2024高考數(shù)學(xué)模擬試卷附答案 (五)

1.（本題5分）某校高一年級(jí)18個(gè)班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽，通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得了10個(gè)班的比賽得

分如下：91,89,90,92,94,87,93,96,91,85,則這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為（）

A.93B.93.5C.94D.94.5

2.（本題5分）已知向量z，B滿足〉B=l，則卜+囚+2卜-可的最小值為（）

A.76+272B.V6+V2C.8D.2

3.（本題5分）過(guò)直線＞=x上一點(diǎn)M作圓C：（x-2）2+/=l的兩條切線，切點(diǎn)分別為尸，Q.若直線尸。

過(guò)點(diǎn)（1,3）,則直線尸。的方程為（）

A.5x-y-2=0B.x-5y+14=0

C.5x+y-8=0D.x+5^-16=0

4.（本題5分）古城贛州最早有五大城門(mén)，分別為鎮(zhèn)南門(mén)、百盛門(mén)、涌金門(mén)、建春門(mén)和西津門(mén)，贛州某學(xué)

校歷史興趣小組決定利用兩個(gè)周日的時(shí)間對(duì)五大城門(mén)的地理位置及歷史意義進(jìn)行調(diào)研.若約定：每個(gè)城門(mén)

只調(diào)研一次，且每個(gè)周日只調(diào)研五大城門(mén)中的兩大城門(mén)或三大城門(mén)，則恰好在同一個(gè)周日調(diào)研百盛門(mén)和建

春門(mén)的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

5355

5.（本題5分）數(shù)列｛。,｝的前〃項(xiàng)和為S,,滿足S“+%=1024,則數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)積的最大值為（）

A.255B.245C.29D.210

6.（本題5分）已知矩形4BC。中，AB=2,BC=1,將△CBO沿8。折起至口（780,當(dāng)與所成角

最大時(shí)，三棱錐C'-ABO的體積等于（）

7.（本題5分）已知cos（140。一a）+sin（ll（）o+a）=sin（130。一a）,求tana=（）

A.BB_C.6D.-V3

33

8.（本題5分）若存在aeR,使得對(duì)于任意xe-,e,不等式InxWax?+法＜卜？-2e）ln%+e恒成立，則

e

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

實(shí)數(shù)人的最小值為（）

Ae+e+1e+e

A.——------B.----C.-1D.-e

e2-le2-l

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（本題6分）下列說(shuō)法正確的是（）

A.0e{O}

B.集合{%|X=2〃,〃EZ}={%'|￡Z

1XGQ

C.函數(shù)"x)=的值域?yàn)閇。，1]

0nxe

D.在定義域內(nèi)單調(diào)遞增

10.（本題6分）如圖，點(diǎn)是函數(shù)〃x）=sin（s+夕）（。>0）的圖象與直線>=爭(zhēng)目鄰的三個(gè)交點(diǎn),

則（）

函數(shù)）在（方力］上單調(diào)遞減

C.”X

D.若將函數(shù)/（X）的圖象沿X軸平移。個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則冏的最小值為最

11.（本題6分）已知定義在（0,+s）的函數(shù)滿足：①對(duì)Vxe（0,+oo）恒有礦（x）-〃x）=尤；②對(duì)任意的

正數(shù)洸，〃恒有〃〃薜）=，礦（%）+何'（"）+3.則下列結(jié)論中正確的有（）

A.=

B.過(guò)點(diǎn)（e,〃e））的切線方程y="l

C.對(duì)Vxe（0,+co）,不等式〃x）Nx-e恒成立

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

D.若不為函數(shù)y=〃x）+尤2的極值點(diǎn)，貝。/（無(wú)0）+3無(wú)0>0

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（本題5分）已知復(fù)平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z,若|z-4i區(qū)2,其中i是虛數(shù)單位，則向量應(yīng)掃過(guò)

的面積為.

13.（本題5分）已知實(shí)數(shù)x,y滿足x?-31nx-y=0,則Jx?+y2-mx+my+^-^meR）的最小值為.

14.（本題5分）如圖，在直角梯形ABCD中，AB//CD,ZABC=90°,AB=l,AC=CD=DA=2,動(dòng)點(diǎn)M

在邊。C上（不同于。點(diǎn)），P為邊AB上任意一點(diǎn)，沿AM將翻折成當(dāng)平面ADM垂直于

平面ABC時(shí)，線段尸。長(zhǎng)度的最小值為一.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（本題13分）某校舉行圍棋友誼賽，甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行冠亞軍決賽，每局比賽甲獲勝的概率是：，

乙獲勝的概率是;，規(guī)定：每一局比賽中勝方記1分，負(fù)方記0分，先得3分者獲勝，比賽結(jié)束.

⑴求進(jìn)行3局比賽決出冠亞軍的概率；

（2）若甲以2:1領(lǐng)先乙時(shí)，記X表示比賽結(jié)束時(shí)還需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

16.（本題15分）設(shè)函數(shù)"x）=lnx+G+6,曲線尸〃x）在點(diǎn)。，/⑴）處的切線方程為y=6x-3.

（1）求。,6；

⑵證明:/（x）>-—.

17.（本題15分）如圖，AB是半球。的直徑，AB=4,依次是底面上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，P是半球

面上一點(diǎn)，且/尸ON=60。.

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

⑴證明：PB1PM；

(2)若點(diǎn)P在底面圓上的射影為ON中點(diǎn)，求直線PM與平面PAB所成的角的正弦值.

18.(本題17分)已知雙曲線C：L-y2=],點(diǎn)M(4,0),經(jīng)過(guò)點(diǎn)〃的直線交雙曲線C于不同的兩點(diǎn)A、B,

4

過(guò)點(diǎn)A,B分別作雙曲線C的切線，兩切線交于點(diǎn)E.(二次曲線42+的2=1在曲線上某點(diǎn)(七,%)處的切

線方程為網(wǎng)x+叫y=1)

(1)求證：點(diǎn)E恒在一條定直線入上；

(2)若兩直線與心交于點(diǎn)N,AN=AMA,BN=juMB,求2+〃的值；

⑶若點(diǎn)A、B都在雙曲線C的右支上，過(guò)點(diǎn)43分別做直線L的垂線，垂足分別為尸、Q,記DAMP,GBMQ,

匚產(chǎn)加。的面積分別為問(wèn)：是否存在常數(shù)如使得5應(yīng)=〃￡；?若存在，求出力的值；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.(本題17分)若各項(xiàng)為正的無(wú)窮數(shù)列｛凡｝滿足：對(duì)于V〃eN*,a；「a：=d,其中d為非零常數(shù)，則稱(chēng)

數(shù)列｛%｝為。數(shù)列.記

(1)判斷無(wú)窮數(shù)列4=6和。,=2"是否是。數(shù)列，并說(shuō)明理由；

(2)若｛%｝是D數(shù)列，證明：數(shù)列抄“｝中存在小于1的項(xiàng)；

⑶若｛%｝是。數(shù)列，證明：存在正整數(shù)九，使得￡—>2024.

a

z=li

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

1.B

【詳解】將比賽得分從小到大重新排列：85,87,89,90,91,91,92,93,94,96,

因?yàn)?0x80%=8,

所以這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)第8個(gè)數(shù)與第9個(gè)數(shù)的平均值，即9三3+六94=93.5.

故選：B.

2.A

【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)厲=",而=?且|例=辦|。q=〃,

因?yàn)橥連=可得A(m,0),5(；，

__,__>1h

則Z=礪=(相,0)3=礪=(-H,^-H),

二匚I、1一7,1A/3、—T/1A/3

m^a+b={m+—n,n),a-b=---—n),

又因?yàn)橄蛄繚M足=1=\a\\b^cosa,b=^mn=l,解得nm=2,

所以B+同=J(陰+工研+n)2=J/+/+”m=dm1+n2+2，

|5-&|={(m—：及產(chǎn)+(―-n)2=dm2+n2-mn=y/m2+n2-2，

則忸+同+2忖_司=Jm2+H2+2+2y/m2+n2—2,

-m2+n2f因?yàn)椋?TH?+"22根〃=4,當(dāng)且僅當(dāng)根=〃=0,

所以收+可+2收_司=+,

又因?yàn)椤?=疝1+2，二工在［4,+8)上為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以/（'）mi?=/（4）=痛+2近，即卜+.+2忸一日的最小值為"+20.

3.C

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

【詳解】圓C：(彳-2)2+昆=1的圓心為C(2,0),

設(shè)〃化。，則以MC為直徑的圓的方程為

與圓C的方程(x-2)2+/=1兩式相減可得直線PQ的方程為

(r-2)x+)-2r+3=0

因?yàn)橹本€尸Q過(guò)點(diǎn)。,3),所以-2+3/-2/+3=0,解得

4.A

【詳解】由題意，每個(gè)城門(mén)只調(diào)研一次，且每個(gè)周日只調(diào)研五大城門(mén)中的兩大城門(mén)或三大城

門(mén)，

共有C"C；=20種不同的調(diào)研方法，

其中恰好在同一個(gè)周日調(diào)研百盛門(mén)和建春門(mén)，可得分為：

①其中一個(gè)周日只調(diào)研百盛門(mén)和建春門(mén)，另一個(gè)周日調(diào)研其他三門(mén)，有C；=2種方法；

②其中一個(gè)周日調(diào)研百盛門(mén)、建春門(mén)和其中另一個(gè)門(mén)，另一個(gè)周日調(diào)研剩余的兩門(mén)，

有C；C；=6種方法，共有2+6=8種不同的調(diào)研方法，

所以恰好在同一個(gè)周日調(diào)研百盛門(mén)和建春門(mén)的概率為尸=5=3?

故選：A.

5.B

【詳解】依題意，〃eN*,S〃+%=1024,則〃I=512,當(dāng)〃22時(shí),=1024,

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

兩式相減得2凡=%?即因此數(shù)列｛%｝是以512為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

于是“"=512x（；尸=*",顯然數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減，當(dāng)"V10時(shí)，??>1,當(dāng)心11,a?<l,

所以當(dāng)"=9或〃=10時(shí)，數(shù)歹!]｛〃“｝的前〃項(xiàng)積最大，最大值為29x28x27*…X22X2X2°=245.

故選：B

6.A

【詳解】因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是，弓，故當(dāng)時(shí)，CB與AD所成角最大,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以A8_LAD,

而43門(mén)（78=8,4民（78<2平面48。，所以AD_L平面A3。,

因?yàn)锳C'u平面ABG,所以AD_LA。，

在直角三角形ADC'中，AD=l,C/D=2,AC'=s/3,

而B(niǎo)C'=\,AB=2,BC'2+AC'2=AB2,所以BC'1.AC',

所以C—AHBUD=%zJ—AoBCC=—cSU口ADBC,,CADC=—X'—X1XrX1=-

332o

故選：A

即-cos(40°+a)+cos(20°+cr)=cos(40°-a),

故cos(20。+=cos(40。一a)+cos(40。+a),

即cos20°cosa-sin20°sina=2cos40°cosa,

故cos20°cosa-2cos40°cosa-sin20°sina,

sina_cos20°-2cos40°_cos(30°-10°)-2cos(30°+10°)

cosasin20°sin20°

3

_-丁。$10。+乎11110。_氐畝(10。-30。)_-Gsin20°_,

一sin20°―sin20°-sin20°-一

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

故選：D

8.C

【詳解】令/("=(，其中xe1,e,則:(尤)=上等，

當(dāng)：<x<e時(shí)，/(無(wú))>0,則函數(shù)/卜)在1,e上單調(diào)遞增，>/(1)=0,

人(e2-2e)lnx+e,f2e-e2)lnx+e2-3e

令g(x)=^——/-------則ng'(x)=^——----------，

因?yàn)楹瘮?shù)y=(2e-e2)]nx+e2-3e在1,e上單調(diào)遞增，

g[J=e2(2e2-5e)>0,g\e)=-1<0,

所以，存在x()eg,e),使得g'(x(,)=O,

當(dāng)!〈尤〈無(wú)。時(shí)，g'(x)>0,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

e

當(dāng)蠢<x<e時(shí),g[x)<0,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,如下圖所示：

直線>=辦+》恒位于y=〃x)的圖象上方，y=g(尤)的圖象下方，

b代表直線>=以+》在y軸上的截距，當(dāng)直線變化時(shí)觀察得當(dāng)直線過(guò)M(e,e-1)且與曲線

y=in*相切時(shí)，b最小.

X

、<111nA_e+l

設(shè)切點(diǎn)為%,----,貝1!x_1-Inx,

IX。>0r-e0

■lod-4o

整理可得(e-l)x；+尤o-(2xo-e)lnxo-e=。，

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

令/z(x)=(e-l)x2+x-(2x-e)lnx-e,則/z(l)=0,

ee

1(%)=2(e-l)x+1-2(1+Inx)+—=2(e-l)xH-----(1+2In%),

,xx

]e/-----------

而當(dāng)xw—,e時(shí)，2(e—1)%H—N2,2e(e—1)>3,1+2Inx<3f

_e_x

、e、

所以，2(e-l)%+——(l+21nx)>0,

x

所以當(dāng)xe1,e時(shí)，//(x)>0,則函數(shù)乂尤)在1,e上單調(diào)遞增,

所以力(無(wú))有唯一的零點(diǎn)1,

所以%=1,此時(shí)直線方程為y=x-i,故%.=7.

故選：C.

9.BD

【詳解】對(duì)于A：0u{0}或。${0},故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：{x|x=2n,neZ}={-?-,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,---},

YY

又一eZ,令一=kwZ,所以x=2鼠keZ,

22

即卜七eZ卜{小=2%/eZ}={…，一6,—4,一2,0,2,4,6,8,…},

所以{%Ix=2%〃wZ}=卜故B正確;

1XGQ

對(duì)于C：因?yàn)?（%）=所以/（X）的值域?yàn)椋?小，故C錯(cuò)誤;

0XEQQ,

x2,x>0

對(duì)于D：f(x)=x\x\=

-x2,x<0"

因?yàn)閥=/在［o,+。）上單調(diào)遞增,y=-Y在（_o,（））上單調(diào)遞增,

且"％）為連續(xù)函數(shù)，所以/（X）在R上單調(diào)遞增，故D正確;

故選：BD

10.ACD

py兀27t

【詳解】令/(x)=sin?x+(77)=——G%+O=—+24?；?。x+e=——+2E,keZ,

7233

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

_JI兀2,71

由圖可知：oxA+cp=--\-2kn,a)xc+cp=--\-2kji+27i,a)xB+(p=-+2kji,

所以忸。=%一/=,-J+24

co

2死、

所以:==—+2TII,所以①=4,故A選項(xiàng)正確,

兀

所以F(x)=sin(4x+0),由/=0得sin[-：+0)=0,

12

71

月f以—1+夕=兀+24兀，k￡Z,

4兀

所以。=+2kli,k￡Z,

所以/(x)=sin[4x+手+2fal=sin4x+竺=-sin(4x+j1,

I3

9兀9兀71；故錯(cuò)誤.

二-sin+,B

823

7171,171(35兀c711

當(dāng)工￡時(shí)，4X+—E\—,2TI+—\,

3,233

因?yàn)閥=-sint在fe(g,2兀+為減函數(shù)，故在7171

上單調(diào)遞減，故正確;

1'2C

將函數(shù)“X)的圖象沿x軸平移。個(gè)單位得g(x)=-sin(4尤+40+；),("0時(shí)向右平移,

<9>0時(shí)向左平移),

g(x)為偶函數(shù)得4。+三=]+配，kwZ,

所以。=或+￡，keZ,則囹的最小值為盤(pán)，故D正確.

故選：ACD.

11.ACD

【詳解】Vx￡(0,+oo)恒有—

yf(x)-/(x)1

X2X

二.可設(shè)以2=lnx+C(其中C為常數(shù))，

X

又對(duì)任意的正數(shù)九n恒有f(mn)=nf(in)+〃礦⑺+mn,

■.對(duì)任意的正數(shù)叫n恒有了""")=/地+小2+1,

mnmn

In(mn)+C=Inm+C+Inn+C+1,

C=-\,

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

.../(A)=]nx-l,gp/(x)=xlnx-x,

x

對(duì)于A,由上式可得/⑴=-l,故A正確；

對(duì)于B,尸(x)=lnx,設(shè)切點(diǎn)為(X。,/(%)),則切線斜率為左=lnx(),

.,.lnxo="')，(e)=/In.%"，化簡(jiǎn)得elnXo=Xo，解無(wú)()=e,

尤o_ex0-e

所以點(diǎn)(ej(e))就是切點(diǎn)，所以切線方程為，=工-6,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,令g(尤)=/(尤)一尤+e=_rlnx_2x+e,x>0,則g'(x)=lnx-1,

令g'(x)>0,可得%>e,g'(x)<0,可得0cx<e,

所以函數(shù)g(x)在(0,e)上單調(diào)遞減，在(e,+8)上單調(diào)遞增，

g(x)>g(e)=elne-2e+e=0,所以尤一e,對(duì)Vxe(0,+co)恒成立，故C正確;

對(duì)于D,設(shè)M尤)=/(x)+x2=xinx-x+尤2,p'(x)=lnx+2x,

???p'(x)在(o,+s)上單調(diào)遞增，且p'(—)=—l+—<0,p'⑴=2>0,

所以七°使p(x)在(0,%)上單調(diào)遞減，p(x)在(無(wú)o，+s)上單調(diào)遞增,

，尤=%為函數(shù)p(x)的極小值點(diǎn)且滿足山毛+2%=0,

〃%)+3%=尤olnxo+2xo=-2無(wú)；+2%=2%(1-尤0)>0,故D正確.

故選：ACD.

12.4肉皿

3

【詳解】因?yàn)閨z-4i|V2,

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得復(fù)數(shù)z表示以C(0,4)為圓心，以2為半徑的圓C的圓面,

如圖所示，過(guò)原點(diǎn)。作圓C的切線，切點(diǎn)為A8,

在直角△OBC中，可得|OC|=4,|BC|=2,所以/。6方=：,且|?；?2百,

2兀

所以NACB=曾，

所以復(fù)數(shù)向量OZ掃過(guò)的面積為S=2xyx2A/3x2+—-(2n-x22=46+與.

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

13.V2

【詳解】由題意得，卜+y2m+%+*卜口+卜+口,

即求曲線》=犬-31門(mén)上一點(diǎn)到距離最小值，

又因?yàn)椋畚福辉谥本€上，

所以當(dāng)曲線與直線＞=r平行時(shí)，距離取得最小值，

33

令V=2x-—=-1,解得x=l或x=-=（舍去），

x2

當(dāng)尤=1時(shí)，點(diǎn)（U）到直線尤+y=o距離為專(zhuān)=V2,

即所求曲線y=/-31n尤上一點(diǎn)至距離最小值為VL

故答案為：V2

14.姮

2

【詳解】作。X，直線AM于點(diǎn)H,連接P”，則翻折后077,AM,

?.,平面ADM_L平面ABC,AM為兩平面的交線,

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

D'H1平面ABC,\PD'\=物圻+|叫2.

設(shè)NDAH=?,由|DA|=2,得|￡>H|=2sin。，\AH\=2cos0,

設(shè)|AP|=x,則xe[O,1].

2Tr

由|4。=|CD|=|D4|=2知匚ACD為正三角形，則NBAD=y,

：.ZBAM=^-0,在口PA”中，\PH^=\AP[+\AH^-2\AP\-\AH\-cosZPAH,

BP\PH\=J_4COS6COS(^——^)x+4cos20,

\PD^=x2-4cos0cos(^--0)x+4cos20+4sin20,

t己，=2cos6cosC^—。)，則怛￡)‘『=(x-r)2+4-/2,

27r17rI

由％=2cos6cos(----8)=sin(26)—,0<6W一,得-1<&—,又X￡[。，1],

36232

...若一1</<0,則當(dāng)x=0時(shí)，(陷]2焉=4；

若次&；,則當(dāng)x=f時(shí)，(|尸。『焉=4"%-：=?,

；?(即焉=半.

故答案為：叵.

2

15.(片

4

(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為§

97?2

【詳解】(1)甲3局全勝的概率為6=§x;x,=藥，

乙3局全勝的概率為g=；x；x；=(,

Q11

???進(jìn)行3局比賽決出冠亞軍的概率為P=—+—=-

(2)X的可能取值為1,2,

尸(x=i)=:，

p(x=2)=-x-+-x-=-,

故X的分布列為：

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

16.(l)〃=5,b=-2

⑵證明見(jiàn)解析

【詳解】(1)函數(shù)“X)的定義域?yàn)?O,+e)/(x)=J+a.

將x=l代入y=6x-3,解得y=3,即/⑴=3,

由切線方程y=6x-3,則切線斜率/'⑴=6.

故〃+。=3,1+。=6,解得〃=5,〃=—2.

(2)證明：由(1)知/(x)=ln_x+5無(wú)一2,

3Q

從而f(x)>~~—等價(jià)于xlwc>—5x2+2x—.

5x5

設(shè)函數(shù)g(x)=xl般，則g'(%)=l+lnx.

所以當(dāng)時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)時(shí)，g,(x)>0.

故g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

從而g(尤)在(。,+°O)上的最小值為g［J=-

設(shè)函數(shù)〃(x)=-5x?+2x-(=-5(x-1［一］,

從而“x)在(0,+“)上的最大值為C=-g<-1

故g(無(wú))>/z(x),BP/(%)>-—.

JX

17.(1)證明見(jiàn)解析

⑵叵

5

【詳解】(1)連接AM,OM,MN,PN,

因?yàn)镸,N依次是底面以8上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，

所以四邊形。是菱形，設(shè)MBcON=Q,則Q為ON中點(diǎn)，且ONLMB,

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

又因?yàn)?。?ON,NPON=60。，故匚OPN是等邊三角形，

連接PQ,則CW_LPQ,

又因?yàn)镸3,PQu面尸MB,MBcPQ=Q,所以O(shè)N_L面尸A",

因?yàn)镻8u面所以O(shè)N_LPB,

因?yàn)镸,N依次是底面上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以O(shè)N〃AM,所以AM_LPB,

又因?yàn)锳B是半球。的直徑，尸是半球面上一點(diǎn)，所以尸

因?yàn)锳M,PAu面P4W,AMr>PA=A,所以尸8_1面上4/，

又因?yàn)镻Mu面PAM,所以尸3_LPM

(2)因?yàn)辄c(diǎn)P在底面圓上的射影為ON中點(diǎn)，

所以P。1面

因?yàn)镼M,QVu面AMB,所以尸Q，QM,PQ，QN,

又因?yàn)镼MLQN,

所以以｛兩，畫(huà)，9｝為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

所以P(0,0,⑹,M(后0,0),川-6,0,0),4(百,-2,0),

所以麗^使,。,-6),即=(后-2,-⑹，麗=(23-2,0),

設(shè)平面PAB的法向量五=(x,y,z),

n-PA=Mx-2y~V3z=0

則，令x=l,貝1JH=（1,道,T）,

n-BA=2s/3x-2y=0

設(shè)直線PM與平面PAB所成角為夕［owe

I——.I?司2-73V10

則sin0=\cosPM,rA=L=—

11\PM\-\h\=76x755

所以直線PM與平面PAB所成角的正弦值為巫

5

答案第11頁(yè)，共15頁(yè)

18.(1)證明見(jiàn)解析

⑵。

⑶存在根

4

【詳解】(1)證明：設(shè)E(%O，%)，A(%I，%)，5(%2，%)，

由題意得：切線的方程為：芋-％將點(diǎn)￡帶入得：牛

E4y=l,%%=1，

同理可得：午-%為=1，易知點(diǎn)42都在直線芍-%y=l上，

所以直線/的方程為：法-%y=l,

因?yàn)橹本€/過(guò)點(diǎn)M(4,o),所以%=1,

所以點(diǎn)E恒在定直線L:x=l上.

整理得12萬(wàn)-4￥-3=0,

同理可得12〃2-4y；-3=0,

所以，尢〃是關(guān)于x的方程12/-4y；-3=。的兩個(gè)實(shí)根，

所以無(wú)+〃=0.

法二：由題意知，/的斜率存在，設(shè)/的方程：y=k(x-4),

y=Z:(x-4)

聯(lián)立＜《得：(1一4左2)X2+32左2尤一(64%2+4)=0,

A=(32陰。+4(1-4用(64獷+4)>0

fiCh.32k264r+4

所以為+無(wú)2=瓦口，%也=而二p

答案第12頁(yè)，共15頁(yè)

設(shè)N（l,%）,因?yàn)辂?2涼，所以1-無(wú)1=2（網(wǎng)-4）,所以2=^^

玉一4

,1-Xry

同理"=二'

所以幾+"=二+二J』%/再+：).

%一44xrx2-4^X1+X2J+1O

_一128左2-8+160左2_3242+8_0

―64^2+4-128左2+64左2-16-,

(3)設(shè)/:尤=小+4,與c：工-y2=i聯(lián)立得：

4

(產(chǎn)一4)y+附+12=0,

8r12

X+X%=/_4，

因?yàn)橹本€L的方程為尤=1,所以尸(1,%),。(1,%)，

所以51=；恒斗況=；歸一1卜兇=!回+3].血,

13

同理邑=1仇+3卜良|,53，

上.且上+9

：加2卜/2%%+3《%+%)+9|

產(chǎn)-4t2-4t2-4

所以‘"=W^=

9『一'"[4

(t2-4J產(chǎn)-4

19.⑴%=而是。數(shù)列，q=2"不是。數(shù)列，理由見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

⑶證明見(jiàn)解析

【詳解】（1）是。數(shù)列，4=2”不是。數(shù)列，理由如下:

當(dāng)a,=6時(shí)，a：=n,cQ+l=n+\,

答案第13頁(yè)，共15頁(yè)

則=〃+1-〃=1,故是。數(shù)列;

a2

當(dāng)n=2"時(shí)，a；=2",an+l

則-片=22n+2-22B=3X22B,故不是。數(shù)列;

(2)若｛4｝是。數(shù)列，貝1)4>0且一4=",

此時(shí)數(shù)列｛■｝是以為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列，

故當(dāng)d<0時(shí)，則總存在正整數(shù)〃，使吊+(〃-1”<0,

與見(jiàn)>0矛盾，故d>0恒成立，4]-a；=d>0,

有a：=a：+("-l)d>,a^+1=a^+nd>nd,

由Q+小開(kāi)隨〃的增大而增大,

故總存在正整數(shù)“使丁當(dāng)『<1,即數(shù)列低｝中存在小于1的項(xiàng);

yjn+y/n-l

(3)由(2)得a；=〃；+(〃—1”,故凡=也;,

1_1____________2____________

J+(〃-1)dJ+(0-1)d+Ja；+(〃-1)d

則"4(即-

="!(擊；+加一aj,由[d+加/-4隨”的增大而增大,

2

且〃f+8時(shí)，一+-％f+8,

d

答案第14頁(yè)，共15頁(yè)

故對(duì)任意的d>0,總存在正整數(shù)n使?。?；+/以-aJ>2024,

〃1

即總存在正整數(shù)〃，使得￡—>2024.

/=1%

答案第15頁(yè)，共15頁(yè)

A.{x|-l<x<3}B.{x|-l<x<3}C.{x|2<x<3}D.{x|2<x<3}

2.函數(shù)/(x)=2"+x3—9的零點(diǎn)所在區(qū)間為()

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

3.設(shè)函數(shù)〃X）=A[+6（a>0,"1）,則函數(shù)〃x）的單調(diào)性（）

A.與。有關(guān)，且與6有關(guān)B.與a無(wú)關(guān),且與6有關(guān)

C.與。有關(guān)，且與6無(wú)關(guān)D.與。無(wú)關(guān)，且與6無(wú)關(guān)

4.已知等差數(shù)列{%},則仁2是%+%]=〃左+%o成立的（）條件

A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要

5.已知直線q,m,n,I,且冽，〃為異面直線，加JL平面。，〃_L平面若/滿足/_1_加，

/_L〃，則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.IllaB./!/?C.若acB=a,則a/〃D.a1/3

6.已知是單位向量，且它們的夾角是60。.若2=,+26石=4%-6，且|萬(wàn)|=|B|,則％=

（）

A.2B.-2C.2或一3D.3或一2

c.D.

3

8.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足X>Q)>3,不等式左(2尤-3)(了一3)48尤3+/-12尤2-3/恒成立，則實(shí)數(shù)

上的最大值為()

A.12B.24C.2cD.473

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知復(fù)數(shù)4/2，則下列結(jié)論正確的有()

A.z；=z；B.Z]"2=馬烏昨&|=|訃團(tuán)D.|z!+z2|=|z1|+|zj

10.已知/(x)，g(x)的定義域?yàn)镽^〃x)+g(l—x)=a(awO),g(l+x)=g(l—x),

若/(x+2)為奇函數(shù)，貝!|()

A.g(x)關(guān)于尸1對(duì)稱(chēng)B.g(x)為奇函數(shù)C./(2)=0D./(x)為偶函數(shù)

11.已知o為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線「(f+vy=即(3/一力，?>o,尸(毛,%)為曲線r上動(dòng)

點(diǎn)，則()

A.曲線「關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)B.曲線「的圖象具有3條對(duì)稱(chēng)軸

C.-a,—aD」OP|的最大值為百a

16

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在A43c中，角4民。的對(duì)邊分別為。，b,c,已知。5苗22-底吊24=asin/cosC.則

2

角8=________

13.鎮(zhèn)海中學(xué)舉辦大觀紅樓知識(shí)競(jìng)賽，該比賽為擂臺(tái)賽，挑戰(zhàn)者向守擂者提出挑戰(zhàn)，兩人輪

流答題，直至一方答不出或答錯(cuò)，則另一方自動(dòng)獲勝，挑戰(zhàn)者先答題，守擂者和挑戰(zhàn)者每次

答對(duì)問(wèn)題的概率都是工，每次答題互相獨(dú)立，則挑戰(zhàn)者最終獲勝的概率為.

2

14.在四面體尸一中，BP工PC,/BAC=60°,若BC=2,則四面體尸一48c體積的最

大值是,它的外接球表面積的最小值為.

2

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.（13分）在"BC中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為b,c,向量

m=（b—a9c）,n=（sinB-sinC,sinA+sinB）>且施〃方.

（1）求/；（2）若的外接圓半徑為2，且COS3COSC=_L，求△/BC的面積.

6'

16.05分）已知G為正項(xiàng)數(shù)列｛斯的前"項(xiàng)的乘積，且ai=3,=a：1,數(shù)列｛4｝滿

足bn=kan-n.

（1）求數(shù)列｛。〃｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛"｝為遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)左的取值范圍；

17.（15分）某款游戲預(yù)推出一項(xiàng)皮膚抽卡活動(dòng)，玩家每次抽卡需要花費(fèi)10元，現(xiàn)有以下

兩種方案.方案一：沒(méi)有保底機(jī)制，每次抽卡抽中新皮膚的概率為月；方案二：每次抽卡抽

中新皮膚的概率為P2,若連續(xù)99次未抽中，則第100次必中新皮膚.已知0<°2<“<1，玩

家按照一、二兩種方案進(jìn)行抽卡，首次抽中新皮膚時(shí)的累計(jì)花費(fèi)為X：（元）.

（1）求的分布列；

（2）求￡（x）；

（3）若月=22=0.02,根據(jù)花費(fèi)的均值從游戲策劃角度選擇收益較高的方案.

：O.99100~0.37.

22

18.（17分）已知橢圓C：二+4=1（。＞0,b>0）的左、右焦點(diǎn)

a2b2

分別為片、苞，離心率為去，經(jīng)過(guò)點(diǎn)片且傾斜角為。0<e<U的直

線/與橢圓交于A、8兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在X軸上方），乙的周長(zhǎng)為

8.

3

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)如圖，將平面x0沿％軸折疊，使V軸正半軸和％軸所確定的半平面(平面4月B)與

V軸負(fù)半軸和％軸所確定的半平面(平面電鳥(niǎo))互相垂直.

1若e=g,求三棱錐/—兩月的體積，

2若6=異面直線和3月所成角的余弦值；

3是否存在使得與折疊后的周長(zhǎng)為與折疊

前的周長(zhǎng)之比為絲？若存在，求tan。的值；若不存在，請(qǐng)

16

折疊后

說(shuō)明理由.

19.(17分)在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫(huà)曲線的彎曲程度.

考察如圖所示的光滑曲線C:y=/(x)上的曲線段靛，其弧長(zhǎng)為As,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從/沿曲線段

AB運(yùn)動(dòng)到8點(diǎn)時(shí)，/點(diǎn)的切線"也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線

lB,記這兩條切線之間的夾角為(它等于〃的傾斜角與％

的傾斜角之差).顯然，當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎

曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越大，

因此可以定義K=絲為曲線段力3的平均曲率；顯然當(dāng)5越

As

接近N,即心越小，K就越能精確刻畫(huà)曲線C在點(diǎn)N處的彎曲程度，因此定義

/C=lim—=(若極限存在)為曲線C在點(diǎn)4處的曲率.(其中分別表示

Ac—nAr,3',

y=/(x)在點(diǎn)/處的一階、二階導(dǎo)數(shù))

(1)求單位圓上圓心角為60。的圓弧的平均曲率；

(2)求橢圓1+/=1在處的曲率；

(3)定義夕(匕)=迪兇為曲線y=/(x)的“柯西曲率”.已知在曲線f(x)=xlnx-2x±

(1+力

存在兩點(diǎn)尸和°(%，/(%)),且尸,0處的“柯西曲率”相同，求式+理的取值

4

范圍.

答案:

CBDBCDCB

9.BC10.ACD11.ABC

12.60°13.1/314.

33

11?【解析】

將x用r替換代入方程，方程不變，故曲線關(guān)于歹軸對(duì)稱(chēng)，A正確；

令x=rcos。，y=rsinO,代入整理可得r=asin3。，

其中曠=舊+下〉o,。為點(diǎn)（%,y）所在終邊對(duì)應(yīng)的角度，且?！闧0,2兀），

因?yàn)閺S>0,故OehMu戶,"u也H]，

L3」3JL33J

因?yàn)榍€關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故y,y對(duì)應(yīng)的圖象關(guān)于0=弓軸（即y軸對(duì)稱(chēng)）對(duì)稱(chēng)，

注意到r=asin36關(guān)于6的周期為空，

3

故曲線也關(guān)于6=色和（即y=±J）對(duì)稱(chēng)，

66-V3

故B選項(xiàng)正確；

2一"‘卷'c正確；

y0=。sin3。sin6=（sin?6（3—4sin6）E

\OP\=r=asin30<afD錯(cuò)誤；

綜上，選ABC.

C另解：+>2）2=砂（3工2一y2）0丁+僅>2一3町”+貫+即3=0,該方程關(guān)于f有解,

「Q

由實(shí)根分布可知比￡-a,一a.

8/+2(3x2-y

D另解:

解得|?？?jY+y2&a.

15.W：（1）由已知玩〃五,即c（sin5—sinC）—3—aXsinZ+sin3）=0,

由正弦定理得。3—。）一3—。）（。+6）=0,即A一。2+/_b2=o,

5

整理得〃2+c2—/=秘，即cosZu.+J_a-=j_,又N