2025年中考數(shù)學專題14 截長補短專題（解析版）

模型介紹模型介紹有一類幾何題其命題主要是證明三條線段長度的“和”或"差”及其比例關(guān)系.這一類題目一般可以采取“截長”或“補短”的方法來進行求解.所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段與已知線段相等，然后證明其中的另一段與已知的另一段的大小關(guān)系.所謂“補短”，就是將一個已知的較短的線段延長至與另一個已知的較短的長度相等.然后求出延長后的線段與最長的已知線段的關(guān)系.有的是采取截長補短后，使之構(gòu)成某種特定的三角形進行求解.①截長：在較長的線段上截取另外兩條較短的線段.如圖所示，在BF上截取BM=DF，易證△BMC≌△DFC（SAS）.②補短：選取兩條較短線段中的一條進行延長，使得較短的兩條線段共線并尋求解題突破.如圖所示，延長GC至N，使CN=DF，易證△CDF≌△BCN（SAS）.例題精講例題精講考點一：截長型【例1】．如圖，△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，則∠C等于_______.解：在DC上截取DE＝DB，連接AE．設(shè)∠BCA＝α，∵AB+BD＝DC，DE＝DB，∴CE＝AB．∵AD⊥BC，DB＝DE，∴直線AD是BE的垂直平分線，∴AB＝AE，∴CE＝AE，∴∠BCA＝∠CAE．∵AB＝AE，∴∠CBA＝∠AEB．∵∠AEB是△CAE的一個外角，∴∠AEB＝∠BCA+∠CAE，∴∠CBA＝∠AEB＝2α，∴∠CBA+∠BCA＝3α＝180°﹣120°＝60°，∴α＝20°，∴∠BCA＝20°．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC，若AC+CD＝AB，求∠C的度數(shù)．解：在AB上截取AC＝AE，設(shè)∠B＝x°，∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B＝x°∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，在△EAD和△CAD中，∴△EAD≌△CAD，∴∠C＝∠AED，CD＝DE，∵AC+CD＝AB，AB﹣BE+AE，AE＝AC，∴BE＝DE＝DC，∴∠B＝∠BDE＝x°，∴∠C＝∠AED＝∠B+∠BDE＝2x°，在△ABC中，x+x+2x＝180°，∴x＝45，即∠C＝2x°＝90°．【變式1-2】．如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于點E，且∠B＋∠D＝180°，若BE＝3，CE＝4，S△ACE＝14，則S△ACD＝________．解：在AE上截取AM＝AD，連接CM，∵AC平分∠BAD，∴∠1＝∠2，在△AMC和△ADC中，，∴△AMC≌△ADC（SAS），∴，∵∠B＋∠D＝180°，，∴，∵CE⊥AB，∴，在和中，，∴△EMC≌△EBC（AAS），∴ME＝EB＝3，∵CE＝4，S△ACE＝14，∴，∴AM＝AE-EM=7-3=4，∴，∴．故答案為：８．【變式1-3】．已知在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的平分線AD交BC邊于點D．求證：AC＝AB+BD．證明：在AC上截取AE＝AB，連接DE．∵∠BAC的平分線AD交BC邊于點D，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD與△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴BD＝DE，∠B＝∠AED，∵∠B＝2∠C，∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠AED＝2∠C，∴∠C＝∠EDC，∴CE＝DE，∴CE＝BD，∴AC＝AE+EC＝AB+BD．考點二：補短型【例2】．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一點，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°求證：BD+DC＝AB．證明：延長BD到F，使BF＝BA，連接AF，CF，∵∠ABD＝60度，∴△ABF為等邊三角形，∴AF＝AB＝AC＝BF，∠AFB＝60°，∴∠ACF＝∠AFC，又∵∠ACD＝60°，∴∠AFB＝∠ACD＝60°∴∠DFC＝∠DCF，∴DC＝DF．∴BD+DC＝BD+DF＝BF＝AB，即BD+DC＝AB．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，點E為AD上一點，連接BE，CE，且BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD．求證：BC＝AB+DC．證明：延長BE交CD的延長線于點F，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB∥CD，∴∠F＝∠ABE，∠A＝∠FDA，∴∠F＝∠CBE，∴CF＝BC，∵CE平分∠BCD，∴BE＝EF（三線合一），在△ABE和△DFE中，，∴△ABE≌△FDE（ASA），∴FD＝AB，∵CF＝DF+CD，∴CF＝AB+CD，∴BC＝AB+CD．【變式2-2】．【問題背景】如圖1：在四邊形中，，，、分別是、上的點，且，小王同學探究此問題的方法是：延長到點，使，連接，再證明，可得出結(jié)論．【探索延伸】如圖2，若在四邊形中，，、分別是，上的點，上述結(jié)論是否仍然成立【學以致用】如圖3，四邊形是邊長為5的正方形，，求的周長．解：（1）【問題背景】如圖1在和中，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，∴；故答案為：．（2）【探索延伸】解：結(jié)論仍然成立；理由：如圖2，延長到點．連接，在和中，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，∴；（3）【學以致用】解：如圖3，延長到點，連接，在與中，∵，∴，∴，．∵，，∴，∴，在與中，∵，∴，∴，∴的周長．實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，則△ABC的周長為（）A．21 B．24 C．27 D．30解：如圖，在AB上截取BE＝BC，連接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△CBD和△EBD中，，∴△CBD≌△EBD（SAS），∴∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB，∵∠C＝2∠CDB，∴∠CDE＝∠DEB，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴△ABC的周長＝AD+AE+BE+BC+CD＝AB+AB+CD＝27，故選C．2．如圖，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，則∠C＝27°．解：在DC上截取DE＝BD，連接AE，∵AD⊥BC，DE＝BD，∴AD是BE的垂直平分線，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝54°，∵AB+BD＝DC，DE+EC＝DC，∴AB＝EC，∴AE＝EC，∴∠C＝∠EAC，∵∠C+∠EAC＝∠AEB＝54°，∴∠C＝∠EAC＝∠AEB＝27°，故答案為：27°．3．已知：如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝100°，AD平分∠CAB．求證：AD+CD＝AB．證明：如圖，在AB上截取AE＝AC，延長AD到F使AF＝AB，連接DE、BF．又∵∠1＝∠2，AD是公共邊BE，在△ADC和△ADE中，，∴△ADC≌△ADE，∴∠AED＝∠C＝100°，則得∠DEB＝80°∵CA＝CB，AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2＝20°，∠3＝40°∵AF＝AB，∠2＝20°，∴∠F＝∠ABF＝1/2（180°﹣∠2）＝80°則∠F＝∠DEB∴∠4＝80°﹣∠3＝40°，∴∠3＝∠4，∠F＝∠DEC，在△BDF和△BDE中，，∴△DBE≌△DBF（AAS）∴DF＝DE＝CD∴AB＝AF＝AD+DF＝AD+DC．

4．如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，點D、E分別在AB、AC上，∠BCD＝∠CBE＝30°，BE、CD相交于點O，OG⊥BC于點G，求證：OE+OD＝2OG．證明：延長OE至點M，使OM＝OC，連接CM，∵∠BCD＝∠CBE＝30°，∴OB＝OC，∠MOC＝30°+30°＝60°，∵OM＝OC，∴△OMC為等邊三角形，∴CM＝OC＝OB，∠M＝60°，∴∠DBO＝∠MCE，在△BOD和△CME中，，∴△BOD≌△MCE，∴DO＝EM，∴OE+OD＝OM＝OB，在Rt△OBG中，∠OBG＝30°，OG⊥BC，∴2OG＝OB，∴OE+OD＝2OG．5．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別是∠BAC、∠ABC的角平分線．求證：（1）BQ＝CQ；（2）BQ+AQ＝AB+BP．證明：（1）∵BQ是∠ABC的角平分線，∴∠QBC＝∠ABC．∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，且∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，∴∠ABC＝80°，∴∠QBC＝＝40°，∴∠QBC＝∠C，∴BQ＝CQ；（2）延長AB至M，使得BM＝BP，連接MP．∴∠M＝∠BPM，∵△ABC中∠BAC＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝80°，∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC＝40°＝∠C，∴BQ＝CQ，∵∠ABC＝∠M+∠BPM，∴∠M＝∠BPM＝40°＝∠C，∵AP平分∠BAC，∴∠MAP＝∠CAP，在△AMP和△ACP中，∵∴△AMP≌△ACP，∴AM＝AC，∵AM＝AB+BM＝AB+BP，AC＝AQ+QC＝AQ+BQ，∴AB+BP＝AQ+BQ．6．如圖，△ABC兩條角平分線BD，CE相交于點O，∠A＝60°，求證：CD+BE＝BC．證明：在BC上找到F使得BF＝BE，，∵∠A＝60°，BD、CE是△ABC的角平分線，∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝120°，∴∠BOE＝∠COD＝60°，在△BOE和△BOF中，，∴△BOE≌△BOF，（SAS）∴∠BOF＝∠BOE＝60°，∴∠COF＝∠BOC﹣∠BOF＝60°，在△OCF和△OCD中，，∴△OCF≌△OCD（ASA），∴CF＝CD，∵BC＝BF+CF，∴BC＝BE+CD．7．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC和∠BCD的平分線的交點E在AD上．求證：（1）點E是AD的中點；（2）BC＝AB+CD．證明：延長CE交BA的延長線于點F．∵CE和BE分別是∠ABC和∠BCD的平分線，即∠ECB＝∠DCB，∠EBC＝∠CBA，又∵AB∥CD，∴∠DCB+∠CBA＝180°，∴∠ECB+∠EBC＝90°，∴∠CEB＝90°，即BE⊥EC，∵AB∥CD∴∠DCE＝∠F，又∵∠DCE＝∠ECB，∴∠F＝∠ECB∴BF＝BC，EC＝EF．在△DCE和△AFE中，，∴△DCE≌△AFE，∴DE＝AE，即E是AD的中點，DC＝AF，∴BC＝BF＝AB+CD．8．已知，如圖，BD是△ABC的角平分線，AB＝AC，（1）若BC＝AB+AD，請你猜想∠A的度數(shù)，并證明；（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度數(shù)？（3）若∠A＝100°，求證：BC＝BD+DA．解：（1）答：∠A＝90°．理由如下：在BC上截取BE＝BA，連接DE．∵BC＝AB+AD，∴CE＝AD，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠EBD，∵AB＝BE，BD＝BD，∴△ABD≌△EBD，∴AD＝DE＝CE，∠A＝∠DEB，∴∠C＝∠EDC，∴∠A＝∠DEB＝∠C+∠EDC＝2∠C，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴4∠C＝180°，∴∠C＝45°，∠A＝2∠C＝90°，即∠A＝90°；（2）解：在BC上截取CF＝CD，連接DF．∵BC＝BA+CD，∴BF＝BA，∵∠ABD＝∠FBD，BD＝BD，∴△ABD≌△FBD，∴∠A＝∠DFB，∵CD＝CF，∴∠CDF＝∠CFD，∴∠C+2∠DFC＝180°，∵∠A+∠DFC＝180°，∴2∠A﹣∠C＝180°，∵∠A+2∠C＝180°，解得：∠A＝108°，答：∠A的度數(shù)是108°．（3）證明：在BC上截取BQ＝BD，連接DQ，延長BA到W使BW＝BQ，連接DW．∵∠A＝100°，AC＝AB，∴∠C＝∠ABC＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBQ＝20°，∵BD＝BQ，∴∠DQB＝∠BDQ＝（180°﹣∠DBQ）＝80°，∴∠CDQ＝∠DQB﹣∠C＝40°＝∠C，∴DQ＝CQ，∵在△WBD和△QBD中，∴△WBD≌△QBD，∴∠W＝∠DQB＝80°，DW＝DQ＝CQ，∵∠BAC＝100°，∴∠WAD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣100°＝80°，即∠WAD＝∠W，∴AD＝DW＝DQ＝CQ，∴BC＝BD+DA．9．閱讀：探究線段的和．差．倍．分關(guān)系是幾何中常見的問題，解決此類問題通常會用截長法或補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．（1）請完成下題的證明過程：如圖1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求證：AB+BD＝AC．證明：在AC上截取AE＝AB，連接DE（2）如圖2，AD∥BC，EA，EB分別平分∠DAB，∠CBA，CD過點E，求證：AB＝AD+BC．證明：在AC上截取AE＝AB，連接DE，如圖1：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∠B＝2∠C，∴∠AED＝2∠C，而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴AB+BD＝AE+CE＝AC；（2）延長AE、BC交于F，∵AB＝BF，BE平分∠ABF，∴AE＝EF，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴AD＝CF，∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD．10．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，點E、F分別在邊AB、AD上，且AE＝DF，BF與DE交于點G．（1）如圖①，連接BD．求證：△ADE≌△DBF；（2）如圖②，連接CG．求證：BG+DG＝CG．證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝∠BAD＝60°，∴△ABD和△CBD都是等邊三角形，∴AD＝DB，∠BDF＝∠DAE＝60°，在△ADE和△DBF中，，∴△ADE≌△DBF（SAS）；（2）如圖②，延長GB到點H，使BH＝DG，連接CH、BD，由（1）知△ADE≌△DBF，△CBD是等邊三角形，∴∠ADE＝∠DBF，∠CBD＝∠BCD＝60°，∴∠DBF+∠CBH＝180°﹣∠CBD＝120°，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴BC＝CD，∠ADC＝180°﹣∠BAD＝120°，∴∠ADE+∠CDG＝120°，∴∠CBH＝∠CDG，在△CBH和△CDG中，，∴△CBH≌△CDG（SAS），∴CH＝CG，∠BCH＝∠DCG，∵∠BCD＝∠DCG+∠BCG＝60°，∴∠BCH+∠BCG＝60°，即∠GCH＝60°，∴△CGH是等邊三角形，∴GH＝CG，∵GH＝BG+BH＝BG+DG，∴BG+DG＝CG．11．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，點E、F分別在直線BC、CD上，且∠EAF＝∠BAD．（1）當點E、F分別在邊BC、CD上時（如圖1），請說明EF＝BE+FD的理由；（2）當點E、F分別在邊BC、CD延長線上時（如圖2），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．解：（1）EF＝BE+DF，理由：延長EB至G，使BG＝DF，連接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，∴∠ADC＝∠ABG，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF，即∠EAG＝∠EAF，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝EF，∴EF＝BE+DF；（2）（1）中結(jié)論不成立，EF＝BE﹣FD，在BE上截取BM＝DF，連接AM，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ABC＝∠ADF，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，∴∠BAD＝∠MAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠MAF，∴∠EAF＝∠EAM，在△AME和△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS），∴ME＝EF，∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD．12．如圖，在銳角△ABC中，∠A＝60°，點D，E分別是邊AB，AC上一動點，連接BE交直線CD于點F．（1）如圖1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度數(shù)；（2）如圖2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面內(nèi)將線段AC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CM，連接MF，點N是MF的中點，連接CN．在點D，E運動過程中，猜想線段BF，CF，CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．解：（1）如圖1中，在射線CD上取一點K，使得CK＝BE，在△BCE和△CBK中，，∴△BCE≌△CBK（SAS），∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，∵CE＝BD，∴BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB，∵∠BEC+∠AEF＝180°，∴∠ADF+∠AEF＝180°，∴∠A+∠EFD＝180°，∵∠A＝60°，∴∠EFD＝120°，∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°；（2）結(jié)論：BF+CF＝2CN．理由：如圖2中，∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°，∵AE＝BD，∴△ABE≌△BCD（SAS），∴∠BCF＝∠ABE，∴∠FBC+∠BCF＝60°，∴∠BFC＝120°，如圖2中，延長CN到Q，使得NQ＝CN，連接FQ，∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ，∴△CNM≌△QNF（SAS），∴FQ＝CM＝BC，延長CF到P，使得PF＝BF，則△PBF是等邊三角形，∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°，∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC，∵PB＝PF，∴△PFQ≌△PBC（SAS），∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，∴△PCQ是等邊三角形，∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN．13．如圖1，點A和點B分別在y軸正半軸和x軸正半軸上，且OA＝OB，點C和點D分別在第三象限和第二象限上，且OC⊥OD，OC＝OD，點C的坐標為（m，n），且滿足（m﹣2n）2+|n+2|＝0．（1）求點C坐標；（2）求證：AC＝BD，AC⊥BD；（3）求∠BEO度數(shù)；（4）如圖2，點P在OA上，點Q在OB上且OP＝OQ，直線ON⊥BP，交AB于點N，MN⊥AQ交BP延長線于點M，請猜想ON，MN，BM的數(shù)量關(guān)系并證明．解：（1）∵（m﹣2n）2+|n+2|＝0又∵（m﹣2n）2≥0，|n+2|≥0，∴n＝﹣2，m＝﹣4，∴點C坐標為（﹣4，﹣2）；（2）如圖1中，作OH⊥BD于H，OF⊥AC于F．∵OA＝OB，OD＝OC，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠AOC，∴△BOD≌△AOC（SAS），∴BD＝AC，∴HO＝OF（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等），∴OE平分∠BEC，∵△BOD≌△AOC，∴∠OBD＝∠OAC，設(shè)BD交y軸于點R，則∠ARE＝∠BRO，∴∠AEB＝∠BOA＝90°，即AC⊥BD；（3）由（2）知，AC⊥BD，則∠FEH＝90°，∴∠OHE＝∠OFE＝∠FEH＝90°，故四邊形OHEF為矩形，而HO＝OF，故四邊形OHEF為正方形，而OE為該正方形的對角線，∴∠BEO＝45°；（4）結(jié)論：BM＝MN+ON．理由：如圖2中，過點B作BH∥y軸交MN的延長線于