江蘇省南京市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

南京市2024屆高三年級第二次模擬考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.

2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.

3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡

上.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1已知向量"（1，"=（%，x+3）.若""，則x=（）

B.-2C.3D.6

2.“0<r<2”是“過點(diǎn)（1,0）有兩條直線與圓。：％2+產(chǎn)=/&>（））相切，，（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.為了得到函數(shù)y=sin[2x+1]的圖象，只要把函數(shù)y=sin2x圖象上所有的點(diǎn)（）

7TTT

A.向左平移一個單位B.向左平移一個單位

63

TTTT

C向右平移一個單位D.向右平移一個單位

63

4.我們把各項(xiàng)均為?；?的數(shù)列稱為0-1數(shù)列，0-1數(shù)列在計(jì)算機(jī)科學(xué)和信息技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)

用.把佩爾數(shù)列｛片｝（4=0,鳥=1,匕+2=2匕+1+只，〃eN*）中的奇數(shù)換成0,偶數(shù)換成1,得到

0—1數(shù)列｛4｝.記｛%｝的前w項(xiàng)和為S“，則820=()

A.16B.12C.10D.8

Q_ii

5.已知尸(A)=y,P(AB)=-,P(A|B)=-,則P(3)=()

6.在圓臺OQ中，圓°2的半徑是圓°1半徑的2倍，且。2恰為該圓臺外接球的球心，則圓臺的側(cè)面積與

球的表面積之比為()

A.3:4B.1:2C.3:8D.3:10

7.已知橢圓。的左、右焦點(diǎn)分別為《，F(xiàn)2,下頂點(diǎn)為A,直線A片交。于另一點(diǎn)8,AAB8的內(nèi)切圓

與陰相切于點(diǎn)P.若忸升=閨閭，則C的離心率為()

1123

A.—B."C.—D.一

3234

8.在斜一ABC中，若sinA=cos5,則3tan5+tanC的最小值為()

A.V2B.75C.V6D.473

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，不選或有選錯的得0分.

9.已知zrZ2互為共朝復(fù)數(shù)，貝U()

A.z；=z；B.|zi|=|z2|C.Zj+z2eRD.z-eR

10.己知函數(shù)/(x)滿足/(x)/(y)=/(盯)+|尤|+|y|,則()

A./(0)=1B./(I)=-lC./(x)是偶函數(shù)D./(x)是奇函數(shù)

11.已知平行六面體ABC?！?4GR的棱長均為2,NAAB=NAAD==60。，點(diǎn)尸在

A3。內(nèi)，則()

A.AP〃平面用eqB.

C附1,西AP|D.|AP|+|P*2遙

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合A={1,2,4},B={(x,y)|xeA,yeA,x-yeA},則集合3的元素個數(shù)為.

13.在平面四邊形ABC。中，ZA=135°,ZB=ZD=90°,AB=2,AD=g，則四邊形A3CD的

面積為.

14.已知函數(shù)/(?=_?-翻+1(4611)的兩個極值點(diǎn)為占，％2(%<%2)，記A(石，/(%))，

C(尤2，/(9))?點(diǎn)8,。在/a)的圖象上，滿足A3,CD均垂直于y軸.若四邊形A3CD為菱形，貝U

a=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.某地5家超市春節(jié)期間的廣告支出x(萬元)與銷售額y(萬元)的數(shù)據(jù)如下：

超市ABCDE

廣告支出X24568

銷售額y3040606070

(1)從A,B,C,D,E這5家超市中隨機(jī)抽取3家，記銷售額不少于60萬元的超市個數(shù)為X,求隨機(jī)變

量X的分布列及期望E(X)；

(2)利用最小二乘法求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測廣告支出為10萬元時(shí)的銷售額.

Xx,y一〃元反

附：線性回歸方程9=%+6中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：$=告----------，

%2-nx—2

EZ=1

a=y-bx.

2.

16.已知函數(shù)/(x)=%二—+J,其中aeR.

e

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求曲線y=/(x)在(L/⑴)處的切線方程；

(2)當(dāng)。＞0時(shí)，若/⑺在區(qū)間［。,可上最小值為工，求。的值.

e

17.在五面體A5CDEF中，8，平面4￡)石，ER1平面ADE.

(1)求證：AB//CD；

⑵若AB=2AD=2EF=2,NADE=NCBF=90°,點(diǎn)。到平面ABEE的距離為受，求二面角

A—防一C的大小.

22

18.已知拋物線C:y2=2PHp>0）與雙曲線E：__匕=1(a>0,b>0）有公共的焦點(diǎn)R且

/b2

p=4b.過P的直線/與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，與E的兩條近線交于P,。兩點(diǎn)（均位于y軸右側(cè)）.

（1）求E的漸近線方程;

11

（2）若實(shí)數(shù)2滿足丸,求X的取值范圍.

{\OP\\OQ\)LAF|\BF\

19.已知數(shù)列｛%｝的前八項(xiàng)和為s”.若對每一個“cN*，有且僅有一個根eN*，使得S",<4<S”,+1，

則稱｛a“｝為“X數(shù)列”.記句=Sm+l-an,〃6N*，稱數(shù)列也｝為｛??｝的“余項(xiàng)數(shù)列”.

（1）若｛4｝的前四項(xiàng)依次為0,1,-1,1,試判斷｛4,｝是否為“X數(shù)列”，并說明理由；

（2）若S“=2",證明｛a“｝為“X數(shù)列”，并求它的“余項(xiàng)數(shù)列”的通項(xiàng)公式；

,-2

（3）已知正項(xiàng)數(shù)列｛a,｝為“X數(shù)列”，且｛4｝的“余項(xiàng)數(shù)列”為等差數(shù)列，證明：5?<（1+2-）?1.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知向量”（I2,"=（%，x+3）.若"b,則x=（）

A.-6B.-2C.3D.6

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量平行的判定方法得到L（x+3）=2-x,再解方程即可.

【詳解】由。b,知l-（x+3）=2”，解得x=3.

故選：C.

2.“0<r<2”是“過點(diǎn)（1,0）有兩條直線與圓。：/+>2=/&>（））相切，，的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】由已知點(diǎn)（1,0）在圓C:/+y2=r2（r>0）外，求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可

得答案.

【詳解】由題意，點(diǎn)（L。）圓C:d+y2=r2（廠>o）外，貝I］有0<r<1,

（0,1）（0,2）,所以“0<廠<2”是“過點(diǎn)（1,0）有兩條直線與圓C:V+y2=/&>0）相切,，的必要不充分條

件.

故選：B

3.為了得到函數(shù)y=sin12x+1J的圖象，只要把函數(shù)y=sin2x圖象上所有的點(diǎn)（）

A.向左平移上IT個單位B.向左平移上7T個單位

63

ITJT

C.向右平移一個單位D.向右平移一個單位

63

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)平移的原則即可得到答案.

【詳解】y=sin12x+1J=sin,

71

則把函數(shù)y=sin2%圖象上所有的點(diǎn)向左平移二個單位即可，

6

故選：A.

4.我們把各項(xiàng)均為?；?的數(shù)列稱為0-1數(shù)列，0-1數(shù)列在計(jì)算機(jī)科學(xué)和信息技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)

用.把佩爾數(shù)列｛匕｝（4=0,鳥=1,匕+2=2匕+1+匕，/CN*）中的奇數(shù)換成0,偶數(shù)換成1,得到

0—1數(shù)列｛%｝.記｛4｝的前w項(xiàng)和為S“，則邑。=（）

A.16B.12C.10D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意求得數(shù)列的前8項(xiàng)，通過觀察找到規(guī)律，即可求解.

【詳解】因?yàn)椤?0,P2=l,匕+2=2只+1+匕，HGN*.

所以巴=2P2+《—2x1+0—2,

舄=26+￡=2義2+1=5,

8=2舄+6=2x5+2=12,

《=2呂+巴=2x12+5=29,

2=26+己=2x29+12=70,

6=22+《=2><70+29=169,…，

可以看出數(shù)列｛4｝的前20項(xiàng)為1,0,1,0,1,0,

故$20=10x1+10x0=10.

故選：C.

3，尸(砌］,P(A|B)=|,則P(3)=(

5.已知尸(A)=g

1B.234

A.-C.一D.-

5555

【答案】D

【解析】

【分析】首先由P（A）=P（AB）+P（A§）求出P（AB）,再由條件概率公式計(jì)算可得.

,一、3_1

【詳解】因?yàn)镻(A)=P(AB)+P(AB),P(A)=-,P(AB)=-,

_\2

所以尸(AB)=P(A)-P(zAB)=-,

2

所以。⑷用蜜三，則。（力奇篇嚇《

2

故選：D

6.在圓臺中，圓O2的半徑是圓Q半徑的2倍，且。2恰為該圓臺外接球的球心，則圓臺的側(cè)面積與

球的表面積之比為（）

A.3:4B.1:2C.3:8D.3:10

【答案】C

【解析】

【分析】令外接球的半徑為2R，作出圖象，求出圓臺的母線，即可求出圓臺的側(cè)面積，再求出球的表面積,

即可得解.

【詳解】令外接球的半徑為2R,依題意O2A=2R,O2B=2R,0出=R,

過點(diǎn)B作3c則02c=°IB=R,所以

又BC=OR=J（2R）2-R2=#>R,所以AB=小火2+（百尺『=2R，

所以圓臺的側(cè)面積S]=g（2兀氏+2兀義2R）x2R=6nR2,

球的表面積S2=4兀X（2R）2=16兀4，

所以圓臺的側(cè)面積與球的表面積之比為S1：S2=（6兀&）：（16兀的=3:8.

故選：C

7.已知橢圓。的左、右焦點(diǎn)分別為A,F2,下頂點(diǎn)為A,直線4片交。于另一點(diǎn)8,△ABE的內(nèi)切圓

與時(shí)相切于點(diǎn)尸.若忸升=閨閭，則C的離心率為（）

1123

A.-B.-C.—D.一

3234

【答案】B

【解析】

【分析】由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)得出△A5&的周長為4c+2a,再由橢圓的定義得的周長為4a,

列出等式即可求解.

【詳解】設(shè)橢圓的長軸長為2a,短軸長為26,焦距為2c,則忸"=閨閭=2c,|A閶=a,

設(shè)AAB瑪?shù)膬?nèi)切圓與4工相切于點(diǎn)如圖所示，

HIJ|AM|=|A^|,|P^|=|A^|,\BP\=\BM\^2C,

所以|M|=|4V|+|A^|=|AM|+|PE|=a,

所以△A3K的周長為+|隹I+忸閭=（忸閘+|4W|）+（|⑷V|+|明|）+（忸”+歸閭）=4c+2a,

由橢圓定義可得，|A@+|M|+忸閭=4a,

一C1

所以4c+2a=4。，則6=—二一,

a2

故選：B.

8.在斜中，若sinA=cos5,則3tan5+tanC的最小值為（）

A.V2B.75C.屈D.4A/3

【答案】B

【解析】

【分析】由sinA=cos5>0得出tanAtanB=±l,由ABC為斜三角形，得出tanAtanjB=-l,再根據(jù)

誘導(dǎo)公式，兩角和的正切公式，基本不等式求解即可.

【詳解】因?yàn)閟inA=cos5>0,

所以5為銳角，sin2A=cos2B，貝！Jl-cos2A=1—sin'J?，即cos2A=sin?5,

22

crHIsinAcosB口241crHl.?

所以——；—=——--，即tanA=—T-,所以tanAtan5=±l,

cos2Asin2Btan2B

當(dāng)tanAtan5=l時(shí)，cosAcos5-sinAsinjB=0即cos(A+_B)=0,所以A+5=],不合題意;

tanA+tanB

當(dāng)tanAtan5=-l時(shí),tan(A+B)=

2

tanA+tanB

所以tanC=tan(7i-A-B)=-tan(A+B)=-

2

ll…c八cc八tanA+tanB

所以3tanB+tanC=3tanB-----------------

2

1

——tanB—tanA——tanBH------>2jjtanB.=非

2222tanB2tanB

當(dāng)且僅當(dāng)9tan8=^^,即tan3=@時(shí)等號成立，

22tan35

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，不選或有選錯的得0分.

9.已知zrZ2互為共朝復(fù)數(shù)，貝U()

A.z；=z；B.|zi|=|z2|C.Zj+z2eRD.z-eR

【答案】BCD

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)模長公式驗(yàn)證各選項(xiàng)即可.

詳解】令4=。+歷,z2=。一歷,(a,beR),

對A,z；=a—b+2abi,z：=a?-b—2abi,

則2；=Z；不一定成立，故A選項(xiàng)錯誤；

22

對B,IzJ=|z2|=yja+b>故B選項(xiàng)正確；

對C,Zj+z2=2tzeR,故C選項(xiàng)正確；

22

對D,z；-z2=<7+Z;eR,故D選項(xiàng)正確.

故選：BCD

10.己知函數(shù)/a)滿足/(x)/(y)=/(盯)+|尤|+|y|,則()

A./(0)=1B./(I)=-lC./(x)是偶函數(shù)D.7(x)是奇函數(shù)

【答案】AC

【解析】

【分析】利用賦值法求得/(0)=1,/(x)=l+|x|,可判斷各選項(xiàng)的正誤。

【詳解】令y=。，則〃O)/(x)=/(O)+W，

令x=y=O,貝!][/(0)1=/(0),解得=0或=

若/(0)=0,則兇=0恒成立，不合題意，故/(O)=l,A選項(xiàng)正確；

/(0)=1,則〃力=1+國J(—1)=2,B選項(xiàng)錯誤;

函數(shù)〃x)=l+W,定義域?yàn)镽,/(-x)=l+|-x|=l+|x|=/(x),

/(x)為偶函數(shù)，C正確，D錯誤.

故選：AC

11.已知平行六面體ABC?！?4GR的棱長均為2,NAAB=NAAD==60。，點(diǎn)尸在

A3。內(nèi)，則()

A.AP〃平面genB.AP_LAC;

C.|尸。2病體尸|D.|AP|+|PCj>2V6

【答案】ABD

【解析】

【分析】由面面平行的判定及性質(zhì)即可判斷A；以AB,AD,AA為基底，證明出AC；，平面48。，即可

判斷B；由|AP|+|PG以即可判斷出D；由正弦定理，勾股定理及函數(shù)單調(diào)性即可判斷出C.

【詳解】對于A,連接C，，

由平行六面體ABCD-44GR得，平面431cl2〃平面ABCD,平面ABB^//平面DCQD；,

因?yàn)槠矫鍭BC。]平面A351A=平面ABCQ平面。

所以ABHCD、,同理可得BDHBQ\,

因?yàn)镃D】u平面與C。，45(Z平面3c。，

所以43〃平面用CD1,同理可得平面片CD1,

因?yàn)锳BCBD=B,AXB,B￡)U平面48。，

所以平面平面gcq,

又APu平面45。，所以AP〃平面用CR,故A正確；

對于B,以A及AD,AA為基底，

貝I]AGnAB+AD+M,BD=—AB+AD，BA]=-AB+AAl,

因?yàn)槠叫辛骟wABCD-A4C，的棱長均為2,Z^AB=Z^AD=ZBAD=60°,

所以AG-BD=(AB+AZ)+A4,)?(-AB+AD)=T+2-2+4-2+2=0,

AG?網(wǎng)=(AB+AD+A4,)?(-AB+A4,)=Y+2-2+2-2+4=0,

所以AG，加),AqLBA,，

因?yàn)?0,54u平面A/D,且3。3=5,

所以AC1，平面A/D,又4Pu平面ABO,

所以AG，AP,故B正確;

對于D,|"|+|PG閆AC/,

=（45+4。+的）2=4+4+4+2x2+2x2+2x2=24,即四|=2向

所以|AP|+|PG|N2遙，當(dāng)點(diǎn)AP，G共線時(shí)等號成立，故D正確；

對于C,因?yàn)锳C1，平面A/D,則AG交的外心。，連接0P,

則NAOP=NqOP=90°,

2乎則半27,6

在，45。中，由正弦定理得外接圓直徑2R=--------，R=

sin60°3

|"|=2而一半=華,

設(shè)|OP|=xe[0,

在RtAPO中，|AP「=|AO|2+|OP|2=|+X2,

在Rt.CP。中，|GP「=|CO「+|OP「=^+/,

322

--------FX32+3%224

則3+le(3,4]

W邛828+3%28+3x2

—FX

3

p

所.以\14Qn\le”r3,2],故c錯誤;

\AP\

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在平行六面體ABC。-44Goi中，已知棱長均為2,

^AB=ZA.AD=ZBAD=60°,處理該幾何體中的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系時(shí)，以AB,AD,相為基底，

利用向量解決問題.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合A=｛1,2,4｝,B=｛（x,y）\xeA,yeA,x-yeA｝,則集合B的元素個數(shù)為.

【答案】2

【解析】

【分析】利用列舉法求解集合8=｛（2,1）,（4,2）｝,即可求解.

【詳解】當(dāng)九=1時(shí)，y=L2,4,x—V分別為0,—1,-3,均不能滿足x—yeA,

當(dāng)x=2時(shí)，y=l時(shí)可滿足x—y=leA,

x=2時(shí)，y=2,x-y=0,x=2時(shí)，y=4,x-y=—2均不滿足x-ycA,

當(dāng)x=4時(shí)，y=2可滿足x-y=2eA,*=4時(shí)，y=l,x-y=3,x=4時(shí)，y=4,x-y=3均不滿足x—yeA,

所以8=｛（2,1）,（4,2）｝,故集合B的元素有2個，

故答案為：2

13.在平面四邊形A3CD中，ZA=135°,ZB=ZD=90°,AB=2,AD=6，則四邊形A3CD的

面積為.

【答案】7

【解析】

【分析】設(shè)6C=x,CD=y（x,y>0）,禾U用勾股定理得至ijf+4=丁+2,再由兩角和的正切公式及銳

角三角函數(shù)求出x、最后根據(jù)5筋8=3（495。+4。-。。）計(jì)算可得.

【詳解】連接AC，依題意，設(shè)6C=x,CD=y(x,y>Q),則AC?=/+4=/+？，

tanZDAC+tanABAC

又tanNDAB=tan135°=tan(ZDAC+ZBAC)=

1-tanZDACtanZBAC

2/T

即一^^=-1,即孫一2后=0x+2y,

1-----產(chǎn)

2后

即(x—2)(y—四)=4后，顯然XH2,則y—&=即>=±^|+0,

又好+2=產(chǎn)，所以/+2=1普+0,整理得％3—4%2+4%-16=0，

即(％—4乂/+4)=0,解得％=4,所以>=3^/^,

所以

=1(2X4+V2X3A/2)=7

故答案為：7

14.已知函數(shù)/0)=_?-融+1(。611)的兩個極值點(diǎn)為占，％2(%<%2)，記4(%，/(%))，

0卜2，/(%2))?點(diǎn)8,。在/(X)的圖象上，滿足A3,CD均垂直于y軸.若四邊形A3CD為菱形，則

【答案】m

2

【解析】

J1,四邊形ABCD為菱形，由"C小BD

【分析】令/'("=0得%=—假》2

二—1得—xD

又石+々

=0,得B，由/(/)=/(石)，代入函數(shù)解析式求。的值.

22X=\-QW

【詳解】函數(shù)/。)=丁—奴+l(aeR),f'(x)=3x2-a,

若aWO,/'(力》0恒成立，”力在R上單調(diào)遞增，不合題意,

a>0時(shí)，/,(x)=3x2-a=0,得石a

3

則〃亦吟心

四邊形A3CD為菱形，則AC1BD,

8。\a

==XB_XD

%一石32axB-xD9V3

X+X八n,i4〃la4a\a

X1+%2_BD二0，則/=

229V3

由/(%0=/(%)，化簡得血—又一2=0,令/="〉0,則/—3f—2=0，

''''72939

即?—2)(/+1)2=0,解得f=2,故苦=2,a=半.

故答案為：逑.

2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是用好四邊形A3CD為菱形，由對角線互相垂直利用直線斜率得

8a|,利用對角線互相平分有七玉Xb+Xd=0,求出％B，由/(/)=/(%)求a的

XB~XD=~^

值.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.某地5家超市春節(jié)期間的廣告支出x(萬元)與銷售額y(萬元)的數(shù)據(jù)如下：

超市ABCDE

廣告支出X24568

銷售額y3040606070

⑴從A,B,C,D,￡這5家超市中隨機(jī)抽取3家，記銷售額不少于60萬元的超市個數(shù)為X,求隨機(jī)變

量X的分布列及期望E(X)；

(2)利用最小二乘法求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測廣告支出為10萬元時(shí)的銷售額.

_n_

Xx/7沅歹

附：線性回歸方程$=+&中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：g=告----------

%2-nx—2

E*1

a=y-bx.

9

【答案】(I)X的分布列見解析，期望石(X)=y

(2)y=7x+17；預(yù)測廣告費(fèi)支出10萬元時(shí)的銷售額為87萬元.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)超幾何分布的概率公式求解分布列，進(jìn)而可求解期望，

(2)利用最小二乘法求解線性回歸方程即可

【小問1詳解】

從A,B,C,D,E這5家超市中隨機(jī)抽取3家，記銷售額不少于60萬元的超市有C,D,E這3家超市,

則隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3

C；C：3C；C*3C：1

p(X=l)=^-i=_,P(X=2=^-^=-,尸(X=3)=*=—

C；10C5C；10

???X的分布列為:

X123

331

P

105W

3310

數(shù)學(xué)期望E(X)=lx3+2x'+3x—==.

105105

【小問2詳解】

歹=2+4+5+6+8小,由3。+4。+6。+6。+7。3,

_n

60+160+300+360+560-5x5x52"

百=弋----------------------------------；----=7

4+16+25+36+64-5x5?

-rix2

i=l

5=52-7x5=17.

關(guān)于x的線性回歸方程為$=7x+17；

在q=7x+17中，取1=10,得9=7x10+17=87.

???預(yù)測廣告費(fèi)支出10萬元時(shí)的銷售額為87萬元.

2

16.已知函數(shù)/(x)=x—ax+a,其中

ex

(1)當(dāng)〃=0時(shí)，求曲線>=/(%)在(L/⑴)處的切線方程；

(2)當(dāng)。〉0時(shí)，若"X)在區(qū)間［0,。］上的最小值為工，求。的值.

e

【答案】(1)x-ey=0

(2)a=l

【解析】

【分析】(1)由。=0,分別求出/⑴及/'(1),即可寫出切線方程；

(2)計(jì)算出了(X),令/'(x)=0,解得x=2或x=a,分類討論。的范圍，得出了(無)的單調(diào)性，由/⑺在

區(qū)間［。,田上的最小值為工，列出方程求解即可.

e

【小問1詳解】

2

當(dāng)a=0時(shí)，"x)=-則/⑴=—1，/(幻=2巴x-二x，所以/X'D=—1，

eeee

所以曲線>=/(尤)在(L/⑴)處的切線方程為：=即x—ey=。.

ee

【小問2詳解】

/(X)=一—+(a：2)X_2a=_(x—2),—a),令/，(%)=o,解得彳=2或x=a,

e尤e%

當(dāng)0<a<2時(shí)，犬￡［0,a］時(shí)，/(x)<0,則/(九)在［。㈤上單調(diào)遞減，

所以/■(x)min=/(a)===，，則a=l，符合題意；

ee

當(dāng)a>2時(shí)，x￡［0,2］時(shí)，/(x)<0,則/⑺在［0,2］上單調(diào)遞減,

xe（2,“］時(shí)，f\x）>0,則”x）在（2,a］上單調(diào)遞增，

4—Q1

所以/（%）min=/（2）=^^=—，則〃=4—ev2,不合題意；

ee

當(dāng)。=2時(shí)，xe［0,2］時(shí)，/（%）<0,則/（%）在。2］上單調(diào)遞減,

21

所以/（%）min=/Q）==F?！?，不合題意；

ee

綜上，a=l.

17.在五面體ABC。跖中，。。，平面4。石，EF1平面ADE.

（1）求證：AB//CD；

（2）若AB=2AD=2跖=2，NAD￡=NCaF=90。，點(diǎn)。到平面A班后的距離為求二面角

2

A—BF—C的大小.

【答案】（1）證明見解析

⑵羽

6

【解析】

【分析】（1）由CD,平面ADE,小上平面ADE,得CD//EF,由線面平行的判定定理可得A5//平

面。。跳\再由線面平行的性質(zhì)定理，即可得出答案.

（2）利用等體積法可得△AEO為等腰直角三角形，所以AE=夜,的=4。=1,建立坐標(biāo)系，利用向量

m-n

垂直可得。。=3,求解兩平面的法向量，進(jìn)而可得cosd=-求解.

m\\n

【小問1詳解】

證明：因?yàn)镃D,平面ADE，ER工平面ADE,

所以CD//EE,

因?yàn)镃D仁平面ABEF,石戶u平面

所以CD//平面ABEF,

因?yàn)槠矫鍭BEFc平面A6CD=AB，ABu平面A3CZ）,

所以A5//CD.

【小問2詳解】

由于CD，平面ADE,AB//CD,所以AB1平面ADE,AEu平面ADE,故A3LAE,

又因?yàn)槠矫鍭DE,AD,E￡>u平面ADE,

所以CD工AD,CD上ED,

又NADE=90°,ADDC=D,AD,DCu平面ABC。，所以ED,平面ABC。

=

由于^D-ABE^E-ABD)則SABEX=SABD-ED,故

-ABAEx—=-ABADED^AEx—=ADED^AE=y/2ED,

2222

故△AED為等腰直角三角形，所以AE=J5,ED=AD=1,

如圖以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，ZM,DC,1組所在的直線分別為x,y,z軸建系，

設(shè)DC=c,則A(l,0,0),5(1,2,0),0(0,0,0),C(0,c,0),E(0,0,l),F(0,l,l),

故3E=(-LTl),3C=(-l,c-2,0),

由于NCBF=90。，所以3尸.3。=(一1,一1,1)?(一Lc—2,0)=l+2—c=0,故c=3,

設(shè)平面BFA的法向量為m=(x1,y1,z1),平面BFC的法向量為n=(x2,%,z2)1

因?yàn)锳B=(O,2,O),BF=(-1,-1,1),

AB-m=0F—%+Zi=。,

所以《即＜

BF-m=02yl=0,

令％=1,則成=(1,0,1),

BCn=QX

所以《,即《~2+%=°,

BF-n=0一無2一%+Z2=°,

令々=1，則”=(1,1,2),

設(shè)a—呼―c成的角為e,由圖可知。為鈍角,

3=g，故a=2,

所以cos，=—

A/2XA/626

22

18.已知拋物線C：?/=2px（p>0）與雙曲線E：__匕=1(a>0,fo>o）有公共的焦點(diǎn)況且

/b2

p=4b.過尸的直線/與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，與E的兩條近線交于P,。兩點(diǎn)（均位于y軸右側(cè)）.

（1）求E漸近線方程;

11

（2）若實(shí)數(shù)2滿足丸,求X的取值范圍.

1|8|\OQ\)LAFIVBF\

【答案】（1）y=±且X

3

⑵

【解析】

【分析】（1）由兩曲線有公共的焦點(diǎn)-且。=4人，得c=2Z?,a=gb，可求漸近線方程;

1111

（2）通過設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，借助韋達(dá)定理，表示出和1兩一二而，由

10Pl10Q|\AF\\BF\

【小問1詳解】

22

拋物線C:y2=2px（p>0）與雙曲線E：=—3=1（。>0,6>0）有公共的焦點(diǎn)尸,

ab

設(shè)雙曲線E的焦距為2c,則有'=c,

2

又p=4b,貝|c=2》.

由〃2+/;2=/,得Q=6b,

所以E的漸近線的方程為y=±冬

【小問2詳解】

設(shè)/:x=my+c,P（xl,yl）,Q（x2,y2）,

/與E的兩條近線交于尸，。兩點(diǎn)均位于y軸右側(cè)，有機(jī)2＜3,

x=my+c

由＜百，解得％=—，%=

y=±--xA/3-m-y/3-tn

3

-m|+|-^/3-m|^/3-mj外

1111

---1---=----1----

OPOQ2M2|%|2c2c

x=my+c

設(shè)A（%,%）,5（%4,%）,由＜,消去X得y2-2pmr-p2=0,

/=2px

則有%+%=2pm,y3y4=-p2,

AFBF+mMM

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:

解答直線與圓錐曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根

與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，

不要忽略直線斜率為?；虿淮嬖诘忍厥馇樾?，強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能

力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題.

19.已知數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為5”.若對每一個“eN*，有且僅有一個根eN*，使得S,“<4<S”,+i，

則稱｛%｝為“X數(shù)列”.記2=Sm+1-an,“eN*，稱數(shù)列也｝為應(yīng)｝的“余項(xiàng)數(shù)列”.

(1)若｛4｝的前四項(xiàng)依次為0,1,-1,1,試判斷｛4｝是否為“X數(shù)列”，并說明理由；

(2)若S“=2",證明｛%｝為“X數(shù)列”，并求它的“余項(xiàng)數(shù)列”的通項(xiàng)公式；