2025優(yōu)化設(shè)計一輪課時規(guī)范練52　平面向量的數(shù)量積

課時規(guī)范練52平面向量的數(shù)量積一、基礎(chǔ)鞏固練1.(2024·湖南邵陽模擬)已知向量a=(1,3),b=(1,-1),c=(4,5).若a與b+λc垂直,則實數(shù)λ的值為()A.219 B.411 C.2 D.2.(2024·河北保定模擬)已知等邊三角形ABC的邊長為1,設(shè)BC=a,CA=b,AB=c,那么a·b+b·c+c·a=()A.3 B.-3 C.32 D.-3.(2022·全國乙,理3)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,則a·b=()A.-2 B.-1 C.1 D.24.(2023·北京,3)已知向量a,b滿足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),則|a|2-|b|2=()A.-2 B.-1 C.0 D.15.(2024·湖南常德模擬)已知向量a為單位向量,向量b=(1,1),(a+b)·(2a-b)=1,則向量a與向量b的夾角為()A.π6 B.π4 C.π3 6.(2024·福建廈門模擬)平面上的三個力F1,F2,F3作用于同一點,且處于平衡狀態(tài).已知F1=(1,0),|F2|=2,<F1,F2>=120°,則|F3|=()A.12 B.1 C.3 D.7.(多選題)(2024·山東濟南模擬)已知平面向量a=(1,3),b=(-2,1),則下列說法正確的有()A.|a|=10 B.(2a-b)⊥bC.a與b的夾角為鈍角 D.a在b上的投影向量的模為58.(2024·湖北十堰模擬)已知向量a=(12,5),b=(m,-2m-2),若a⊥b,則|b|=.

9.(2022·全國甲,理13)設(shè)向量a,b的夾角的余弦值為13,且|a|=1,|b|=3,則(2a+b)·b=.10.已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1),則當(dāng)a與b的夾角θ為鈍角時,λ的取值范圍為.

二、綜合提升練11.(2024·江蘇蘇錫常鎮(zhèn)模擬)兩個粒子A,B從同一發(fā)射源發(fā)射出來,在某一時刻,它們的位移分別為sA=(4,3),sB=(-2,6),則sB在sA上的投影向量的模為()A.10 B.102 C.1010 D12.(2024·浙江金麗衢十二校模擬)在三角形ABC中,AB=7,BC=8,AC=9,AM和AN分別是BC邊上的高和中線,則MN·BC=(A.14 B.15 C.16 D.1713.(多選題)(2024·廣東梅州模擬)已知向量a=(2,1),b=(cosθ,sinθ),c=(0,1),則下列說法正確的有()A.當(dāng)且僅當(dāng)tanθ=12時,a∥b B.a在c上的投影向量為C.存在θ,使得b=a-c D.存在θ,使得|a+b|=|a-b|14.(2024·湖南雅禮中學(xué)模擬)已知向量a=(1,2),b=(4,2),若非零向量c與a,b的夾角均相等,則c的坐標(biāo)可以為.(寫出一個符合要求的答案即可)

課時規(guī)范練52平面向量的數(shù)量積1.A解析由題意,b+λc=(1+4λ,5λ-1),a與b+λc垂直,則a·(b+λc)=0,即1+4λ+3×(5λ-1)=0,解得λ=22.D解析在等邊三角形ABC中,有a·b+b·c+c·a=1×1×cos120°+1×1×cos120°+1×1×cos120°=-33.C解析由已知得|a-2b|2=|a|2+4|b|2-4a·b=1+12-4a·b=9,解得a·b=1.4.B解析向量a,b滿足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),所以|a|2-|b|2=(a+b)·(a-b)=2×(-2)+3×1=-1.5.B解析因為向量a為單位向量,向量b=(1,1),所以|a|=1,|b|=2又(a+b)·(2a-b)=2a2+a·b-b2=1,即2|a|2+|a||b|cos<a,b>-|b|2=1,所以cos<a,b>=22.又<a,b>∈[0,π],所以向量a與向量b6.C解析由已知,可得F1+F2+F3=0,所以F3=-(F1+F2).因為F1=(1,0),所以|F1|=1,所以F1·F2=|F1||F2|cos<F1,F2>=1×2×(-12)=-1,所以|F3|2=F32=(F1+F2)2=|F1|2+|F2|2+2F1·F2=1+4-所以|F3|=37.AD解析對于A,|a|=12+32=對于B,2a-b=(2,6)-(-2,1)=(4,5),故(2a-b)·b=(4,5)·(-2,1)=-8+5=-3≠0,故2a-b與b不垂直,故B錯誤;對于C,cos<a,b>=a·b|a||b|=(1,3對于D,a在b上的投影向量的模為|a·b||b|=8.13解析因為a⊥b,所以12m+5(-2m-2)=0,解得m=5,則b=(5,-12),|b|=52+(-9.11解析由題得,a·b=1×3cos<a,b>=1×3×13=1,則(2a+b)·b=2a·b+|b|2=2+9=10.(-12,2)∪(2,+∞)解析因為a與b的夾角θ為鈍角,所以cosθ<即cosθ=a·b|a||b|=-2λ-15同時λ-2≠1-1,所以λ≠2.所以λ的取值范圍為(-1211.D解析設(shè)sB與sA的夾角為θ,則cosθ=sB·sA|sB||sA|,所以sB在sA上的投影向量的模為|12.C解析設(shè)AB=a,AC=b,BM=λBC(λ∈R),則有AM=AB+λBC=AB+λ(AC?AB)=(1-λ)AB+λAC=由余弦定理得cos∠BAC=A∵AM⊥BC,∴AM·BC=0,即[(1-λ)a+λb]·(b-a)=0,(1-2λ)a·b-(1-λ)a2其中a·b=|a||b|cos∠BAC=63×1121=33,a2=49,b2=81,解得λ由題知BN=12BC,13.ABD解析對于A,a∥b?2sinθ=cosθ?tanθ=12,故A正確對于B,因為a·c=1,所以a在c上的投影向量為a·c|c|·c對于C,a-c=(2,0),假定存在θ,使得b=a-c,則有cosθ=2,sinθ=0,而cosθ∈[-1,1],即cosθ=2不成立,因此不存在θ,使得b=a-c,故C錯誤;對于D,|a+b|=|a-b|?(a+b)2=(a-b)2?4a·b=0,即2cosθ+sinθ=0,則tanθ=-2,因此存在θ,使得|a+b|=|a-b|,故D正確.故選ABD.14.(1