廣東省2024屆高三年級下冊2月大聯(lián)考（一模）數(shù)學(xué)試卷(含答案)

廣東省2024屆高三下學(xué)期2月大聯(lián)考（一模）數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級：考號：

一'選擇題

1.設(shè)復(fù)數(shù)Z=（2+i）i3,則彳=（）

A.l-2iB.l+2iC.-l-2iD.-l+2i

2.已知集合4={%產(chǎn)一3%一420b3={小<°+3卜若AB=R,則a的取值范圍

是（）

A.[1,+co）B.[-2,+oo）C.（-co,1]D.（-8,-2]

3.某班12名同學(xué)某次測試的數(shù)學(xué)成績（單位：分）分別為62,57,72,85,95,

69,74,91,83,65,78,89,則這12名同學(xué)這次測試的數(shù)學(xué)成績的第60百分位數(shù)

是（）

A.74B.78C.83D.91

4.躍鯉橋，為單孔石拱橋，該石拱橋內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線型，如圖.當(dāng)水面寬度為24米

時，該石拱橋的拱頂離水面的高度為12米，若以該石拱橋的拱頂為坐標(biāo)原點，橋面為

x軸（不考慮拱部頂端的厚度），豎直向上為y軸正方向建立直角坐標(biāo)系，則該拋物線

的焦點坐標(biāo)是（）

A.（O,-3）B.（O,-6）C.（0,-12）D.（0,-24）

5.已知夕：Vxe[-1,2],x2-2x+a<0；q:Bx&R,V一4%+。=。.若?為彳取命題，q

為真命題，則。的取值范圍為（）

A.[-3,4]B.（-3,4]C.（-oo,-3）D.[4,+oo）

6.如圖，在直三棱柱ABC-A及G中，所有棱長都相等，D,E,R分別是棱A3,

BC,80]的中點，則異面直線。尸與GE所成角的余弦值是（）

7.已知函數(shù)“無）=2sin%龍+Qsin20x（o>O）在（0,兀）上恰有兩個零點，則G）的取

值范圍是（）

1,

8.已知a=—,b=A/e-1,c=21n2-ln3,則（）

4

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

二、多項選擇題

9.已知圓C“：（x—〃）2+丁2=/5>0）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.無論〃為何值，圓C“都與y軸相切

B.存在整數(shù)小使得圓C“與直線y=x+2相切

C.當(dāng)〃=5時，圓C“上恰有11個整點（橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點）

D.若圓C?上恰有兩個點到直線y=%的距離為五,則2四-2<〃<2立+2

10.如圖，在長方體A3CD-4用￡2中，AB=BC=2,/里=4,E是棱8月上的一

點，點R在棱上，則下列結(jié)論正確的是（）

則3石=。廠

B.存在點E,使得5。〃平面ACE

C.若A，C,E,R四點共面，則四棱錐C-AECE的體積為定值

D.若E為5月的中點，則三棱錐E-ACG的外接球的表面積是32K

11.已知函數(shù)/(無)的定義域為R,</(x-l)+/(x+l)=O,/(I—x)=/(x+5),若

[Ji，順)

A./(x)是周期為4的周期函數(shù)

B./(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱

CJ(x)是偶函數(shù)

?吧+2壯+3噌]++研訃―31

三、填空題

12.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和是S"，且小=5,則幾=.

13.某班元旦晚會準(zhǔn)備了8個節(jié)目，其中歌曲節(jié)目有3個，舞蹈節(jié)目有2個，小品、

相聲、魘術(shù)節(jié)目各1個，要求小品、相聲、魔術(shù)這3個節(jié)目不安排在第一個表演，這

3個節(jié)目中最多有2個節(jié)目連續(xù)表演，且魔術(shù)在小品后面表演，則該班元旦晚會的節(jié)

目表演不同的安排方式有種.(用數(shù)字作答)

22

14.已知雙曲線C:會-方=1(。〉0力〉0)的左、右焦點分別為耳，工，過點耳的直

線/與雙曲線C的兩支分別交于A,3兩點.若A3=33凡，S.\AF2\=\BF2\,則雙曲線C

的離心率是.

四、解答題

15.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且asinC=csin[A+1].

（1）求角A的大?。?/p>

（2）若b=2,c=3,。是邊6C的中點，求AO的長.

16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，24,平面ABCD,E,R分別

為棱AZ）,PC的中點，PA=AD=2AB.

（1）證明：EF〃平面

（2）求平面5EF與平面CEF所成角的余弦值.

17.某校為慶祝元旦，舉辦了游園活動，活動中有一個填四字成語的游戲，游戲規(guī)則

如下：該游戲共兩關(guān)，第一關(guān)中四字成語給出其中三個字，參與游戲者需填對所缺的

字，才能進入第二關(guān)；第二關(guān)中四字成語給出其中兩個字，剩余兩個字全部填對得10

分，只填一個且填對得5分，只要填錯一個或兩個都不填得0分.

（1）已知小李知道該成語的概率是工，且小李在不知道該成語的情況下，填對所缺的

2

字的概率是在小李通過第一關(guān)的情況下，求他知道該成語的概率.

2

（2）在過第二關(guān)時，小李每個字填與不填是等可能的，且每個字填對與填不對也是等

可能的.記X表示小李在第二關(guān)中得到的分數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

18.已知橢圓。：5+:=1（。〉5〉0）的左、右頂點分別是A,3,點石,g]在橢圓

C上'P是橢圓C上異于點45的動點“且直線網(wǎng)的斜率之積為-3.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）過點（1,0）的直線/與橢圓。交于M,N（異于A,B）兩點，直線AM與交于

點。，試問點。是否恒在一條直線上？若是，求出該直線方程；若不是，請說明理由.

19.已知函數(shù)/'a）=ex-ln（x-加）（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）當(dāng)加=一1時,求“X）的最小值;

（2）若對定義域內(nèi)的一切實數(shù)x,都有/'（x）＞心求整數(shù)機的最小值.

5

（參考數(shù)據(jù)：43.49）

參考答案

1.答案：B

解析：因為z=(2+i)i3=(2+i)(—i)=l—2i,所以z=l+2i.

2.答案：A

解析：由題意可得A={x|x〈-1或%24}.因為AB=R,所以a+324,解得

3.答案：C

解析：將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為57,62,65,69,72,74,78,83,85,

89,91,95.因為12x60%=7.2,所以這12名同學(xué)這次測試的數(shù)學(xué)成績的第60百分位

數(shù)是83.

4.答案：A

解析：設(shè)該拋物線方程為必=一2q5〉0),則點(12,-12)在該拋物線上，從而

122=-2px(-12),解得p=6,故該拋物線的焦點坐標(biāo)是(0,-3).

5.答案：A

解析：設(shè)/(x)=d—2x+a,XG[-1,2],則/(x)1mx=/(—D=3+。.由p為真命題，得

3+。<0,解得a<—3.由q為真命題，MA=16-4a>0,解得aW4.綜上，-3<a<4.

6.答案：D

解析：如圖，取棱AC的中點連接DH,EH,QH,易證四邊形?！ā昕谑瞧叫?/p>

四邊形，則GH//DF,故NEG"是異面直線DR與GE所成的角或補角?設(shè)鉆=2，

則E8=l,GH=qE=&.在aGEH中,由余弦定理可得

GH?+CE-EH?_9

cos/EC]H--

2QH-CXE10

7.答案：B

解析：由題意可得

/(X)=2sin2cox+6sin2①x=V3sin2a)x-coslox+1=2sin2a)x-"+1.因為

0<X<TI,所以-《<<2am一*.因為/(x)在(0,兀)上恰有兩個零點，所以

11兀c兀/19兀由”曰1,5

<2啰?！?lt;---,解得\<co<—>

6--------66---------------3

8.答案：B

解析：設(shè)/(x)=e'—x—1,則/'(x)=e*—1.當(dāng)xe(0,+oo)時，f'(x)>0,則/(x)在

(0,+8)上單調(diào)遞增,從而/(x)>/(0)=0,即e'—x—1>0,BPex-l>x,故

111-X

e3-1>—,即Z?〉一.設(shè)g(x)=ln(l+x)-x(x>0),貝!]g'(%)=----.當(dāng)xw(0,+8)時，

331+x

g'(%)v0,則g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減,從而g(x)<g(0)=0,BPln(l+x)-x<0,即

ln(l+x)<x,故+.因為c=21n2—ln3=ln[l+；],所以c<；,貝1J

1YY

c<—<b,即cv/7.設(shè)立(%)=ln(l+X)-----(x>0),則h'(x)=------y.當(dāng)xw(0,+8)時，

3l+x(1+x)

h\x)>0,則/z(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，從而/z(x)>丸(0)=0,即ln(l+x)>——，即

l+x

1

In|1+-|>—2—,即lna〉L,故a<c,即

I3J1+134

3

9.答案：AD

解析：由題意可知圓C”的圓心坐標(biāo)為(〃,0),半徑為%則圓心到y(tǒng)軸的距離等于圓C.

的半徑，則A正確.由圓G與直線y=x+2相切，得"二="，解得”=20+2,則

V2

B錯誤.當(dāng)〃=5時，圓C“：(x-5>+y2=25,則C“上的整點有(0,0),(1,3),(1,-3),

(2,4),(2,-4),(5,5),(5,-5),(8,4),(8,-4),(9,3),(9,-3),(10,0),共12個,

則C錯誤.圓心至U直線y=x的距離[=/=#〃，貝1]〃一孝解得

2&-2<"2后+2,故D正確.

10.答案：BCD

解析：由A］,C,E,R四點共面，得CF//&E,則。尸=4E,若E不是棱8月的中

點，則尸，故A錯誤.當(dāng)E是棱8片的中點時，取4。用的中點G,連接GE,

BtD,則G為耳。的中點.因為E為8片的中點，則GE〃8D.因為GEu平面ACE,

3。仁平面ACE,所以平面ACE,則B正確.因為△ACG的面積為定值，點

E,R到平面4CC］的距離為定值，所以三棱錐E-ACG和三棱錐F-ACC1的體積都

為定值，則四棱錐G-AECE的體積為定值，故C正確.取棱CC］的中點。「由題中數(shù)

據(jù)可得。1是ACGE外接圓的圓心，ACCiE外接圓的半徑r=2.設(shè)三棱錐E-\CC^

外接球的球心為。，半徑為R,設(shè)。a=d,貝I

斤=/+/=0］耳+(4g—d『=8+(2—dy，解得解=8,從而三棱錐E—ACC的外

接球的表面積是4兀女=32兀，故D正確.

11.答案：ABD

解析：因為/(x—l)+/(x+l)=O,所以/(x+l)+/(x+3)=0,所以

/(x-l)=/(x+3),即/(%)=/(x+4),所以/(x)是周期為4的周期函數(shù)，則A正確.

因為/(I—x)=/(x+5),所以/(I—x)=/(x+l),所以/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對

1.令-|,得圖=°，則

稱，則B正確.因為了1，所以/

\］=一1.因為/⑴的圖象關(guān)于直線％=1對稱，所以=則

,從而“X)不是偶函數(shù)，則C錯誤.由/(x)的對稱性與周期性可得

59

+30/=7(—1—2+3+4)—29—30=—31,故D正確.

12.答案：75

解析：因為。8=5，所以q+弓5=2%=10，貝!］百5=色—---=I。2”=75.

13.答案：10800

解析：先將歌曲和舞蹈節(jié)目排好，有A；=120種，再將小品、相聲、魔術(shù)這3個節(jié)目

排好，有3C；+C，3A；=90種，則該班元旦晚會的節(jié)目表演不同的安排方式有

120x90=10800種.

14.答案：叵

3

解析：設(shè)忸耳|=”,則|裕|=4加.由雙曲線的定義可得忸閭=m+2a,|AK1=4/77-2a.

因為|和|=忸叫|,所以機+2?=4機—2?,所以m=^，則忸周=^，仙周=?，

鳥上忸鳥上在月中，由余弦定理可得

\BF2f=|班「+閨閭2一2忸片|閨閶cosN^^,即

一4=T〃+4。2—gaccosZBF}F2,即gaccos/BRF?=4c?—g/.在△4月月中，

由余弦定理可得=|筋「+內(nèi)用2_2|MMq.cosN毋;與，貝I]

=~~a2+4c2-^-accosZBF^,即與accosN明8=個4+c?,從而

“22821322no241c241

4cu——a+c9B0P3c=—a2,B0nP-z-=—,=J-，z"-國.

333a29Na23

15、

（1）答案:AA=—71

3

解析：因為asinC=csinA+—j,所以sinAsinC=sinCsinA+烏71.

33

因為0vCV兀，所以sinCw0,所以sinA=sin[A+]■].

因為sin[A+—二]=sinAcos—+cosAsin—=—sinA+^-cosA,

I3322

所以,sinA=cosA,所以tanA=6.

22

因為0<A<7l,所以人=巴.

3

(2)答案：AD=叵

2

解析：解法一：因為。是邊的中點，所以AD=LA5+^AC,即

22

2AD=AB+AC,

.2.2.?-2

所以4A￡>=AB+2ABAC+AC=c2+bc+b2.

因為b=2,c=3,所以4Ao2=32+2x3+2?=19,所以AD：2,則|AD|=?,

42

解法二：在△ABC中，由余弦定理可得3c2=482+4。2—2AB.ACCOS/BAC=7,則

因為b=2,c=3,a=BC=幣,所以cos/ABC="—’.

2ac7

因為。是邊的中點，所以BD=LBC=①,

22

io

在中，由余弦定理可得AD?=432+3。2—2AR50cosNABO==，貝lj

4

3晅.

2

16、

(1)答案：證明見解析

解析：證明：取棱的中點H,連接AH,FH.

因為H,R分別是棱尸3,PC的中點，所以HF〃BC,HF=-BC.

2

因為E是棱AD的中點，所以AE//5C,AE=-BC,所以HF//AE,HF=AE,

2

所以四邊形AEM為平行四邊形，所以EF//AH.

因為AHu平面EfV平面B4B,所以EF〃平面B4A

(2)答案：工

9

解析：以A為坐標(biāo)原點，分別以AB,AD,AP的方向為x,y,z軸的正方向，建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AB=2,則3(2,0,0),C(2,4,0),E(0,2,0),尸(1,2,2),

故BE=(-2,2,0),CE=(—2,—2,0),Eb=(1,0,2).設(shè)平面的法向量為

n-BE=-2x+2y,=0,./口

〃=(Xi，X，zJ,則，11令玉=2,得〃=(2,2,—1).

n-EF=玉+2zx-0,

“地=-2々-2%=0,令x2:?,得

設(shè)平面CEF的法向量為根=(%2，%，Z2)，則，

m?EF=9+2Z2=0,

m—(2,—2,—1).

IW.VflI1..

設(shè)平面與平面CEF所成的角為e,則cos0=|cos(n,m)|=---------=—,即平面

In||m|9

3ER與平面CER所成角的余弦值為L

9

17、

(1)答案：-

3

解析：記事件A為“小李通過第一關(guān)”，事件5為“小李知道該成語”，

則P(A|5)=1,P(A|3)=g,P(B)=P(B)=1,

ii]3

由全概率公式可得P(A)=P(B)P(A|B)+P(3)P(A|B)=-xl+-x-=-,則所求概率為

1

P(BA)__2

P(B\A)=2

P(A)-3-3

4

(2)答案：分布列見解析，-

8

解析：設(shè)事件a表示小明填了，個字，，=i,2,c表示填到的字都是正確的.

X的可能取值為0,5,10.

P(X=5)=P(AC)=1x1=l,

p(x=io)=p(AC)=|x1=±,

P(X=0)=1-P(X=5)-P(X=10)=—.

16

隨機變量X的分布列為

X0510

11￡1

p

16416

故E(X)=0XU+5XL+10XL=".

164168

18、

2

r

(1)答案：y+y2=l

22122

vn,b(a-s

解析：設(shè)尸(s,〃),則一+g=i,故“2=—L

a

由題意可知A(-a,0),B(a,0),則，kpB=」~

s-a

222

UK77nnna-s

從血kPAkPB=---------——：,22

s+as-as-aas2-a2〃24

因為在橢圓上，所以》i

c=i.

_￡__1

2"-T9

聯(lián)立礦4解得儲=4,〃=1.

31,

[-a--2---1---4--b---=1'

2

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+/=1.

4

(2)答案：見解析

解析：由題意可知4-2,0),8(2,0),設(shè)〃(%,%),N(%,%)，則直線AM的方程為

=f（x+2）,

y

%1

y=￡(x+2)，直線BN的方程為y=2）.聯(lián)立＜+整理得

x—2

oy=』7（x-2）,

x2-2

>2乂（々―2）+2%&+2）