山東省聊城市2024屆高三年級下冊模擬考試（二模）數(shù)學(xué)試題試題及答案

2024年聊城市高考模擬試題

數(shù)學(xué)（二）

注意事項：

1.本試卷滿分150分，考試用時120分鐘.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填

寫在答題卡的相應(yīng)位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題的答案后，用25鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫

在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，只將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.點(diǎn)P在拋物線V=8x上，若點(diǎn)P到點(diǎn)0，°）的距離為6,則點(diǎn)P到＞軸的距離為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【解析】

【分析】由拋物線的定義知，點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合點(diǎn)P和準(zhǔn)線的位置，求點(diǎn)P

到y(tǒng)軸的距離.

【詳解】拋物線＞2=8%開口向右，準(zhǔn)線方程為I=—2,

點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為6,則點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為6,

點(diǎn)尸在y軸右邊，所以點(diǎn)尸到y(tǒng)軸的距離為4.

故選：A.

2

2.已知集合M、N={x|2xeZ},則McN=()

A.{0,1}D.

【答案】D

【解析】

【分析】由交集的定義求解.

【詳解】集合g<x〈l>,N={X2xeZ},則McN=1—g,

故選：D

（2\

x>（）

3.已知函數(shù)/（%）為R上的偶函數(shù)，且當(dāng)。時，/（x）=log4x-l,則，-2§=

,2112

A.----B.—C.-D.—

3333

【答案】A

【解析】

22

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義可得了（-23）=/（2三），結(jié)合函數(shù)解析式和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

【詳解】因為/⑺為偶函數(shù)，所以/（—%）=/（%）,

2222_!1Q

則f（-r）=f（r）=log42^-1=logQ2§-1=log223-l=--l=--.

故選：A

4.若圓G：/+V=1與圓。2：（%-。）2+（y一加2=4恰有一條公切線，則下列直線一定不經(jīng)過點(diǎn)（。力）

的是（）

A.2x+y—V2=0B.2x—y+2—0

C.x+y-V2=0D.x-y+2=Q

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)兩圓公切線條數(shù)確定兩圓位置關(guān)系，從而可得圓心（。力）所滿足的軌跡方程，從而逐項判段直

線與圓位置關(guān)系，確定直線是否過點(diǎn)（。力）即可.

【詳解】圓。1：必+丁=1的圓心G（0，°），半徑4=1，圓。2：（%-a）2+（y—?2=4的圓心

G（a,b），半徑々=2,

若圓G與圓G恰有一條公切線，則兩圓內(nèi)切，

所以CG|=k—回，即，？+廿=1，所以點(diǎn)（。1）的軌跡為圓d+y2=i,

對于A,圓心（0,0）到直線2x+y-&=0的距離為忙匕2目=叵<1，則該直線過點(diǎn)（a3），故A

不符合;

對于B,圓心（0,0）到直線2x—y+2=0距離為-丫2=述＜1,則該直線過點(diǎn)（a,。），故B不

A/55

符合；

對于C,圓心（0,0）到直線x+y-夜=0的距離為10J±闿=1，則該直線過點(diǎn)（。3），故C不符合;

V2

對于D,圓心（0,0）到直線X—y+2=0的距離為匡罷3=庭〉1,則該直線不過點(diǎn)（a,。），故D符

合；

故選：D.

5.班主任從甲、乙、丙三位同學(xué)中安排四門不同學(xué)科的課代表，要求每門學(xué)科有且只有一位課代表，每位

同學(xué)至多擔(dān)任兩門學(xué)科的課代表，則不同的安排方案共有（）

A60種B.54種C.48種D.36種

【答案】B

【解析】

【分析】分甲、乙、丙三位同學(xué)都有安排和甲、乙、丙三位同學(xué)中只有兩人被安排兩種情況進(jìn)行說明即可.

【詳解】第一種情況，甲、乙、丙三位同學(xué)都有安排時，

先從3個人中選1個人，讓他擔(dān)任兩門學(xué)科的課代表，有C；=3種結(jié)果，

然后從4門學(xué)科中選2門學(xué)科給同一個人，有C：=6種結(jié)果，

余下的兩個學(xué)科給剩下的兩個人，有A；=2種結(jié)果，

所以不同的安排方案共有3x6x2=36種，

第二種情況，甲、乙、丙三位同學(xué)中只有兩人被安排時，

先選兩人出來，有C；=3種結(jié)果，

再將四門不同學(xué)科分成兩堆，有與=3種結(jié)果，

將學(xué)科分給學(xué)生，有A；=2種結(jié)果，

所以不同的安排方案共有3x3x2=18種，

綜合得不同的安排方案共有36+18=54種.

故選：B

22

6.己知雙曲線C：=-2=im>0,b>0）的右焦點(diǎn)為尸，一條漸近線的方程為y=2%,若直線y=依與

ab

C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為尸，且PELx軸，則大的值為（）

A/5R6「4君c4也

AA.D.C.---------U.---------

2255

【答案】C

【解析】

（從、

【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程可得b=2anc=&?，由"_L九軸得Pc,一,利用斜率公式可得

\aJ

結(jié)果.

Y2v2bb

【詳解】因為雙曲線C：「-當(dāng)=1（。>0/>0）的漸近線方程為〉=±二彳，依題意有一=2,

abaa

（廿、

即6=2a=>c=J?a，又右焦點(diǎn)為歹（c,0）,且"_Lx軸，所以Pc,一，

\a7

22

所以左_左一旦b_4a_475,

/V—%op—

cac亞a15

故選：C.

7.如圖，在平面四邊形ABC。中，AB=AD=2,NB=2ND=120°,記與，ACD的面積分別為

耳,邑，則$2—H的值為（）

D

A.2B.73C.1D.當(dāng)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)余弦定理得8c2-AC2=-2BC-4、CD2-AC2=2CD-4,兩式相減可得CD-3C=2,由三角形

的面積公式得Sz-S[=#（CD-BC），即可求解.

【詳解】在A5C中，由余弦定理得COS3=".+3U—.U,

2ABBC

BP--=4+'0--9,得BC2-AC2=-2BC-40,

24BC

在.ACD中，由余弦定理得cosD=Q+C二一O',

2ACCD

pj_4+CD--AC-2CD-4@,

g=；CD2_ac；2=

24CD

又HBCsin120°=—BC,Sn=-ADCDsin60°=BCD,

122222

所以星_工=咚CD_q8C=￥（CD-BC）③，

由②一①，CD2-BC2=2{CD+BC）,由CD+3c>0,

得CD-BC=2,代入③得S?—耳=JI

故選：B

8.已知圓柱。。]的下底面在半球。的底面上，上底面圓周在半球。的球面上，記半球。的底面圓面積與

SV

圓柱O&的側(cè)面積分別為s,s一半球。與圓柱的體積分別為v，K，則當(dāng)《的值最小時，/的值為

（）

A.逑B.GC.史D.V2

34

【答案】A

【解析】

Shy

【分析】設(shè)圓柱底面半徑為"，高為〃，球的半徑為R,則不=丁+寶，根據(jù)基本不等式可得r=/，、

S{2r2h

R=6r，結(jié)合圓柱與球的體積公式化簡計算即可求解.

【詳解】設(shè)圓柱底面半徑為「，高為〃，球的半徑為R,

i42

則R2=打2+,，S=TIR2,Sj=2jtrh,V=—?—TIR3=—7tT?3,Vj=7tr2h,

所以?黑=雪4+5”

當(dāng)且僅當(dāng)r=/i時等號成立，此時R=0廠,

所以「濁=1±竺=逑,

吊Ttr2hnr2?r3

故選：A

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.已知向量a=(—1,2)3=(1,/1),若匕在口上的投影向量為a，則()

A.4=3B.a//b

C.aL(b-a]D.a與》的夾角為45。

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)投影向量的公式求出4的值，再根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算逐項判斷即可.

CL?hCL

【詳解】對于A,因為》在a上的投影向量為a，即--------=a,

\a\\a\

a-b—1+2A

所以=1,即解得4=3,故A正確;

\a\2(，5)2

對于B,a=(—l,2)/=(L3),所以(―1)x3—2xlw0,故B錯誤;

對于C,a-(z?-a)=(-l,2).(2,1)=-2+2=0,所以。，僅一冷，故C正確;

a-b—1+6x/2

對于D,cos<a,b>=--------=「所以a與人的夾角為45。，故D正確.

\a\\b\V5xV102

故選：ACD.

10.已知四棱錐P-A3CD的底面ABCD是正方形，則下列關(guān)系能同時成立的是（）

A."AB=PB”與"PB=BD"

B."PA_LPC”與“PBLPD”

C."PB_LCD'與"PC上AB”

D.“平面Q4B_L平面PSD”與“平面PCD_L平面PBD”

【答案】BC

【解析】

【分析】利用正方形的特征可判定A,利用球的特征可判定B,利用面面垂直的性質(zhì)可判定C,利用反證法

可判定D.

【詳解】對于A,顯然=時，而底面ABCD是正方形，AB^DB,

所以=不成立，故A錯誤；

對于B,設(shè)底面正方形中心為。，則P在以。為球心，以Q4為半徑的球面上時可符合題意，故B正確；

對于C,當(dāng)平面1底面ABCD時，

由面面垂直的性質(zhì)可知工平面PBC,0cl.平面PBC,顯然符合題意，故C正確;

對于D,先證兩相交平面同時垂直于第三平面，則交線垂直第三平面，

ac/3=l,acy=a,13cy=b

如圖有＜a_L7,取Ae/,作AB_La,AC_LZ?,

垂足分別為3、C,由面面垂直的性質(zhì)可知

AC1/

由線面垂直的性質(zhì)可知/ua,

AB±l

又A5AC^A,AB,AC^y,由線面垂直的判定可知/人/,

若“平面MBJ_平面PBD”與“平面PCD_L平面尸況)”同時成立,

易知。=平面RlBc平面PC。，可設(shè)平面E48c平面PCD=/,則尸e/,

則//平面PBD,

易知A3//CD,AB<z平面PC。，所以AB〃面PCD,貝U//AB,

則有AB工平面PBD,顯然A3,瓦)不成立，故D錯誤.

故選：BC

11.已知函數(shù)/(x)=sin12%+巳^<x<則下列結(jié)論正

確的是()

A.若動直線工=相與/(x),g(x)的圖象的交點(diǎn)分別為A,B,則的長可為日

B.若動直線＞=機(jī)與/(x),g(x)的圖象的交點(diǎn)分別為A3,則|A@的長恒為:

C.若動直線丁=土機(jī)與/(x),g(x)的圖象能圍成封閉圖形，則該圖形面積的最大值為宙

D.若以%)w則

【答案】BCD

【解析】

【分析】先判斷函數(shù)/(x),g(x)的單調(diào)性及值域，由條件確定機(jī)的范圍，設(shè)點(diǎn)4,3的坐標(biāo)分別為

(七,回,(%2，w)，列方程化簡可得X]-々=：,由此判斷AB,判斷直線y=±加與/(x),g(x)的圖象能

3

圍成封閉圖形的形狀，結(jié)合面積公式判斷C,由條件/(2))=1，結(jié)合兩角差余弦公式可求cos2m0,根據(jù)

二倍角公式可求COS7%,由此判斷D.

【詳解】由二＜x＜生，可得二K2x+二4電，

63262

所以/(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

且/(x)C=sin]=l，小"個『吟=-1,

所以—

7TSjrjr

由一±<x<一,可得0?2%+々4兀，

12126

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間一力，^|上單調(diào)遞減，

所以—”g(尤)W1,

由已知一1<冽<1,

所以直線y=7"與函數(shù)y=/(%),y=g(x)都只有一個交點(diǎn),

設(shè)點(diǎn)A,3的坐標(biāo)分別為(菁,加),(9,加),

兀3兀

因為函數(shù)丁=$也》在—上單調(diào)遞減，

所以2玉H—=--\-2%,

632

所以玉-x2=—,

所以|AB|=J(X]+(勿_間2=%一引=：,A錯誤,B正確,

設(shè)直線y=一機(jī)與函數(shù)丁=/(%),丁=8(%)的交點(diǎn)為。,。，

則又AB//CD,

所以四邊形A5DC為平行四邊形，其面積S=?x2|"7區(qū)三，C正確;

4112

g(x)=cos(2x+-g-j

3

對于D,因為〃%)=《，

LL」兀13兀，八兀，3兀

所以sm2%+—=~>彳<2777+—<―-，

V0752G62

所以cos]2加4兀?？凇肛?,5兀

M/2%+片＜兀,即犬2亡

所以2cos2〃%―1=~虱^,又二<為

106

所以113-46,5-206

c°s，』一V-ioo-

所以=COS/=2f,D正確；

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題AB選項的關(guān)鍵是利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)得到A,3點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，即

71

玉一九2二7

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

2

12.已知且〃i+-----=1,則。=.

〃+i

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算和相等復(fù)數(shù)建立關(guān)于〃的方程，解之即可.

22(tz-i)=山+"窿￥+L-3〕i=l,

【詳解】s+——：=ai+

〃+ia+i)(a-i)a+1a+1Ia+1y

2a

一a~+-]二1

所以《\，解得〃=1?

a—-----二0

a2+l

故答案為：1

21

13.甲、乙兩選手進(jìn)行圍棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為彳，乙獲勝的概率為一，采用三局兩勝

33..............

制，則在甲最終獲勝的情況下，比賽進(jìn)行了兩局的概率為.

3

【答案】-##0.6

【解析】

【分析】根據(jù)題意，設(shè)甲獲勝為事件A,比賽進(jìn)行兩局為事件8,根據(jù)條件概率公式分別求解P(A)、P(AB)

的值，進(jìn)而計算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)甲獲勝為事件A,比賽進(jìn)行兩局為事件3,

7?21220

P(A)=-x-+C'X—X—X—=——

3333327

,224

P(AB)=C；x-x-=-

-339

4

9-上3

P(AB)--

故P(B|A)=5-

P(A)2_020

27

3

故答案為：—.

14.已知正方形ABC。的四個頂點(diǎn)均在函數(shù)/(X)=/-2缶+1的圖象上，若A3兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為

玉,尤2，則|七％2〔=.

【答案】代

【解析】

【分析】分析函數(shù)關(guān)于點(diǎn)M(o,l)中心對稱，進(jìn)而正方形A3CD的對稱中心為設(shè)出直線AC的方程為

y=kx+l(k＞0)，則直線BD的方程為丁=一：％+1,4(石，%)，3(%,%),則。(一再，2—%),0(—9,2—%)，

k

2

聯(lián)立直線方程與函數(shù)y=〃無)可得石2=八20,%2=272--,由|AM|=|3M|,可得

k

(1+k2)(k+272)=(1+-^-)(272-1),進(jìn)而求得左的值，所以可得才考，代值計算即可得出答案.

【詳解】因為/(￡)=短—20X+1,所以/(—x)=—d+2&無+1,貝U/(x)+/(—x)=2,得函數(shù)f(x)關(guān)

于點(diǎn)M(0,l)中心對稱，

顯然該正方形ABCD的中心為M,

由正方形性質(zhì)可知，AC13。于〃，且|A"|=|3M|=|CM|=|DW|,

不妨設(shè)直線AC的方程為,=去+1(左＞。)，則直線50的方程為丁=一!工+1,

k

設(shè)A(±,%)，8(%，%)，則。(一七，2-％),D(-x2,2-y2),

y-kx+\

聯(lián)立直線AC方程與函數(shù)y=得＜,即爐―(左+2五)％=0,

[y=x3-2V2x+l

???x^k+242,同理％2=2行一工，

k

1+|%?，

（1+左?）（k+2^/2）=（1H—y）（2^2—）,即上2——+2y[^（k—）二0，

kkkk

化簡得（左_工）2+2行（左一工）+2=0,/.k--=—0,

kkk

22

xtx2=（左+20）[20_g1=2&[左_']+7=2忘義（_拒）+7=3,

??|%[%2|=^3.

故答案為：A/3.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與曲線的綜合運(yùn)用.解決本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的對稱性與正方形的對

稱性，從而可設(shè)互相垂直的兩條直線，再根據(jù)直線與曲線相交的坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而利用相交弦長公式確定直

線斜率關(guān)系式.考查了運(yùn)算求解能力，屬于較難題目.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程、演算步驟.

15.隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及、大數(shù)據(jù)的驅(qū)動，線上線下相結(jié)合的新零售時代已全面開啟，新零售背景下，即時

配送行業(yè)穩(wěn)定快速增長.某即時配送公司為更好地了解客戶需求，優(yōu)化自身服務(wù)，提高客戶滿意度，在其

A,3兩個分公司的客戶中各隨機(jī)抽取10位客戶進(jìn)行了滿意度評分調(diào)查(滿分100分)，評分結(jié)果如下:

分公司A：66,80,72,79,80,78,87,86,91,91.

分公司B：62,77,82,70,73,86,85,94,92,89.

(1)求抽取的這20位客戶評分的第一四分位數(shù)；

(2)規(guī)定評分在75分以下的為不滿意，從上述不滿意的客戶中隨機(jī)抽取3人繼續(xù)溝通不滿意的原因及改

進(jìn)建議，設(shè)被抽到的3人中分公司8的客戶人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)75

9

(2)E(X)=-,分布列見解析

【解析】

【分析】(1)將數(shù)據(jù)從小到大排列，根據(jù)第一四分位數(shù)的概念求解即可；

(2)先求出兩個公司不滿意的人數(shù)，確定隨機(jī)變量的取值，然后求出對應(yīng)的概率，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求解

即可.

【小問1詳解】

將抽取的這20位客戶的評分從小到大排列為：62,66,70,72,73,77,78,79,80,80,82,85,

86,86,87,89,91,91,92,94.

因為20x25%=5,

73+77

所以抽取的這20位客戶評分的第一四分位數(shù)為-------=75.

2

【小問2詳解】

由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分；

分公司B中75分以下的有62分，70分，73分，

所以上述不滿意的客戶共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人.

所以X的所有可能取值為1，2,3.

23

P(X=1)=黃「2cl=*3P(X=2)=*f1c/p(3X=3)=尊c°C$1

所以X的分布列為

X123

331

P

K)510

331

數(shù)學(xué)期望石(X)=lx±+2x?+3x—9

'/105105

16.如圖，在幾何體ABC-451cl中，四邊形是邊長為2的正方形，MBB[,A&=3,點(diǎn)E

在線段AG上，且EG=24E.

(1)證明：BjE//平面ABC1；

(2)若A51平面3CG4,且A5=2,求直線4G與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵①

11

【解析】

【分析】（1）要證明線面平行：4E//平面ABG，只需證明平面平面ABG（其中點(diǎn)用在線段

A41上，AM=g4A）,從而只需結(jié)合線面平行的判定定理分別得出ME//平面ABC1，耳///平面

ABC,即可.

（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線AC的方向向量與平面的法向量，從而由公式

II|,4G|

COS凡AG=%—T即可運(yùn)算求解.

?1|4|AG|

【小問1詳解】

在線段Ad上取一點(diǎn)M,使4M=g&A,

連結(jié)則MA=2AM,

又因為EG=2AE,所以ME〃AC］,

因為ME仁平面ABC,,AC,u平面ABC］，所以ME//平面ABC,,

由AA=3,得M4=2,又45=2,且抽BB},

所以四邊形為平行四邊形，所以與M〃A5,

因為4M?平面A5G，A5u平面ABC］，所以4聞//平面ABC1，

又B、McME=M,用Mu平面gME,MEu平面中四，

所以平面5|ME//平面ABC1，

又因為4Eu平面gME,所以4E//平面ABC一

因為AB工平面3064,84,3。u平面5CC4,所以AB，3瓦,AB，BC,

又四邊形3CG用是正方形，所以

所以BC,BA,BB1兩兩互相垂直.

所以以8為原點(diǎn)，以30,84,5與所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

^AB=BC=2,AA,=3,得A（0,2,0），4（0,2,3）,^（0,0,2）,q（2,0,2）,

于是AG=（2,-做=（O,-2,2），4A=（0,2,1）,

B[E=B[A+§1AG=[「§2，4§，2、，

/、n-AB1-0

設(shè)平面ABXE的法向量為n=（x,y,z），則〈

小B1E=0

—2y+2z=0

y-z=0

得《242即《

—x+—y+—z=0x+2y+z=0

（333

令y=l,得z=l,x=—3,所以平面的一個法向量

設(shè)直線4G與平面AB[E所成的角為氏

n,..I“I卜,401|93日

1122

H-|AG|79TTT1XV2+2+111

所以直線AG與平面AB]E所成角的正弦值為誓.

17.已知數(shù)列｛?！埃?｛2｝滿足。2〃-1=4〃-1+12根,“2"=7泌2"，根為常數(shù)，若｛?,｝為等差數(shù)列，且

b4—b,=2色=2（q+Z?J=8.

（1）求加的值及｛4,｝的通項公式；

（2）求也｝的前2“項和$2”.

【答案】（1）m的值為g，4=2〃+3

（2）6n2+7n

【解析】

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得方程組，解出即可得;

(2)由題意可得&“_1=41—6,4〃=2a2",借助分組求和法計算即可得解.

【小問1詳解】

由題意知l>4—b2—8,b3—bx=4,6+4=4,

a1=bi+12m

a2=mb2

ab

因為2n-l=2n-l+田口,?2n=〃電”，所以“a3=4+12m

%=mb4

q+4=2q—12m

%-q=b3-bx=4=2d

設(shè)等差數(shù)列｛〃〃｝的公差為d,貝卜a4-a2=用僅4一°2)=8加=2d,

q+4=2ax-12m=4

d—2

1

m=—

解得《2,所以為=5+l)x2=2〃+3,

=-1

a\~5

所以加值為3,｛%,｝的通項公式為4=2〃+3；

【小問2詳解】

由(1)知，cin—2〃+3,b2n_i=。2〃-1—6,b2n—2a2n，

所以s?0=伯+4+々+,+邑-1)+(2+4+4++如)

=(q+%+%++口2"-1—6〃)+2(%+%+%++%〃)

7)_6〃+2*〃(/+/)=〃(5+4〃+1)_6〃+〃(7+4〃+3)

222v7

=6n2+7〃?

所以也｝的前2n項和S2n=6/+7〃.

18.對于函數(shù)/⑺，若存在實數(shù)%,使/(%)/(/+/1)=1,其中awO,則稱/(x)為“可移％倒數(shù)函數(shù)”,

%為“于(X)的可移2倒數(shù)點(diǎn)已知g(x)=ex,h(x)=x+a(a>0).

(1)設(shè)9(x)=g(x)〃2(x),若0為“/?(%)的可移-2倒數(shù)點(diǎn)”，求函數(shù)以幻的單調(diào)區(qū)間；

g(x),x>0

⑵設(shè)0(x)=l1八，若函數(shù)①(X)恰有3個“可移1倒數(shù)點(diǎn)”，求a的取值范圍.

----，龍<0

h(x)

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,—3),(—1,+8),遞減區(qū)間為(—3,—1);

(2)(2,e).

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定的定義，列式求出。值，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)。(幻的單調(diào)區(qū)間.

(2)利用定義轉(zhuǎn)化為求方程。(x)o(x+l)=l恰有3個不同的實根，再借助導(dǎo)數(shù)分段探討零點(diǎn)情況即可.

【小問1詳解】

由0為“h(x)的可移—2倒數(shù)點(diǎn)”，得歷—2)=1,

即—2+a)=1,整理a?+—2)a+1—=0,即(a+—l)(a—1)=0,解得

a=1,

由9(x)=ex(x+l)2的定義域為R,求導(dǎo)得d(x)=e、(x+l)2+2e*(x+l)=eA(x+l)(x+3),

當(dāng)XC(T,-3)時,0'(x)>O,0(x)單調(diào)遞增；xe(—3,T)時，0'(x)<O,0(x)單調(diào)遞減;

xe(T,+8)時，0'(x)>O,0(x)單調(diào)遞增,

所以。(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,—3),(-L+8),遞減區(qū)間為(—3,—1).

【小問2詳解】

ex,x>0

依題意，以%)=(1，

----,%<0

由少(龍)恰有3個“可移1倒數(shù)點(diǎn)”，得方程Mx)0(x+l)=l恰有3個不等實數(shù)根，

①當(dāng)了>0時，%+1>0,方程。(x)a?(x+l)=l可化e2x+1=1,解得x=—g,

這與x>0不符，因此在(0,+“)內(nèi)口(％)0(尤+1)=0沒有實數(shù)根；

X+1

②當(dāng)—1<%<0時，x+l>0,方程。(x)0x+l)=l可化為f—=1,

x+a

該方程又可化為〃二產(chǎn)1—x?

設(shè)左（x）=ex+i—x,則左'（x）=eI+1-1,

因為當(dāng)xe（—1,0）時，％'（力＞0,所以％（九）在（TO）內(nèi)單調(diào)遞增，

又因為左（一1）=2,左（0）=e,所以當(dāng)xe（—l,0）時，^（%）e（2,e）,

因此，當(dāng)ae（2,e）時，方程。（x）o（x+l）=l在（一1,0）內(nèi)恰有一個實數(shù)根；

當(dāng)。?0,2］。上,+8）時，方程。（1）。（*+1）=1在（一1,0）內(nèi)沒有實數(shù)根.

③當(dāng)x=—1時，1+1=0,必4+1）沒有意義，所以x=—1不是0％）0（%+1）=1的實數(shù)根.

④當(dāng)％＜-1時，x+l＜0,方程&＞（x）o（x+l）=l可化為--------——=1,

x~\~a%+〃+1

化為￡+（2a+l）x+〃+a—1=0,于是此方程在（一”,—1）內(nèi)恰有兩個實數(shù)根，

（2a+l『-4（/+a-1）〉0

則有＜_2Ml＜-1,解得a〉1+如,

22

1—（2a+1）+a2+〃—1＞0

因此當(dāng)a〉上手時，方程0（x）0（x+1）=1在（—8,—1）內(nèi)恰有兩個實數(shù)根，

當(dāng)o＜a＜出手時，方程?（x）?（x+l）