù)是女生的幾分之幾？

（2）女生是男生的幾分之幾？

（3）女生是全年級(jí)學(xué)生的幾分之幾？

（4）男生人數(shù)比女生多幾分之幾?

3、某生產(chǎn)隊(duì)挖一條長(zhǎng)300米的水渠，第一天挖了全長(zhǎng)的1/4,挖了多少米?

還剩多少米？

2

4、某車間五月份生產(chǎn)零件3000個(gè)，六月份比五月份多生產(chǎn)了手，六月份生產(chǎn)

了多少個(gè)零件？

分析:把（）看作單位“1”,是（）知的。可用（）

方法計(jì)算。手對(duì)應(yīng)的數(shù)量是（），六月份生產(chǎn)的對(duì)應(yīng)分率是（）。

解答：

5、某小學(xué)有學(xué)生若干人，其中女生占3/8,還已知該校男生有240人，這所

小學(xué)共有多少人？

分析：把（）看作單位“1”，是（）知的?？捎茫ǎ?/p>

方法計(jì)算。男生的對(duì)應(yīng)分率是（）0

解答：

6、小亮在銀行存了240元，小華存的錢是小亮的5/6,小華存的錢是小新的

2/3,小新存了多少元？

7、某糧店共有大米2800千克，第一天賣了4/7,糧店還有大米多少千克？

8、商店有紅氣球和黃氣球，共有48只，其中黃氣球的只數(shù)是紅氣球的3/5o

紅氣球和黃氣球各多少只？

9、一只大雁由北方飛往南方要6天，一只野鴨由南方飛往北方要8天,如果大

雁和野鴨同時(shí)從兩個(gè)方向同時(shí)出發(fā)，多少天他們可以相遇？

二、綜合題：

10、王琳看一本連環(huán)畫共80頁，第一天看了全書的1/5,第二天看了全書的

1/4。還剩多少頁沒有看？

11、本站有一批貨物，上午運(yùn)走了總數(shù)的2/5,下午運(yùn)走了總數(shù)的3/8,還剩

下2700噸沒有運(yùn)，這批貨物一共有多少噸？

12、一袋大米吃了1/3后又加入8千克，這時(shí)袋里的大米恰好是22千克。這

袋大米原來有多少千克？

13、小剛讀一本書，先讀了全書的士?，又讀了全書的上1，已讀的比沒讀的多

53

70頁，這本書共有多少頁？

14、根據(jù)算式寫出問題。（說明:35%=7/20）

一條水渠長(zhǎng)2400米，第一周修了全長(zhǎng)的),第二周修了全長(zhǎng)的35%。

還剩下全長(zhǎng)的1/3沒有修完，---------------？

(1)2400X1/41

(2)2400X35%1

(3)2400X(1/4+35%)1

(4)2400X1/31

(5)2400X(35%-1/4)________________________________1_

(6)2400X(1/3-1/4)1

(7)2400X(1/4+35%-1/3)?

第八講較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（二）

本講繼續(xù)學(xué)習(xí)較復(fù)雜的應(yīng)用題一一兩個(gè)單位“1”的情況和量與率的對(duì)

應(yīng)關(guān)系。較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題常常需要畫出線段圖或用方程的方法解答。

例1、一根140厘米長(zhǎng)的繩子，第一次用去它的4/7,第二次又用了余下的

3/5,兩次共用去多少厘米？

分析：本題有2個(gè)分率，相對(duì)應(yīng)的有2個(gè)單位“1”。

例2、小紅看一本書，第一天看了全書的4/7,第二天又看了剩下的3/5,還

剩下42頁沒有看，這本書共有多少頁？

練一練：某生產(chǎn)隊(duì)挖一條長(zhǎng)300米的水渠，第一天挖了全長(zhǎng)的丁，第二天挖了

2

余下的弓，第三天恰好挖完，第三天挖了多少米？

例3、一瓶油第一次吃了1/5千克，第二次吃了余下的3/4,這時(shí)瓶?jī)?nèi)還有1/5

千克，問這瓶油原來有多少千克？

分析：根據(jù)條件“第二次吃了余下的3/4"，我們先確定“1”；再利用線

段圖來找出：“與量對(duì)應(yīng)的率”或“與率對(duì)應(yīng)的量”。

例4、某校男生人數(shù)比全校學(xué)生總數(shù)的4/9少25人，女生人數(shù)比全校學(xué)生總

數(shù)的4/7多15人。求全校學(xué)生總?cè)藬?shù)。

分析：利用線段圖來找出：“與量對(duì)應(yīng)的率”或“與率對(duì)應(yīng)的量”。而單位

“1”是未知的，可以用除法或方程解答。

例5、有一瓶酒精，第一次倒出2/3又80克，然后倒回140克；第二次再倒

出瓶里酒精的3/4,這時(shí)瓶里還剩下90克酒精。求原來瓶里有酒精多少克？

分析：本題2個(gè)分率，相對(duì)應(yīng)的有2個(gè)單位“1”。利用線段圖來找出：“與

量對(duì)應(yīng)的率”或“與率對(duì)應(yīng)的量”。單位“1”是未知的，可以用除法或方程解

答。

試一試：東盛化肥廠生產(chǎn)一批化肥，分三次運(yùn)出，第一次運(yùn)出的比總數(shù)的3/5

還多300噸，第二次運(yùn)出的是第一次的1/3,第三次運(yùn)出的450噸，求這批化

肥有多少噸？

例6、某工廠二月份比元月份增產(chǎn)1/10,三月份比二月份減產(chǎn)1/10.問三月

份比元月份增產(chǎn)了還是減產(chǎn)了？

分析：本題沒有告訴我們具體的數(shù)量，要求的也是不具體的分率，所以我

們可以假設(shè)老三年齡為“1”，或者假設(shè)一個(gè)具體的數(shù)量、字母。

練一練：有兄弟三個(gè)，老大比老二年齡大2/5,老二比老三年齡大2/5,老大

的年齡是老三的幾分之幾？

練習(xí)：

1、某水泥廠第二個(gè)月生產(chǎn)水泥2400噸，比第一個(gè)月多生產(chǎn)1/4,第一個(gè)月生

產(chǎn)水泥多少噸？第三個(gè)月生產(chǎn)的水泥，比第一個(gè)月少生產(chǎn)1/5,那么第三個(gè)月

生產(chǎn)水泥多少噸？

2、小紅看一本240頁的書，第一天看了全書的1/4，第二天又看了剩下的1/3,

還剩下多少頁沒有看？

3、某糧店，第一天賣了全部大米的4/7,第二天又賣了余下的3/5,這時(shí)還剩

下420千克米沒有賣。這個(gè)糧店共有大米多少千克？

4、某車間一月份生產(chǎn)了1000個(gè)零件，以后每個(gè)月都增產(chǎn)1/10,三月份生產(chǎn)

了多少個(gè)零件？

5、某工廠去年制造一種零件，成本逐漸下降，每一季度的成本都比前一季度

降低1/4,問第三季度的成本是第一季度的幾分之幾？

6、某班學(xué)生中，男生人數(shù)比全班人數(shù)的5/9少5人，女生人數(shù)比全班人數(shù)的

3/7多n人，求全班人數(shù)。

7、一桶柴油，第一次用了全桶的2/5,第二次用去20千克，第三次用了前兩

次的和，這時(shí)桶里還剩8千克油.問這桶油有多少千克？

二、綜合題

8、兩隊(duì)合修一條水渠，甲隊(duì)完成的比全長(zhǎng)的1/2還多7.2千米，乙隊(duì)完成的相

當(dāng)于甲隊(duì)的1/3。這條水渠有多長(zhǎng)？

9、小王做零件，已經(jīng)做了240個(gè)，比計(jì)劃還少20%,為了超額25%,小王還應(yīng)

再做多少個(gè)？

10、一袋大米第一周吃了1/3又6千克，后又加入8千克，第二周又吃了剩下

的1/3,這時(shí)袋里的大米恰好是24千克。這袋大米原來有多少千克？

H、向陽村用拖拉機(jī)耕地，第一天耕了全部土地的1/4,第二天耕了剩下的三

分之二，第二天比第一天多耕30公頃，問這個(gè)村共有多少公頃土地？

12、一種商品，先提價(jià)g,再降價(jià)g,現(xiàn)價(jià)相當(dāng)于原價(jià)的幾分之幾?

第九講階段復(fù)習(xí)與考試

第十講簡(jiǎn)單的工程問題（一）

準(zhǔn)備題：修建一條長(zhǎng)1200米的公路，甲隊(duì)需要30天，乙隊(duì)需要40天,

如果兩隊(duì)合修需要多少天？

在日常生活中，做某一件事，制造某種產(chǎn)品，完成某項(xiàng)任務(wù)，完成某項(xiàng)工

程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作時(shí)間這三個(gè)量，它們之間的基本

數(shù)量關(guān)系是：工作效率X工作時(shí)間=工作總量（由此還可以變化為工作時(shí)間=

工作總量+工作效率，工作效率=工作總量+工作時(shí)間），在小學(xué)數(shù)學(xué)中，探

討這三個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用題，我們都叫做“工程問題”。

工程問題中的本質(zhì)關(guān)系為：工作效率X工作時(shí)間=工作總量。分?jǐn)?shù)工程問

題的特點(diǎn)，常常不給出具體的工作總量，我們把全部工程看作單位“1”，這

樣，工作效率=1/工作時(shí)間，然后再根據(jù)工總、工效和工時(shí)這三個(gè)量的關(guān)系解

題。

一、基本方法

例1、加工一批零件，甲單獨(dú)做6小時(shí)完成，乙單獨(dú)做9小時(shí)完成。

（1）甲、乙合做，每小時(shí)完成這批零件的幾分之幾？

（2）合做3小時(shí)完成這批零件的幾分之幾?

（3）合做3小時(shí)后完成剩下零件兩人合作還需要多少小時(shí)?

（4）如果合做2小時(shí)后，剩下的由甲單獨(dú)做還需要多少小時(shí)做完?

練一練：現(xiàn)在打一份文稿，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.現(xiàn)在甲先

做了3天，余下的工作由甲、乙合作完成，還需要做幾天可以完成全部工作？

例2、兩列火車同時(shí)從甲、乙兩地相向而行，貨車從甲